수학 개념 노트전체 과목

일차식의 계산

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
항·계수·차수의 뜻을 알고, 일차식과 수의 곱셈·나눗셈은 분배법칙으로, 일차식의 덧셈·뺄셈은 괄호를 푼 뒤 동류항끼리 모아 계산해요.
  1. 1다항식과 일차식
  2. 2일차식과 수의 곱셈·나눗셈
  3. 3동류항과 일차식의 덧셈·뺄셈
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1다항식과 일차식

정의항, 상수항, 계수, 차수
항: 수 또는 문자의 곱으로만 이루어진 식
상수항: 수만으로 이루어진 항
계수: 수와 문자의 곱으로 이루어진 항에서 문자에 곱해진 수
다항식: 한 개 또는 두 개 이상의 항의 합으로 이루어진 식
단항식: 다항식 중 항이 한 개뿐인 식
항의 차수: 항에서 어떤 문자가 곱해진 개수
다항식의 차수: 다항식에서 차수가 가장 큰 항의 차수
학생
항은 어디서 끊어 읽어요?
쌤
++, −- 기호 앞에서 끊어요. 3x−2y+5=3x+(−2y)+53x-2y+5=3x+(-2y)+5 이므로 항은 3x3x, −2y-2y, 55 예요. 항은 앞의 부호까지 포함해요.
공식−x2+x3−4-x^2+\frac{x}{3}-4 를 분석하기
항
−x2,x3,−4\displaystyle -x^2,\quad \frac{x}{3},\quad -4
부호를 포함하여 쓴다.
x2x^2 의 계수
−1\displaystyle -1
−x2=(−1)×x2-x^2=(-1)\times x^2
xx 의 계수
13\displaystyle \frac{1}{3}
x3=13x\frac{x}{3}=\frac{1}{3}x
상수항
−4\displaystyle -4
다항식의 차수
2\displaystyle 2
차수가 가장 큰 항 −x2-x^2 의 차수
정의일차식
차수가 11 인 다항식을 일차식이라 한다.
일차식: 2x+12x+1, −x3-\frac{x}{3}, 0.5a−20.5a-2
일차식이 아닌 것: x2−xx^2-x (차수가 22), 77 (상수항뿐, 차수 00), 2x\frac{2}{x}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
5−2x5-2x 에서 xx 의 계수는?
계수를 읽을 때
✗ 틀린 풀이
5−x5-x 에서 xx 의 계수는 11
x3\frac{x}{3} 의 계수는 33
왜 틀렸나 계수는 문자에 곱해진 수를 부호까지 포함하여 읽으므로 −x-x 는 −1-1, x3\frac{x}{3} 은 13\frac{1}{3} 이다.
✓ 바른 풀이
5−x5-x 에서 xx 의 계수는 −1-1
x3\frac{x}{3} 의 계수는 13\frac{1}{3}
기억 요령: −x=(−1)×x-x=(-1)\times x, x3=13×x\frac{x}{3}=\frac{1}{3}\times x 처럼 곱셈 꼴로 다시 써 보면 계수가 보인다.
⚠ 주의분모에 문자가 있는 식
x2=12×x\frac{x}{2}=\frac{1}{2}\times x 는 일차식이에요.
2x=2÷x\frac{2}{x}=2\div x 는 문자로 나눈 식이므로 다항식이 아니에요.
따라서 2x\frac{2}{x} 는 일차식이 아니에요.

2일차식과 수의 곱셈·나눗셈

일차식에 수를 곱할 때는 분배법칙을 써요.

공식분배법칙
틀로 기억하기
앞에서 곱하기
□(△+◯)=□△+□◯\displaystyle \square(\triangle+\bigcirc)=\square\triangle+\square\bigcirc
뒤에서 곱하기
(△+◯)□=△□+◯□\displaystyle (\triangle+\bigcirc)\square=\triangle\square+\bigcirc\square
나누기
(△+◯)÷□=(△+◯)×1□\displaystyle (\triangle+\bigcirc)\div\square=(\triangle+\bigcirc)\times\frac{1}{\square}
나누는 수의 역수를 곱하여 분배법칙으로 바꾼다.
넓이로 보는 3(x+2)3(x+2)
xx
22
33
3x3x
66
세로 33, 가로 x+2x+2 인 직사각형은 3x3x 와 66 두 칸으로 나뉘어요.
학생
일차식에 수를 곱할 때 뭘 조심해요?
쌤
괄호 안의 항 하나하나에 빠짐없이 곱해야 해요. 3(x+2)3(x+2) 는 x+2x+2 를 세 번 더한 것이라 3x+63x+6 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−3(2x−4)-3(2x-4) 를 계산하면?
음수를 분배할 때
✗ 틀린 풀이
−2(3x−5)=−6x−10-2(3x-5)=-6x-10
왜 틀렸나 분배법칙에서 −2-2 는 괄호 안의 모든 항에 곱해지고 (−2)×(−5)=+10(-2)\times(-5)=+10 이다.
✓ 바른 풀이
−2(3x−5)=−6x+10-2(3x-5)=-6x+10
확인 방법: x=0x=0 을 넣으면 −2×(0−5)=10-2\times(0-5)=10 이므로 상수항은 +10+10 이어야 한다.
수로 나눌 때
✗ 틀린 풀이
(6x−9)÷3=2x−9(6x-9)\div3=2x-9
왜 틀렸나 괄호 안의 식을 수로 나눌 때는 모든 항을 그 수로 나누어야 하므로 −9-9 도 33 으로 나눈다.
✓ 바른 풀이
(6x−9)÷3=2x−3(6x-9)\div3=2x-3
확인 방법: 답에 33 을 곱해 3(2x−3)=6x−93(2x-3)=6x-9 가 되는지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

먼저 단항식과 수의 곱셈·나눗셈을 봐요. 수끼리 계산하고 문자는 뒤에 써요.
3x×4=3×4×x=12x3x\times4=3\times4\times x=12x
(−6x)÷3=−6x×13=−2x(-6x)\div3=-6x\times\frac{1}{3}=-2x
8x÷(−43)=8x×(−34)=−6x8x\div\left(-\frac{4}{3}\right)=8x\times\left(-\frac{3}{4}\right)=-6x

왜 그런가요? 3(x+2)3(x+2) 는 x+2x+2 를 세 번 더한 거예요.
3(x+2)=(x+2)+(x+2)+(x+2)=3x+63(x+2)=(x+2)+(x+2)+(x+2)=3x+6
즉 괄호 안의 항 하나하나에 33 이 곱해져요.

분배법칙의 틀에 넣기: −2(3x−5)-2(3x-5)
① 공식을 틀로 본다
□(△+◯)=△□+◯□\textcolor{#2563eb}{\square} (\textcolor{#ea580c}{\triangle} + \textcolor{#059669}{\bigcirc})=\textcolor{#ea580c}{\triangle} \textcolor{#2563eb}{\square} + \textcolor{#059669}{\bigcirc} \textcolor{#2563eb}{\square}
② −6x+10- 6 x + 10 에서 틀의 자리에 들어갈 것을 먼저 적는다
□=−2\textcolor{#2563eb}{\square} = \textcolor{#2563eb}{-2}△=3x\textcolor{#ea580c}{\triangle} = \textcolor{#ea580c}{3 x}◯=−5\textcolor{#059669}{\bigcirc} = \textcolor{#059669}{-5}
③ 괄호째 넣고, 항마다 부호 → 숫자 → 문자 순서로 계산한다
틀의 항괄호째 넣기부호결과
△□\textcolor{#ea580c}{\triangle} \textcolor{#2563eb}{\square}(3x)(−2)\textcolor{#ea580c}{(3 x)} \textcolor{#2563eb}{(-2)}−−6x- 6 x
◯□\textcolor{#059669}{\bigcirc} \textcolor{#2563eb}{\square}(−5)(−2)\textcolor{#059669}{(-5)} \textcolor{#2563eb}{(-2)}+1010
답−6x+10=−6x+10- 6 x + 10=- 6 x + 10
✓ 검산: x=1x=1 을 넣으면 왼쪽 44, 오른쪽 44
예분수를 곱하거나 수로 나눌 때
곱하는 수가 분수이고 뒤에 있을 때
(4x−6)×(−12)=4x×(−12)−6×(−12)=−2x+3(4x-6)\times\left(-\frac{1}{2}\right)=4x\times\left(-\frac{1}{2}\right)-6\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-2x+3
정수로 나눌 때
(6x−9)÷3=(6x−9)×13=2x−3(6x-9)\div3=(6x-9)\times\frac{1}{3}=2x-3
분수로 나눌 때
(10x−4)÷(−25)=(10x−4)×(−52)=−25x+10(10x-4)\div\left(-\frac{2}{5}\right)=(10x-4)\times\left(-\frac{5}{2}\right)=-25x+10

3동류항과 일차식의 덧셈·뺄셈

정의동류항
문자와 차수가 각각 같은 항을 동류항이라 한다. 상수항끼리도 동류항이다.
동류항: 3x3x 와 −5x-5x, y2\frac{y}{2} 와 4y4y, 22 와 −7-7
동류항이 아님: 2x2x 와 2x22x^2 (차수가 다름), xx 와 yy (문자가 다름)

동류항은 계수끼리 계산해요.
3x+5x=(3+5)x=8x3x+5x=(3+5)x=8x
3x−5x=(3−5)x=−2x3x-5x=(3-5)x=-2x

학생
3x+23x+2 는 왜 5x5x 가 아니에요?
쌤
더해서 하나로 모을 수 있는 건 문자와 차수가 같은 동류항끼리뿐이에요. 사과 33 개와 귤 22 개를 사과 55 개라 할 수 없는 것과 같아요.
동류항이 아닌 항
✗ 틀린 풀이
3x+2=5x3x+2=5x
왜 틀렸나 동류항은 문자와 차수가 같은 항이므로 일차항 3x3x 와 상수항 22 는 더할 수 없다.
✓ 바른 풀이
3x+23x+2 는 그대로 둔다
x=1x=1 을 넣어 보면 3x+2=53x+2=5, 5x=55x=5 로 같아 보이지만
x=2x=2 이면 3x+2=83x+2=8, 5x=105x=10 으로 달라요.
일차식의 덧셈·뺄셈 순서
  1. 1
    괄호를 풀어요.
    괄호 앞이 ++ 이면 그대로, −- 이면 괄호 안 모든 항의 부호를 바꿔요. 수가 곱해져 있으면 분배법칙을 써요.
  2. 2
    동류항끼리 모아요.
    xx 항은 xx 항끼리, 상수항은 상수항끼리
  3. 3
    동류항을 계산하여 정리해요.
    보통 문자가 있는 항을 앞에, 상수항을 뒤에 써요.
예괄호를 푸는 여러 경우
(2x+3)+(4x−5)=2x+3+4x−5=6x−2(2x+3)+(4x-5)=2x+3+4x-5=6x-2
(3x−1)−(x−4)=3x−1−x+4=2x+3(3x-1)-(x-4)=3x-1-x+4=2x+3
2(x−3)−3(2x−1)=2x−6−6x+3=−4x−32(x-3)-3(2x-1)=2x-6-6x+3=-4x-3
괄호가 여러 겹이면 안쪽부터 풀어요.
3x−{2x−(x+1)}=3x−(2x−x−1)3x-\{2x-(x+1)\}=3x-(2x-x-1)
=3x−(x−1)=3x−x+1=2x+1=3x-(x-1)=3x-x+1=2x+1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(5x−2)−(3x−4)(5x-2)-(3x-4) 를 계산하면?
괄호 앞의 −-
✗ 틀린 풀이
(3x−1)−(x−4)=3x−1−x−4(3x-1)-(x-4)=3x-1-x-4
왜 틀렸나 괄호 앞에 −- 가 있으면 괄호 안의 모든 항의 부호를 바꾸므로 −4-4 는 +4+4 가 된다.
✓ 바른 풀이
(3x−1)−(x−4)=3x−1−x+4(3x-1)-(x-4)=3x-1-x+4
확인 방법: x=0x=0 을 넣으면 처음 식은 (0−1)−(0−4)=3(0-1)-(0-4)=3 이고 바른 식도 −1+4=3-1+4=3 으로 같다.
통분할 때 분자의 괄호
✗ 틀린 풀이
x+12−x−23=3x+3−2x−46\frac{x+1}{2}-\frac{x-2}{3}=\frac{3x+3-2x-4}{6}
왜 틀렸나 통분할 때 빼는 분수의 분자는 괄호로 묶어 −2(x−2)=−2x+4-2(x-2)=-2x+4 처럼 모든 항에 곱한다.
✓ 바른 풀이
x+12−x−23=3x+3−2x+46\frac{x+1}{2}-\frac{x-2}{3}=\frac{3x+3-2x+4}{6}
확인 방법: x=2x=2 를 넣으면 처음 식은 32−0=32\frac{3}{2}-0=\frac{3}{2} 이고 바른 식도 6+3−4+46=32\frac{6+3-4+4}{6}=\frac{3}{2} 으로 같다.

계산이 맞는지는 처음 식과 계산한 식에 같은 수를 넣어 확인해요. 값이 다르면 괄호를 풀 때의 부호 부터 다시 확인해요.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

동류항은 분배법칙을 거꾸로 써서 하나로 모은 거예요. 문자가 두 개이거나 차수가 높은 식도 같은 방법으로 계산해요.

분모가 다르면 분모의 최소공배수로 통분해요. 분자는 하나의 덩어리이므로 괄호로 감싸요.

분수 꼴의 일차식
x+12−x−23\frac{x+1}{2}-\frac{x-2}{3}
=3(x+1)−2(x−2)6=\frac{3(x+1)-2(x-2)}{6}
↳66 으로 통분
=3x+3−2x+46=\frac{3x+3-2x+4}{6}
↳괄호를 풀어요
=x+76=\frac{x+7}{6}
↳동류항 정리

검산 방법: 계산하기 전 식과 계산한 식에 같은 수를 넣어 값이 같은지 확인해요.
x=1x=1 을 넣으면 2(1−3)−3(2−1)=−72(1-3)-3(2-1)=-7 이고, −4×1−3=−7-4\times1-3=-7 이에요. 따라서 계산이 맞아요.
일차식의 계산은 일차방정식을 풀 때 바로 써요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1다항식은 항의 합이다. 수만으로 된 항은 상수항, 문자에 곱해진 수는 그 문자의 계수, 항에서 문자가 곱해진 개수는 그 항의 차수이다.
  2. 2차수가 11 인 다항식을 일차식이라 한다. 예: 2x+12x+1, −x3-\frac{x}{3}
  3. 3일차식과 수의 곱셈은 분배법칙 k(a+b)=ka+kbk(a+b)=ka+kb 로 계산한다. 나눗셈은 나누는 수의 역수를 곱한다.
  4. 4덧셈·뺄셈은 괄호를 푼 뒤 동류항끼리 모아 계산한다. 괄호 앞이 −- 이면 괄호 안 모든 항의 부호를 바꾼다.
✗ 자주 하는 실수
  • −(x−4)-(x-4) 를 −x−4-x-4 로 풀어요(괄호 앞이 −- 이면 모든 항의 부호를 바꾸어 −x+4-x+4 예요).
  • 동류항이 아닌 3x3x 와 22 를 더해 5x5x 로 써요.
  • x+12−x−23\frac{x+1}{2}-\frac{x-2}{3} 를 통분할 때 분자에 괄호를 치지 않아 −2×(−2)-2\times(-2) 의 부호가 틀려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    23(6x−9)−(12x−8)÷4\frac{2}{3}(6x-9)-(12x-8)\div4 를 계산하시오.
  2. 예제 2
    3(2x−1)−2(4x−5)3(2x-1)-2(4x-5) 를 계산하시오.
  3. 예제 3
    3x−14−x−36\frac{3x-1}{4}-\frac{x-3}{6} 을 계산하시오.

다음 공부

다음 개념: 일차방정식 →
이전 개념: 문자의 사용과 식의 값설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 다항식의 계산 (나중에)중학교 1학년 목차
← 문자의 사용과 식의 값일차방정식 →
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