수학 개념 노트전체 과목

일차부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
부등식의 양변에 음수를 곱하거나 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀌어요. 일차부등식은 이항하여 ax>bax>b 꼴로 만든 뒤 xx 의 계수로 나누어 풀고, 해는 수직선에 ●·○ 로 나타내요.
  1. 1부등식과 그 해
  2. 2부등식의 성질
  3. 3일차부등식과 그 풀이
  4. 4부등식의 해를 수직선에 나타내기
  5. 5일차부등식의 활용
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1부등식과 그 해

정의부등식
부등호 <<, >>, ≤\le, ≥\ge 를 사용하여 수 또는 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식이라 한다.
부등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽을 우변, 두 변을 함께 양변이라 한다.
공식부등호를 읽는 법
x>ax>a
x>a\displaystyle x>a
xx 는 aa 보다 크다. xx 는 aa 초과이다.
x<ax<a
x<a\displaystyle x<a
xx 는 aa 보다 작다. xx 는 aa 미만이다.
x≥ax\ge a
x≥a\displaystyle x\ge a
xx 는 aa 보다 크거나 같다. xx 는 aa 이상이다. (aa 보다 작지 않다)
x≤ax\le a
x≤a\displaystyle x\le a
xx 는 aa 보다 작거나 같다. xx 는 aa 이하이다. (aa 보다 크지 않다)
정의부등식의 해
xx 에 대한 부등식을 참이 되게 하는 xx 의 값을 그 부등식의 해 라 한다.
부등식의 해를 모두 구하는 것을 부등식을 푼다고 한다.
방정식의 해는 보통 한 개이지만, 부등식의 해는 보통 여러 개(범위)이다.
2x−1<52x-1<5 에 x=1, 2, 3, 4x=1,\ 2,\ 3,\ 4 넣기
xx11223344
2x−12x-111335577
2x−1<52x-1<5 ?참참거짓거짓
이 범위에서 부등식을 참이 되게 하는 xx 의 값은 1, 21,\ 2 예요.
학생
x=3x=3 을 넣으면 5<55<5 인데, 33 은 해가 아니에요?
쌤
네. 5<55<5 는 거짓이라 33 은 해가 아니에요. 부등호가 ≤\le 였다면 5≤55\le5 가 참이라 33 도 해가 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x≥3x\ge3 을 바르게 읽은 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

예를 들어 「xx 에서 11 을 뺀 값의 22 배는 55 보다 작다」는 부등호를 써서 다음과 같이 나타내요.
2(x−1)<52(x-1)<5

2부등식의 성질

공식부등식의 성질 (a<ba<b 일 때)
같은 수를 더하거나 빼기
a+c<b+c,a−c<b−c\displaystyle a+c<b+c,\quad a-c<b-c
방향 그대로
양수 cc 를 곱하거나 나누기
ac<bc,ac<bc\displaystyle ac<bc,\quad \frac{a}{c}<\frac{b}{c}
c>0c>0 이면 방향 그대로
음수 cc 를 곱하거나 나누기
ac>bc,ac>bc\displaystyle ac>bc,\quad \frac{a}{c}>\frac{b}{c}
c<0c<0 이면 방향이 바뀐다
성질외우는 문장
「음수를 곱하거나 음수로 나눌 때만 부등호의 방향이 바뀐다.」
더하기·빼기는 음수를 더하거나 빼더라도 방향이 그대로이다.
≤\le, ≥\ge 도 같은 규칙을 따른다.
학생
왜 음수를 곱하면 방향이 바뀌어요?
쌤
음수를 곱하면 수직선에서 00 을 기준으로 뒤집혀서 크기 순서가 거꾸로 돼요. 3>13>1 에 −2-2 를 곱하면 −6<−2-6<-2 예요.
음수를 곱하면 순서가 뒤집혀요
×(−2)\times(-2)
×(−2)\times(-2)
-7-6-5-4-3-2-101234
−6-6
−2-2
11
33
1<31<3 이던 두 수에 −2-2 를 곱하면 원점 반대쪽으로 옮겨져 −6<−2-6<-2 가 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a<ba<b 일 때 옳은 것은?
음수로 나눌 때
✗ 틀린 풀이
−3x<6-3x<6
x<−2x<-2
왜 틀렸나 부등식의 양변에 음수를 곱하거나 양변을 음수로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
✓ 바른 풀이
−3x<6-3x<6
x>−2x>-2
검산: x=0x=0 을 넣으면 0<60<6 으로 참이고, 00 은 x>−2x>-2 에 들어 있다.
자세히 보기펼치기예제 2
참인 부등식 3>13>1 의 양변에 계산하기
3+2>1+2 → 5>33+2>1+2\ \to\ 5>3
↳+2+2: 방향 그대로
3−4>1−4 → −1>−33-4>1-4\ \to\ -1>-3
↳−4-4: 방향 그대로
3×2>1×2 → 6>23\times2>1\times2\ \to\ 6>2
↳×2\times2: 방향 그대로
3×(−2) ? 1×(−2) → −6<−23\times(-2)\ ?\ 1\times(-2)\ \to\ -6<-2
↳×(−2)\times(-2): 방향이 바뀌어요
x>2x>2 일 때 −3x+1-3x+1 의 값의 범위
x>2x>2
↳−3x+1-3x+1 을 만들려면 −3-3 을 곱하고 11 을 더해요
−3x<−6-3x<-6
↳−3-3 을 곱하면 방향이 바뀌어요
−3x+1<−5-3x+1<-5
↳양변에 11 을 더해요

3일차부등식과 그 풀이

정의일차부등식
부등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리한 식이
ax+b>0ax+b>0, ax+b<0ax+b<0, ax+b≥0ax+b\ge 0, ax+b≤0ax+b\le 0 (단, a≠0a\ne0)
중 하나의 꼴이 되는 부등식을 xx 에 대한 일차부등식이라 한다.
기본 풀이
3x−5≤7x+33x-5\le 7x+3
3x−7x≤3+53x-7x\le 3+5
↳이항해요
−4x≤8-4x\le 8
x≥−2x\ge -2
↳음수로 나누면 방향이 바뀌어요
학생
일차방정식 풀 때랑 다른 점이 있어요?
쌤
이항하고 정리하는 과정은 똑같아요. 마지막에 xx 의 계수로 나눌 때 그 계수가 음수이면 부등호 방향을 바꾸는 것만 달라요.
x≥−2x\ge -2
x≥−2x\ge-2
-5-4-3-2-10123
−2-2
−2-2 도 해이므로 ● 로 찍어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−2x+1<7-2x+1<7 을 풀면?
분수 계수
모든 항에 곱하기
✗ 틀린 풀이
x2−1<x3\frac{x}{2}-1<\frac{x}{3} 의 양변에 66 을 곱하면
3x−1<2x3x-1<2x
왜 틀렸나 분수 계수를 없앨 때는 양변의 모든 항에, 상수항까지 빠짐없이 같은 수를 곱한다.
✓ 바른 풀이
x2−1<x3\frac{x}{2}-1<\frac{x}{3} 의 양변에 66 을 곱하면
3x−6<2x3x-6<2x
바르게 풀면 x<6x<6 이다.
검산: x=0x=0 을 넣으면 −1<0-1<0 으로 참이다.
⚠ 주의해가 특별한 부등식
2(x+1)≤2x−12(x+1)\le 2x-1 을 정리하면 0×x≤−30\times x\le -3 이에요.
0≤−30\le -3 은 어떤 xx 에서도 거짓이므로 해가 없어요.
3(x−2)≥3x−83(x-2)\ge 3x-8 을 정리하면 0×x≥−20\times x\ge -2 이에요.
0≥−20\ge -2 는 항상 참이므로 해는 모든 수예요.
두 경우 모두 일차부등식은 아니에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

방정식을 풀 때처럼 부등식에서도 이항할 수 있어요. 이항은 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것이므로 부등호의 방향은 그대로예요.
부등식 3x−1>2x+43x-1>2x+4 에서 우변의 항을 모두 좌변으로 이항하여 정리하면
x−5>0x-5>0
이처럼 (일차식)>0>0 꼴이 되므로 일차부등식이에요.
2x+1>2x−32x+1>2x-3 은 이항하여 정리하면 4>04>0 이 되어 xx 가 없어지므로 일차부등식이 아니에요.

일차부등식을 푸는 순서
  1. 1
    괄호가 있으면 분배법칙으로 괄호를 풀어요.
  2. 2
    계수가 소수이면 10, 100, ⋯10,\ 100,\ \cdots 을, 분수이면 분모의 최소공배수를 양변에 곱해요.
    모든 항에 곱해야 해요.
  3. 3
    xx 를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항해요.
  4. 4
    양변을 정리하여 ax>bax>b 꼴로 만들어요.
  5. 5
    양변을 xx 의 계수 aa 로 나눠요.
    a<0a<0 이면 부등호의 방향을 바꿔요.
괄호가 있는 부등식
2(x−3)>5x+62(x-3)>5x+6
2x−6>5x+62x-6>5x+6
↳괄호를 풀어요
−3x>12-3x>12
↳이항하여 정리
x<−4x<-4
↳−3-3 으로 나누면 방향이 바뀌어요
계수가 소수인 부등식
0.3x+1.2≥0.5x−0.40.3x+1.2\ge 0.5x-0.4
3x+12≥5x−43x+12\ge 5x-4
↳양변에 1010 을 곱해요
−2x≥−16-2x\ge -16
↳이항하여 정리
x≤8x\le 8
↳−2-2 로 나누면 방향이 바뀌어요

4부등식의 해를 수직선에 나타내기

공식해와 수직선
x>ax>a
경계에 ○, 오른쪽으로\displaystyle \text{경계에 ○, 오른쪽으로}
aa 는 해가 아니다.
x<ax<a
경계에 ○, 왼쪽으로\displaystyle \text{경계에 ○, 왼쪽으로}
aa 는 해가 아니다.
x≥ax\ge a
경계에 ●, 오른쪽으로\displaystyle \text{경계에 ●, 오른쪽으로}
aa 도 해이다.
x≤ax\le a
경계에 ●, 왼쪽으로\displaystyle \text{경계에 ●, 왼쪽으로}
aa 도 해이다.
학생
왜 x>ax>a 는 ○ 이고 x≥ax\ge a 는 ● 이에요?
쌤
● 은 그 점이 해에 들어간다는 표시, ○ 은 빠진다는 표시예요. x≥ax\ge a 는 aa 도 해라서 ●, x>ax>a 는 aa 가 해가 아니라서 ○ 이에요.
수직선으로 읽기
−2x+3>7-2x+3>7
−2x>4-2x>4
↳이항해요
x<−2x<-2
↳방향이 바뀌어요
x<−2x<-2
x<−2x<-2
-5-4-3-2-1012
−2-2
−2-2 에 ○ 을 찍고 왼쪽으로 그어요. 검산: x=−3x=-3 을 넣으면 9>79>7 로 참이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x>−1x>-1 을 수직선에 나타내는 방법은?
경계의 점
✗ 틀린 풀이
x≤3x\le 3 의 해를 나타낼 때 33 에 ○ 을 찍었다
왜 틀렸나 ≤\le 와 ≥\ge 는 경계의 수도 해에 들어가므로 수직선에 속이 찬 점 ● 을 찍는다.
✓ 바른 풀이
x≤3x\le 3 의 해를 나타낼 때 33 에 ● 을 찍는다
기억 요령: 등호가 있으면 점을 채우고(●), 없으면 비운다(○).
자세히 보기펼치기왜 그런지

부등식의 해는 보통 무수히 많으므로 수직선에 나타내면 한눈에 볼 수 있어요.
경계가 되는 수에 점을 찍고, 해가 있는 쪽으로 굵은 선을 그어요.
경계의 수가 해에 포함되면 속이 찬 점 ●, 포함되지 않으면 속이 빈 점 ○ 을 찍어요.
두 부등식을 함께 만족하는 범위는 수직선에서 두 해가 겹치는 부분이에요.

5일차부등식의 활용

활용 문제는 구하려는 것을 xx 로 놓고, 「이하」「넘지 않는다」는 ≤\le, 「이상」「적어도」는 ≥\ge 로 바꿔 부등식을 세워요.

한 개에 800800 원인 사과 몇 개를 20002000 원짜리 바구니에 담아 전체 금액이 1000010000 원 이하가 되게 하려고 해요. 사과를 xx 개 산다고 해요.

최대 개수 구하기
800x+2000≤10000800x+2000\le 10000
↳「이하」는 ≤\le
800x≤8000800x\le 8000
↳이항해요
x≤10x\le 10
↳양변을 800800 으로 나눠요 → 최대 1010 개
학생
답이 x≤10x\le 10 이면 몇 개까지 살 수 있어요?
쌤
사과의 개수는 자연수라서 11 개부터 1010 개까지, 최대 1010 개예요. 활용 문제는 마지막에 답이 자연수여야 하는지 꼭 확인해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
「xx 는 55 를 넘지 않는다」를 부등식으로 나타내면?
자세히 보기펼치기왜 그런지
활용 문제 풀기
  1. 1
    구하려는 것을 xx 로 놓아요.
  2. 2
    문제의 뜻에 맞게 부등식을 세워요.
    「이상, 이하, 초과, 미만, 넘지 않는다, 적어도」를 부등호로 바꿔요.
  3. 3
    부등식을 풀어요.
  4. 4
    구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인해요.
    개수·사람 수는 자연수만 답이 돼요.

「넘지 않는다」는 「이하」, 「적어도」는 「이상」으로 바꿔요. 부등호를 바꾸는 순간 경계를 포함하는지까지 함께 정해져요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1부등호 <, >, ≤, ≥<,\ >,\ \le,\ \ge 를 사용하여 수나 식의 대소 관계를 나타낸 식을 부등식이라 하고, 부등식을 참이 되게 하는 xx 의 값을 그 부등식의 해라 한다.
  2. 2부등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼도, 같은 양수를 곱하거나 나누어도 부등호의 방향은 그대로이다. 같은 음수를 곱하거나 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
  3. 3이항하여 정리한 식이 ax+b>0ax+b>0, ax+b≤0ax+b\le 0 처럼 (xx 에 대한 일차식)>0>0 꼴이 되는 부등식을 일차부등식이라 한다. 풀면 x>□x>\square, x≤□x\le\square 꼴의 해가 나온다.
  4. 4해는 수직선에 나타낼 수 있다. 경계의 수를 포함하면 ●, 포함하지 않으면 ○ 로 표시한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 음수로 양변을 나눌 때 부등호의 방향을 바꾸지 않아요.
  • 분수·소수 계수를 정수로 고칠 때 상수항에는 곱하지 않아요.
  • 수직선에서 x≤ax\le a 의 경계에 ○ 을, x<ax<a 의 경계에 ● 을 찍어요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    부등식 2x+3>−x−62x+3>-x-6 을 푸시오.
  2. 예제 2
    부등식 x−12−2x+13>1\frac{x-1}{2}-\frac{2x+1}{3}>1 을 푸시오.
  3. 예제 3
    한 권에 12001200 원인 공책과 한 자루에 700700 원인 볼펜을 합하여 1515 개 사려고 한다. 전체 금액이 1400014000 원 이하가 되게 하려면 공책은 최대 몇 권까지 살 수 있는지 구하시오.

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