수학 개념 노트전체 과목

다항식의 정리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
동류항을 모으고, 한 문자에 대하여 내림차순·오름차순으로 정리해요.
  1. 1다항식의 용어
  2. 2차수와 계수는 기준 문자에 따라 달라진다
  3. 3동류항 정리
  4. 4내림차순과 오름차순
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1다항식의 용어

정의단항식과 다항식
3x23x^2, −5xy-5xy, 77 처럼 수와 문자의 곱으로만 이루어진 식을 단항식이라 하고, 단항식의 합으로 이루어진 식을 다항식이라 한다. 다항식을 이루는 각각의 단항식을 그 다항식의 항이라 한다. 단항식은 항이 하나인 다항식이다.
공식다항식 −3x2y+5x−7-3x^2y+5x-7 에서 용어 읽기
항
−3x2y,5x,−7\displaystyle -3x^2y,\quad 5x,\quad -7
빼기 기호는 뒤 항의 부호로 붙여 읽는다. −7-7 이 항이지 77 이 항이 아니다.
계수
−3x2y → −3,5x → 5\displaystyle -3x^2y\ \to\ -3,\qquad 5x\ \to\ 5
항에서 문자에 곱해진 수. 부호까지 계수에 포함한다.
항의 차수
−3x2y → 2+1=3,5x → 1\displaystyle -3x^2y\ \to\ 2+1=3,\qquad 5x\ \to\ 1
항에 곱해진 문자의 개수, 즉 문자들의 지수의 합.
상수항
−7\displaystyle -7
문자 없이 수만으로 된 항. 차수는 00 으로 본다.
다항식의 차수
3\displaystyle 3
차수가 가장 높은 항의 차수. 이 식은 삼차식이다.
학생
빼기 기호는 어느 항에 붙여 읽어요?
쌤
뒤 항의 부호로 붙여 읽어요.
−3x2y+5x−7-3x^2y+5x-7 의 상수항은 77 이 아니라 −7-7 이에요.
정의동류항
문자와 차수가 모두 같은 항을 동류항이라 한다. 계수는 달라도 된다. 예를 들어 3x2y3x^2y 와 −5x2y-5x^2y 는 동류항이지만, 3x2y3x^2y 와 3xy23xy^2 은 문자는 같아도 각 문자의 차수가 달라서 동류항이 아니다. 상수항끼리도 동류항이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2x2−5x−32x^2-5x-3 에서 상수항과 xx 의 계수를 차례로 쓴 것은?
⚠ 주의곱하는 순서는 상관없다
2xy2xy 와 −5yx-5yx 는 xy=yxxy=yx 이므로 동류항이에요.
2xy−5yx=−3xy2xy-5yx=-3xy
문자는 보통 알파벳 순서로 바꾸어 써요.

2차수와 계수는 기준 문자에 따라 달라진다

문자가 여러 개인 식에서 「xx에 대하여」라고 하면 xx만 문자로 보고, yy 같은 나머지 문자는 숫자처럼 계수에 넣어요. 그래서 같은 항이라도 어느 문자를 기준으로 하느냐에 따라 계수와 차수가 달라져요.

공식3x2y33x^2y^3 을 기준 문자별로 보기
모든 문자
3⋅x2y3\displaystyle 3\cdot x^2y^3
계수 33
차수 2+3=52+3=5
xx에 대하여
(3y3)⋅x2\displaystyle (3y^3)\cdot x^2
계수 3y33y^3
차수 22
y3y^3 은 계수 쪽으로 간다.
yy에 대하여
(3x2)⋅y3\displaystyle (3x^2)\cdot y^3
계수 3x23x^2
차수 33
학생
그럼 3x2y33x^2y^3 의 차수는 하나로 정해지지 않아요?
쌤
기준 문자를 말해야 정해져요.
xx 에 대하여 22차, yy 에 대하여 33차, 모든 문자에 대하여 55차예요.
성질특정 문자에 대하여 정리하기
「xx에 대하여 정리」하면 xx의 차수가 같은 항끼리 묶어 xx의 거듭제곱 앞에 계수를 괄호로 모은다. 이때 xx를 포함하지 않는 항 전체가 상수항이 된다.
xx에 대한 이차식은 언제나 아래 틀이다. □, △, ○ 자리에는 xx가 없는 식이면 무엇이든(yy의 식도) 들어간다.□ x2+△ x+◯(□≠0)\square\,x^2+\triangle\,x+\bigcirc\qquad(\square\neq0)
x2y+3xy2−2x+y3−1x^2y+3xy^2-2x+y^3-1 을 xx에 대하여 정리하기
  1. 1
    x2x^2 이 있는 항은 x2yx^2y 이에요.
    □ =y=y
    x2x^2 을 떼어 내고 남은 것이 계수예요.
  2. 2
    xx 가 한 번 있는 항은 3xy2, −2x3xy^2,\ -2x 이에요.
    △ =3y2−2=3y^2-2
    두 항 모두 xx에 대하여 일차이므로 동류항으로 묶어요.
  3. 3
    xx 가 없는 항은 y3, −1y^3,\ -1 이에요.
    ○ =y3−1=y^3-1
    y3y^3 도 xx에 대해서는 상수항이에요.
  4. 4
    yx2+(3y2−2)x+(y3−1)yx^2+(3y^2-2)x+(y^3-1)
    검산
    xx에 대하여 2차예요.
    항의 개수도 1+2+2=51+2+2=5 로 원래 식과 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
2x3y2+xy−42x^3y^2+xy-4 는 yy에 대하여 몇 차식인가?
기준 문자가 xx일 때의 상수항
✗ 틀린 풀이
x2y+3xy2−2x+y3−1x^2y+3xy^2-2x+y^3-1 의 xx에 대한 상수항은 −1-1
왜 틀렸나 xx에 대하여 정리할 때는 xx 이외의 문자도 수로 보므로, xx가 없는 항은 모두 상수항이다.
✓ 바른 풀이
xx에 대한 상수항은 y3−1y^3-1
바른 상수항은 xx가 없는 항 y3y^3 과 −1-1 을 빠짐없이 모은 y3−1y^3-1 이다.
특정 문자에 대한 차수
✗ 틀린 풀이
3x2y53x^2y^5 는 xx에 대하여 77차
왜 틀렸나 특정 문자에 대한 차수는 그 문자의 지수만 세므로, 다른 문자의 지수는 더하지 않는다.
✓ 바른 풀이
3x2y53x^2y^5 는 xx에 대하여 22차
xx에 대한 차수는 xx의 지수 22 이다. 모든 문자에 대한 차수를 물을 때만 지수를 모두 더한다.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지
같은 식을 yy에 대하여 정리하면
항y3y^3y2y^2yy상수항
계수113x3xx2x^2−2x−1-2x-1
yy 의 차수별로 계수를 모으면 y3+3xy2+x2y+(−2x−1)y^3+3xy^2+x^2y+(-2x-1) — yy에 대하여 3차식이에요.
같은 식이 xx에 대해서는 2차식, yy에 대해서는 3차식, 모든 문자에 대해서는 3차식이에요.

다항식의 차수도 같은 방법으로 정해요. 「xx에 대한 차수」는 xx의 지수만 세어 가장 큰 거예요.
예를 들어 3x2y53x^2y^5 는 xx에 대하여 22차, yy에 대하여 55차, 모든 문자에 대하여 77차예요.

3동류항 정리

동류항을 묶는 것은 분배법칙 ax+bx=(a+b)xax+bx=(a+b)x 를 쓴 거예요. 그래서 문자 부분은 그대로 두고 계수만 더해요. 3x23x^2 과 2x2x 는 공통인 문자 부분이 없어 분배법칙으로 묶을 수 없으므로 더 이상 정리되지 않아요.

동류항끼리 모으기
2x2−3xy+5−x2+7xy−2y2−82x^2-3xy+5-x^2+7xy-2y^2-8
2x2−x2=x22x^2-x^2=x^2
↳x2x^2 항끼리
−3xy+7xy=4xy-3xy+7xy=4xy
↳xyxy 항끼리
−2y2-2y^2
↳y2y^2 항은 하나뿐
5−8=−35-8=-3
↳상수항끼리
x2+4xy−2y2−3x^2+4xy-2y^2-3
↳모아 쓰면
x=1, y=2x=1,\ y=2 를 넣으면 정리 전 식과 정리 후 식이 모두 −2-2 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
3a2−2a+5a2+a3a^2-2a+5a^2+a 를 정리하면?
차수가 다른 항을 더하기
✗ 틀린 풀이
3x2+2x=5x33x^2+2x=5x^3
왜 틀렸나 계수를 더할 수 있는 것은 동류항끼리뿐이고, 덧셈을 해도 각 항의 차수는 바뀌지 않는다.
✓ 바른 풀이
3x2+2x3x^2+2x (더 이상 정리되지 않는다)
확인: x=2x=2 를 넣으면 3x2+2x=12+4=163x^2+2x=12+4=16 이다. 정리한 식은 어떤 값을 넣어도 처음 식과 값이 같아야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
정리하는 순서
  1. 1
    항을 부호와 함께 하나씩 떼어 읽어요.
    −x2-x^2 은 「빼기 x2x^2」이 아니라 계수 −1-1 인 항이에요.
  2. 2
    문자와 차수가 같은 항끼리 표시해 모아요.
    덧셈의 교환법칙·결합법칙 덕분에 순서를 바꾸어 모아도 돼요.
  3. 3
    모은 항의 계수만 계산해요.
    문자 부분은 그대로 둬요.
  4. 4
    한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 늘어놓아요.
    문자가 여럿이면 기준 문자를 정해요.
  5. 5
    간단한 수를 넣어 정리 전후의 값이 같은지 확인해요.
    정리는 식의 모양만 바꾸므로 어떤 값을 넣어도 두 식의 값이 같아야 해요.

4내림차순과 오름차순

정의내림차순과 오름차순
한 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 쓰는 것을 내림차순, 낮은 항부터 쓰는 것을 오름차순이라 한다.
학생
식을 왜 내림차순으로 정리해요?
쌤
맨 앞 항만 보면 식의 차수와 최고차항의 계수를 바로 알 수 있어요.
나눗셈의 「최고차항끼리 나누기」와 조립제법의 「계수를 차례로 쓰기」도 내림차순이 출발점이에요.
예3−x3+2x+5x23-x^3+2x+5x^2
내림차순: −x3+5x2+2x+3-x^3+5x^2+2x+3
오름차순: 3+2x+5x2−x33+2x+5x^2-x^3
내림차순으로 쓰면 계수가 차례로 −1, 5, 2, 3-1,\ 5,\ 2,\ 3 이 돼요.
항을 옮겨도 부호는 항에 붙어 따라가요.
성질빠진 차수의 계수
빠진 차수가 있으면 그 차수의 계수는 00 이다.
예를 들어 x4−3x2+1x^4-3x^2+1 의 계수를 차례로 쓰면 1, 0, −3, 0, 11,\ 0,\ -3,\ 0,\ 1 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1+4x−3x21+4x-3x^2 을 xx에 대한 내림차순으로 쓴 것은?
항을 옮기면서 부호 떼기
✗ 틀린 풀이
5x−2x2+15x-2x^2+1 의 내림차순은
2x2+5x+12x^2+5x+1
왜 틀렸나 항은 앞의 부호와 한 몸이므로, 자리를 옮겨도 −2x2-2x^2 의 부호는 그대로 함께 옮겨진다.
✓ 바른 풀이
5x−2x2+15x-2x^2+1 의 내림차순은
−2x2+5x+1-2x^2+5x+1
확인: x=1x=1 을 넣으면 처음 식은 5−2+1=45-2+1=4, 바른 식은 −2+5+1=4-2+5+1=4 로 같다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질거꾸로 보기
정리된 식에서 조건 읽기
정리된 식에서는 계수와 차수가 한눈에 보이므로, 거꾸로 「몇 차식인가」 같은 조건을 계수로 바꿀 수 있다.
(k−1)x2+3x+2(k-1)x^2+3x+2 가 xx에 대한 일차식이면 x2x^2 의 계수가 00 이어야 한다.
따라서 k=1k=1
이차식이면 x2x^2 의 계수가 00 이 아니어야 하므로 k−1≠0k-1\neq0 이다.
따라서 k≠1k\neq1
두 다항식이 같다는 것도 정리한 뒤 동류항의 계수가 각각 같다는 뜻이다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1다항식은 항(단항식)의 합이다. 항마다 부호를 포함한 계수와 문자 부분으로 나누어 본다.
  2. 2문자와 차수가 모두 같은 항(동류항)끼리만 계수를 더해 하나로 묶는다. 차수가 다르면 더할 수 없다.
  3. 3「xx에 대하여」 보면 xx만 문자이고 나머지 문자는 수처럼 계수에 들어간다. 계수·차수·상수항이 모두 기준 문자에 따라 달라진다.
  4. 4정리한 식은 한 문자에 대하여 내림차순으로 쓴다. 나눗셈·조립제법이 모두 이 꼴에서 시작한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 차수가 다른 항(x2x^2과 xx)을 동류항으로 착각해 계수를 더해요.
  • 여러 문자 식을 xx에 대하여 정리할 때 yy가 들어 있는 항을 상수항에서 빼먹어요.
  • 부호가 붙은 항을 옮기면서 부호를 떼어 버려요(−2x-2x를 2x2x로 옮겨 적어요).
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다항식 4x2−3x+5−x2+7x4x^2-3x+5-x^2+7x 를 정리하시오.
  2. 예제 2
    2xy2−x2+3y−4x2y+12xy^2-x^2+3y-4x^2y+1 을 xx에 대하여 내림차순으로 정리하시오.
  3. 예제 3
    다항식 x3y2−2x2y4+5xy−7x^3y^2-2x^2y^4+5xy-7 의 xx에 대한 차수와 yy에 대한 차수를 각각 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 다항식의 덧셈과 뺄셈 →다음 개념: 복소수의 뜻과 서로 같은 복소수 →다음 개념: 일차부등식 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 소수와 거듭제곱, 중1 일차식의 계산공통수학1 목차
다항식의 덧셈과 뺄셈 →
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