수학 개념 노트전체 과목

최대공약수와 최소공배수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
공약수는 최대공약수의 약수이고, 공배수는 최소공배수의 배수예요. 소인수분해하여 최대공약수는 공통인 소인수를 지수가 작은 쪽으로, 최소공배수는 모든 소인수를 지수가 큰 쪽으로 곱해 구해요.
  1. 1공약수와 최대공약수
  2. 2공배수와 최소공배수
  3. 3소인수분해를 이용하여 구하기
  4. 4두 수의 곱과 최대공약수·최소공배수
  5. 5활용의 기본
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1공약수와 최대공약수

1212 의 약수와 1818 의 약수
UAB
4, 124,\ 12
1, 2, 3, 61,\ 2,\ 3,\ 6
9, 189,\ 18
A 는 1212 의 약수, B 는 1818 의 약수예요. 겹친 부분이 공약수이고, 그중 가장 큰 66 이 최대공약수예요.
정의공약수와 최대공약수
두 개 이상의 자연수의 공통인 약수를 공약수라 하고, 공약수 중에서 가장 큰 수를 최대공약수 라 한다.
1212 와 1818 의 공약수 1,2,3,61, 2, 3, 6 은 모두 최대공약수 66 의 약수이다.
학생
공약수를 하나하나 다 찾아야 해요?
쌤
아니요, 최대공약수만 구하면 돼요. 공약수는 모두 최대공약수의 약수라서, 최대공약수의 약수를 적으면 그게 공약수 전부예요.
성질공약수와 최대공약수의 관계
두 개 이상의 자연수의 공약수는 그 수들의 최대공약수의 약수이다.
그래서 최대공약수만 구하면 공약수를 모두 알 수 있다.
예) 두 수의 최대공약수가 1818 이면 공약수는 1818 의 약수 1,2,3,6,9,181, 2, 3, 6, 9, 18
정의서로소
최대공약수가 11 인 두 자연수를 서로소 라 한다.
서로소인 두 수의 공약수는 11 하나뿐이다.
예) 88 과 1515 는 최대공약수가 11 이므로 서로소이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 서로소인 두 수는?
서로소는 「소수」가 아니다
✗ 틀린 풀이
88 과 1515 는 둘 다 소수가 아니므로 서로소가 아니다.
왜 틀렸나 서로소는 두 수의 최대공약수가 11 인 것이므로 각각이 소수인지와는 관계없다.
✓ 바른 풀이
88 과 1515 는 최대공약수가 11 이므로 서로소이다.
확인 방법: 88 의 약수 1, 2, 4, 81,\ 2,\ 4,\ 8 과 1515 의 약수 1, 3, 5, 151,\ 3,\ 5,\ 15 의 공약수는 11 뿐이다.
거꾸로 55 와 1515 는 최대공약수가 55 이므로 서로소가 아니다.

2공배수와 최소공배수

정의공배수와 최소공배수
두 개 이상의 자연수의 공통인 배수를 공배수라 하고, 공배수 중에서 가장 작은 수를 최소공배수 라 한다.
공배수는 끝없이 많으므로 「최대공배수」는 생각하지 않는다.
성질공배수와 최소공배수의 관계
두 개 이상의 자연수의 공배수는 그 수들의 최소공배수의 배수이다.
예) 44 와 66 의 공배수는 1212 의 배수 12,24,36,…12, 24, 36, \dots
서로소인 두 수의 최소공배수는 두 수의 곱이다.
예) 44 와 99 는 서로소이므로 최소공배수는 4×9=364\times9=36
학생
두 수를 곱하면 항상 최소공배수예요?
쌤
아니요, 공배수이긴 하지만 가장 작지는 않을 수 있어요. 4×6=244\times6=24 도 공배수이지만 최소공배수는 1212 예요. 두 수가 서로소일 때만 곱이 최소공배수예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
66 과 88 의 최소공배수는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

44 와 66 의 배수를 적어 봐요.
44 의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, …4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ \dots
66 의 배수: 6, 12, 18, 24, …6,\ 12,\ 18,\ 24,\ \dots
두 수에 공통인 배수는 12, 24, 36, …12,\ 24,\ 36,\ \dots 이고, 그중 가장 작은 수는 1212 이에요.

3소인수분해를 이용하여 구하기

수가 크면 약수·배수를 모두 적기 어려워요. 소인수분해하여 같은 소인수끼리 세로로 맞추어 적으면 빠르게 구할 수 있어요.

22×33×52^2\times3^3\times5 와 23×3×72^3\times3\times7
소인수22335577
첫째 수222^2333^355
둘째 수232^33377
최대공약수222^233
최소공배수232^3333^35577
같은 소인수끼리 세로로 맞춰요. 최대공약수 =22×3=12=2^2\times3=12 (공통인 소인수, 작은 지수), 최소공배수 =23×33×5×7=7560=2^3\times3^3\times5\times7=7560 (모든 소인수, 큰 지수)
공식구하는 규칙
최대공약수
공통인 소인수만, 지수는 작은 것\displaystyle \text{공통인 소인수만},\ \text{지수는 작은 것}
지수가 같으면 그대로 쓴다.
최소공배수
모든 소인수, 지수는 큰 것\displaystyle \text{모든 소인수},\ \text{지수는 큰 것}
공통이 아닌 소인수도 빠짐없이 곱한다.
학생
왜 최대공약수는 작은 지수, 최소공배수는 큰 지수예요?
쌤
최대공약수는 두 수를 모두 나누어야 하니 둘 다 가진 만큼, 곧 작은 지수까지만 가질 수 있어요. 최소공배수는 두 수로 모두 나누어떨어져야 하니 큰 지수만큼은 있어야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
23×32^3\times3 과 2×322\times3^2 의 최대공약수는?
최대공약수의 지수
✗ 틀린 풀이
22×33×52^2\times3^3\times5 와 23×3×72^3\times3\times7 의 최대공약수는
23×332^3\times3^3
왜 틀렸나 최대공약수는 공통인 소인수만 골라 지수가 같거나 작은 쪽을 택해 곱한다.
✓ 바른 풀이
22×33×52^2\times3^3\times5 와 23×3×72^3\times3\times7 의 최대공약수는
22×32^2\times3
확인 방법: 최대공약수 22×3=122^2\times3=12 로 두 수가 모두 나누어떨어지는지 확인한다.
최소공배수에서 빠뜨린 소인수
✗ 틀린 풀이
최소공배수 =23×33=2^3\times3^3
왜 틀렸나 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 골라 지수가 큰 쪽을 택해 곱한다.
✓ 바른 풀이
최소공배수 =23×33×5×7=2^3\times3^3\times5\times7
확인 방법: 최소공배수는 두 수로 모두 나누어떨어져야 하므로 55 와 77 이 들어 있어야 한다.
두 수를 그냥 곱한 수는 공배수이지만 가장 작은 공배수는 아니다.
나눗셈으로 구하기
1212 와 1818
21218
369
23
최대공약수=2×3=6\text{최대공약수}=2\times 3=6
  • ①두 수의 공약수(소수)로 나눠요: 22, 그다음 33
  • ②몫 22, 33 이 서로소가 되면 멈춰요.
  • 최대공약수왼쪽 수만 곱해요: 2×3=62\times3=6
  • 최소공배수왼쪽 수와 아래 몫을 모두 곱해요: 2×3×2×3=362\times3\times2\times3=36
⚠ 주의세 수의 최소공배수를 나눗셈으로 구할 때
세 수 중 두 수만 나누어떨어져도 계속 나누고, 나누어떨어지지 않는 수는 그대로 내려 써요.
최대공약수는 세 수를 모두 나누는 수만 곱하므로 4, 6, 94,\ 6,\ 9 의 최대공약수는 11 이에요.
4, 6, 94,\ 6,\ 9 의 최소공배수
2469
3239
213
최소공배수=2×3×2×1×3=36\text{최소공배수}=2\times 3\times 2\times 1\times 3=36
22 로 나눌 때 99 는, 33 으로 나눌 때 22 는 그대로 내려 써요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그럴까요?
최대공약수는 두 수를 모두 나누어야 하므로 두 수에 공통으로 있는 만큼만 가질 수 있어요. 그래서 지수가 작은 쪽을 골라요.
최소공배수는 두 수로 모두 나누어떨어져야 하므로 두 수의 소인수를 모두 품어야 해요. 그래서 지수가 큰 쪽을 골라요.

4두 수의 곱과 최대공약수·최소공배수

성질두 수의 곱 == 최대공약수 ×\times 최소공배수
두 자연수 AA, BB 의 최대공약수를 GG, 최소공배수를 LL 이라 하면A×B=G×LA\times B=G\times L예) 12=2×612=2\times6, 18=3×618=3\times6 이므로 G=6G=6
L=2×3×6=36L=2\times3\times6=36
12×18=216=6×3612\times18=216=6\times36 ✓
학생
세 수에서도 곱이 최대공약수와 최소공배수의 곱과 같아요?
쌤
아니요, 두 수일 때만 성립해요. 2, 4, 82,\ 4,\ 8 은 곱이 6464 인데 최대공약수 22 와 최소공배수 88 의 곱은 1616 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 자연수의 곱이 9696 이고 최대공약수가 44 일 때, 최소공배수는?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제틀리기 쉬운 곳

왜 그런가요? 두 자연수 AA, BB 의 최대공약수를 GG 라 하면 A=a×GA=a\times G, B=b×GB=b\times G 로 나타낼 수 있어요. GG 가 공통인 것을 모두 가져갔으므로 aa 와 bb 는 서로소예요.
서로소인 aa, bb 에는 겹치는 소인수가 없으므로, AA 와 BB 의 소인수를 모두 품는 가장 작은 수는 L=a×b×GL=a\times b\times G 예요.

A×BA\times B 를 GG 와 LL 로
A×B=(a×G)×(b×G)A\times B=(a\times G)\times(b\times G)
↳A, BA,\ B 를 바꿔 써요
=G×(a×b×G)=G\times(a\times b\times G)
↳GG 하나를 앞으로
=G×L=G\times L
↳괄호 안이 LL
⚠ 주의검산
최대공약수는 두 수를 모두 나누는지, 최소공배수는 두 수로 모두 나누어떨어지는지 확인해요.
36÷12=336\div12=3
36÷18=236\div18=2
두 수의 곱과 G×LG\times L 이 같은지도 확인해요.

5활용의 기본

공식문장에서 찾는 말
최대공약수
「똑같이 나누어」, 「가능한 한 많이」, 「가장 큰 정사각형」\displaystyle \text{「똑같이 나누어」, 「가능한 한 많이」, 「가장 큰 정사각형」}
여러 수를 모두 나누는 가장 큰 수를 찾는 문제이다.
최소공배수
「동시에 다시」, 「처음으로 함께」, 「가장 작은 정사각형」\displaystyle \text{「동시에 다시」, 「처음으로 함께」, 「가장 작은 정사각형」}
여러 수의 공통인 배수 중 가장 작은 수를 찾는 문제이다.
예최대공약수의 활용
사과 3636 개와 배 4848 개를 가능한 한 많은 학생에게 남김없이 똑같이 나누어 주려고 해요.
학생 수는 3636 과 4848 을 모두 나누는 가장 큰 수예요.
3636 과 4848 의 최대공약수는 1212
따라서 1212 명에게 사과 33 개, 배 44 개씩 나누어 줘요.
예최소공배수의 활용
버스 A 는 1212 분, 버스 B 는 1818 분 간격으로 출발해요. 오전 99 시에 동시에 출발했어요.
다시 동시에 출발하는 시각은 1212 와 1818 의 공배수만큼 지난 때예요.
처음은 최소공배수 3636 분 뒤예요.
따라서 오전 99 시 3636 분
학생
두 가지를 헷갈리지 않는 방법이 있어요?
쌤
주어진 수를 잘게 나누는 상황이면 최대공약수, 여러 번 이어 붙여 커지는 상황이면 최소공배수예요. 답이 주어진 수보다 작거나 같으면 최대공약수, 크거나 같으면 최소공배수인지 확인해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
가로 1212 cm, 세로 1818 cm 인 직사각형 종이를 남김없이 똑같은 정사각형으로 자를 때, 가장 큰 정사각형의 한 변의 길이는?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1두 개 이상의 자연수의 공통인 약수가 공약수, 그중 가장 큰 수가 최대공약수이다. 공약수는 모두 최대공약수의 약수이다.
  2. 2최대공약수가 11 인 두 자연수를 서로소라 한다.
  3. 3두 개 이상의 자연수의 공통인 배수가 공배수, 그중 가장 작은 수가 최소공배수이다. 공배수는 모두 최소공배수의 배수이다.
  4. 4소인수분해하면 최대공약수는 공통인 소인수를 지수가 작은(같으면 그대로) 쪽으로, 최소공배수는 공통인 소인수와 공통이 아닌 소인수를 모두 지수가 큰 쪽으로 곱한다. 두 수의 곱 == 최대공약수 ×\times 최소공배수이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 최대공약수를 구할 때 지수가 큰 쪽을 고르거나, 최소공배수를 구할 때 공통이 아닌 소인수를 빠뜨려요.
  • 서로소를 「두 수가 모두 소수」라고 생각해요(88 과 1515 는 서로소예요).
  • 세 수의 최소공배수를 나눗셈으로 구할 때 세 수가 모두 나누어떨어지지 않는다고 멈춰요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    두 수 23×32×52^3\times3^2\times5, 22×33×72^2\times3^3\times7 의 최대공약수와 최소공배수를 소인수의 거듭제곱의 곱으로 나타내시오.
  2. 예제 2
    세 수 3636, 4848, 6060 의 최대공약수와 최소공배수를 구하시오.
  3. 예제 3
    두 자연수의 곱이 432432 이고 최대공약수가 66 일 때, 두 수의 최소공배수를 구하시오.

다음 공부

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