일차방정식
STEP 1
개념 읽기
번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.
이 개념에서 배울 것
등식·방정식·항등식과 해의 뜻을 알고, 등식의 성질에서 나온 이항을 이용하여 일차방정식을 풀어요. 괄호나 소수·분수 계수가 있으면 먼저 정리해요.
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어
1등식, 방정식, 항등식
정의등식과 방정식
등식: 등호 를 사용하여 두 수나 식이 같음을 나타낸 식
등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽을 우변, 좌변과 우변을 함께 양변이라 한다.
방정식: 문자 의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
이때 처럼 값을 모르는 수를 나타내는 문자를 미지수라 한다.
방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라 하고, 해를 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.
등호의 왼쪽을 좌변, 오른쪽을 우변, 좌변과 우변을 함께 양변이라 한다.
방정식: 문자 의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식
이때 처럼 값을 모르는 수를 나타내는 문자를 미지수라 한다.
방정식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 그 방정식의 해 또는 근이라 하고, 해를 구하는 것을 방정식을 푼다고 한다.
정의항등식
미지수에 어떤 값을 넣어도 항상 참이 되는 등식을 항등식이라 한다.
예:
좌변을 정리하면 우변과 똑같은 식이 된다.
예:
좌변을 정리하면 우변과 똑같은 식이 된다.
공식식을 구별하기
등식이 아님
등호가 없다.
방정식
일 때만 참이다.
항등식
좌변을 정리하면 우변과 같다.
거짓인 등식
등호가 있으므로 등식이다. 참·거짓과 관계없다.
학생
에 수 하나를 넣어서 참이면 항등식이에요?
쌤
아니요. 한두 값에서 참인 것만으로는 몰라요. 는 일 때 참이지만 이면 거짓이라 방정식이에요. 항등식은 모든 값에서 참이어야 하니 양변을 정리해 똑같은지 봐요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 항등식은?
성질항등식인지 알아보는 방법
좌변과 우변을 각각 정리하여 두 식이 완전히 같으면 항등식이다.
「모든 에 대하여 성립한다」, 「 의 값에 관계없이 항상 성립한다」는 말은 항등식이라는 뜻이다.
거꾸로 쓰는 방향: 가 항등식이면 양변의 의 계수와 상수항이 각각 같아야 한다.
따라서 ,
「모든 에 대하여 성립한다」, 「 의 값에 관계없이 항상 성립한다」는 말은 항등식이라는 뜻이다.
거꾸로 쓰는 방향: 가 항등식이면 양변의 의 계수와 상수항이 각각 같아야 한다.
따라서 ,
자세히 보기펼치기왜 그런지
등식 에 의 값을 넣어 봐요.
이면 좌변은 이므로 거짓이에요.
이면 좌변은 이므로 참이에요.
이처럼 의 값에 따라 참·거짓이 바뀌므로 은 방정식이고, 이 그 해예요.
2등식의 성질
양팔 저울이 평형을 이룰 때, 양쪽에 같은 무게를 올리거나 내려도 평형은 유지돼요.
양쪽 무게를 똑같이 배로 하거나 똑같이 반으로 나누어도 평형이에요.
등식도 이와 같아요.
성질등식의 성질 ( 일 때)
① 양변에 같은 수를 더해도 등식은 성립한다.
② 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
③ 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
④ 양변을 이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
(단, )
② 양변에서 같은 수를 빼도 등식은 성립한다.
③ 양변에 같은 수를 곱해도 등식은 성립한다.
④ 양변을 이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
(단, )
학생
곱할 때는 도 되는데 나눌 때는 왜 이 안 돼요?
쌤
양변에 을 곱하면 둘 다 이 되어 등식은 그대로 성립해요. 하지만 으로 나누는 계산은 아예 할 수 없어서 ④에만 조건이 붙어요.
등식의 성질로 풀기
↓ ① 양변에 를 더해요
↓ 정리해요
↓ ④ 양변을 으로 나눠요
↓ 해를 구했어요
양쪽에 똑같이 하면 저울은 계속 평형이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
일 때 옳은 것은?
곱셈을 거꾸로 쓸 때
✗ 틀린 풀이
이면 이다.
왜 틀렸나 등식의 양변을 같은 수로 나눌 때는 으로 나눌 수 없으므로 이어야 한다.
✓ 바른 풀이
이고 이면 이다.
확인 방법: 이면 은 참이지만 이므로 조건 이 꼭 필요하다.
자세히 보기펼치기왜 그런지
부등식에서는 음수를 곱하거나 나눌 때 다른 점이 생겨요.
3이항과 일차방정식
양변에 를 더한 결과만 보면
↳◀좌변의 가
↳◀부호가 바뀌어 우변으로
항이 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮겨 간 것과 같아요.
정의이항
등식의 성질을 이용하여 등식의 한 변에 있는 항을 그 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라 한다.
이면
이면
이면
이면
학생
이항은 등식의 성질이랑 다른 거예요?
쌤
같은 거예요. 양변에 를 더한 결과만 보면 가 부호를 바꿔 반대편으로 옮겨 간 것처럼 보여요. 그래서 이항할 때는 꼭 부호를 바꿔요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
에서 을 이항하면?
이항할 때 부호
✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 이항하면 부호가 바뀌므로 좌변의 를 우변으로 옮기면 가 된다.
✓ 바른 풀이
확인 방법: 이항은 양변에서 를 빼는 것과 같다.
구한 해 를 처음 식에 넣으면 이다.
구한 해 를 처음 식에 넣으면 이다.
정의일차방정식
방정식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리했을 때
꼴이 되는 방정식을 에 대한 일차방정식이라 한다.
꼴이 되는 방정식을 에 대한 일차방정식이라 한다.
예일차방정식인지 판별하기
을 정리하면 이므로 일차방정식이에요.
이 있어도 정리하면 없어질 수 있으므로 반드시 정리한 뒤 판단해요.
을 정리하면 이므로 일차방정식이 아니에요.
이 있어도 정리하면 없어질 수 있으므로 반드시 정리한 뒤 판단해요.
을 정리하면 이므로 일차방정식이 아니에요.
4일차방정식의 풀이
일차방정식을 푸는 순서
- 1괄호가 있으면 분배법칙으로 괄호를 풀어요.
- 2양변의 모든 항에 곱해야 해요.
- 3항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항해요.
- 4양변을 정리하여 () 꼴로 만들어요.
- 5양변을 의 계수 로 나눠요.
- 6구한 해를 처음 방정식에 대입하여 확인해요.검산
학생
계수가 분수이면 왜 분모의 최소공배수를 곱해요?
쌤
분모를 한 번에 모두 없애서 계수를 정수로 만들려고요. 공배수라면 무엇이든 되지만, 최소공배수를 곱해야 수가 가장 작아 계산이 쉬워요.
괄호가 있을 때
↳◀괄호를 풀어요
↳◀이항해요
↳◀검산: 좌변 , 우변
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
의 해는?
소수 계수에 을 곱할 때
✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 양변에 을 곱할 때는 양변의 모든 항에 곱해야 하므로 도 이 된다.
✓ 바른 풀이
확인 방법: 바른 식을 풀면 , 이고, 처음 식에 넣으면 양변이 모두 이다.
예계수가 분수일 때
양변에 분모 , 의 최소공배수 을 곱하면
따라서
분모를 없앨 때 우변
✗ 틀린 풀이
왜 틀렸나 분모를 없애려고 양변에 을 곱할 때는 우변의 에도 을 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
확인 방법: 을 처음 식에 넣으면 좌변이 로 우변과 같다.
자세히 보기펼치기예제 3
계수가 소수일 때
↳◀양변의 모든 항에 을 곱해요
↳◀이항해요
자리 수가 다를 때
↳◀가장 긴 자리에 맞춰
↳◀이항해요
소수와 분수가 섞여 있을 때
↳◀ 로 바꿔요
↳◀양변에 을 곱해요
5해가 주어질 때 상수 구하기
가 방정식의 해라는 것은 를 대입하면 등식이 참이 된다는 뜻이에요.
따라서 해를 대입하면 상수에 대한 방정식이 생겨요.
의 해가 일 때 상수
↳◀ 를 대입해요
학생
구한 가 맞는지는 어떻게 확인해요?
쌤
를 넣은 방정식 를 직접 풀어 봐요. 에서 가 나오면 맞아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
이 의 해일 때, 상수 의 값은?
해를 대입할 자리
✗ 틀린 풀이
로 놓고 를 푼다.
왜 틀렸나 해는 미지수 의 값이므로 를 방정식에 대입한 뒤 상수 의 값을 구한다.
✓ 바른 풀이
를 대입하여 을 푼다.
확인 방법: 구한 를 넣은 방정식에 를 대입하여 등식이 성립하는지 본다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
- 1등호 를 사용하여 나타낸 식을 등식이라 한다. 의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 방정식, 참이 되게 하는 의 값을 해(근)라 한다. 에 어떤 값을 넣어도 참인 등식은 항등식이다.
- 2등식의 양변에 같은 수를 더하거나 빼거나 곱하거나, 이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.
- 3등식의 한 변의 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것을 이항이라 한다.
- 4일차방정식은 괄호 풀기 → 계수를 정수로 → 이항하여 꼴로 → 양변을 로 나누기의 순서로 푼다. 마지막에 해를 처음 식에 넣어 확인한다.
✗ 자주 하는 실수
- 이항할 때 부호를 바꾸지 않아요( 에서 ).
- 계수가 분수나 소수일 때 양변에 수를 곱하면서 일부 항(특히 우변의 상수항)에는 곱하지 않아요.
- 분모를 없앤 뒤 를 로 풀어 부호가 틀려요.
STEP 2
예제로 익히기
풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.
- 예제 1일차방정식 을 푸시오.
- 예제 2일차방정식 을 푸시오.
- 예제 3에 대한 일차방정식 의 해가 일 때, 상수 의 값을 구하시오.