공식이 보이지 않으면 인수정리를 써요. 상수항의 약수(최고차항 계수가 1 이 아니면 ±(최고차항계수의약수)(상수항의약수))를 대입하여 f(α)=0 인 α 를 찾고, 조립제법으로 x−α 로 나누어 차수를 낮춰요. 실근의 개수만 알고 싶을 때는 미분으로 그래프를 그려서 판단할 수도 있어요.
(x−1)(x2+2x+3)=0 x2+2x+3=0 은 판별식이 4−12=−8<0 이므로 허근을 가져요. 따라서 x=1 또는 x=−1±2i
최고차항 계수가 2 인 경우
2x3−3x2−11x+6=0
−2
2
−3
−11
6
−4
14
−6
2
−7
3
0
몫2x2−7x+3나머지0
f(−2)=−16−12+22+6=0 이므로 x+2 가 인수예요. (x+2)(2x2−7x+3)=0 (x+2)(2x−1)(x−3)=0 따라서 x=−2 또는 x=21 또는 x=3
사차방정식도 같아요. 인수를 하나 찾아 삼차식으로 낮추고, 다시 인수를 찾아 이차식으로 낮춰요. 예) x4−2x3−3x2+8x−4=0 은 조립제법을 1 로 두 번 쓰면 (x−1)2(x+2)(x−2)=0 따라서 x=1 (중근) 또는 x=±2
2치환을 이용한 사차방정식
성질공통부분이 있을 때
같은 덩어리가 되풀이되면 그 덩어리를 한 문자로 놓아 차수를 낮춘다. 구한 값은 덩어리의 값이므로 반드시 원래 식에 되돌려 x 에 대한 방정식을 다시 푼다.
(x2+x)2−8(x2+x)+12=0
X2−8X+12=0
↳◀x2+x=X 로 놓아요
(X−2)(X−6)=0
X=2:x2+x−2=0⇒x=−2,1
↳◀되돌려 풀어요
X=6:x2+x−6=0⇒x=−3,2
↳◀되돌려 풀어요
답: x=−3,−2,1,2
학생
구한 X 의 값이 바로 답이에요?
쌤
아니에요. X 는 덩어리의 값이에요. x2+x=2 처럼 원래 식으로 되돌려 x 를 다시 구해야 해요.
성질복이차방정식 ax4+bx2+c=0
x2 만 들어 있으므로 x2=X 로 놓으면 X 에 대한 이차방정식 aX2+bX+c=0 이 된다. 예) x4−5x2+4=0 X2−5X+4=0 (X−1)(X−4)=0 x2=1 또는 x2=4 따라서 x=±1 또는 x=±2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x4−10x2+9=0 의 근은?
치환을 되돌리지 않기
✗ 틀린 풀이
x4−5x2+4=0 의 근은 1,4
왜 틀렸나X=x2 으로 치환하여 구한 값은 X 의 값이므로 x2=X 로 되돌려 다시 풀어야 한다.
↓
✓ 바른 풀이
x2=1 또는 x2=4 이므로 근은 ±1,±2
확인: x=±1,±2 를 넣으면 x4−5x2+4 가 모두 0 이 된다.
+자세히 보기펼치기접기성질 더 보기예제
성질일차식 네 개의 곱
짝을 지어 공통부분 만들기
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=24 에서 상수항의 합이 같도록 1+4=2+3 으로 짝짓는다. (x+1)(x+4)=x2+5x+4 (x+2)(x+3)=x2+5x+6 x2+5x=X 로 놓으면 (X+4)(X+6)=24 정리하면 X2+10X=0 X(X+10)=0 X=0 이면 x2+5x=0 에서 x=0 또는 x=−5 X=−10 이면 x2+5x+10=0 에서 x=2−5±15i
계수가 바뀐 꼴
2x4−7x2−4=0
2X2−7X−4=0
↳◀x2=X 로 놓아요
(2X+1)(X−4)=0
x2=4⇒x=±2
x2=−21⇒x=±22i
X 가 음수여도 버리지 않아요. 복소수 범위에서는 허근이 돼요.
성질X 로 인수분해되지 않을 때
A2−B2 꼴로
x4+x2+1=0 은 X2+X+1 이 유리수 범위에서 인수분해되지 않는다. x2 을 더하고 빼서 완전제곱식을 만든다. x4+x2+1=(x4+2x2+1)−x2=(x2+1)2−x2 합차 공식으로 (x2+x+1)(x2−x+1)=0 x2+x+1=0 에서 x=2−1±3i x2−x+1=0 에서 x=21±3i
3복이차방정식의 근의 판별
x4+ax2+b=0 은 x2=t 로 놓으면 t2+at+b=0 이 돼요. 이때 t 의 값 하나에서 x 의 값이 두 개씩 나오므로, t 의 근의 부호를 보면 x 의 근의 종류를 알 수 있어요.
성질x2=t 의 부호와 x 의 근
t>0 이면 x=±t 로 서로 다른 두 실근이다. t=0 이면 x=0 이고 중근이다. t<0 이면 x=±−ti 로 서로 다른 두 허근이다. t 가 허수이면 x 도 허수이다.
공식t2+at+b=0 의 두 근과 x4+ax2+b=0 의 근 (D=a2−4b)
D>0,−a>0,b>0
서로다른네실근
t 가 서로 다른 두 양수 근을 가진다.
b<0
서로다른두실근과서로다른두허근
t 의 두 근의 부호가 다르다.
D<0
네근이모두허근
t 가 두 음수 근을 가질 때도 네 근이 모두 허근이다.
학생
t 에 대한 판별식이 D>0 이면 서로 다른 네 실근 아니에요?
쌤
D>0 은 t 가 서로 다른 두 실수라는 뜻일 뿐이에요. t 가 음수이면 x2=t 에서 허근이 나오니까, 두 근이 모두 양수인지도 따져야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x4−3x2−4=0 의 서로 다른 실근의 개수는?
+자세히 보기펼치기접기왜 그런지예제
두 근이 모두 양수일 조건은 근과 계수의 관계로 세워요. 판별식 D>0, 두 근의 합 >0, 두 근의 곱 >0 을 모두 만족해야 해요.
ax4+bx3+cx2+bx+a=0 처럼 가운데 항을 기준으로 계수가 좌우 대칭인 방정식을 상반방정식이라 한다. a=0 이면 x=0 은 근이 아니다(대입하면 a=0).
학생
계수가 1,−5,8,−5,1 처럼 좌우 대칭이면 어떻게 풀어요?
쌤
x=0 은 근이 아니니까 양변을 x2 으로 나눠요. 그러면 x+x1=t 에 대한 이차방정식이 돼요.
x4−5x3+8x2−5x+1=0
x2−5x+8−x5+x21=0
↳◀x2 으로 나눠요
(x2+x21)−5(x+x1)+8=0
↳◀짝지어 묶어요
t2−2−5t+8=0⇒(t−2)(t−3)=0
↳◀x+x1=t
t=2:x2−2x+1=0⇒x=1
↳◀중근
t=3:x2−3x+1=0⇒x=23±5
x2+x21=t2−2 의 −2 를 빠뜨리지 않아요. t 도 반드시 x 로 되돌려요. 검산: (x2−2x+1)(x2−3x+1)=x4−5x3+8x2−5x+1 ✓
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x+x1=t 일 때 x2+x21 을 t 로 나타내면?
x2+x21 을 t 로 나타내기
✗ 틀린 풀이
x2+x21=t2
왜 틀렸나(x+x1)2 을 전개하면 가운데 항 2 가 생기므로 t2 에서 2 를 빼야 한다.
↓
✓ 바른 풀이
x2+x21=t2−2
확인: x=1 이면 t=2 이고 x2+x21=2=t2−2 이다.
+자세히 보기펼치기접기왜 그런지
x=0 이므로 양변을 x2 으로 나눌 수 있어요. 그러면 x 와 x1 이 짝을 이뤄요. ax4+bx3+cx2+bx+a=0 의 양변을 x2 으로 나누고 같은 계수끼리 묶으면a(x2+x21)+b(x+x1)+c=0여기서 곱셈공식의 변형 x2+x21=(x+x1)2−2 를 쓰고 x+x1=t 로 놓으면 t 에 대한 이차방정식이 돼요.
5근이 주어질 때 미정계수 구하기
성질근의 뜻
x=α 가 방정식 f(x)=0 의 근이면 f(α)=0 이다. 따라서 근을 방정식에 대입하면 미정계수에 대한 등식이 생긴다. 인수정리로 보면 x−α 가 f(x) 의 인수이므로, 조립제법으로 나누어 나머지 근도 구할 수 있다.
x3−2x2+ax+6=0 의 한 근이 3 일 때 a 와 나머지 두 근
27−18+3a+6=0⇒a=−5
↳◀x=3 을 대입
x3−2x2−5x+6=(x−3)(x2+x−2)
↳◀아래 조립제법
(x+2)(x−1)=0⇒x=−2,1
↳◀나머지 두 근
학생
나머지 근을 구할 때 조립제법은 어떤 수로 해요?
쌤
주어진 근 α 로 해요. x−α 가 인수라서 나누어떨어지고, 몫인 이차식에서 나머지 두 근이 나와요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x3+ax2−4=0 의 한 근이 2 일 때 a 의 값은?
x3−2x2−5x+6 을 x−3 으로 나누기
3
1
−2
−5
6
3
3
−6
1
1
−2
0
몫x2+x−2나머지0
나머지가 0 이므로 3 이 근이 맞아요(검산). 몫은 x2+x−2+자세히 보기펼치기접기성질 더 보기
성질계수가 실수일 때 허근은 켤레로
계수가 모두 실수인 삼차방정식·사차방정식에서 p+qi (p,q 는 실수, q=0) 가 근이면 켤레복소수 p−qi 도 근이다. 이차방정식의 켤레근 성질과 같은 이유이다. 예) x3+ax2+bx−4=0 (a,b 는 실수)의 한 근이 1+i 이면 1−i 도 근이다. 나머지 한 근을 γ 라 하면 세 근의 곱은 −1−4=4 이다. (1+i)(1−i)γ=2γ=4 따라서 γ=2 a=−{(1+i)+(1−i)+2}=−4 b=(1+i)(1−i)+2(1+i)+2(1−i)=6 검산: (x−2)(x2−2x+2)=x3−4x2+6x−4 ✓
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2이차방정식과 같은 부호
α+β+γ=□ab
단계 1 / 2
αβ+βγ+γα=a□
단계 1 / 2부호는 −,+,−
αβγ=□ad
공식이차방정식과 나란히 비교
이차 ax2+bx+c=0
α+β=−ab,αβ=ac
부호 −,+
삼차 ax3+bx2+cx+d=0
α+β+γ=−ab,αβ+βγ+γα=ac,αβγ=−ad
부호 −,+,− 차수가 높은 계수부터 차례로 a 로 나누고 부호를 번갈아 붙인다.
검산
x3−2x2−5x+6=0 의 세 근 1,−2,3
1+(−2)+3=2=−1−2
↳◀세 근의 합 ✓
−2−6+3=−5=1−5
↳◀두 개씩 곱의 합 ✓
1⋅(−2)⋅3=−6=−16
↳◀세 근의 곱 ✓
2x3−3x2−11x+6=0 의 세 근 −2,21,3 에서도 합 23=−2−3, 두 개씩 곱의 합 −211, 곱 −3=−26 으로 맞아요.
성질세 근으로 된 식의 값
근을 직접 구하지 않고 합·두 개씩 곱의 합·곱만으로 나타낸다. α2+β2+γ2=(α+β+γ)2−2(αβ+βγ+γα) α1+β1+γ1=αβγαβ+βγ+γα x3 의 계수가 1 이면 f(x)=(x−α)(x−β)(x−γ) 이므로 (1−α)(1−β)(1−γ)=f(1) 예) x3−2x2+3x−4=0 의 세 근에 대하여 α+β+γ=2 αβ+βγ+γα=3 αβγ=4 따라서 α2+β2+γ2=22−2⋅3=−2 α1+β1+γ1=43 (1−α)(1−β)(1−γ)=f(1)=1−2+3−4=−2
7방정식 x3=1 의 허근 ω
x3=1 을 풀어 봐요
x3−1=0
↳◀이항
(x−1)(x2+x+1)=0
↳◀세제곱의 차
x=1또는x=2−1±3i
↳◀근의 공식
정의ω (오메가)
방정식 x3=1 의 두 허근 중 하나를 ω 라 한다. 나머지 허근은 ω 의 켤레복소수 ω 이다.
공식ω 의 성질
세제곱
ω3=1
ω 가 x3=1 의 근이기 때문이다.
이차식
ω2+ω+1=0
ω=1 이므로 ω 는 x2+x+1=0 의 근이다.
켤레
ω=ω2=ω1
아래에서 이유를 보인다.
합과 곱
ω+ω=−1,ωω=1
x2+x+1=0 의 두 근 ω,ω 에 근과 계수의 관계를 쓴 것.
학생
x3=1 의 허근 ω 는 왜 따로 배워요?
쌤
ω3=1, ω2+ω+1=0 이라는 두 성질로 복잡한 식이 아주 간단해지거든요. 지수가 커도 3 으로 나눈 나머지만 보면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
ω 가 x3=1 의 한 허근일 때 ω2+ω 의 값은?
정리하면 ω 를 포함한 식은 ω3=1 로 차수를 2 이하로 낮추고, ω2+ω+1=0을 써서 간단히 해요. 이때 ω2=−ω−1 처럼 바꾸어 넣어도 돼요.
ω+ω 의 값
✗ 틀린 풀이
ω+ω=1
왜 틀렸나ω 와 ω 는 x2+x+1=0 의 두 근이므로 합은 −11=−1 이다.
↓
✓ 바른 풀이
ω+ω=−1
x3=1 이면 (x−1)(x2+x+1)=0 이다. ω 가 어느 식의 근인지부터 확인한다.
+자세히 보기펼치기접기성질 더 보기그림공식 더 보기
성질왜 ω=ω2 인가
ωω=1 이므로 ω=ω1 분자·분모에 ω2 을 곱하면 ω1=ω3ω2 ω3=1 이므로 ω3ω2=ω2 따라서 ω=ω2
성질거듭제곱은 3 개씩 되풀이된다
ω3=1 이므로 지수를 3 으로 나눈 나머지만 보면 된다(i 의 거듭제곱이 4 개씩 되풀이되는 것과 같은 원리). ω4=ω3⋅ω=ω ω5=ω2 ω6=1 예) ω10+ω5+1=ω+ω2+1=0 예) 1+ω=−ω2 이므로 1+ωω=−ω2ω=−ω1=−ω2