수학 개념 노트전체 과목

이차함수의 최대·최소

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
이차함수 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 는 실수 전체에서 꼭짓점 x=px=p 에서 최댓값 또는 최솟값 qq 를 가져요. xx 의 값의 범위가 α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 로 제한되면 꼭짓점의 xx 좌표가 범위 안에 있는지 확인하고, 꼭짓점과 양 끝의 함숫값을 비교해요.
  1. 1실수 전체에서의 최대·최소
  2. 2제한된 범위 α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 에서의 최대·최소
  3. 3최대·최소의 활용
  4. 4나란히 비교하기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1실수 전체에서의 최대·최소

정의최댓값과 최솟값
함수에서 함숫값 중 가장 큰 값을 최댓값, 가장 작은 값을 최솟값이라 한다.
xx 의 값의 범위가 특별히 주어지지 않으면 xx 는 실수 전체의 값을 가진다.
성질y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 의 최대·최소
a>0a>0 이면 x=px=p 에서 최솟값 qq 를 갖고, 최댓값은 없다.
a<0a<0 이면 x=px=p 에서 최댓값 qq 를 갖고, 최솟값은 없다.

a>0a>0 이면 그래프의 가장 낮은 점인 꼭짓점에서 최솟값을 가져요.

학생
왜 꼭짓점에서 가장 작아요?
쌤
(x−p)2≥0(x-p)^2\ge0 이고 x=px=p 일 때만 00 이라서, a>0a>0 이면 y≥qy\ge q 예요.
반대쪽은 한없이 커지니까 최댓값은 없어요.
최댓값·최솟값 구하는 순서
y=2x2−8x+5y=2x^2-8x+5
y=2(x2−4x)+5y=2(x^2-4x)+5
↳x2, xx^2,\ x 항을 묶어요
=2(x2−4x+4)−8+5=2(x^2-4x+4)-8+5
↳밖에서 2×42\times4 를 빼요
=2(x−2)2−3=2(x-2)^2-3
↳완전제곱식
2>02>0 이므로 아래로 볼록이에요. x=2x=2 에서 최솟값 −3-3, 최댓값은 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=x2+2x−3y=x^2+2x-3 의 최솟값은?
음수로 묶을 때
y=−x2+6x−4y=-x^2+6x-4
✗ 틀린 풀이
y=−(x2−6x+9)−9−4y=-(x^2-6x+9)-9-4
=−(x−3)2−13=-(x-3)^2-13
왜 틀렸나 −1-1 로 묶은 괄호 안에 99 를 더하면 실제로는 −9-9 가 더해진 것이므로 밖에서 99 를 더한다.
✓ 바른 풀이
y=−(x2−6x+9)+9−4y=-(x^2-6x+9)+9-4
=−(x−3)2+5=-(x-3)^2+5
검산: x=0x=0 을 넣으면 처음 식은 −4-4, 바른 식은 −9+5=−4-9+5=-4 로 같다.
최댓값인지 최솟값인지
✗ 틀린 풀이
y=−(x−3)2+5y=-(x-3)^2+5 의
최솟값은 55
왜 틀렸나 이차항의 계수가 음수이면 위로 볼록이므로 꼭짓점의 yy 좌표는 최댓값이다.
✓ 바른 풀이
y=−(x−3)2+5y=-(x-3)^2+5 의
최댓값은 55, 최솟값은 없다.
이차항의 계수의 부호를 먼저 봐요. 위로 볼록이면 꼭짓점이 가장 높은 점이에요.
또 최솟값·최댓값은 yy 의 값이에요. 그때의 xx 의 값 33 과 구별해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지공식 더 보기예제 3

왜 그런가: 포물선 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 에서 (x−p)2≥0(x-p)^2\ge0 이고, 등호는 x=px=p 일 때만 성립해요.
a>0a>0 이면 a(x−p)2≥0a(x-p)^2\ge0 이므로 y≥qy\ge q 이에요. 따라서 x=px=p 에서 최솟값 qq 를 가져요. yy 는 한없이 커질 수 있으므로 최댓값은 없어요.
a<0a<0 이면 a(x−p)2≤0a(x-p)^2\le0 이므로 y≤qy\le q 이에요. 따라서 x=px=p 에서 최댓값 qq 를 갖고 최솟값은 없어요.

공식y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4ay=ax^2+bx+c=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}
a>0a>0
x=−b2a 에서 최솟값 −b2−4ac4a\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\ \text{에서 최솟값}\ -\frac{b^2-4ac}{4a}
최댓값은 없다.
a<0a<0
x=−b2a 에서 최댓값 −b2−4ac4a\displaystyle x=-\frac{b}{2a}\ \text{에서 최댓값}\ -\frac{b^2-4ac}{4a}
최솟값은 없다.
이차항의 계수가 음수인 분수일 때
y=−12x2+2x+1y=-\frac12x^2+2x+1
y=−12(x2−4x)+1y=-\frac12(x^2-4x)+1
↳−12-\frac12 로 묶어요
=−12(x2−4x+4)+2+1=-\frac12(x^2-4x+4)+2+1
↳−12×4=−2-\frac12\times4=-2 를 되돌려요
=−12(x−2)2+3=-\frac12(x-2)^2+3
↳완전제곱식
이차항의 계수가 음수이므로 x=2x=2 에서 최댓값 33 을 갖고, 최솟값은 없어요.
거꾸로
y=x2−4x+ky=x^2-4x+k 의 최솟값이 33
y=(x−2)2+k−4y=(x-2)^2+k-4
↳완전제곱식
k−4=3k-4=3
↳최솟값이 33
k=7k=7
최댓값·최솟값이 주어지면 미정계수를 구할 수 있어요.
최댓값과 그때의 xx 로 식 세우기
y=a(x−1)2+3y=a(x-1)^2+3
↳꼭짓점 (1, 3)(1,\ 3)
1=a+3 ⇒ a=−21=a+3\ \Rightarrow\ a=-2
↳(0, 1)(0,\ 1) 을 넣어요
y=−2(x−1)2+3=−2x2+4x+1y=-2(x-1)^2+3=-2x^2+4x+1
x=1x=1 에서 최댓값 33 을 갖고 점 (0, 1)(0,\ 1) 을 지나는 이차함수예요.
a=−2<0a=-2<0 이므로 정말로 최댓값을 가져요 ✓

2제한된 범위 α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 에서의 최대·최소

xx 의 값의 범위가 α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 로 제한되면 그래프도 그 부분만 남아요.
가장 높은 점과 가장 낮은 점은 꼭짓점 또는 범위의 양 끝에서 나와요.

학생
꼭짓점이 범위 밖에 있으면요?
쌤
그때는 꼭짓점의 값이 나오지 않아요.
범위의 양 끝의 함숫값만 비교해요.
꼭짓점이 범위 안
y=x2−4x+5 (0≤x≤3)y=x^2-4x+5\ (0\le x\le3)
y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1
↳꼭짓점 x=2x=2 는 범위 안
f(0)=5, f(2)=1, f(3)=2f(0)=5,\ f(2)=1,\ f(3)=2
↳세 값을 비교해요
최댓값 5, 최솟값 1\text{최댓값}\ 5,\ \text{최솟값}\ 1
꼭짓점이 범위 밖
y=x2−4x+5 (3≤x≤5)y=x^2-4x+5\ (3\le x\le5)
y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1
↳꼭짓점 x=2x=2 는 범위 밖
f(3)=2, f(5)=10f(3)=2,\ f(5)=10
↳양 끝만 비교해요
최댓값 10, 최솟값 2\text{최댓값}\ 10,\ \text{최솟값}\ 2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=(x−1)2+2 (2≤x≤4)y=(x-1)^2+2\ (2\le x\le4) 의 최솟값은?
범위를 보지 않은 경우
y=x2−4x+5 (3≤x≤5)y=x^2-4x+5\ (3\le x\le5)
✗ 틀린 풀이
y=(x−2)2+1y=(x-2)^2+1 이므로
최솟값은 11
왜 틀렸나 범위가 주어지면 꼭짓점의 xx 좌표가 범위 안에 있을 때만 꼭짓점에서 최대·최소가 된다.
✓ 바른 풀이
x=2x=2 는 범위 밖이므로
최솟값은 f(3)=2f(3)=2
바른 계산은 범위의 양 끝 값 f(3)=2f(3)=2, f(5)=10f(5)=10 을 비교하여 최솟값 22 를 얻는다.
⚠ 주의범위의 끝에 등호가 없으면
0<x<30<x<3 에서 y=x2−4x+5y=x^2-4x+5 는 x=2x=2 에서 최솟값 11 을 가져요.
하지만 x=0x=0 은 범위에 들어 있지 않으므로 y=5y=5 가 되지 않아요. 따라서 최댓값은 없어요.
끝값은 등호가 있을 때만 함숫값이 돼요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

xx 의 값의 범위가 α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 로 제한되면 그래프도 그 부분만 남아요. 포물선은 꼭짓점을 지나면서 증가와 감소가 바뀌어요.
삼차 이상의 함수의 최대·최소도 미분을 써서 같은 생각(극값과 양 끝 비교)으로 구해요.

α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 에서 y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 의 최대·최소
  1. 1
    완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점의 xx 좌표 pp 를 구해요.
  2. 2
    pp 가 범위 α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 안에 있는지 확인해요.
    범위의 양 끝에 등호가 있는지도 봐요.
  3. 3
    안에 있으면 f(p), f(α), f(β)f(p),\ f(\alpha),\ f(\beta) 를 구해 비교해요.
    a>0a>0 이면 f(p)f(p) 가 최솟값이고 최댓값은 f(α), f(β)f(\alpha),\ f(\beta) 중 큰 값이에요. a<0a<0 이면 거꾸로예요.
  4. 4
    밖에 있으면 f(α), f(β)f(\alpha),\ f(\beta) 만 비교해요.
    범위 안에서 그래프가 한 방향으로만 증가하거나 감소하므로 양 끝이 최대·최소예요.
위로 볼록일 때
y=−x2+2x+3 (−2≤x≤2)y=-x^2+2x+3\ (-2\le x\le2)
y=−(x−1)2+4y=-(x-1)^2+4
↳꼭짓점 x=1x=1 은 범위 안
f(−2)=−5, f(1)=4, f(2)=3f(-2)=-5,\ f(1)=4,\ f(2)=3
↳세 값을 비교해요
최댓값 4, 최솟값 −5\text{최댓값}\ 4,\ \text{최솟값}\ -5
위로 볼록이므로 꼭짓점에서 최댓값이 나와요.

3최대·최소의 활용

활용 문제는 구하는 양을 yy, 변하는 양 하나를 xx 로 놓고 yy 를 xx 의 이차식으로 나타내요.
식을 세운 뒤에는 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점을 찾고, 꼭짓점의 xx 좌표가 변수의 범위 안에 있는지 확인해요.

합이 일정한 두 수의 곱
x+y=10x+y=10 일 때 xyxy 의 최댓값
xy=x(10−x)xy=x(10-x)
↳y=10−xy=10-x 를 넣어요
=−x2+10x=-x^2+10x
=−(x−5)2+25=-(x-5)^2+25
↳완전제곱식
x=5, y=5x=5,\ y=5 일 때 최댓값 2525
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x+y=6x+y=6 일 때 xyxy 의 최댓값은?
둘레와 두 변의 합
✗ 틀린 풀이
둘레가 2020 이므로 세로는 20−x20-x
넓이 x(20−x)x(20-x) 의 최댓값 100100
왜 틀렸나 둘레는 2×(가로+세로)2\times(\text{가로}+\text{세로}) 이므로 가로와 세로의 합은 둘레의 절반이다.
✓ 바른 풀이
가로와 세로의 합은 1010 이므로 세로는 10−x10-x
넓이 x(10−x)x(10-x) 의 최댓값 2525
확인: 식을 세운 뒤 x=5x=5 를 넣어 둘레가 2(5+5)=202(5+5)=20 인지 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림
활용 문제를 푸는 순서
  1. 1
    구하는 양을 yy, 변하는 양 하나를 xx 로 놓아요.
  2. 2
    조건을 써서 yy 를 xx 에 대한 이차식으로 나타내요.
    문자가 두 개이면 조건식으로 하나를 없애요.
  3. 3
    xx 의 값의 범위를 구해요.
    길이·시간처럼 양수여야 하는 조건을 빠뜨리지 않아요.
  4. 4
    완전제곱식으로 고쳐 그 범위에서 최댓값 또는 최솟값을 구해요.

같은 모양: 둘레의 길이가 2020 인 직사각형의 가로의 길이를 xx 라 하면 세로의 길이는 10−x10-x 이고, 0<x<100<x<10 이에요.
넓이는 x(10−x)=−(x−5)2+25x(10-x)=-(x-5)^2+25
x=5x=5 는 범위 안에 있으므로 넓이의 최댓값은 2525 이에요. 이때 정사각형이 돼요. 이 결과는 절대부등식(산술평균과 기하평균)으로도 얻어요.

구하는 식이 바뀐 경우
x+y=4x+y=4 일 때 x2+y2x^2+y^2 의 최솟값
x2+y2=x2+(4−x)2x^2+y^2=x^2+(4-x)^2
↳y=4−xy=4-x 를 넣어요
=2x2−8x+16=2x^2-8x+16
=2(x−2)2+8=2(x-2)^2+8
↳완전제곱식
x=2, y=2x=2,\ y=2 일 때 최솟값 88
시간에 대한 높이
h=−5t2+20th=-5t^2+20t 일 때 최고 높이
h=−5(t2−4t)h=-5(t^2-4t)
↳−5-5 로 묶어요
=−5(t2−4t+4)+20=-5(t^2-4t+4)+20
↳−5×4-5\times4 를 되돌려요
=−5(t−2)2+20=-5(t-2)^2+20
↳완전제곱식

4나란히 비교하기

공식y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 의 최대·최소
실수 전체, a>0a>0
최솟값 q (x=p), 최댓값 없음\displaystyle \text{최솟값}\ q\ (x=p),\ \text{최댓값 없음}
실수 전체, a<0a<0
최댓값 q (x=p), 최솟값 없음\displaystyle \text{최댓값}\ q\ (x=p),\ \text{최솟값 없음}
α≤x≤β\alpha\le x\le\beta, pp 가 안
f(p), f(α), f(β) 비교\displaystyle f(p),\ f(\alpha),\ f(\beta)\ \text{비교}
최댓값과 최솟값이 모두 있다.
α≤x≤β\alpha\le x\le\beta, pp 가 밖
f(α), f(β) 비교\displaystyle f(\alpha),\ f(\beta)\ \text{비교}
꼭짓점의 yy 좌표는 쓰지 않는다.
학생
최댓값·최솟값 문제를 풀 때 무엇부터 확인해요?
쌤
이차항의 계수의 부호로 볼록한 방향을 보고, xx 의 범위가 있으면 꼭짓점이 그 안에 있는지 확인해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=−(x−2)2+5 (0≤x≤3)y=-(x-2)^2+5\ (0\le x\le3) 의 최솟값은?
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1y=a(x−p)2+qy=a(x-p)^2+q 에서 a>0a>0 이면 x=px=p 에서 최솟값 qq 를 갖고 최댓값은 없다.
    a<0a<0 이면 x=px=p 에서 최댓값 qq 를 갖고 최솟값은 없다.
  2. 2y=ax2+bx+cy=ax^2+bx+c 는 먼저 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점을 찾는다.
  3. 3α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 에서는 꼭짓점의 xx 좌표가 범위 안에 있는지 본다.
    안에 있으면 f(p)f(p), f(α)f(\alpha), f(β)f(\beta) 를 비교하고, 밖에 있으면 f(α)f(\alpha), f(β)f(\beta) 만 비교한다.
  4. 4활용 문제는 변수 하나로 식을 세우고, 그 변수의 범위를 확인한 뒤 같은 방법을 쓴다.
✗ 자주 하는 실수
  • 이차항의 계수가 음수일 때 완전제곱식으로 고치면서 괄호 밖으로 꺼내는 수의 부호를 틀려요.
  • α≤x≤β\alpha\le x\le\beta 에서 꼭짓점의 xx 좌표가 범위 밖인데도 꼭짓점의 yy 좌표를 최솟값(최댓값)으로 써요.
  • 최댓값·최솟값(yy 의 값)과 그때의 xx 의 값을 혼동하거나, 이차항의 계수의 부호를 보지 않고 최댓값·최솟값을 정해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    이차함수 y=2x2+4x−1y=2x^2+4x-1 의 최솟값을 구하시오.
  2. 예제 2
    −1≤x≤4-1\le x\le4 에서 이차함수 y=x2−2x−1y=x^2-2x-1 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
  3. 예제 3
    길이가 40 m40\,\text{m} 인 철망으로 한 면이 벽인 직사각형 모양의 울타리를 만들려고 한다. 벽에 수직인 변의 길이를 x mx\,\text{m} 라 할 때, 울타리 안의 넓이의 최댓값을 구하시오. (벽 쪽에는 철망을 쓰지 않는다.)

다음 공부

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← 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계삼차방정식과 사차방정식 →
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