수학 개념 노트전체 과목

항등식과 미정계수법

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
문자에 어떤 값을 넣어도 성립하는 등식이 항등식이에요. 양변의 계수를 비교하거나 적당한 값을 대입해 미지의 계수를 정해요.
  1. 1항등식과 방정식
  2. 2항등식의 성질
  3. 3미정계수법 — 계수비교법과 수치대입법
  4. 4두 문자 x, y 에 대한 항등식
  5. 5다항식의 나눗셈과 항등식
  6. 6이렇게 틀리지 않기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1항등식과 방정식

정의항등식
등식에 포함된 문자에 어떤 값을 대입하여도 항상 성립하는 등식을 그 문자에 대한 항등식이라 한다.
예) (x+1)2=x2+2x+1(x+1)^2=x^2+2x+1 은 xx에 대한 항등식이다.
2x+1=52x+1=5 는 x=2x=2 일 때만 참이므로 방정식이다.
공식등식을 세 가지로 나누어 보기
항등식
(x−1)(x+1)=x2−1\displaystyle (x-1)(x+1)=x^2-1
좌변을 전개하면 우변과 똑같다. 모든 xx에서 참.
방정식
x2=x\displaystyle x^2=x
x=0x=0 또는 x=1x=1 일 때만 참. 참이 되는 xx(해)를 구하는 것이 목표.
해가 없는 등식
x+1=x+2\displaystyle x+1=x+2
어떤 xx를 넣어도 거짓(1=21=2). 이것도 항등식이 아니다.
학생
항등식은 방정식이랑 뭐가 달라요?
쌤
방정식은 특정한 xx 에서만 참이라 xx 를 구해요.
항등식은 아무 xx 를 넣어도 참이라 xx 를 구하지 않고, 식 속의 모르는 계수 a, b, ca,\ b,\ c 를 구해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 xx에 대한 항등식은?
성질항등식이라는 신호
다음 표현은 모두 「□에 대한 항등식」이라는 뜻이다.
「모든 □에 대하여 성립」
「□의 값에 관계없이 항상 성립」
「임의의 □에 대하여 성립」
「어떤 □의 값에 대하여도 성립」
□ 자리에 오는 문자가 무엇인지 반드시 확인한다.
무엇에 대한 항등식인가
✗ 틀린 풀이
「kk의 값에 관계없이 kx−k+y−2=0kx-k+y-2=0」 → xx에 대한 항등식
왜 틀렸나 「kk의 값에 관계없이」 성립하면 kk가 어떤 값이든 될 수 있는 문자이므로 kk에 대한 항등식이다.
✓ 바른 풀이
「kk의 값에 관계없이」 → kk에 대한 항등식
kk에 대하여 정리하면 k(x−1)+(y−2)=0k(x-1)+(y-2)=0
바른 풀이는 k(x−1)+(y−2)=0k(x-1)+(y-2)=0 에서 x−1=0, y−2=0x-1=0,\ y-2=0 이므로 x=1, y=2x=1,\ y=2 이다.

2항등식의 성질

성질항등식의 성질
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 이 xx에 대한 항등식   ⟺  \iff a=0, b=0, c=0a=0,\ b=0,\ c=0
ax2+bx+c=a′x2+b′x+c′ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' 이 xx에 대한 항등식   ⟺  \iff a=a', b=b', c=c'
학생
항등식이면 왜 계수끼리 같아야 해요?
쌤
모든 xx 에서 성립하니까 x=0, 1, −1x=0,\ 1,\ -1 을 넣어 보면 계수가 모두 00 이어야 해요.
양변이 있는 식은 한쪽으로 옮기면 「같은 차수 항의 계수끼리 같다」는 말이 돼요.
공식항등식의 성질 한눈에
일차, 한쪽이 0
ax+b=0  ⟺  a=0, b=0\displaystyle ax+b=0 \iff a=0,\ b=0
일차, 양변
ax+b=a′x+b′  ⟺  a=a′, b=b′\displaystyle ax+b=a'x+b' \iff a=a',\ b=b'
이차, 한쪽이 0
ax2+bx+c=0  ⟺  a=b=c=0\displaystyle ax^2+bx+c=0 \iff a=b=c=0
이차, 양변
ax2+bx+c=a′x2+b′x+c′  ⟺  a=a′, b=b′, c=c′\displaystyle ax^2+bx+c=a'x^2+b'x+c' \iff a=a',\ b=b',\ c=c'
x, y 두 문자
ax+by+c=0  ⟺  a=b=c=0\displaystyle ax+by+c=0 \iff a=b=c=0
x,yx, y에 대한 항등식. 아래 「두 문자 x, y 에 대한 항등식」.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
ax2+3x+b=2x2+cx−1ax^2+3x+b=2x^2+cx-1 이 xx에 대한 항등식일 때 a+b+ca+b+c 의 값은?
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기
왜 계수가 모두 0이어야 하는가
  1. 1
    ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 이 모든 xx에서 성립해요.
    x=0x=0 을 넣으면 c=0c=0
    항등식은 아무 값이나 넣어도 돼요.
  2. 2
    x=1x=1 을 넣으면 a+b+c=0a+b+c=0
    x=−1x=-1 을 넣으면 a−b+c=0a-b+c=0
  3. 3
    c=0c=0 이므로 두 식을 연립하면{a+b=0a−b=0\begin{cases} a+b=0 \\ a-b=0 \end{cases}따라서 a=0, b=0a=0,\ b=0
    두 식을 더하면 2a=02a=0.
  4. 4
    거꾸로 a=b=c=0a=b=c=0 이면 좌변은 0x2+0x+0=00x^2+0x+0=0 이므로 모든 xx에서 성립해요.
    그래서 「  ⟺  \iff」(양방향)이에요.

둘째 성질은 우변을 모두 좌변으로 옮겨 첫째 성질을 쓰면 돼요.(a−a′)x2+(b−b′)x+(c−c′)=0(a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0이 항등식이므로 a−a′=0, b−b′=0, c−c′=0a-a'=0,\ b-b'=0,\ c-c'=0
즉 같은 차수 항의 계수끼리 같아요.
차수가 달라도 똑같아요. 일차식이면 ax+b=0  ⟺  a=b=0ax+b=0 \iff a=b=0 이에요.

성질외우는 문장
「항등식이면 → 같은 차수끼리 계수가 같다.」
「값에 관계없이 → 그 문자로 정리하고 → 계수(괄호)를 0으로.」

3미정계수법 — 계수비교법과 수치대입법

성질미정계수법
항등식에서 모르는 계수를 정하는 방법은 두 가지이다.
① 계수비교법: 양변을 전개해 같은 차수 항의 계수를 비교한다.
② 수치대입법: 항등식은 모든 값에서 성립하므로, 식이 간단해지는 값(괄호를 0으로 만드는 값 등)을 대입한다.
계수비교법
(2x+a)(x−3)=2x2+bx−6(2x+a)(x-3)=2x^2+bx-6
2x2+(a−6)x−3a=2x2+bx−62x^2+(a-6)x-3a=2x^2+bx-6
↳좌변을 전개해요
−3a=−6 ⇒ a=2-3a=-6\ \Rightarrow\ a=2
↳상수항 비교
b=a−6=−4b=a-6=-4
↳xx 의 계수 비교
x2x^2 의 계수는 2=22=2 로 이미 맞아요.
상수항은 a⋅(−3)=−3aa\cdot(-3)=-3a 처럼 부호째 곱해요.
수치대입법
2x2+5x+1=ax(x−1)+bx(x+1)+c(x+1)(x−1)2x^2+5x+1=ax(x-1)+bx(x+1)+c(x+1)(x-1)
x=0: 1=−c ⇒ c=−1x=0:\ 1=-c\ \Rightarrow\ c=-1
↳a, ba,\ b 항이 사라져요
x=1: 8=2b ⇒ b=4x=1:\ 8=2b\ \Rightarrow\ b=4
↳a, ca,\ c 항이 사라져요
x=−1: −2=2a ⇒ a=−1x=-1:\ -2=2a\ \Rightarrow\ a=-1
↳b, cb,\ c 항이 사라져요
x=2: 19=−2+24−3x=2:\ 19=-2+24-3
↳검산 ✓
괄호를 00 으로 만드는 값 x=0, 1, −1x=0,\ 1,\ -1 을 골라요. 미지수가 3개이므로 서로 다른 값 3개가 필요해요.
학생
두 방법 중 어느 것을 써요?
쌤
전개가 쉬우면 계수비교법, 식이 00 이 되는 값을 넣기 쉬우면 수치대입법이 편해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+ax+b=(x+1)(x−3)x^2+ax+b=(x+1)(x-3) 이 xx에 대한 항등식일 때 a, ba,\ b 의 값은?
⚠ 주의수치대입법의 개수
구해야 할 미지수가 nn개이면 서로 다른 값을 최소 nn번 대입해야 해요. 같은 값을 두 번 넣으면 같은 식만 나와요.
까닭: 미지수 nn개를 정하려면 식이 nn개 필요해요. 이차식의 계수 a,b,ca, b, c 를 정하는 데 위에서 x=0,1,−1x=0, 1, -1 세 값이 필요했던 것과 같아요.
수치대입에서 사라지는 항
✗ 틀린 풀이
a(x−1)2+b(x−1)+ca(x-1)^2+b(x-1)+c 에 x=1x=1 을 넣으면
a+b+ca+b+c
왜 틀렸나 x=1x=1 을 넣으면 x−1=0x-1=0 이 되므로 (x−1)(x-1) 이 곱해진 항은 모두 00 이 된다.
✓ 바른 풀이
x=1x=1 을 넣으면
a⋅02+b⋅0+c=ca\cdot0^2+b\cdot0+c=c
수치대입에서는 괄호 안을 00 으로 만드는 값을 넣어 미지수를 하나씩 줄인다.
전개할 때 부호
✗ 틀린 풀이
(2x+a)(x−3)(2x+a)(x-3) 의 상수항 =3a=3a
왜 틀렸나 상수항끼리 곱할 때는 −3-3 의 부호까지 곱해야 하므로 상수항은 −3a-3a 이다.
✓ 바른 풀이
(2x+a)(x−3)(2x+a)(x-3) 의 상수항 =a⋅(−3)=−3a=a\cdot(-3)=-3a
확인: a=1a=1 이면 (2x+1)(x−3)=2x2−5x−3(2x+1)(x-3)=2x^2-5x-3 이므로 상수항은 −3-3 이다.
자세히 보기펼치기공식 더 보기
공식어느 방법이 편한가
계수비교법
x2+ax+b=(x+1)(x−3)\displaystyle x^2+ax+b=(x+1)(x-3)
한쪽이 이미 정리되어 있고 다른 쪽 전개가 쉬울 때.
수치대입법
a(x−1)(x−2)+b(x−1)+c\displaystyle a(x-1)(x-2)+b(x-1)+c
(x−α)(x-\alpha) 꼴이 곱해져 있어 0으로 만드는 값이 보일 때. 전개가 길 때.
섞어 쓰기
a(x−1)2+b(x−1)+c\displaystyle a(x-1)^2+b(x-1)+c
x=1x=1 을 넣어 cc 를 구한다.
최고차 계수를 비교해 aa 를 구한다.
남은 하나는 x=0x=0 등을 넣어 구한다(예제 2).

4두 문자 x, y 에 대한 항등식

성질x,yx, y에 대한 항등식
ax+by+c=0ax+by+c=0 이 x,yx, y에 대한 항등식   ⟺  \iff a=0, b=0, c=0a=0,\ b=0,\ c=0
xx항끼리, yy항끼리, 상수항끼리 따로 비교한다.
모든 x,yx, y에 대하여 a(x+y)+b(x−y)=3x+ya(x+y)+b(x-y)=3x+y
(a+b)x+(a−b)y=3x+y(a+b)x+(a-b)y=3x+y
↳x, yx,\ y 로 정리
a+b=3,a−b=1a+b=3,\quad a-b=1
↳계수끼리 비교
a=2,b=1a=2,\quad b=1
↳연립해요
검산: 2(x+y)+(x−y)=3x+y2(x+y)+(x-y)=3x+y ✓
학생
「kk의 값에 관계없이」라는 말은 어떻게 다뤄요?
쌤
kk 에 대한 항등식이라는 뜻이에요.
kk 에 대하여 정리하고, kk 의 계수와 나머지를 각각 00 으로 놓아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
모든 x, yx,\ y 에 대하여 (a−1)x+(b+2)y=0(a-1)x+(b+2)y=0 일 때 a+ba+b 의 값은?
「kk의 값에 관계없이」
(k+1)x+(k−1)y−2k=0(k+1)x+(k-1)y-2k=0
kx+ky−2k+x−y=0kx+ky-2k+x-y=0
↳괄호를 풀어요
k(x+y−2)+(x−y)=0k(x+y-2)+(x-y)=0
↳kk 에 대하여 정리
x+y−2=0,x−y=0x+y-2=0,\quad x-y=0
↳kk 에 대한 항등식
x=1,y=1x=1,\quad y=1
↳연립해요
□ k+△=0\square\,k+\triangle=0 이 kk 에 대한 항등식이므로 □=0\square=0, △=0\triangle=0 이에요. 이때는 x, yx,\ y 가 구하는 값이에요.
자세히 보기펼치기예제
조건이 붙은 항등식
x+y=1x+y=1 인 모든 x,yx, y에 대하여 ax+by=3ax+by=3
ax+b(1−x)=3ax+b(1-x)=3
↳y=1−xy=1-x 를 대입
(a−b)x+(b−3)=0(a-b)x+(b-3)=0
↳xx 에 대하여 정리
a−b=0,b−3=0a-b=0,\quad b-3=0
↳계수가 모두 00
a=3,b=3a=3,\quad b=3
↳연립해요
조건식으로 한 문자를 없애면 한 문자에 대한 항등식이 돼요.
검산: 3x+3y=3(x+y)=33x+3y=3(x+y)=3 ✓

5다항식의 나눗셈과 항등식

성질나눗셈은 항등식이다
다항식 AA를 BB로 나눈 몫이 QQ, 나머지가 RR이면A=BQ+R(R의 차수<B의 차수)A=BQ+R \quad(R\text{의 차수}<B\text{의 차수})은 xx에 대한 항등식이다. 나눗셈은 xx의 값과 상관없이 식 자체를 나눈 것이기 때문이다. 그래서 나눗셈 조건이 주어지면 이 식을 세우고 미정계수법을 쓸 수 있다.
x3+ax2+bx+2x^3+ax^2+bx+2 가 x2+x+1x^2+x+1 로 나누어떨어질 때
항등식으로
x3+ax2+bx+2=(x2+x+1)(x+c)x^3+ax^2+bx+2=(x^2+x+1)(x+c)
↳몫은 일차식 x+cx+c
=x3+(1+c)x2+(1+c)x+c=x^3+(1+c)x^2+(1+c)x+c
↳우변을 전개
c=2c=2
↳상수항 비교
a=1+c=3,b=1+c=3a=1+c=3,\quad b=1+c=3
↳계수 비교
삼차식 ÷ 이차식이므로 몫은 일차식이고, x3x^3 의 계수가 11 이므로 몫은 x+cx+c 꼴이에요.
나누어떨어지므로 나머지는 00 이에요.
학생
나눗셈 식을 세울 때 몫을 모르면요?
쌤
몫은 Q(x)Q(x) 처럼 문자로 두면 돼요.
나누는 식이 00 이 되는 xx 를 넣으면 Q(x)Q(x) 가 곱해진 부분이 사라져요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+ax+3x^2+ax+3 을 x−1x-1 로 나눈 나머지가 22 일 때 aa 의 값은?
자세히 보기펼치기예제 4왜 그런지
같은 문제를 직접 나눗셈으로
xx+(a−1)+(a-1)x2+x+1x^2+x+1x3x^3+ax2+ax^2+bx+bx+2+21−(x3-(x^3+x2+x^2+x)+x)(a−1)x2(a-1)x^2+(b−1)x+(b-1)x+2+22−((a−1)x2-((a-1)x^2+(a−1)x+(a-1)x+(a−1))+(a-1))(b−a)x(b-a)x+(3−a)+(3-a)
  1. 1x3÷x2=xx^3\div x^2=x → x(x2+x+1)x(x^2+x+1) 을 빼면 (a−1)x2+(b−1)x+2(a-1)x^2+(b-1)x+2
  2. 2(a−1)x2÷x2=a−1(a-1)x^2\div x^2=a-1 → (a−1)(x2+x+1)(a-1)(x^2+x+1) 을 빼면 나머지 (b−a)x+(3−a)(b-a)x+(3-a)
몫은 x+a−1x+a-1 이에요.
나누어떨어지려면 나머지 (b−a)x+(3−a)=0(b-a)x+(3-a)=0 이 항등식이어야 하므로 b−a=0, 3−a=0b-a=0,\ 3-a=0
따라서 a=3, b=3a=3,\ b=3 — 앞의 항등식 풀이와 같아요.

x−1x-1 로 나누기를 되풀이하면 f(x)f(x)를 x−1x-1 에 대한 식 a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+da(x-1)^3+b(x-1)^2+c(x-1)+d 로 바꿀 수 있어요.
f(x)=(x−1)Q1(x)+df(x)=(x-1)Q_1(x)+d 이므로 첫 나머지가 dd 이에요.
몫 Q1Q_1 을 다시 x−1x-1 로 나눈 나머지가 cc, 그 몫을 또 나눈 나머지가 bb, 마지막 몫이 aa 이에요.
아래는 f(x)=x3+2x2−x+3f(x)=x^3+2x^2-x+3 의 경우예요. 표는 조립제법으로 나눈 계산이고, 직접 나눗셈으로 해도 결과는 같아요.

① f(x)f(x) 를 x−1x-1 로
나머지 dd
11
11
22
−1-1
33
11
33
22
11
33
22
55
몫 x2+3x+2x^{2}+3x+2나머지 55
d=5d=5
몫은 x2+3x+2x^2+3x+2
② 몫 x2+3x+2x^2+3x+2 를 x−1x-1 로
나머지 cc
11
11
33
22
11
44
11
44
66
몫 x+4x+4나머지 66
c=6c=6
몫은 x+4x+4
③ 몫 x+4x+4 를 x−1x-1 로
나머지 bb, 몫 aa
11
11
44
11
11
55
몫 11나머지 55
b=5, a=1b=5,\ a=1

따라서 x3+2x2−x+3=(x−1)3+5(x−1)2+6(x−1)+5x^3+2x^2-x+3=(x-1)^3+5(x-1)^2+6(x-1)+5 이에요.
검산: x=2x=2 를 넣어요.
x=2x=2 이면 x−1=1x-1=1 이라 우변은 계수의 합이 돼요.
좌변 =8+8−2+3=17=8+8-2+3=17
우변 =1+5+6+5=17=1+5+6+5=17 ✓

6이렇게 틀리지 않기

항등식 문제에서 가장 많이 하는 실수는 xx 의 값을 구하려는 거예요. 항등식에서 구하는 것은 계수예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a(x−1)+b(x+1)=2x+4a(x-1)+b(x+1)=2x+4 가 xx에 대한 항등식일 때 aa 의 값은?
✗ 틀린 풀이
x2+ax+b=(x+1)(x−3)x^2+ax+b=(x+1)(x-3) 에서 xx의 값을 구한다
왜 틀렸나 항등식은 xx 에 어떤 값을 넣어도 성립하므로, 구할 것은 xx 가 아니라 계수이다.
✓ 바른 풀이
xx는 아무 값이나 되므로 구하지 않는다.
계수 비교로 a=−2, b=−3a=-2,\ b=-3
바른 계산은 우변을 전개한 x2−2x−3x^2-2x-3 과 계수를 비교하여 a=−2, b=−3a=-2,\ b=-3 을 얻는다.
⚠ 주의검산 습관
계수를 구한 뒤에는 대입에 쓰지 않은 값(예: x=2x=2)을 양변에 넣어 같은지 확인해요. 항등식이면 반드시 같아야 하므로, 다르면 계산 실수가 있는 거예요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1문자에 어떤 값을 넣어도 항상 성립하는 등식이 항등식이다. 특정한 값에서만 성립하는 방정식과 다르다.
  2. 2「모든 xx에 대하여」, 「xx의 값에 관계없이」, 「임의의 xx에 대하여」는 모두 「xx에 대한 항등식」이라는 신호이다.
  3. 3항등식이면 양변의 같은 차수 항의 계수가 같다(계수비교법). 아무 값이나 넣어도 성립한다(수치대입법). 이 두 방법으로 모르는 계수를 정한다.
  4. 4나눗셈의 결과 A=BQ+RA=BQ+R 도 항등식이다. 이것이 나머지정리의 출발점이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 방정식처럼 xx의 값을 구하려고 해요(항등식에서는 xx가 아니라 계수를 구해요).
  • 수치대입법에서 미지수 개수보다 적은 횟수만 대입해요.
  • 「kk의 값에 관계없이」를 「xx에 대한 항등식」으로 잘못 읽어요(이때는 kk에 대한 항등식이에요).
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    등식 (ax+1)(x−b)=2x2−5x−3(ax+1)(x-b)=2x^2-5x-3 이 xx에 대한 항등식일 때 상수 a,ba, b 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    등식 x2−x+3=a(x−1)2+b(x−1)+cx^2-x+3=a(x-1)^2+b(x-1)+c 가 xx에 대한 항등식일 때 상수 a,b,ca, b, c 를 구하시오.
  3. 예제 3
    kk의 값에 관계없이 (k+2)x+(k−1)y−3k=0(k+2)x+(k-1)y-3k=0 이 항상 성립할 때 x,yx, y 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 나머지정리 →
이전 개념: 다항식의 나눗셈설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 일차방정식, 중2 연립일차방정식공통수학1 목차
← 다항식의 나눗셈나머지정리 →
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