수학 개념 노트전체 과목

복잡한 식의 인수분해

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
공통부분을 한 문자로 치환하거나, 차수가 낮은 문자에 대하여 정리하거나, 인수정리를 써서 복잡한 식을 인수분해해요.
  1. 1공통부분을 한 문자로 치환하기
  2. 2복이차식 x4+ax2+bx^4+ax^2+b
  3. 3문자가 여러 개인 식
  4. 4인수정리 이용하기와 계수가 대칭인 사차식
  5. 5방법 정리와 검산
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1공통부분을 한 문자로 치환하기

인수분해 공식의 aa, bb 는 자리 이름이었어요. 그러니 식 속에서 같은 덩어리 □ 가 되풀이되면 □ 를 통째로 한 문자 XX 로 보면 돼요. 사차식이라도 XX 에 대한 이차식이 되어 이미 아는 공식을 쓸 수 있어요.

예(x2+x)2−8(x2+x)+12(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12
x2+x=Xx^2+x=X 로 놓아요.
X2−8X+12=(X−2)(X−6)X^2-8X+12=(X-2)(X-6)
되돌리면 (x2+x−2)(x2+x−6)(x^2+x-2)(x^2+x-6)
각 인수를 다시 분해하면
(x+2)(x−1)(x+3)(x−2)(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)
마지막에 원래 문자로 되돌리는 것과, 되돌린 식을 더 분해하는 것을 잊지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(x+1)2+3(x+1)+2(x+1)^2+3(x+1)+2 를 인수분해하면?
치환한 문자로 답하기
✗ 틀린 풀이
(x2+x)2−8(x2+x)+12=(X−2)(X−6)(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=(X-2)(X-6)
왜 틀렸나 치환한 XX 는 잠시 빌린 문자이므로, 답은 xx 의 식으로 되돌린 뒤 끝까지 분해해야 한다.
✓ 바른 풀이
(x2+x)2−8(x2+x)+12=(x+2)(x−1)(x+3)(x−2)(x^2+x)^2-8(x^2+x)+12=(x+2)(x-1)(x+3)(x-2)
XX 는 계산을 위해 잠시 빌린 이름이에요. 왼쪽은 xx 의 식이므로 오른쪽도 xx 의 식이어야 해요.
되돌린 뒤 멈추기
✗ 틀린 풀이
(x2−2x)(x2−2x−1)−6=(x2−2x−3)(x2−2x+2)(x^2-2x)(x^2-2x-1)-6=(x^2-2x-3)(x^2-2x+2)
왜 틀렸나 되돌린 뒤 나온 인수도 다시 살펴, 더 분해되는 인수는 끝까지 분해해야 한다.
✓ 바른 풀이
(x2−2x)(x2−2x−1)−6=(x−3)(x+1)(x2−2x+2)(x^2-2x)(x^2-2x-1)-6=(x-3)(x+1)(x^2-2x+2)
바른 계산은 x2−2x−3=(x−3)(x+1)x^2-2x-3=(x-3)(x+1) 로 분해하고, x2−2x+2x^2-2x+2 는 판별식이 음수이므로 그대로 둔다.
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1
상수항의 합이 같도록 짝짓기
(x+1)(x+4)⋅(x+2)(x+3)+1(x+1)(x+4)\cdot(x+2)(x+3)+1
↳1+4=2+3=51+4=2+3=5
=(x2+5x+4)(x2+5x+6)+1=(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1
↳짝끼리 전개
=(X+4)(X+6)+1=(X+4)(X+6)+1
↳x2+5x=Xx^2+5x=X
=X2+10X+25=(X+5)2=X^2+10X+25=(X+5)^2
↳완전제곱식
=(x2+5x+5)2=(x^2+5x+5)^2
↳되돌려요
순서대로 (x+1)(x+2)(x+1)(x+2), (x+3)(x+4)(x+3)(x+4) 로 짝지으면 x2+3xx^2+3x, x2+7xx^2+7x 가 되어 공통부분이 없어요.
x2+5x+5x^2+5x+5 는 곱 55, 합 55 인 정수가 없어 더 분해되지 않아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 3
치환의 네 단계
「놓고, 분해하고, 되돌리고, 또 분해」
  1. 1
    되풀이되는 덩어리를 XX 로 놓아요.
    덩어리 전체를 놓아야 해요. 일부만 놓으면 xx 가 남아요.
  2. 2
    XX 에 대한 식을 인수분해해요.
    대부분 XX 에 대한 이차식이 돼요.
  3. 3
    XX 자리에 원래 덩어리를 괄호째 넣어 되돌려요.
    XX 가 남은 답은 원래 식의 인수분해가 아니에요.
  4. 4
    되돌린 인수 하나하나를 다시 분해할 수 있는지 확인해요.
    되돌리면 이차식이 나오므로 더 분해되는 경우가 많아요.
덩어리가 일차식일 때
(x+y)2−4(x+y)+3(x+y)^2-4(x+y)+3
X2−4X+3=(X−1)(X−3)X^2-4X+3=(X-1)(X-3)
↳x+y=Xx+y=X 로 놓아요
=(x+y−1)(x+y−3)=(x+y-1)(x+y-3)
↳되돌려요
덩어리는 이차식이든 일차식이든, 문자가 몇 개이든 상관없어요.
공통부분이 상수항만 다를 때
(x2−2x)(x2−2x−1)−6(x^2-2x)(x^2-2x-1)-6
X(X−1)−6=X2−X−6X(X-1)-6=X^2-X-6
↳x2−2x=Xx^2-2x=X 로 놓아요
=(X−3)(X+2)=(X-3)(X+2)
↳분해해요
=(x2−2x−3)(x2−2x+2)=(x^2-2x-3)(x^2-2x+2)
↳되돌려요
=(x−3)(x+1)(x2−2x+2)=(x-3)(x+1)(x^2-2x+2)
↳또 분해해요
x2−2x+2x^2-2x+2 는 곱이 22, 합이 −2-2 인 두 정수가 없어 더 분해되지 않아요.

(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 처럼 일차식 네 개의 곱에는 공통부분이 바로 보이지 않아요. 이때는 두 개씩 짝지어 먼저 곱해요.
왜 상수항의 합을 보는가? (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab 에서 xx 의 계수가 두 상수항의 합 a+ba+b 이기 때문이에요.
합이 같은 것끼리 짝지으면 x2+(합)xx^2+(\text{합})x 가 공통부분으로 나와요.

상수항에 음수가 섞일 때
(x−1)(x−3)(x+2)(x+4)+24(x-1)(x-3)(x+2)(x+4)+24
(x−1)(x+2)⋅(x−3)(x+4)+24(x-1)(x+2)\cdot(x-3)(x+4)+24
↳(−1)+2=(−3)+4=1(-1)+2=(-3)+4=1
=(x2+x−2)(x2+x−12)+24=(x^2+x-2)(x^2+x-12)+24
↳짝끼리 전개
=(X−2)(X−12)+24=(X-2)(X-12)+24
↳x2+x=Xx^2+x=X
=X2−14X+48=(X−6)(X−8)=X^2-14X+48=(X-6)(X-8)
↳분해해요
=(x2+x−6)(x2+x−8)=(x^2+x-6)(x^2+x-8)
↳되돌려요
=(x+3)(x−2)(x2+x−8)=(x+3)(x-2)(x^2+x-8)
↳또 분해해요

2복이차식 x4+ax2+bx^4+ax^2+b

정의복이차식
x4+ax2+bx^4+ax^2+b 처럼 차수가 짝수인 항(x4x^4, x2x^2, 상수항)만으로 이루어진 사차식을 복이차식이라 한다. x4=(x2)2x^4=(x^2)^2 이므로 x2x^2 을 하나의 덩어리로 볼 수 있다.
공식두 가지 방법
순서대로 시도한다
① x2=Xx^2=X 로 치환
x4+ax2+b=X2+aX+b\displaystyle x^4+ax^2+b=X^2+aX+b
X2+aX+bX^2+aX+b 가 인수분해되면 되돌려서 끝까지 분해한다.
② A2−B2A^2-B^2 꼴로
(□)2−(△)2=(□+△)(□−△)\displaystyle (\square)^2-(\triangle)^2=(\square+\triangle)(\square-\triangle)
①이 안 될 때 쓴다.
이차항을 더하고 빼서 □2−^2-△2^2 꼴을 만든다.
학생
XX 로 바꿔도 인수분해가 안 되면요?
쌤
이차항을 더하고 빼서 A2−B2A^2-B^2 꼴로 만들어요.
x4+x2+1=(x2+1)2−x2x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2 처럼요.
① 치환으로 되는 경우
x4−3x2−4x^4-3x^2-4
X2−3X−4=(X−4)(X+1)X^2-3X-4=(X-4)(X+1)
↳x2=Xx^2=X 로 놓아요
=(x2−4)(x2+1)=(x^2-4)(x^2+1)
↳되돌려요
=(x+2)(x−2)(x2+1)=(x+2)(x-2)(x^2+1)
↳또 분해해요
x2+1x^2+1 은 계수가 유리수인 범위에서 더 분해되지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x4−5x2+4x^4-5x^2+4 를 인수분해하면?
② A2−B2A^2-B^2 꼴로 만들기
x4+x2+1x^4+x^2+1
x4+x2+1=(x4+2x2+1)−x2x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2
↳x2x^2 을 더하고 빼요
=(x2+1)2−x2=(x^2+1)^2-x^2
↳□=x2+1=x^2+1, △=x=x
=(x2+1+x)(x2+1−x)=(x^2+1+x)(x^2+1-x)
↳(□++△)(□−-△)
=(x2+x+1)(x2−x+1)=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
↳내림차순으로
검산: x=1x=1 을 넣으면 왼쪽 33, 오른쪽 3×1=33\times1=3 ✓
비슷하게 생긴 두 식
✗ 틀린 풀이
x4+x2+1=(x2+1)2x^4+x^2+1=(x^2+1)^2
왜 틀렸나 x4+x2+1x^4+x^2+1 은 x2x^2 을 더하고 빼서 (x2+1)2−x2(x^2+1)^2-x^2 으로 만든 뒤 제곱의 차로 분해한다.
✓ 바른 풀이
x4+x2+1=(x2+x+1)(x2−x+1)x^4+x^2+1=(x^2+x+1)(x^2-x+1)
x4+2x2+1=(x2+1)2x^4+2x^2+1=(x^2+1)^2
확인: x=1x=1 을 넣으면 x4+x2+1=3x^4+x^2+1=3 이고 (1+1+1)(1−1+1)=3(1+1+1)(1-1+1)=3 이다.
이차항의 계수가 22 일 때만 완전제곱식이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 3외우기 카드

x4+x2+1x^4+x^2+1 에 x2=Xx^2=X 로 놓으면 X2+X+1X^2+X+1 이 돼요.
곱이 11, 합이 11 인 두 정수가 없어 ①로는 분해되지 않아요.

이때는 사차항과 상수항이 각각 제곱이라는 점을 이용해요.
x4=(x2)2x^4=(x^2)^2
1=121=1^2
(x2+1)2=x4+2x2+1(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1 을 만들려면 이차항이 2x22x^2 이어야 해요.
그래서 부족한 x2x^2 을 더하고 그만큼 다시 빼요. 식의 값은 그대로예요.

이차항이 아예 없을 때
x4+4x^4+4
x4+4=(x2+2)2−4x2x^4+4=(x^2+2)^2-4x^2
↳4x24x^2 을 더하고 빼요
=(x2+2)2−(2x)2=(x^2+2)^2-(2x)^2
↳□2−^2-△2^2 꼴
=(x2+2x+2)(x2−2x+2)=(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)
↳(□++△)(□−-△)
(x2+2)2=x4+4x2+4(x^2+2)^2=x^4+4x^2+4 이므로 4x24x^2 이 부족해요.
++ 로 안 되면 −- 로
x4−6x2+1x^4-6x^2+1
x4−6x2+1=(x2−1)2−4x2x^4-6x^2+1=(x^2-1)^2-4x^2
↳(x2−1)2=x4−2x2+1(x^2-1)^2=x^4-2x^2+1
=(x2−1)2−(2x)2=(x^2-1)^2-(2x)^2
↳□2−^2-△2^2 꼴
=(x2+2x−1)(x2−2x−1)=(x^2+2x-1)(x^2-2x-1)
↳(□++△)(□−-△)
(x2+1)2−8x2(x^2+1)^2-8x^2 으로 만들면 8x28x^2 이 (정수×x)2(\text{정수}\times x)^2 꼴이 아니어서 막혀요.
상수항이 제곱수 k2k^2 이면 (x2+k)2(x^2+k)^2 과 (x2−k)2(x^2-k)^2 을 모두 시도해 봐요.
예계수·문자가 바뀌어도 같은 방법
4x4+1=(2x2+1)2−4x2=(2x2+1)2−(2x)2=(2x2+2x+1)(2x2−2x+1)4x^4+1=(2x^2+1)^2-4x^2=(2x^2+1)^2-(2x)^2=(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1)
x4+x2y2+y4=(x2+y2)2−x2y2=(x2+y2)2−(xy)2=(x2+xy+y2)(x2−xy+y2)x^4+x^2y^2+y^4=(x^2+y^2)^2-x^2y^2=(x^2+y^2)^2-(xy)^2=(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)
자주 나오는 결과 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 3x2x^2 을 더하고 빼기
x4+x2+1=(x2+1)2−□x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-\square
단계 1 / 34x24x^2 을 더하고 빼기
x4+4=(x2+2)2−□x^4+4=(x^2+2)^2-\square

3문자가 여러 개인 식

성질차수가 낮은 문자로 정리
여러 문자가 섞인 식은 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한 뒤, 그 문자에 대한 일차식이나 이차식처럼 인수분해한다. 차수가 같으면 아무 문자나 하나를 고른다.
학생
왜 차수가 낮은 문자로 정리해요?
쌤
그 문자의 일차식이면 공통인수가 바로 드러나고, 이차식이면 이차식의 인수분해를 쓸 수 있어요.
차수가 높은 문자로 정리하면 삼차·사차식이 되어 오히려 어려워져요.
x3+x2y−xz−yzx^3+x^2y-xz-yz
x3+x2y−xz−yzx^3+x^2y-xz-yz
↳차수: xx 는 33, y, zy,\ z 는 11
=(x2−z)y+(x3−xz)=(x^2-z)y+(x^3-xz)
↳yy 에 대하여 정리
=(x2−z)y+x(x2−z)=(x^2-z)y+x(x^2-z)
↳공통인수가 보여요
=(x2−z)(x+y)=(x^2-z)(x+y)
↳묶어요
zz 에 대하여 정리해도 −(x+y)z+x2(x+y)-(x+y)z+x^2(x+y) 가 되어 같은 결과가 나와요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
a2+ab−ac−bca^2+ab-ac-bc 를 인수분해하면?
x2+3xy+2y2+x+3y−2x^2+3xy+2y^2+x+3y-2 인수분해
x2+(3y+1)x+(2y2+3y−2)x^2+(3y+1)x+(2y^2+3y-2)
↳xx 에 대하여 정리
2y2+3y−2=(2y−1)(y+2)2y^2+3y-2=(2y-1)(y+2)
↳상수항을 먼저 분해
(2y−1)+(y+2)=3y+1(2y-1)+(y+2)=3y+1
↳합이 xx 의 계수 ✓
=(x+2y−1)(x+y+2)=(x+2y-1)(x+y+2)
↳인수분해 끝
(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq(x+p)(x+q)=x^2+(p+q)x+pq 의 p, qp,\ q 자리에 yy 의 식이 들어간 거예요.
정의대칭식과 교대식(개요)
어느 두 문자를 서로 바꾸어도 처음 식과 같은 식을 대칭식, 부호만 바뀌는 식을 교대식이라 한다.
예) (a+b)(b+c)(c+a)+abc(a+b)(b+c)(c+a)+abc 는 대칭식이다.
예) a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b) 는 교대식이다.
이런 식도 따로 외우는 방법 없이, 한 문자(예: aa)에 대하여 내림차순으로 정리하면 인수분해된다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 3틀리기 쉬운 곳

xx, yy 에 대한 이차식 x2+3xy+2y2+x+3y−2x^2+3xy+2y^2+x+3y-2 는 두 문자의 차수가 모두 22 이므로 한 문자(xx)를 골라요.
xx 에 대하여 정리하면 「x2+( y의 식 )x+( y의 식 )x^2+(\ y\text{의 식}\ )x+(\ y\text{의 식}\ )」, 즉 상수항 자리에 yy 의 식이 오는 xx 의 이차식이 돼요.

x2x^2 의 계수가 11 이 아닐 때
2x2−xy−y2+5x+4y−32x^2-xy-y^2+5x+4y-3
2x2+(−y+5)x−(y2−4y+3)2x^2+(-y+5)x-(y^2-4y+3)
↳xx 에 대하여 정리
−(y2−4y+3)=(y−1)(−y+3)-(y^2-4y+3)=(y-1)(-y+3)
↳상수항을 분해
2x×y−1x−y+3\begin{array}{ccc}2x & \times & y-1\\ x & & -y+3\end{array}
↳세로로 적어요
2x⋅(−y+3)+x⋅(y−1)=(−y+5)x2x\cdot(-y+3)+x\cdot(y-1)=(-y+5)x
↳대각선 곱의 합 ✓
=(2x+y−1)(x−y+3)=(2x+y-1)(x-y+3)
↳가로로 읽어요
이차식의 대각선 곱과 같은 방법이에요. 대각선 곱의 합이 xx 의 계수 −y+5-y+5 와 맞아야 해요.
대각선 곱의 부호 확인
✗ 틀린 풀이
2x2−xy−y2+5x+4y−3=(2x−y+1)(x+y−3)2x^2-xy-y^2+5x+4y-3=(2x-y+1)(x+y-3)
왜 틀렸나 상수항을 분해한 짝은 대각선 곱의 합이 xx 의 계수 −y+5-y+5 와 부호까지 같아야 한다.
✓ 바른 풀이
2x2−xy−y2+5x+4y−3=(2x+y−1)(x−y+3)2x^2-xy-y^2+5x+4y-3=(2x+y-1)(x-y+3)
바른 짝은 대각선 합 2x(−y+3)+x(y−1)=(−y+5)x2x(-y+3)+x(y-1)=(-y+5)x 로 xx 의 계수와 같다.
aa 에 대하여 정리하기
a2(b−c)+b2(c−a)+c2(a−b)a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)
=(b−c)a2−(b2−c2)a+(b2c−bc2)=(b-c)a^2-(b^2-c^2)a+(b^2c-bc^2)
↳세 문자 모두 이차라 aa 로
=(b−c)a2−(b−c)(b+c)a+bc(b−c)=(b-c)a^2-(b-c)(b+c)a+bc(b-c)
↳b−cb-c 가 보여요
=(b−c){a2−(b+c)a+bc}=(b-c)\{a^2-(b+c)a+bc\}
↳b−cb-c 로 묶어요
=(b−c)(a−b)(a−c)=(b-c)(a-b)(a-c)
↳곱 bcbc, 합 b+cb+c
=−(a−b)(b−c)(c−a)=-(a-b)(b-c)(c-a)
↳순환 순서로
a→b→c→aa\to b\to c\to a 순환 순서로 쓰는 것이 관례예요. a−c=−(c−a)a-c=-(c-a) 를 써요.
예같은 방법으로
ab(a−b)+bc(b−c)+ca(c−a)=−(a−b)(b−c)(c−a)ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=-(a-b)(b-c)(c-a)
(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)(a+b)(b+c)(c+a)+abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)

4인수정리 이용하기와 계수가 대칭인 사차식

치환도, 정리도 보이지 않는 삼차 이상의 식은 인수정리를 써요.
f(α)=0f(\alpha)=0 이면 x−αx-\alpha 가 인수이므로 조립제법으로 나누어 차수를 하나 낮춰요.
대입해 볼 α\alpha 의 후보는 ±(상수항의 약수)(최고차항 계수의 약수)\pm\dfrac{(\text{상수항의 약수})}{(\text{최고차항 계수의 약수})} 이에요.

f(x)=x4−2x3−x2−4x−6f(x)=x^4-2x^3-x^2-4x-6 을 x+1x+1 로 나누기
−1-1
11
−2-2
−1-1
−4-4
−6-6
−1-1
33
−2-2
66
11
−3-3
22
−6-6
00
몫 x3−3x2+2x−6x^{3}-3x^{2}+2x-6나머지 00
f(−1)=1+2−1+4−6=0f(-1)=1+2-1+4-6=0 이므로 x+1x+1 이 인수예요.
몫은 x3−3x2+2x−6x^3-3x^2+2x-6 이에요.
이 삼차식에서 다시 인수를 찾아요.
몫 x3−3x2+2x−6x^3-3x^2+2x-6 을 x−3x-3 으로 나누기
33
11
−3-3
22
−6-6
33
00
66
11
00
22
00
몫 x2+2x^{2}+2나머지 00
x=3x=3 을 넣으면 27−27+6−6=027-27+6-6=0 이므로 x−3x-3 이 인수예요.
몫 x2+2x^2+2 는 더 분해되지 않아요.
따라서 f(x)=(x+1)(x−3)(x2+2)f(x)=(x+1)(x-3)(x^2+2)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−2x2−x+2f(x)=x^3-2x^2-x+2 에서 f(1)=0f(1)=0 이다. f(x)f(x) 를 인수분해하면?
빠진 차수는 00 으로 채운다
✗ 틀린 풀이
x4−5x2+4x^4-5x^2+4 의 계수를 1, −5, 41,\ -5,\ 4 로 쓴다
왜 틀렸나 조립제법에서는 빠진 차수 x3x^3, xx 의 자리에 계수 00 을 채워야 한다.
✓ 바른 풀이
x4−5x2+4x^4-5x^2+4 의 계수를 1, 0, −5, 0, 41,\ 0,\ -5,\ 0,\ 4 로 쓴다
계수의 개수는 최고차수보다 11 많아야 하므로 사차식은 55 개이다. (이 식은 복이차식이므로 치환이 더 빠르다.)
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

사차식은 일차 인수를 한 번 찾으면 몫이 삼차식이므로 같은 일을 한 번 더 해요. 이 과정은 삼차방정식과 사차방정식을 풀 때 그대로 쓰여요.

x4+5x3+6x2+5x+1x^4+5x^3+6x^2+5x+1 처럼 계수가 1, 5, 6, 5, 11,\ 5,\ 6,\ 5,\ 1 로 가운데를 중심으로 대칭인 사차식은 x2x^2 으로 묶어 x+1xx+\dfrac1x 에 대한 식으로 바꿔요.
다음 곱셈공식의 변형을 쓰는 거예요.
x2+1x2=(x+1x)2−2x^2+\dfrac1{x^2}=\left(x+\dfrac1x\right)^2-2
(x=0x=0 이면 식의 값이 11 이므로 x≠0x\neq0 이라 하고 묶어도 돼요.)

계수가 대칭인 사차식
x4+5x3+6x2+5x+1x^4+5x^3+6x^2+5x+1
=x2{(x2+1x2)+5(x+1x)+6}=x^2\left\{\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+5\left(x+\frac1x\right)+6\right\}
↳x2x^2 으로 묶어요
=x2{(t2−2)+5t+6}=x^2\{(t^2-2)+5t+6\}
↳x+1x=tx+\frac1x=t
=x2(t+1)(t+4)=x^2(t+1)(t+4)
↳분해해요
=x(x+1x+1)⋅x(x+1x+4)=x\left(x+\frac1x+1\right)\cdot x\left(x+\frac1x+4\right)
↳xx 씩 나눠 곱해요
=(x2+x+1)(x2+4x+1)=(x^2+x+1)(x^2+4x+1)
↳분모가 없어져요
x2+1x2=t2−2x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2 를 써요.

5방법 정리와 검산

공식식의 모양에 따른 방법
공통인수
ma+mb=m(a+b)\displaystyle ma+mb=m(a+b)
어떤 식이든 가장 먼저 공통인수가 있는지 본다.
같은 덩어리가 되풀이
(x2+x)2−8(x2+x)+12\displaystyle (x^2+x)^2-8(x^2+x)+12
덩어리 x2+xx^2+x 를 XX 로 놓으면 X2−8X+12X^2-8X+12 이다.
치환 → 분해 → 되돌리기 → 또 분해.
일차식 네 개의 곱 ++ 상수
(x+1)(x+4)⋅(x+2)(x+3)+1\displaystyle (x+1)(x+4)\cdot(x+2)(x+3)+1
상수항의 합이 같도록 짝지어 공통부분을 만든다.
복이차식
x4+ax2+b\displaystyle x^4+ax^2+b
① x2=Xx^2=X 로 치환한다.
② 안 되면 이차항을 더하고 빼서 A2−B2A^2-B^2 꼴로 만든다.
문자가 여러 개
x3+x2y−xz−yz\displaystyle x^3+x^2y-xz-yz
차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순 정리. 차수가 같으면 한 문자.
x, yx,\ y 의 이차식
x2+(y의 식)x+(y의 식)\displaystyle x^2+(y\text{의 식})x+(y\text{의 식})
xx 에 대하여 정리한다.
상수항을 yy 에 대하여 먼저 분해.
계수가 대칭인 사차식
x4+ax3+bx2+ax+1\displaystyle x^4+ax^3+bx^2+ax+1
x2x^2 으로 묶고 x+1x=tx+\frac1x=t 로 치환.
위 방법이 보이지 않을 때
f(α)=0\displaystyle f(\alpha)=0
인수정리로 x−αx-\alpha 를 찾아 조립제법. 사차식은 두 번.
⚠ 주의끝까지 분해했는가
인수분해는 계수가 유리수인 범위에서 더 이상 분해되지 않을 때까지 해요.
얻은 인수 하나하나에 다시 「공통인수 → 공식 → 인수정리」를 확인해요.
예) x4−1=(x2+1)(x2−1)x^4-1=(x^2+1)(x^2-1) 에서 멈추면 안 돼요.
x2−1=(x+1)(x−1)x^2-1=(x+1)(x-1) 이므로
x4−1=(x2+1)(x+1)(x−1)x^4-1=(x^2+1)(x+1)(x-1)
반면 x2+1x^2+1, x2−2x^2-2, x2+x+1x^2+x+1 은 유리수 범위에서 더 분해되지 않으므로 그대로 둬요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x4−16x^4-16 을 끝까지 인수분해하면?
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질검산
전개와 거꾸로 보기
인수분해는 전개를 거꾸로 한 것이므로, 답을 다시 전개하여 처음 식이 나오는지 보면 확실하게 검산된다.
빠르게 확인할 때는 x=1x=1 처럼 간단한 수를 양쪽에 넣는다.
예) (x2−2x)(x2−2x−1)−6=(x−3)(x+1)(x2−2x+2)(x^2-2x)(x^2-2x-1)-6=(x-3)(x+1)(x^2-2x+2) 의 양쪽에 x=1x=1 을 넣는다.
왼쪽: (−1)(−2)−6=−4(-1)(-2)-6=-4
오른쪽: (−2)⋅2⋅1=−4(-2)\cdot2\cdot1=-4
값이 다르면 반드시 틀린 것이고, 같으면 다른 값(x=2x=2 등)으로 한 번 더 확인한다.
문자가 여러 개이면 각 문자에 수를 하나씩 넣는다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1같은 덩어리가 되풀이되면 한 문자 XX 로 치환하여 분해하고, 반드시 원래 식으로 되돌린 뒤 끝까지 분해한다.
  2. 2x4+ax2+bx^4+ax^2+b 꼴(복이차식)은 x2=Xx^2=X 로 치환하고, 그래도 안 되면 이차항을 더하고 빼서 A2−B2A^2-B^2 꼴로 만든다.
  3. 3문자가 여러 개이면 차수가 가장 낮은 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.
  4. 4위 방법이 보이지 않는 고차식은 인수정리와 조립제법으로 일차 인수를 하나씩 찾는다. 결과는 전개하거나 수를 넣어 검산한다.
✗ 자주 하는 실수
  • 치환한 문자 XX 그대로 답을 써요.
  • 치환을 되돌린 뒤 x2+x−2x^2+x-2 처럼 더 분해되는 인수를 남겨 둬요.
  • (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) 를 순서대로 둘씩 짝지어 공통부분이 생기지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    x4−5x2+4x^4-5x^2+4 를 인수분해하시오.
  2. 예제 2
    x2+xy−2y2+2x+7y−3x^2+xy-2y^2+2x+7y-3 을 인수분해하시오.
  3. 예제 3
    x(x+1)(x+2)(x+3)−24x(x+1)(x+2)(x+3)-24 를 인수분해하시오.

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