복소수 a + b i a+bi a + bi i i i 다항식의 덧셈·뺄셈 처럼 「동류항」끼리, 곧 실수부분끼리와 허수부분끼리 계산해요.
이전 개념 공식 덧셈과 뺄셈 (a , b , c , d a, b, c, d a , b , c , d 덧셈
( a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i \displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ( a + bi ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i 뺄셈
( a + b i ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i \displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ( a + bi ) − ( c + d i ) = ( a − c ) + ( b − d ) i 빼는 복소수의 실수부분과 허수부분 모두 부호가 바뀐다.
계산 예
( 3 − 2 i ) + ( − 1 + 5 i ) = 2 + 3 i (3-2i)+(-1+5i)=2+3i ( 3 − 2 i ) + ( − 1 + 5 i ) = 2 + 3 i ↳ ◀ 실수끼리, 허수끼리
( 3 − 2 i ) − ( − 1 + 5 i ) = 3 − 2 i + 1 − 5 i (3-2i)-(-1+5i)=3-2i+1-5i ( 3 − 2 i ) − ( − 1 + 5 i ) = 3 − 2 i + 1 − 5 i ↳ ◀ 두 부호를 모두 바꿔요
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( 2 + i ) − ( 3 − 4 i ) (2+i)-(3-4i) ( 2 + i ) − ( 3 − 4 i ) − 1 − 3 i -1-3i − 1 − 3 i 5 − 3 i 5-3i 5 − 3 i − 1 + 5 i -1+5i − 1 + 5 i 괄호 앞의 빼기
✗ 틀린 풀이
( 3 − 2 i ) − ( − 1 + 5 i ) = 2 − 7 i (3-2i)-(-1+5i)=2-7i ( 3 − 2 i ) − ( − 1 + 5 i ) = 2 − 7 i 왜 틀렸나 괄호 앞의 빼기는 괄호 안 모든 항에 적용되므로 − ( − 1 + 5 i ) = 1 − 5 i -(-1+5i)=1-5i − ( − 1 + 5 i ) = 1 − 5 i ↓ ✓ 바른 풀이
( 3 − 2 i ) − ( − 1 + 5 i ) = 4 − 7 i (3-2i)-(-1+5i)=4-7i ( 3 − 2 i ) − ( − 1 + 5 i ) = 4 − 7 i 바른 계산은 실수부분 3 + 1 = 4 3+1=4 3 + 1 = 4 − 2 − 5 = − 7 -2-5=-7 − 2 − 5 = − 7 성질 복소수의 곱셈
곱셈은 다항식처럼 분배법칙으로 전개한 뒤, i 2 i^2 i 2 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 을 넣어 실수로 바꾼다.( a + b i ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i ( a + bi ) ( c + d i ) = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i 계산 순서 ( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) (2+3i)(1-4i) ( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) ( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) = 2 − 8 i + 3 i − 12 i 2 (2+3i)(1-4i)=2-8i+3i-12i^2 ( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) = 2 − 8 i + 3 i − 12 i 2 ↳ ◀ 네 번 곱해요
= 2 − 8 i + 3 i + 12 =2-8i+3i+12 = 2 − 8 i + 3 i + 12 ↳ ◀ − 12 i 2 = + 12 -12i^2=+12 − 12 i 2 = + 12 쌤 네. 복소수에서도 분배법칙이 성립해서 다항식처럼 전개해도 돼요.i 2 i^2 i 2 − 1 -1 − 1 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
( 1 + 2 i ) ( 3 − i ) (1+2i)(3-i) ( 1 + 2 i ) ( 3 − i ) 5 + 5 i 5+5i 5 + 5 i 1 + 5 i 1+5i 1 + 5 i 3 − 2 i 3-2i 3 − 2 i ✗ 틀린 풀이
( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) = 2 − 5 i − 12 = − 10 − 5 i (2+3i)(1-4i)=2-5i-12=-10-5i ( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) = 2 − 5 i − 12 = − 10 − 5 i 왜 틀렸나 i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 − 12 i 2 -12i^2 − 12 i 2 − 12 × ( − 1 ) = + 12 -12\times(-1)=+12 − 12 × ( − 1 ) = + 12 ↓ ✓ 바른 풀이
( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) = 2 − 5 i + 12 = 14 − 5 i (2+3i)(1-4i)=2-5i+12=14-5i ( 2 + 3 i ) ( 1 − 4 i ) = 2 − 5 i + 12 = 14 − 5 i 전개에서 i 2 i^2 i 2 − 1 -1 − 1 가운데 항
✗ 틀린 풀이
( 2 − 3 i ) 2 = 2 2 + ( 3 i ) 2 = 4 − 9 = − 5 (2-3i)^2=2^2+(3i)^2=4-9=-5 ( 2 − 3 i ) 2 = 2 2 + ( 3 i ) 2 = 4 − 9 = − 5 왜 틀렸나 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 a b + b 2 (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 ( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 2 ⋅ 2 ⋅ ( − 3 i ) 2\cdot2\cdot(-3i) 2 ⋅ 2 ⋅ ( − 3 i ) ↓ ✓ 바른 풀이
( 2 − 3 i ) 2 = 4 − 12 i + 9 i 2 = − 5 − 12 i (2-3i)^2=4-12i+9i^2=-5-12i ( 2 − 3 i ) 2 = 4 − 12 i + 9 i 2 = − 5 − 12 i 확인: ( 2 − 3 i ) ( 2 − 3 i ) (2-3i)(2-3i) ( 2 − 3 i ) ( 2 − 3 i ) − 5 − 12 i -5-12i − 5 − 12 i + 펼치기 접기 예제 성질 더 보기 공식 더 보기 왜 그런가
( a + b i ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 (a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2 ( a + bi ) ( c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i 2 ↳ ◀ 분배법칙
= a c + a d i + b c i − b d =ac+adi+bci-bd = a c + a d i + b c i − b d = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i =(ac-bd)+(ad+bc)i = ( a c − b d ) + ( a d + b c ) i ↳ ◀ 실수·허수끼리 모아요
결과를 외우기보다 「전개하고
i 2 = − 1 i^2=-1 i 2 = − 1 」 순서를 지키는 것이 좋아요.
성질 곱셈공식에 넣기
( □ + △ ) 2 = □ 2 + 2 □△ + △ 2 (□+△)^2=□^2+2□△+△^2 ( □ + △ ) 2 = □ 2 + 2□△ + △ 2 □ = 2 □=2 □ = 2 △ = − 3 i △=-3i △ = − 3 i ( 2 − 3 i ) 2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ ( − 3 i ) + ( − 3 i ) 2 = 4 − 12 i − 9 = − 5 − 12 i (2-3i)^2=2^2+2\cdot2\cdot(-3i)+(-3i)^2=4-12i-9=-5-12i ( 2 − 3 i ) 2 = 2 2 + 2 ⋅ 2 ⋅ ( − 3 i ) + ( − 3 i ) 2 = 4 − 12 i − 9 = − 5 − 12 i ( □ + △ ) ( □ − △ ) = □ 2 − △ 2 (□+△)(□-△)=□^2-△^2 ( □ + △ ) ( □ − △ ) = □ 2 − △ 2 □ = 3 □=3 □ = 3 △ = 2 i △=2i △ = 2 i ( 3 + 2 i ) ( 3 − 2 i ) = 3 2 − ( 2 i ) 2 = 9 + 4 = 13 (3+2i)(3-2i)=3^2-(2i)^2=9+4=13 ( 3 + 2 i ) ( 3 − 2 i ) = 3 2 − ( 2 i ) 2 = 9 + 4 = 13 ( 2 i ) 2 = 4 i 2 = − 4 (2i)^2=4i^2=-4 ( 2 i ) 2 = 4 i 2 = − 4 완전제곱
( a + b i ) 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2 a b i \displaystyle (a+bi)^2=(a^2-b^2)+2abi ( a + bi ) 2 = ( a 2 − b 2 ) + 2 abi 켤레끼리
( a + b i ) ( a − b i ) = a 2 + b 2 \displaystyle (a+bi)(a-bi)=a^2+b^2 ( a + bi ) ( a − bi ) = a 2 + b 2 결과가 실수이다. 나눗셈에서 쓴다.
= ( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i + i 2 = 2 i \displaystyle (1+i)^2=1+2i+i^2=2i ( 1 + i ) 2 = 1 + 2 i + i 2 = 2 i = ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 = − 2 i \displaystyle (1-i)^2=1-2i+i^2=-2i ( 1 − i ) 2 = 1 − 2 i + i 2 = − 2 i 3 + i 1 − 2 i \frac{3+i}{1-2i} 1 − 2 i 3 + i i i i a + b i a+bi a + bi ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 (c+di)(c-di)=c^2+d^2 ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 켤레복소수 를 분모와 분자에 똑같이 곱해요. 유리화 (1 1 − 2 \frac{1}{1-\sqrt{2}} 1 − 2 1 1 + 2 1+\sqrt{2} 1 + 2
이전 개념 공식 나눗셈 (c + d i ≠ 0 c+di\ne 0 c + d i = 0 공식
a + b i c + d i = ( a + b i ) ( c − d i ) ( c + d i ) ( c − d i ) = ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i c 2 + d 2 \displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} c + d i a + bi = ( c + d i ) ( c − d i ) ( a + bi ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 ( a c + b d ) + ( b c − a d ) i 분모는 c 2 + d 2 c^2+d^2 c 2 + d 2 c 2 − d 2 c^2-d^2 c 2 − d 2 계산 순서 3 + i 1 − 2 i \frac{3+i}{1-2i} 1 − 2 i 3 + i 3 + i 1 − 2 i = ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) \frac{3+i}{1-2i}=\frac{(3+i)(1+2i)}{(1-2i)(1+2i)} 1 − 2 i 3 + i = ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) ( 3 + i ) ( 1 + 2 i ) ↳ ◀ 분모의 켤레를 곱해요
= 3 + 6 i + i + 2 i 2 1 + 4 =\frac{3+6i+i+2i^2}{1+4} = 1 + 4 3 + 6 i + i + 2 i 2 ↳ ◀ 전개해요
= 1 + 7 i 5 =\frac{1+7i}{5} = 5 1 + 7 i = 1 5 + 7 5 i =\frac15+\frac75i = 5 1 + 5 7 i 분모와 분자에 같은 수를 곱하므로 값은 그대로예요.
검산:
( 1 5 + 7 5 i ) ( 1 − 2 i ) = 3 + i \left(\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\right)(1-2i)=3+i ( 5 1 + 5 7 i ) ( 1 − 2 i ) = 3 + i ✓
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
2 1 + i \dfrac{2}{1+i} 1 + i 2 a + b i a+bi a + bi 1 + i 1+i 1 + i 1 − i 1-i 1 − i 2 − 2 i 2-2i 2 − 2 i 분모 계산
✗ 틀린 풀이
( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 − 4 = − 3 (1-2i)(1+2i)=1-4=-3 ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 − 4 = − 3 왜 틀렸나 ( 2 i ) 2 = 4 i 2 = − 4 (2i)^2=4i^2=-4 ( 2 i ) 2 = 4 i 2 = − 4 1 − ( 2 i ) 2 = 1 + 4 = 5 1-(2i)^2=1+4=5 1 − ( 2 i ) 2 = 1 + 4 = 5 ↓ ✓ 바른 풀이
( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 (1-2i)(1+2i)=1-4i^2=1+4=5 ( 1 − 2 i ) ( 1 + 2 i ) = 1 − 4 i 2 = 1 + 4 = 5 켤레끼리의 곱 ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 (c+di)(c-di)=c^2+d^2 ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 + d 2 + 펼치기 접기 예제 2 예 분모가 순허수일 때
분모가 i i i i i i 1 i = i i 2 = i − 1 = − i \frac{1}{i}=\frac{i}{i^2}=\frac{i}{-1}=-i i 1 = i 2 i = − 1 i = − i − i -i − i 예 자주 나오는 값
1 + i 1 − i = ( 1 + i ) 2 ( 1 − i ) ( 1 + i ) = 2 i 2 = i \frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^2}{(1-i)(1+i)}=\frac{2i}{2}=i 1 − i 1 + i = ( 1 − i ) ( 1 + i ) ( 1 + i ) 2 = 2 2 i = i 1 − i 1 + i = ( 1 − i ) 2 ( 1 + i ) ( 1 − i ) = − 2 i 2 = − i \frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2i}{2}=-i 1 + i 1 − i = ( 1 + i ) ( 1 − i ) ( 1 − i ) 2 = 2 − 2 i = − i 복소수끼리 더하고, 빼고, 곱하고, (0 0 0
공식 복소수 z 1 , z 2 , z 3 z_1, z_2, z_3 z 1 , z 2 , z 3 교환법칙
z 1 + z 2 = z 2 + z 1 , z 1 z 2 = z 2 z 1 \displaystyle z_1+z_2=z_2+z_1,\quad z_1z_2=z_2z_1 z 1 + z 2 = z 2 + z 1 , z 1 z 2 = z 2 z 1 결합법칙
( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) , ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) \displaystyle (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3),\quad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3) ( z 1 + z 2 ) + z 3 = z 1 + ( z 2 + z 3 ) , ( z 1 z 2 ) z 3 = z 1 ( z 2 z 3 ) 분배법칙
z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 \displaystyle z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3 z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 1 z 2 + z 1 z 3 곱셈을 다항식처럼 전개할 수 있는 이유이다.
합·차
z 1 ± z 2 ‾ = z 1 ‾ ± z 2 ‾ \displaystyle \overline{z_1\pm z_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2} z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 곱
z 1 z 2 ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \displaystyle \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\ \overline{z_2} z 1 z 2 = z 1 z 2 몫
( z 1 z 2 ) ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \displaystyle \overline{\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}} ( z 2 z 1 ) = z 2 z 1 쌤 네. z 1 z 2 ‾ = z 1 ‾ z 2 ‾ \overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\,\overline{z_2} z 1 z 2 = z 1 z 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
z 1 = 1 + i , z 2 = 2 − i z_1=1+i,\ z_2=2-i z 1 = 1 + i , z 2 = 2 − i z 1 z 2 ‾ \overline{z_1z_2} z 1 z 2 3 + i 3+i 3 + i − 3 + i -3+i − 3 + i 3 − i 3-i 3 − i + 펼치기 접기 예제 곱의 켤레 확인 z 1 = 1 + 2 i z_1=1+2i z 1 = 1 + 2 i z 2 = 3 − i z_2=3-i z 2 = 3 − i z 1 z 2 = 3 − i + 6 i − 2 i 2 = 5 + 5 i z_1z_2=3-i+6i-2i^2=5+5i z 1 z 2 = 3 − i + 6 i − 2 i 2 = 5 + 5 i ↳ ◀ 먼저 곱해요
z 1 z 2 ‾ = 5 − 5 i \overline{z_1z_2}=5-5i z 1 z 2 = 5 − 5 i ↳ ◀ 그다음 켤레
z 1 ‾ z 2 ‾ = ( 1 − 2 i ) ( 3 + i ) = 5 − 5 i \overline{z_1}\ \overline{z_2}=(1-2i)(3+i)=5-5i z 1 z 2 = ( 1 − 2 i ) ( 3 + i ) = 5 − 5 i ↳ ◀ 켤레 먼저, 그다음 곱
「계산한 뒤 켤레」와 「켤레를 잡은 뒤 계산」의 결과가 같아요.
i i i 1 1 1 i n i^n i n n n n 4 4 4 나머지 만으로 정해져요.
네 개씩 되풀이
i i i 를 한 번 곱할 때마다 오른쪽 칸으로, 끝 칸 다음은 다시 첫 칸이에요.
학생 i 100 i^{100} i 100 쌤 100 100 100 4 4 4 0 0 0 i 100 = i 4 = 1 i^{100}=i^4=1 i 100 = i 4 = 1 2026 = 4 × 506 + 2 2026=4\times506+2 2026 = 4 × 506 + 2 i 2026 = ( i 4 ) 506 ⋅ i 2 = − 1 i^{2026}=(i^4)^{506}\cdot i^2=-1 i 2026 = ( i 4 ) 506 ⋅ i 2 = − 1 103 = 4 × 25 + 3 103=4\times25+3 103 = 4 × 25 + 3 i 103 = i 3 = − i i^{103}=i^3=-i i 103 = i 3 = − i 지수를
4 4 4 로 나눈 나머지만 봐요. 몫은
i 4 k = 1 i^{4k}=1 i 4 k = 1 이 되어 사라져요.
몫과 나머지
✗ 틀린 풀이
i 23 = i 5 = i i^{23}=i^{5}=i i 23 = i 5 = i 23 23 23 4 4 4 5 5 5 왜 틀렸나 i 4 = 1 i^4=1 i 4 = 1 4 4 4 i i i i 23 = i 3 i^{23}=i^3 i 23 = i 3 ↓ ✓ 바른 풀이
i 23 = i 3 = − i i^{23}=i^{3}=-i i 23 = i 3 = − i 23 = 4 × 5 + 3 23=4\times5+3 23 = 4 × 5 + 3 3 3 3 i 23 = ( i 4 ) 5 ⋅ i 3 i^{23}=(i^4)^5\cdot i^3 i 23 = ( i 4 ) 5 ⋅ i 3 ( i 4 ) 5 = 1 (i^4)^5=1 ( i 4 ) 5 = 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 외우기 카드 i 4 = ( i 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1 i 4 = ( i 2 ) 2 = ( − 1 ) 2 = 1 i 5 = i 4 ⋅ i = i i^5=i^4\cdot i=i i 5 = i 4 ⋅ i = i
연속된 거듭제곱의 합
i + i 2 + i 3 + i 4 = i − 1 − i + 1 = 0 i+i^2+i^3+i^4=i-1-i+1=0 i + i 2 + i 3 + i 4 = i − 1 − i + 1 = 0 i + i 2 + ⋯ + i 10 = i 9 + i 10 i+i^2+\cdots+i^{10}=i^9+i^{10} i + i 2 + ⋯ + i 10 = i 9 + i 10 예 지수가 음수일 때
i − 1 = 1 i = − i i^{-1}=\frac{1}{i}=-i i − 1 = i 1 = − i i × ( − i ) = − i 2 = 1 i\times(-i)=-i^2=1 i × ( − i ) = − i 2 = 1 가리고 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2
i , i 2 , i 3 , i 4 = i , □ , − i , □ i,\ i^2,\ i^3,\ i^4=i,\ \square,\ -i,\ \square i , i 2 , i 3 , i 4 = i , □ , − i , □ 정답 보기
단계 1 / 1
( 1 + i ) 2 = □ (1+i)^2=\square ( 1 + i ) 2 = □ 정답 보기
단계 1 / 1
1 + i 1 − i = □ \frac{1+i}{1-i}=\square 1 − i 1 + i = □ 정답 보기
단계 1 / 2
( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 □ d 2 (c+di)(c-di)=c^2\ \square\ d^2 ( c + d i ) ( c − d i ) = c 2 □ d 2 정답 보기
z = 1 + i z=1+i z = 1 + i z 2 − 2 z z^2-2z z 2 − 2 z
z 2 = ( 1 + i ) 2 = 2 i z^2=(1+i)^2=2i z 2 = ( 1 + i ) 2 = 2 i − 2 z = − 2 − 2 i -2z=-2-2i − 2 z = − 2 − 2 i z 2 − 2 z = 2 i − 2 − 2 i = − 2 z^2-2z=2i-2-2i=-2 z 2 − 2 z = 2 i − 2 − 2 i = − 2 ↳ ◀ 더해요
( z − 1 ) 2 = i 2 = − 1 (z-1)^2=i^2=-1 ( z − 1 ) 2 = i 2 = − 1 z 2 − 2 z + 1 = − 1 z^2-2z+1=-1 z 2 − 2 z + 1 = − 1 ↳ ◀ 전개해요
z 2 − 2 z = − 2 z^2-2z=-2 z 2 − 2 z = − 2 쌤 z − 1 = i z-1=i z − 1 = i i i i i i i 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
z = 2 + i z=2+i z = 2 + i z 2 − 4 z z^2-4z z 2 − 4 z + 펼치기 접기 왜 그런지 두 방법의 답이 같아요. 차수가 높은 식일수록 방법 2 가 편해요. 삼차방정식 의 허근 ω \omega ω
이전 개념