수학 개념 노트전체 과목

방정식과 부등식에의 활용

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
방정식 f(x)=0f(x)=0 의 서로 다른 실근의 개수는 y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 xx 축의 교점의 개수이고, f(x)=kf(x)=k 의 실근의 개수는 y=f(x)y=f(x) 와 직선 y=ky=k 의 교점의 개수예요. 부등식 f(x)≥0f(x)\ge0 이 항상 성립하려면 f(x)f(x) 의 최솟값이 00 이상이면 돼요.
  1. 1방정식의 실근의 개수
  2. 2f(x)=k 꼴로 고쳐서 실근의 개수 구하기
  3. 3삼차방정식의 근과 극값의 곱
  4. 4부등식에의 활용
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1방정식의 실근의 개수

성질두 그래프의 교점
방정식 f(x)=0f(x)=0 의 서로 다른 실근의 개수는 y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 xx 축의 교점의 개수와 같다.
방정식 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 의 서로 다른 실근의 개수는 두 함수 y=f(x)y=f(x), y=g(x)y=g(x) 의 그래프의 교점의 개수와 같다.
h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 로 놓으면 방정식 h(x)=0h(x)=0 의 서로 다른 실근의 개수와 같다.
실근의 개수를 구하는 순서
  1. 1
    f′(x)=0f'(x)=0 인 xx 의 값을 구해요.
  2. 2
    증감표를 만들어 극댓값과 극솟값을 구해요.
    그래프의 개형을 그려요.
  3. 3
    그래프가 xx 축과 몇 번 만나는지 세요.
    극댓값·극솟값의 부호를 보면 알 수 있어요.
학생
실근의 값은 몰라도 돼요?
쌤
개수만 물으면 몰라도 돼요.
극댓값과 극솟값이 xx 축 위에 있는지 아래에 있는지만 보면 그래프가 xx 축과 몇 번 만나는지 알 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
방정식 x3−3x+5=0x^3-3x+5=0 의 서로 다른 실근의 개수는?
⚠ 주의그래프가 x축에 접할 때
그래프가 xx 축에 접하는 점의 xx 좌표는 중근이에요.
중근은 교점 하나이므로 「서로 다른 실근」 으로는 하나로 세요.
예: x3−3x−2=(x−2)(x+1)2x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2 이므로 x3−3x−2=0x^3-3x-2=0 의 서로 다른 실근은 x=2x=2, x=−1x=-1 의 22 개예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

방정식 f(x)=0f(x)=0 의 실근은 함수 y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 xx 축이 만나는 점의 xx 좌표이기 때문이에요.
f(x)=g(x)f(x)=g(x) 의 실근도 같은 이유로 두 그래프가 만나는 점의 xx 좌표예요.

2f(x)=k 꼴로 고쳐서 실근의 개수 구하기

방정식에 실수 kk 가 들어 있으면 kk 를 한쪽으로 모아 f(x)=kf(x)=k 꼴로 고쳐요.
그러면 실근의 개수는 고정된 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축에 평행한 직선 y=ky=k 의 교점의 개수예요.
kk 가 바뀌면 직선 y=ky=k 만 위아래로 움직이므로 교점의 개수를 세기 쉬워요.
지수·로그·삼각함수가 들어간 방정식도 같은 방법으로 풀어요.

학생
kk 를 한쪽으로 모으지 않고 그대로 그리면 안 돼요?
쌤
그러면 kk 가 바뀔 때마다 곡선 전체가 위아래로 움직여서 매번 다시 그려야 해요.
모아 두면 곡선은 한 번만 그리고 직선 y=ky=k 만 움직이면 돼요.
응용
2x3−3x2−12x−k=02x^3-3x^2-12x-k=0 이 서로 다른 세 실근을 가질 조건
2x3−3x2−12x=k2x^3-3x^2-12x=k
↳kk 를 오른쪽으로
f′(x)=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)f'(x)=6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)
↳f(x)=2x3−3x2−12xf(x)=2x^3-3x^2-12x
f(−1)=7,f(2)=−20f(-1)=7,\quad f(2)=-20
↳극댓값, 극솟값
−20<k<7-20<k<7
↳직선 y=ky=k 가 세 점에서 만나요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−12xf(x)=x^3-12x 의 극댓값은 1616, 극솟값은 −16-16 이다. 방정식 x3−12x=kx^3-12x=k 가 서로 다른 세 실근을 가질 때 kk 의 값의 범위는?
kk 를 옮길 때 부호를 바꾼다
✗ 틀린 풀이
x3−3x2+k=0x^3-3x^2+k=0 을 x3−3x2=kx^3-3x^2=k 로 고쳐서 −4<k<0-4<k<0
왜 틀렸나 kk 를 우변으로 옮기면 부호가 바뀌므로 직선은 y=−ky=-k 이고, −k-k 의 범위를 먼저 구한다.
✓ 바른 풀이
x3−3x2=−kx^3-3x^2=-k 로 고쳐서 −4<−k<0-4<-k<0
따라서 0<k<40<k<4
f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2 의 극댓값은 f(0)=0f(0)=0, 극솟값은 f(2)=−4f(2)=-4 이다.
확인: k=2k=2 이면 x3−3x2+2=(x−1)(x2−2x−2)x^3-3x^2+2=(x-1)(x^2-2x-2) 로 서로 다른 세 실근을 갖는다.
극값과 같을 때는 접한다
✗ 틀린 풀이
세 실근을 가질 조건: −2≤k≤2-2\le k\le2
왜 틀렸나 직선 y=ky=k 가 극댓값이나 극솟값을 지나면 곡선에 접하므로 세 실근의 조건에는 등호가 없다.
✓ 바른 풀이
세 실근을 가질 조건: −2<k<2-2<k<2
k=2k=2 이면 직선 y=2y=2 가 곡선 y=x3−3xy=x^3-3x 에 접하여 서로 다른 실근은 22 개뿐이에요.
x3−3x−2=(x−2)(x+1)2x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2

3삼차방정식의 근과 극값의 곱

성질삼차방정식의 근의 판별
삼차함수 f(x)f(x) 가 극값을 가질 때 삼차방정식 f(x)=0f(x)=0 은
① (극댓값)×\times(극솟값)<0<0 이면 서로 다른 세 실근을 가진다.
② (극댓값)×\times(극솟값)=0=0 이면 중근과 다른 한 실근, 즉 서로 다른 두 실근을 가진다.
③ (극댓값)×\times(극솟값)>0>0 이면 한 실근과 두 허근을 가진다.
f(x)f(x) 가 극값을 갖지 않으면 f(x)f(x) 는 증가하거나 감소하기만 하므로 실근은 하나뿐이다.
학생
극값의 곱만 보면 되는 이유가 뭐예요?
쌤
곱이 음수이면 극댓값은 xx 축 위, 극솟값은 xx 축 아래에 있어서 그래프가 xx 축을 세 번 지나요.
곱이 양수이면 두 극값이 xx 축의 같은 쪽에 있어서 한 번만 지나요.

즉 삼차방정식이 서로 다른 세 실근을 가지려면 극댓값과 극솟값의 곱이 음수 이어야 해요.
이 조건은 이차부등식으로 풀어요.

공식이차방정식과 비교
이차방정식
D>0, D=0, D<0\displaystyle D>0,\ D=0,\ D<0
판별식 DD 의 부호로 서로 다른 두 실근, 중근, 두 허근을 판별한다.
삼차방정식
(극댓값)×(극솟값)<0, =0, >0\displaystyle (\text{극댓값})\times(\text{극솟값})<0,\ =0,\ >0
극값의 곱의 부호로 서로 다른 세 실근, 서로 다른 두 실근, 한 실근을 판별한다.
x3−3x2−9x+k=0x^3-3x^2-9x+k=0 이 서로 다른 세 실근을 가질 조건
f′(x)=3x2−6x−9=3(x+1)(x−3)f'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)
↳f(x)=x3−3x2−9x+kf(x)=x^3-3x^2-9x+k
f(−1)=k+5,f(3)=k−27f(-1)=k+5,\quad f(3)=k-27
↳극댓값, 극솟값
(k+5)(k−27)<0(k+5)(k-27)<0
↳두 극값의 곱이 음수
−5<k<27-5<k<27
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
삼차함수 f(x)f(x) 의 극댓값이 44, 극솟값이 00 일 때 방정식 f(x)=0f(x)=0 의 서로 다른 실근의 개수는?
곱이 0일 때
✗ 틀린 풀이
(극댓값)×\times(극솟값)=0=0 이면 세 실근
왜 틀렸나 극값 중 하나가 00 이면 그래프가 xx 축에 접하여 중근이 생기므로 서로 다른 실근은 22 개이다.
✓ 바른 풀이
(극댓값)×\times(극솟값)=0=0 이면 서로 다른 두 실근
예: x3−3x−2=(x−2)(x+1)2x^3-3x-2=(x-2)(x+1)^2 은 극댓값이 00 이고, 서로 다른 실근은 x=2x=2, x=−1x=-1 의 22 개이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지틀리기 쉬운 곳

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수 f(x)f(x) 가 극댓값과 극솟값을 가지면 그래프는 「올라갔다 내려갔다 다시 올라가는」 모양이에요.
그래프와 xx 축의 교점의 개수는 두 극값이 xx 축의 같은 쪽에 있는지, 반대쪽에 있는지로 정해져요.
두 극값의 부호가 다르면 곱이 음수이고, 같으면 곱이 양수예요.

⚠ 주의검산
구한 범위 안의 kk 하나를 넣어 확인해요.
예: k=0k=0 이면 x3−3x2−9x=x(x2−3x−9)=0x^3-3x^2-9x=x(x^2-3x-9)=0 이고 x2−3x−9=0x^2-3x-9=0 의 판별식이 45>045>0 이므로 서로 다른 세 실근이 맞아요.

4부등식에의 활용

성질항상 성립하는 부등식
어떤 구간에서 부등식 f(x)≥0f(x)\ge0 이 항상 성립하려면
그 구간에서 f(x)f(x) 의 최솟값이 00 이상이면 된다.
부등식 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 는 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 로 놓고 h(x)h(x) 의 최솟값이 00 이상인지 확인한다.
부등식 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 가 성립함을 보이는 순서
  1. 1
    h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x) 로 놓아요.
  2. 2
    h′(x)=0h'(x)=0 인 xx 를 구하고 주어진 구간에서 증감표를 만들어요.
  3. 3
    구간에서 h(x)h(x) 의 최솟값을 구해요.
    극솟값과 구간의 양 끝 값을 비교해요.
  4. 4
    (최솟값)≥0\ge0 을 확인하거나, 이 조건으로 미지수의 범위를 구해요.
x≥0x\ge0 일 때 x3+2≥3xx^3+2\ge3x 임을 보이기
h(x)=x3−3x+2h(x)=x^3-3x+2
↳h(x)=(x3+2)−3xh(x)=(x^3+2)-3x
h′(x)=3x2−3=3(x+1)(x−1)h'(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)
↳x≥0x\ge0 에서 x=1x=1 일 때 극소이자 최소
h(1)=0h(1)=0
↳최솟값
h(x)≥0h(x)\ge0
↳x3+2≥3xx^3+2\ge3x
학생
최솟값이 정확히 00 이어도 돼요?
쌤
네. 부등식에 등호가 있으니 최솟값이 00 이어도 성립해요.
x3+2≥3xx^3+2\ge3x 는 x=1x=1 에서 등호가 성립해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x≥0x\ge0 에서 부등식 x3−3x+k≥0x^3-3x+k\ge0 이 항상 성립하도록 하는 kk 의 최솟값은?
닫힌구간에서는 끝 값도 비교한다
✗ 틀린 풀이
−3≤x≤2-3\le x\le2 에서 x3−3x+k≥0x^3-3x+k\ge0
극솟값 f(1)=k−2≥0f(1)=k-2\ge0 이므로 k≥2k\ge2
왜 틀렸나 닫힌구간에서 항상 성립하려면 극솟값이 아니라 양 끝까지 비교한 최솟값이 00 이상이어야 한다.
✓ 바른 풀이
끝 값 f(−3)=k−18f(-3)=k-18 이 더 작으므로 최솟값은 k−18k-18
k−18≥0k-18\ge0
따라서 k≥18k\ge18
극솟값이 항상 최솟값인 것은 아니에요.
f(−3)=k−18f(-3)=k-18, f(−1)=k+2f(-1)=k+2, f(1)=k−2f(1)=k-2, f(2)=k+2f(2)=k+2 를 모두 비교해요.
자세히 보기펼치기그림예제
응용
모든 실수 xx 에 대하여 x4−4x+k≥0x^4-4x+k\ge0
f′(x)=4x3−4=4(x−1)(x2+x+1)f'(x)=4x^3-4=4(x-1)(x^2+x+1)
↳f(x)=x4−4x+kf(x)=x^4-4x+k
x2+x+1=(x+12)2+34>0x^2+x+1=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}>0
↳f′(x)f'(x) 의 부호는 x−1x-1 의 부호
x<1: f′(x)<0,x>1: f′(x)>0x<1:\ f'(x)<0,\quad x>1:\ f'(x)>0
↳x=1x=1 에서 극소이자 최소
f(1)=k−3f(1)=k-3
↳최솟값
k−3≥0, k≥3k-3\ge0,\ k\ge3
↳(최솟값) ≥0\ge0
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1방정식 f(x)=0f(x)=0 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축의 교점의 개수이다.
  2. 2방정식 f(x)=kf(x)=k 의 서로 다른 실근의 개수는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 직선 y=ky=k 의 교점의 개수이다.
  3. 3삼차방정식 f(x)=0f(x)=0 은 (극댓값)×\times(극솟값) 이 음수이면 서로 다른 세 실근, 00 이면 서로 다른 두 실근, 양수이면 한 실근을 가진다.
  4. 4어떤 구간에서 부등식 f(x)≥0f(x)\ge0 이 항상 성립하려면 그 구간에서 (f(x)f(x) 의 최솟값)≥0\ge0 이어야 한다.
✗ 자주 하는 실수
  • f(x)+k=0f(x)+k=0 을 f(x)=kf(x)=k 로 고쳐 kk 의 부호를 바꾸지 않아요.
  • 직선 y=ky=k 가 극값을 지날 때(접할 때)도 교점이 33 개라고 생각하여 범위에 등호를 넣어요.
  • 닫힌구간에서 부등식이 항상 성립할 조건을 구할 때 구간의 끝 값을 확인하지 않고 극솟값만 봐요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    방정식 x3−6x2+9x−2=0x^3-6x^2+9x-2=0 의 서로 다른 실근의 개수를 구하시오.
  2. 예제 2
    방정식 2x3−3x2−12x−k=02x^3-3x^2-12x-k=0 이 서로 다른 세 실근을 갖도록 하는 실수 kk 의 값의 범위를 구하시오.
  3. 예제 3
    모든 실수 xx 에 대하여 부등식 x4−4x3+k≥0x^4-4x^3+k\ge0 이 성립하도록 하는 실수 kk 의 값의 범위를 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 함수의 그래프와 최대·최소설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 삼차방정식과 사차방정식, 공통수학1 이차방정식의 판별식, 공통수학1 이차방정식과 이차함수의 관계, 미적분Ⅱ 방정식과 부등식에의 활용 (나중에), 공통수학1 이차방정식의 풀이, 공통수학1 이차부등식미적분Ⅰ 목차
← 함수의 그래프와 최대·최소속도와 가속도 →
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