함수 f ( x ) f(x) f ( x ) [ a , b ] [a,\ b] [ a , b ] y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) x x x x = a x=a x = a x = b x=b x = b S S S S = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x S=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx S = ∫ a b ∣ f ( x ) ∣ d x 절댓값 을 적분한다. 학생 절댓값이 있는 식은 어떻게 적분해요? 지수·삼각함수도 같아요?
쌤 네, 방법은 같아요. x x x x x x 곡선 y = sin x ( 0 ≤ x ≤ 2 π ) y=\sin x\ (0\le x\le2\pi) y = sin x ( 0 ≤ x ≤ 2 π ) x x x ∫ 0 π sin x d x = [ − cos x ] 0 π = 2 \int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_{0}^{\pi}=2 ∫ 0 π sin x d x = [ − cos x ] 0 π = 2 ∫ π 2 π sin x d x = [ − cos x ] π 2 π = − 2 \int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_{\pi}^{2\pi}=-2 ∫ π 2 π sin x d x = [ − cos x ] π 2 π = − 2
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
0 ≤ x ≤ π 0\le x\le\pi 0 ≤ x ≤ π y = cos x y=\cos x y = cos x x x x ✗ 틀린 풀이
S = ∫ 0 2 π sin x d x = 0 S=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin x\,dx=0 S = ∫ 0 2 π sin x d x = 0 왜 틀렸나 곡선이 x x x ↓ ✓ 바른 풀이
S = ∫ 0 π sin x d x − ∫ π 2 π sin x d x = 2 + 2 = 4 S=\displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx-\int_{\pi}^{2\pi}\sin x\,dx=2+2=4 S = ∫ 0 π sin x d x − ∫ π 2 π sin x d x = 2 + 2 = 4 확인: π < x < 2 π \pi<x<2\pi π < x < 2 π sin x < 0 \sin x<0 sin x < 0 x x x 0 0 0 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 2 그림 정적분으로 넓이를 구하는 방법은 다항함수뿐 아니라 지수함수·로그함수·삼각함수에서도 그대로 성립해요 .f ( x ) ≥ 0 f(x)\ge0 f ( x ) ≥ 0 f ( x ) ≤ 0 f(x)\le0 f ( x ) ≤ 0 ln x \ln x ln x 부분적분법 을 써요.
이전 개념 넓이를 구하는 순서
1 삼각함수는 sin x = 0 \sin x=0 sin x = 0 cos x = 0 \cos x=0 cos x = 0 x x x 2 3 곡선 y = ln x y=\ln x y = ln x x x x x = e x=e x = e 1 ≤ x ≤ e : ln x ≥ 0 1\le x\le e:\ \ln x\ge0 1 ≤ x ≤ e : ln x ≥ 0 ↳ ◀ 점 ( 1 , 0 ) (1,\ 0) ( 1 , 0 ) x x x ∫ ln x d x = x ln x − x + C \int\ln x\,dx=x\ln x-x+C ∫ ln x d x = x ln x − x + C ↳ ◀ 부분적분법
S = [ x ln x − x ] 1 e = 0 − ( − 1 ) = 1 S=\Big[x\ln x-x\Big]_{1}^{e}=0-(-1)=1 S = [ x ln x − x ] 1 e = 0 − ( − 1 ) = 1
∫ − 1 0 ( 1 − e x ) d x = [ x − e x ] − 1 0 = 1 e \int_{-1}^{0}(1-e^x)\,dx=\Big[x-e^x\Big]_{-1}^{0}=\dfrac{1}{e} ∫ − 1 0 ( 1 − e x ) d x = [ x − e x ] − 1 0 = e 1 ∫ 0 1 ( e x − 1 ) d x = [ e x − x ] 0 1 = e − 2 \int_{0}^{1}(e^x-1)\,dx=\Big[e^x-x\Big]_{0}^{1}=e-2 ∫ 0 1 ( e x − 1 ) d x = [ e x − x ] 0 1 = e − 2 S = e − 2 + 1 e S=e-2+\dfrac{1}{e} S = e − 2 + e 1 성질 두 곡선 사이의 넓이
두 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) g ( x ) g(x) g ( x ) [ a , b ] [a,\ b] [ a , b ] y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) x = a x=a x = a x = b x=b x = b S S S S = ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d x S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx S = ∫ a b ∣ f ( x ) − g ( x ) ∣ d x f ( x ) ≥ g ( x ) f(x)\ge g(x) f ( x ) ≥ g ( x ) S = ∫ a b { f ( x ) − g ( x ) } d x \displaystyle S=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx S = ∫ a b { f ( x ) − g ( x )} d x y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) 왜? 이유 보기
f ( x ) ≤ g ( x ) f(x)\le g(x) f ( x ) ≤ g ( x ) S = ∫ a b { g ( x ) − f ( x ) } d x \displaystyle S=\int_{a}^{b}\{g(x)-f(x)\}\,dx S = ∫ a b { g ( x ) − f ( x )} d x y = g ( x ) y=g(x) y = g ( x ) 왜? 이유 보기
위아래가 바뀔 때
S = ∫ a c { f ( x ) − g ( x ) } d x + ∫ c b { g ( x ) − f ( x ) } d x \displaystyle S=\int_{a}^{c}\{f(x)-g(x)\}\,dx+\int_{c}^{b}\{g(x)-f(x)\}\,dx S = ∫ a c { f ( x ) − g ( x )} d x + ∫ c b { g ( x ) − f ( x )} d x 학생 x x x 쌤 아니요. 두 곡선을 똑같이 위로 옮겨도 두 식의 차는 그대로라서, x x x − - − 두 곡선 y = sin x y=\sin x y = sin x y = cos x ( π 4 ≤ x ≤ 5 π 4 ) y=\cos x\ \left(\dfrac{\pi}{4}\le x\le\dfrac{5\pi}{4}\right) y = cos x ( 4 π ≤ x ≤ 4 5 π ) sin x = cos x : x = π 4 , 5 π 4 \sin x=\cos x:\ x=\dfrac{\pi}{4},\ \dfrac{5\pi}{4} sin x = cos x : x = 4 π , 4 5 π ↳ ◀ 교점
S = ∫ π 4 5 π 4 ( sin x − cos x ) d x S=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(\sin x-\cos x)\,dx S = ∫ 4 π 4 5 π ( sin x − cos x ) d x ↳ ◀ x = π 2 x=\frac{\pi}{2} x = 2 π sin x \sin x sin x = [ − cos x − sin x ] π 4 5 π 4 = 2 − ( − 2 ) = 2 2 =\Big[-\cos x-\sin x\Big]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}=\sqrt{2}-(-\sqrt{2})=2\sqrt{2} = [ − cos x − sin x ] 4 π 4 5 π = 2 − ( − 2 ) = 2 2 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
0 ≤ x ≤ 1 0\le x\le1 0 ≤ x ≤ 1 y = e x y=e^x y = e x y = 1 y=1 y = 1
위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀다
✗ 틀린 풀이
∫ π 4 5 π 4 ( cos x − sin x ) d x = − 2 2 \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(\cos x-\sin x)\,dx=-2\sqrt{2} ∫ 4 π 4 5 π ( cos x − sin x ) d x = − 2 2 − 2 2 -2\sqrt{2} − 2 2 왜 틀렸나 두 곡선 사이의 넓이는 위쪽 곡선의 식에서 아래쪽 곡선의 식을 빼서 적분한다.
↓ ✓ 바른 풀이
∫ π 4 5 π 4 ( sin x − cos x ) d x = 2 2 \displaystyle\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5\pi}{4}}(\sin x-\cos x)\,dx=2\sqrt{2} ∫ 4 π 4 5 π ( sin x − cos x ) d x = 2 2 넓이는 항상 양수예요.
+ 펼치기 접기 왜 그런지 그림 예제 두 곡선을 똑같이 위로 평행이동 하여도 두 식의 차는 변하지 않으므로, x x x − - − x x x 삼각방정식 을 풀어요).
이전 개념
S = ∫ 0 1 ( e x − e − x ) d x = [ e x + e − x ] 0 1 S=\int_{0}^{1}(e^x-e^{-x})\,dx=\Big[e^x+e^{-x}\Big]_{0}^{1} S = ∫ 0 1 ( e x − e − x ) d x = [ e x + e − x ] 0 1 = e + 1 e − 2 =e+\dfrac{1}{e}-2 = e + e 1 − 2 함수 g ( y ) g(y) g ( y ) [ c , d ] [c,\ d] [ c , d ] x = g ( y ) x=g(y) x = g ( y ) y y y y = c y=c y = c y = d y=d y = d S S S S = ∫ c d ∣ g ( y ) ∣ d y S=\int_{c}^{d}|g(y)|\,dy S = ∫ c d ∣ g ( y ) ∣ d y x = f ( y ) x=f(y) x = f ( y ) x = g ( y ) x=g(y) x = g ( y ) ∫ c d ∣ f ( y ) − g ( y ) ∣ d y \displaystyle\int_{c}^{d}|f(y)-g(y)|\,dy ∫ c d ∣ f ( y ) − g ( y ) ∣ d y 쌤 곡선이 x = g ( y ) x=g(y) x = g ( y ) y y y x x x y y y y y y 곡선 y = ln x y=\ln x y = ln x x x x y y y y = 1 y=1 y = 1 x = e y , 0 ≤ y ≤ 1 x=e^y,\quad 0\le y\le1 x = e y , 0 ≤ y ≤ 1 S = ∫ 0 1 e y d y = [ e y ] 0 1 = e − 1 S=\int_{0}^{1}e^y\,dy=\Big[e^y\Big]_{0}^{1}=e-1 S = ∫ 0 1 e y d y = [ e y ] 0 1 = e − 1 e × 1 − ∫ 1 e ln x d x = e − 1 e\times1-\int_{1}^{e}\ln x\,dx=e-1 e × 1 − ∫ 1 e ln x d x = e − 1 ↳ ◀ 검산: 직사각형에서 빼기
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
곡선 x = y 2 x=y^2 x = y 2 y y y y = 3 y=3 y = 3
y y y y y y ✗ 틀린 풀이
S = ∫ 1 e e y d y S=\displaystyle\int_{1}^{e}e^y\,dy S = ∫ 1 e e y d y 왜 틀렸나 y y y y y y ↓ ✓ 바른 풀이
S = ∫ 0 1 e y d y S=\displaystyle\int_{0}^{1}e^y\,dy S = ∫ 0 1 e y d y x = 1 x=1 x = 1 y = ln 1 = 0 y=\ln1=0 y = ln 1 = 0 x = e x=e x = e y = ln e = 1 y=\ln e=1 y = ln e = 1 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 그림 x x x y y y x x x 부피 도 구할 수 있어요.
이전 개념 1 예: y = ln x y=\ln x y = ln x x = e y x=e^y x = e y 2 3 (오른쪽 식)− - − 이전 개념 응용 곡선 x = y 2 − 2 y x=y^2-2y x = y 2 − 2 y y y y y 2 − 2 y = 0 : y = 0 , 2 y^2-2y=0:\ y=0,\ 2 y 2 − 2 y = 0 : y = 0 , 2 S = ∫ 0 2 ( 2 y − y 2 ) d y S=\int_{0}^{2}(2y-y^2)\,dy S = ∫ 0 2 ( 2 y − y 2 ) d y = [ y 2 − y 3 3 ] 0 2 = 4 3 =\Big[y^2-\dfrac{y^3}{3}\Big]_{0}^{2}=\dfrac{4}{3} = [ y 2 − 3 y 3 ] 0 2 = 3 4
함수 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y = f − 1 ( x ) y=f^{-1}(x) y = f − 1 ( x ) y = x y=x y = x 대칭 이에요.
학생 역함수는 적분하기 어려운데 넓이를 어떻게 구해요?
쌤 대칭인 두 도형은 넓이가 같아요. 그래서 역함수 쪽 넓이를 원래 함수 쪽 넓이로 바꾸어 구해요.
성질 역함수와 넓이
f ( x ) f(x) f ( x ) f ( a ) = c f(a)=c f ( a ) = c f ( b ) = d f(b)=d f ( b ) = d ∫ a b f ( x ) d x + ∫ c d f − 1 ( x ) d x = b d − a c \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{c}^{d}f^{-1}(x)\,dx=bd-ac ∫ a b f ( x ) d x + ∫ c d f − 1 ( x ) d x = b d − a c ∫ c d f − 1 ( x ) d x \displaystyle\int_{c}^{d}f^{-1}(x)\,dx ∫ c d f − 1 ( x ) d x y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) y y y ∫ c d ∣ x ∣ d y \displaystyle\int_{c}^{d}|x|\,dy ∫ c d ∣ x ∣ d y ∫ 0 1 e x d x + ∫ 1 e ln x d x \displaystyle\int_{0}^{1}e^x\,dx+\int_{1}^{e}\ln x\,dx ∫ 0 1 e x d x + ∫ 1 e ln x d x f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = e f(0)=1,\ f(1)=e f ( 0 ) = 1 , f ( 1 ) = e ↳ ◀ y = ln x y=\ln x y = ln x y = e x y=e^x y = e x 1 × e − 0 × 1 = e 1\times e-0\times1=e 1 × e − 0 × 1 = e ↳ ◀ 두 넓이를 합치면 직사각형
( e − 1 ) + 1 = e (e-1)+1=e ( e − 1 ) + 1 = e ↳ ◀ 검산
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
g g g f ( x ) = x 3 f(x)=x^3 f ( x ) = x 3 ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 g ( x ) d x \displaystyle\int_{0}^{1}x^3\,dx+\int_{0}^{1}g(x)\,dx ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 0 1 g ( x ) d x 1 4 \dfrac{1}{4} 4 1 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 1 1 1 + 펼치기 접기 예제 그림 틀리기 쉬운 곳 곡선 y = x 2 ( x ≥ 0 ) y=x^2\ (x\ge0) y = x 2 ( x ≥ 0 ) y = x y=\sqrt{x} y = x ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) (0,\ 0),\ (1,\ 1) ( 0 , 0 ) , ( 1 , 1 ) ↳ ◀ 교점
S = 2 ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 2 × 1 6 = 1 3 S=2\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=2\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3} S = 2 ∫ 0 1 ( x − x 2 ) d x = 2 × 6 1 = 3 1
⚠ 주의 검산
넓이는 항상 양수예요. 음수나 0 0 0 x x x y y y