수학 개념 노트전체 과목

두 곡선 사이의 넓이

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
두 곡선 y=f(x)y=f(x), y=g(x)y=g(x) 와 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이는 S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx 이에요. 교점을 구하여 적분 구간을 정하고, 위아래가 바뀌는 교점에서 구간을 나누어 (위쪽 식)−-(아래쪽 식)을 적분해요.
  1. 1두 곡선 사이의 넓이
  2. 2교점을 구하여 넓이 구하기
  3. 3교점이 세 개인 경우
  4. 4역함수의 그래프와 넓이
  5. 5이차함수와 직선 사이의 넓이 공식 (참고)
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1두 곡선 사이의 넓이

성질두 곡선 사이의 넓이
두 함수 f(x)f(x), g(x)g(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때, 두 곡선 y=f(x)y=f(x), y=g(x)y=g(x) 와 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이 SS 는S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx즉 두 함수의 차의 절댓값을 적분한다.
공식위아래에 따른 넓이
f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x)
S=∫ab{f(x)−g(x)} dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx
y=f(x)y=f(x) 가 위에 있다.
f(x)≤g(x)f(x)\le g(x)
S=∫ab{g(x)−f(x)} dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}\{g(x)-f(x)\}\,dx
y=g(x)y=g(x) 가 위에 있다.
일반
S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx
위아래가 바뀌면 교점에서 구간을 나눈다.
xx 축과의 넓이
S=∫ab∣f(x)−0∣ dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}|f(x)-0|\,dx
g(x)=0g(x)=0 인 경우로, 곡선과 xx 축 사이의 넓이와 같다.
학생
곡선이 xx 축 아래에 있으면 구간을 나눠야 해요?
쌤
아니요. (위쪽 식)−-(아래쪽 식)은 xx 축 위아래와 상관없이 두 곡선 사이의 세로 길이예요.
두 식의 차만 보면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
닫힌구간 [0, 1][0,\ 1] 에서 두 곡선 y=x2+1y=x^2+1, y=x2y=x^2 과 두 직선 x=0x=0, x=1x=1 로 둘러싸인 넓이는?
위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀다
✗ 틀린 풀이
S=∫02{x−(x2+2)} dx=−143S=\displaystyle\int_{0}^{2}\{x-(x^2+2)\}\,dx=-\dfrac{14}{3}
왜 틀렸나 두 곡선 사이의 넓이는 위쪽 그래프의 식에서 아래쪽 그래프의 식을 빼서 적분한다.
✓ 바른 풀이
S=∫02{(x2+2)−x} dx=143S=\displaystyle\int_{0}^{2}\{(x^2+2)-x\}\,dx=\dfrac{14}{3}
확인: x=1x=1 을 넣으면 x2+2=3x^2+2=3, x=1x=1 이므로 y=x2+2y=x^2+2 가 위에 있다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가? 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 f(x)≥g(x)≥0f(x)\ge g(x)\ge0 이면
두 곡선 사이의 넓이는 (y=f(x)y=f(x) 아래의 넓이)−-(y=g(x)y=g(x) 아래의 넓이) 이에요.
S=∫abf(x) dx−∫abg(x) dx=∫ab{f(x)−g(x)} dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx-\int_{a}^{b}g(x)\,dx=\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx

두 곡선의 일부가 xx 축 아래에 있어도 결과는 같아요.
두 곡선을 똑같이 kk 만큼 위로 평행이동하여 모두 xx 축 위로 올려도 도형의 넓이는 변하지 않아요.
이때 두 식의 차는
{f(x)+k}−{g(x)+k}=f(x)−g(x)\{f(x)+k\}-\{g(x)+k\}=f(x)-g(x)
로 그대로예요.
따라서 xx 축의 위치와 관계없이 (위쪽 식)−-(아래쪽 식)을 적분하면 돼요.

(x2+2)−x(x^2+2)-x 의 판별식이 1−8<01-8<0 이므로 항상 곡선 y=x2+2y=x^2+2 가 직선 y=xy=x 보다 위에 있어요.

2교점을 구하여 넓이 구하기

「두 곡선으로 둘러싸인 도형」 처럼 구간이 주어지지 않으면
두 그래프의 교점의 xx 좌표를 구하여 적분 구간으로 삼아요.

학생
어느 그래프가 위에 있는지는 어떻게 알아요?
쌤
두 교점 사이의 값 하나를 두 식에 넣어 비교해요.
값이 큰 쪽이 위쪽 식이에요.
두 그래프로 둘러싸인 넓이 구하는 순서
  1. 1
    방정식 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 를 풀어 교점의 xx 좌표를 구해요.
  2. 2
    구간 안의 값 하나를 두 식에 넣어 어느 그래프가 위에 있는지 정해요.
    그래프를 대강 그려 보아도 돼요.
  3. 3
    ∫αβ{(위쪽 식)−(아래쪽 식)} dx\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta}\{(\text{위쪽 식})-(\text{아래쪽 식})\}\,dx 를 계산해요.
    두 식을 먼저 빼서 하나의 다항식으로 정리하면 계산이 쉬워요.
곡선 y=x2y=x^2 과 직선 y=x+2y=x+2 로 둘러싸인 넓이
x2−x−2=(x+1)(x−2)=0x^2-x-2=(x+1)(x-2)=0
↳교점 x=−1, 2x=-1,\ 2
x=0: (x+2)−x2=2>0x=0:\ (x+2)-x^2=2>0
↳사이의 값을 넣으면 직선이 위
S=∫−12{(x+2)−x2} dxS=\int_{-1}^{2}\{(x+2)-x^2\}\,dx
=[12x2+2x−13x3]−12=\left[\dfrac{1}{2}x^2+2x-\dfrac{1}{3}x^3\right]_{-1}^{2}
=103−(−76)=92=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{9}{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x2y=x^2 과 직선 y=2xy=2x 로 둘러싸인 도형의 넓이는?
두 식을 빼는 순서와 괄호
✗ 틀린 풀이
∫−12{x2−(x+2)} dx=−92\displaystyle\int_{-1}^{2}\{x^2-(x+2)\}\,dx=-\dfrac{9}{2} 이므로 넓이는 −92-\dfrac{9}{2}
왜 틀렸나 어느 그래프가 위에 있는지 먼저 확인하고, 위쪽 식에서 아래쪽 식 전체를 괄호째 뺀다.
✓ 바른 풀이
∫−12{(x+2)−x2} dx=92\displaystyle\int_{-1}^{2}\{(x+2)-x^2\}\,dx=\dfrac{9}{2}
확인: 구간 안의 x=0x=0 을 넣으면 x+2=2x+2=2, x2=0x^2=0 이므로 직선 y=x+2y=x+2 가 위에 있다.
⚠ 주의xx 축에서 나누지 않는다
곡선 y=x2−2xy=x^2-2x 는 0<x<20<x<2 에서 xx 축 아래에 있지만, 두 곡선 사이의 넓이를 구할 때는 xx 축에서 구간을 나눌 필요가 없어요.
구간을 나누는 곳은 두 그래프의 위아래가 바뀌는 교점뿐이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

교점의 xx 좌표는 방정식 f(x)=g(x)f(x)=g(x) 의 실근이에요.
지수·로그·삼각함수 곡선 사이의 넓이도 같은 방법으로 구해요.

2x2−2x−4=2(x+1)(x−2)=02x^2-2x-4=2(x+1)(x-2)=0
↳교점 x=−1, 2x=-1,\ 2
(−x2+4)−(x2−2x)=−2x2+2x+4(-x^2+4)-(x^2-2x)=-2x^2+2x+4
↳위 −- 아래
S=∫−12(−2x2+2x+4) dxS=\int_{-1}^{2}(-2x^2+2x+4)\,dx
=[−23x3+x2+4x]−12=203−(−73)=9=\left[-\dfrac{2}{3}x^3+x^2+4x\right]_{-1}^{2}=\dfrac{20}{3}-\left(-\dfrac{7}{3}\right)=9

3교점이 세 개인 경우

삼차함수의 그래프와 직선은 세 점에서 만날 수 있어요.
이때 교점 사이의 구간마다 위아래가 바뀌므로 구간을 나누어 각각 (위쪽 식)−-(아래쪽 식)을 적분한 뒤 더해요.

곡선 y=x3y=x^3 과 직선 y=xy=x 로 둘러싸인 넓이
x(x+1)(x−1)=0x(x+1)(x-1)=0
↳교점 x=−1, 0, 1x=-1,\ 0,\ 1
−1≤x≤0: x3≥x-1\le x\le0:\ x^3\ge x
↳곡선이 위
0≤x≤1: x≥x30\le x\le1:\ x\ge x^3
↳직선이 위
S=∫−10(x3−x) dx+∫01(x−x3) dxS=\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx
=14+14=12=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}
학생
두 조각의 넓이가 똑같이 14\dfrac{1}{4} 이에요. 우연이에요?
쌤
아니요. y=x3y=x^3 과 y=xy=x 는 모두 원점에 대하여 대칭이라 두 조각도 원점에 대하여 대칭이에요.
그래서 한쪽만 구해 22 배 해도 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x3y=x^3 과 직선 y=4xy=4x 로 둘러싸인 도형의 넓이는?
위아래가 바뀌면 나누어야 한다
✗ 틀린 풀이
S=∫−11(x3−x) dx=0S=\displaystyle\int_{-1}^{1}(x^3-x)\,dx=0
왜 틀렸나 위아래가 바뀌는 교점 x=0x=0 에서 구간을 나누고, 구간마다 위쪽 식에서 아래쪽 식을 뺀다.
✓ 바른 풀이
S=∫−10(x3−x) dx+∫01(x−x3) dx=12S=\displaystyle\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx+\int_{0}^{1}(x-x^3)\,dx=\dfrac{1}{2}
확인: x=−12x=-\dfrac{1}{2} 이면 x3−x=38>0x^3-x=\dfrac{3}{8}>0, x=12x=\dfrac{1}{2} 이면 x3−x=−38<0x^3-x=-\dfrac{3}{8}<0 이다.
넓이가 00 이 나오면 구간을 나누지 않았는지 의심한다.
자세히 보기펼치기그림예제
x3−4x=x(x+2)(x−2)=0x^3-4x=x(x+2)(x-2)=0
↳교점 x=−2, 0, 2x=-2,\ 0,\ 2
∫−20(x3−4x) dx=4\int_{-2}^{0}(x^3-4x)\,dx=4
↳−2≤x≤0-2\le x\le0: 곡선이 위
∫02(4x−x3) dx=4\int_{0}^{2}(4x-x^3)\,dx=4
↳0≤x≤20\le x\le2: 직선이 위
S=4+4=8S=4+4=8

4역함수의 그래프와 넓이

함수 y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 그 역함수 y=g(x)y=g(x) 의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이에요.
대칭이동해도 도형의 넓이는 변하지 않으므로, 역함수의 식을 몰라도 f(x)f(x) 만으로 넓이를 구할 수 있어요.

성질역함수와 넓이
① 두 그래프 y=f(x)y=f(x), y=g(x)y=g(x) 로 둘러싸인 넓이는
곡선 y=f(x)y=f(x) 와 직선 y=xy=x 로 둘러싸인 넓이의 22 배이다.
② f(x)f(x) 가 증가하고 f(0)=0f(0)=0, f(k)=lf(k)=l 일 때, ∫0lg(x) dx\displaystyle\int_{0}^{l}g(x)\,dx 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 yy 축 사이의 넓이와 같으므로∫0lg(x) dx=kl−∫0kf(x) dx\int_{0}^{l}g(x)\,dx=kl-\int_{0}^{k}f(x)\,dx
학생
② 에서는 왜 직사각형 넓이 klkl 에서 빼요?
쌤
∫0lg(x) dx\displaystyle\int_{0}^{l}g(x)\,dx 의 넓이를 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이동하면 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 yy 축 사이의 넓이가 돼요.
가로 kk, 세로 ll 인 직사각형에서 곡선 아래의 넓이 ∫0kf(x) dx\displaystyle\int_{0}^{k}f(x)\,dx 를 빼면 그 부분이 남아요.
곡선 y=x2y=x^2 (x≥0x\ge0) 과 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이
x2=x, x=0 또는 x=1x^2=x,\ x=0\ \text{또는}\ x=1
↳곡선과 직선 y=xy=x 의 교점
∫01(x−x2) dx=12−13=16\int_{0}^{1}(x-x^2)\,dx=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}
↳직선이 위
S=2×16=13S=2\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{3}
↳y=xy=x 대칭이라 22 배
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x2y=x^2 (x≥0x\ge0) 과 직선 y=xy=x 로 둘러싸인 넓이가 16\dfrac{1}{6} 일 때, 곡선 y=x2y=x^2 (x≥0x\ge0) 과 그 역함수의 그래프로 둘러싸인 넓이는?
역함수의 정적분을 ff 의 정적분으로 바꿀 때
✗ 틀린 풀이
∫02g(x) dx=∫02f(x) dx=6\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx=\int_{0}^{2}f(x)\,dx=6
왜 틀렸나 y=g(x)y=g(x) 의 그래프는 y=f(x)y=f(x) 를 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이동한 것이므로 ff 쪽 구간은 gg 의 값 범위가 된다.
✓ 바른 풀이
∫02g(x) dx=1×2−∫01f(x) dx=54\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx=1\times2-\int_{0}^{1}f(x)\,dx=\dfrac{5}{4}
적분 구간 0≤x≤20\le x\le2 는 gg 의 입력 범위예요.
ff 쪽에서는 g(0)=0g(0)=0, g(2)=1g(2)=1 이므로 구간이 0≤x≤10\le x\le1 로 바뀌고, 직사각형에서 빼야 해요.
자세히 보기펼치기예제그림
f(x)=x3+xf(x)=x^3+x 의 역함수를 g(x)g(x) 라 할 때 ∫02g(x) dx\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx
g(0)=0,g(2)=1g(0)=0,\quad g(2)=1
↳f(0)=0f(0)=0, f(1)=2f(1)=2
∫01(x3+x) dx=14+12=34\int_{0}^{1}(x^3+x)\,dx=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{4}
↳곡선 y=f(x)y=f(x) 아래 넓이
∫02g(x) dx=1×2−34=54\int_{0}^{2}g(x)\,dx=1\times2-\dfrac{3}{4}=\dfrac{5}{4}
↳직사각형에서 빼기
∫02g(x) dx\displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\,dx 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 yy 축 및 직선 y=2y=2 로 둘러싸인 넓이예요.

5이차함수와 직선 사이의 넓이 공식 (참고)

성질넓이 공식
f(x)−g(x)=a(x−α)(x−β)f(x)-g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta) (α<β\alpha<\beta) 이면 두 그래프로 둘러싸인 넓이는S=∣a∣(β−α)36S=\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6}여기서 aa 는 두 식의 차 f(x)−g(x)f(x)-g(x) 의 이차항의 계수이다.
학생
이 공식은 아무 곡선에나 쓸 수 있어요?
쌤
아니요. 두 식의 차가 이차식일 때, 즉 이차함수와 직선이나 두 이차함수 사이에서만 써요.
삼차함수가 끼면 적분으로 구해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x2y=x^2 과 직선 y=x+6y=x+6 으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
aa 는 차의 이차항 계수이다
✗ 틀린 풀이
y=x2−2xy=x^2-2x, y=−x2+4y=-x^2+4 에서 a=1a=1 로 보고 S=1×336=92S=\dfrac{1\times3^3}{6}=\dfrac{9}{2}
왜 틀렸나 공식 ∣a∣(β−α)36\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^3}{6} 의 aa 는 두 식을 뺀 이차식의 이차항 계수이다.
✓ 바른 풀이
(x2−2x)−(−x2+4)=2x2−2x−4(x^2-2x)-(-x^2+4)=2x^2-2x-4 이므로 a=2a=2
S=2×336=9S=\dfrac{2\times3^3}{6}=9
교점은 2x2−2x−4=02x^2-2x-4=0 에서 x=−1, 2x=-1,\ 2 이므로 β−α=3\beta-\alpha=3 이다.
이 공식은 적분으로 구한 값을 검산할 때 쓰면 좋다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

왜 그런가? 이차함수의 그래프와 직선(또는 다른 이차함수의 그래프)이 x=αx=\alpha, x=βx=\beta (α<β\alpha<\beta) 에서 만나면
두 식의 차는 f(x)−g(x)=a(x−α)(x−β)f(x)-g(x)=a(x-\alpha)(x-\beta) 꼴이에요.
이때
∫αβ(x−α)(x−β) dx=−(β−α)36\displaystyle \int_{\alpha}^{\beta}(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=-\dfrac{(\beta-\alpha)^3}{6}
이므로 넓이는 위의 공식과 같아요.

넓이 공식 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2차의 절댓값을 적분
S두 곡선=∫ab∣f(x)−□∣ dxS_{\text{두 곡선}}=\int_{a}^{b}|f(x)-\square|\,dx
단계 1 / 2세제곱, 6으로 나눔
S이차함수와 직선=∣a∣(β−α)□6S_{\text{이차함수와 직선}}=\dfrac{|a|(\beta-\alpha)^{\square}}{6}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1두 곡선 y=f(x)y=f(x), y=g(x)y=g(x) 와 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이는 S=∫ab∣f(x)−g(x)∣ dxS=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\,dx 이다.
  2. 2구간에서 f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x) 이면 S=∫ab{f(x)−g(x)} dxS=\displaystyle\int_{a}^{b}\{f(x)-g(x)\}\,dx, 즉 (위쪽 식)−-(아래쪽 식)을 적분한다.
  3. 3두 그래프의 교점의 xx 좌표로 적분 구간을 정하고, 교점이 셋 이상이면 위아래가 바뀌는 곳에서 구간을 나눈다.
  4. 4곡선 y=f(x)y=f(x) 와 그 역함수의 그래프는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이므로 넓이를 대칭인 도형의 넓이로 바꾸어 구할 수 있다.
✗ 자주 하는 실수
  • 어느 그래프가 위에 있는지 확인하지 않고 (아래쪽 식)−-(위쪽 식)을 적분하여 넓이를 음수로 구해요.
  • 교점이 세 개라 위아래가 바뀌는데 구간을 나누지 않고 한 번에 적분하여 넓이가 지워져요.
  • 두 곡선 사이의 넓이인데 곡선이 xx 축 아래에 있다고 xx 축에서 구간을 나누거나 부호를 바꿔요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    곡선 y=x2y=x^2 과 직선 y=2xy=2x 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
  2. 예제 2
    두 곡선 y=x2−3xy=x^2-3x, y=−x2+xy=-x^2+x 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
  3. 예제 3
    곡선 y=x3−x2y=x^3-x^2 과 직선 y=2xy=2x 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 곡선과 x축 사이의 넓이설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 역함수, 공통수학2 평행이동, 공통수학1 이차방정식과 이차함수의 관계, 미적분Ⅱ 넓이 (나중에)미적분Ⅰ 목차
← 곡선과 x축 사이의 넓이속도와 거리 →
학원·교습소에서 쓰시나요?

학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

학원용 문의하기