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삼각방정식과 삼각부등식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
방정식 sin⁡x=k\sin x=k 의 해는 y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프와 직선 y=ky=k 의 교점의 xx 좌표이고, 부등식 sin⁡x>k\sin x>k 의 해는 그래프가 직선보다 위쪽에 있는 xx 의 값의 범위예요. 삼각함수가 이차식 꼴이면 sin⁡x=t\sin x=t 로 놓고 −1≤t≤1-1\le t\le1 에서 풀어요.
  1. 1삼각방정식과 그래프
  2. 2sin⁡x=k\sin x=k, cos⁡x=k\cos x=k, tan⁡x=k\tan x=k 의 풀이
  3. 3이차식 꼴의 삼각방정식
  4. 4삼각부등식
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1삼각방정식과 그래프

정의삼각방정식
sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}, 2cos⁡x+1=02\cos x+1=0 과 같이 각의 크기가 미지수인 삼각함수를 포함한 방정식을 삼각방정식이라 한다.

방정식 sin⁡x=k\sin x=k 의 해는 함수 y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프와 직선 y=ky=k 의 교점의 xx 좌표예요.

학생
왜 0≤x<2π0\le x<2\pi 처럼 범위를 정해요?
쌤
삼각함수는 2π2\pi 마다 같은 값이 되풀이되어서 범위가 없으면 해가 끝없이 나와요. 그래서 보통 한 바퀴 0≤x<2π0\le x<2\pi 안의 해만 구해요.
공식해가 특별한 경우 (0≤x<2π0\le x<2\pi)
sin⁡x=1\sin x=1
x=π2\displaystyle x=\frac{\pi}{2}
그래프의 꼭대기와 한 점에서 만난다.
sin⁡x=−1\sin x=-1
x=32π\displaystyle x=\frac{3}{2}\pi
sin⁡x=0\sin x=0
x=0 또는 x=π\displaystyle x=0\ \text{또는}\ x=\pi
cos⁡x=1\cos x=1
x=0\displaystyle x=0
cos⁡x=−1\cos x=-1
x=π\displaystyle x=\pi
cos⁡x=0\cos x=0
x=π2 또는 x=32π\displaystyle x=\frac{\pi}{2}\ \text{또는}\ x=\frac{3}{2}\pi
∣k∣>1|k|>1
sin⁡x=k, cos⁡x=k 의 해는 없다\displaystyle \sin x=k,\ \cos x=k\ \text{의 해는 없다}
−1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1, −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le1 이기 때문이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 방정식 cos⁡x=2\cos x=2 의 해의 개수는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

삼각함수는 주기함수이므로 해가 무수히 많아요. 그래서 보통 0≤x<2π0\le x<2\pi 처럼 범위를 정하고 그 안의 해를 구해요.

2sin⁡x=k\sin x=k, cos⁡x=k\cos x=k, tan⁡x=k\tan x=k 의 풀이

공식0≤x<2π0\le x<2\pi 에서의 해 (0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2}, k>0k>0)
sin⁡x=k\sin x=k
x=α 또는 x=π−α\displaystyle x=\alpha\ \text{또는}\ x=\pi-\alpha
sin⁡α=k\sin\alpha=k
sin⁡x=−k\sin x=-k
x=π+α 또는 x=2π−α\displaystyle x=\pi+\alpha\ \text{또는}\ x=2\pi-\alpha
제33, 44사분면
cos⁡x=k\cos x=k
x=α 또는 x=2π−α\displaystyle x=\alpha\ \text{또는}\ x=2\pi-\alpha
cos⁡α=k\cos\alpha=k
cos⁡x=−k\cos x=-k
x=π−α 또는 x=π+α\displaystyle x=\pi-\alpha\ \text{또는}\ x=\pi+\alpha
제22, 33사분면
tan⁡x=k\tan x=k
x=α 또는 x=π+α\displaystyle x=\alpha\ \text{또는}\ x=\pi+\alpha
tan⁡α=k\tan\alpha=k
tan⁡x=−k\tan x=-k
x=π−α 또는 x=2π−α\displaystyle x=\pi-\alpha\ \text{또는}\ x=2\pi-\alpha
제22, 44사분면
sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2} 을 단위원으로 보기
y=12y=\frac{1}{2}
απ-αO
두 교점은 yy 축에 대하여 대칭이므로 각은 α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6} 와 π−α=56π\pi-\alpha=\dfrac{5}{6}\pi 예요. (단위원의 반지름을 11 로 보아요.)
학생
kk 가 음수이면 표를 어떻게 써요?
쌤
먼저 ∣k∣|k| 에 대한 예각 α\alpha 를 찾고, 값이 음수인 사분면에서 해를 찾아요. sin⁡x=−12\sin x=-\dfrac{1}{2} 이면 α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6} 이고, 제33, 제44사분면의 76π\dfrac{7}{6}\pi, 116π\dfrac{11}{6}\pi 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 sin⁡x=−22\sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2} 의 해는?
해는 하나가 아니다
✗ 틀린 풀이
sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}
x=π6x=\dfrac{\pi}{6}
왜 틀렸나 0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2} 인 xx 는 α\alpha 와 π−α\pi-\alpha 두 개이다.
✓ 바른 풀이
sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}
x=π6x=\dfrac{\pi}{6} 또는 x=56πx=\dfrac{5}{6}\pi
직선 y=12y=\dfrac{1}{2} 은 0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프와 두 번 만난다.
그래프를 그려 교점의 개수를 먼저 센다.
음수 값은 사분면으로 처리한다
✗ 틀린 풀이
cos⁡x=−12\cos x=-\dfrac{1}{2}
x=π3x=\dfrac{\pi}{3} 또는 x=53πx=\dfrac{5}{3}\pi
왜 틀렸나 cos⁡x\cos x 가 음수이면 해는 제22, 33사분면에 있으므로 기준각으로 π±α\pi\pm\alpha 를 구한다.
✓ 바른 풀이
cos⁡x=−12\cos x=-\dfrac{1}{2}
x=23πx=\dfrac{2}{3}\pi 또는 x=43πx=\dfrac{4}{3}\pi
cos⁡π3=12\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2} 이므로 기준각은 α=π3\alpha=\dfrac{\pi}{3} 이에요.
cos⁡\cos 이 음수인 제22, 33사분면에서 π−α\pi-\alpha, π+α\pi+\alpha 가 해예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가 (단위원으로 보기)
단위원 위의 점 PP 에 대하여 동경 OPOP 가 나타내는 각을 xx 라 하면 P(cos⁡x, sin⁡x)P(\cos x,\ \sin x) 이에요.
sin⁡x=k\sin x=k 는 직선 y=ky=k, cos⁡x=k\cos x=k 는 직선 x=kx=k, tan⁡x=k\tan x=k 는 원점과 점 (1, k)(1,\ k) 를 지나는 직선이 단위원과 만나는 점 PP 를 찾는 거예요.

직선 y=ky=k 와 단위원의 두 교점은 yy 축에 대하여 대칭이므로, 한 각이 α\alpha 이면 다른 각은 π−α\pi-\alpha 이에요. 이것은 sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha 와 같은 뜻이에요.
직선 x=kx=k 와 단위원의 두 교점은 xx 축에 대하여 대칭이므로 두 각은 α\alpha 와 2π−α2\pi-\alpha 이에요.
원점을 지나는 직선과 단위원의 두 교점은 원점에 대하여 대칭이므로 두 각은 α\alpha 와 π+α\pi+\alpha 이에요.

tan⁡x=k\tan x=k 는 kk 가 어떤 실수이든 0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 해가 항상 22 개예요. y=tan⁡xy=\tan x 의 치역이 실수 전체이기 때문이에요.
kk 가 음수일 때는 α\alpha 를 ∣k∣|k| 에 대한 예각으로 잡고, 값이 음수가 되는 사분면에서 해를 찾아요.

삼각방정식을 푸는 순서
  1. 1
    sin⁡x=k\sin x=k 꼴로 정리해요.
    2sin⁡x−1=02\sin x-1=0 이면 sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2}
  2. 2
    ∣k∣|k| 에 대한 기준각 α\alpha 를 찾아요.
    sin⁡α=12\sin\alpha=\dfrac{1}{2} 이므로 α=π6\alpha=\dfrac{\pi}{6}
  3. 3
    kk 의 부호로 해가 있는 사분면을 정하고, 위의 표처럼 해를 써요.
    k>0k>0 이므로 제11, 22사분면에서 x=π6x=\dfrac{\pi}{6}, 56π\dfrac{5}{6}\pi
  4. 4
    범위 0≤x<2π0\le x<2\pi 를 벗어난 해는 버려요.
  5. 5
    구한 해를 처음 방정식에 넣어 확인해요.
    sin⁡56π=sin⁡π6=12\sin\dfrac{5}{6}\pi=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2}
각이 바뀐 꼴
cos⁡(x+π6)=12\cos\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2} (0≤x<2π0\le x<2\pi)
t=x+π6,π6≤t<136πt=x+\dfrac{\pi}{6},\quad \dfrac{\pi}{6}\le t<\dfrac{13}{6}\pi
↳tt 의 범위도 함께 바꿔요
t=π3 또는 t=53πt=\dfrac{\pi}{3}\ \text{또는}\ t=\dfrac{5}{3}\pi
↳이 범위에서 cos⁡t=12\cos t=\frac{1}{2}
x=t−π6=π6 또는 32πx=t-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6}\ \text{또는}\ \dfrac{3}{2}\pi

3이차식 꼴의 삼각방정식

2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2x-\sin x-1=0 처럼 삼각함수에 대한 이차식 꼴이면 sin⁡x=t\sin x=t 로 놓아 tt 에 대한 이차방정식을 풀어요.
이때 −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1 이므로 tt 의 범위는 −1≤t≤1-1\le t\le1 이에요.
sin⁡x\sin x 와 cos⁡x\cos x 가 섞여 있으면 sin⁡2x+cos⁡2x=1\sin^2x+\cos^2x=1 을 써서 한 가지 함수로 통일해요.

2sin⁡2x−sin⁡x−1=02\sin^2x-\sin x-1=0 (0≤x<2π0\le x<2\pi)
2t2−t−1=02t^2-t-1=0
↳sin⁡x=t (−1≤t≤1)\sin x=t\ (-1\le t\le1)
(2t+1)(t−1)=0(2t+1)(t-1)=0
sin⁡x=1:x=π2\sin x=1:\quad x=\dfrac{\pi}{2}
sin⁡x=−12:x=76π 또는 116π\sin x=-\dfrac{1}{2}:\quad x=\dfrac{7}{6}\pi\ \text{또는}\ \dfrac{11}{6}\pi
↳제33, 44사분면
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 cos⁡2x−cos⁡x−2=0\cos^2x-\cos x-2=0 의 해는?
tt 의 범위를 확인한다
✗ 틀린 풀이
2sin⁡2x+3sin⁡x−2=02\sin^2x+3\sin x-2=0
(2sin⁡x−1)(sin⁡x+2)=0(2\sin x-1)(\sin x+2)=0
sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2} 또는 sin⁡x=−2\sin x=-2 이므로 해가 44 개
왜 틀렸나 t=sin⁡xt=\sin x 로 치환하면 −1≤t≤1-1\le t\le1 이므로 이 범위 밖의 근은 버려야 한다.
✓ 바른 풀이
sin⁡x=−2\sin x=-2 는 −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1 을 벗어나므로 해가 없다.
따라서 x=π6x=\dfrac{\pi}{6} 또는 x=56πx=\dfrac{5}{6}\pi
tt 에 대한 이차방정식의 근을 구한 뒤 반드시 −1≤t≤1-1\le t\le1 인지 확인해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
이차식 꼴을 푸는 순서
  1. 1
    한 가지 삼각함수로 통일해요.
    cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x
  2. 2
    sin⁡x=t\sin x=t 로 놓고 tt 의 범위를 써요.
    −1≤t≤1-1\le t\le1
  3. 3
    tt 에 대한 이차방정식을 인수분해하여 풀어요.
  4. 4
    범위 −1≤t≤1-1\le t\le1 을 벗어난 근은 버려요.
  5. 5
    남은 tt 마다 sin⁡x=t\sin x=t 를 풀어 해를 모두 모아요.
cos⁡2x\cos^2x 를 바꾸는 꼴
2cos⁡2x−sin⁡x−1=02\cos^2x-\sin x-1=0
2(1−sin⁡2x)−sin⁡x−1=02(1-\sin^2x)-\sin x-1=0
↳cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x
2sin⁡2x+sin⁡x−1=02\sin^2x+\sin x-1=0
(sin⁡x+1)(2sin⁡x−1)=0(\sin x+1)(2\sin x-1)=0
x=π6, 56π, 32πx=\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{5}{6}\pi,\ \dfrac{3}{2}\pi
↳sin⁡x=12\sin x=\frac{1}{2} 또는 −1-1

4삼각부등식

정의삼각부등식
sin⁡x>12\sin x>\dfrac{1}{2}, 2cos⁡x−1≤02\cos x-1\le0 과 같이 각의 크기가 미지수인 삼각함수를 포함한 부등식을 삼각부등식이라 한다.
학생
sin⁡x>12\sin x>\dfrac{1}{2} 같은 부등식은 어떻게 풀어요?
쌤
먼저 sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2} 를 풀어 경계를 찾아요. 그다음 그래프가 직선 y=12y=\dfrac{1}{2} 보다 위쪽에 있는 xx 의 범위를 읽으면 돼요.
세 가지 기본 부등식 (0≤x<2π0\le x<2\pi)
sin⁡x≥12:π6≤x≤56π\sin x\ge\dfrac{1}{2}:\quad \dfrac{\pi}{6}\le x\le\dfrac{5}{6}\pi
↳교점 사이에서 위쪽
cos⁡x<12:π3<x<53π\cos x<\dfrac{1}{2}:\quad \dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{5}{3}\pi
↳교점 사이에서 아래쪽
tan⁡x≥1:π4≤x<π2\tan x\ge1:\quad \dfrac{\pi}{4}\le x<\dfrac{\pi}{2}
또는54π≤x<32π\text{또는}\quad \dfrac{5}{4}\pi\le x<\dfrac{3}{2}\pi
↳점근선에서 끊어져요
tan⁡x≥1\tan x\ge1 의 해
0
π4\frac{\pi}{4}
π2\frac{\pi}{2}
54π\frac{5}{4}\pi
32π\frac{3}{2}\pi
2π2\pi
π2\frac{\pi}{2}, 32π\frac{3}{2}\pi 에서는 tan⁡x\tan x 가 정의되지 않으므로 ○ 예요. 해가 두 구간으로 나뉘어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 sin⁡x<0\sin x<0 의 해는?
위쪽인 부분이 둘로 나뉠 수 있다
✗ 틀린 풀이
cos⁡x>12\cos x>\dfrac{1}{2}
π3<x<53π\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{5}{3}\pi
왜 틀렸나 부등식의 해는 그래프가 직선보다 위쪽인 xx 의 범위이므로 그래프로 위치를 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
cos⁡x>12\cos x>\dfrac{1}{2}
0≤x<π30\le x<\dfrac{\pi}{3} 또는 53π<x<2π\dfrac{5}{3}\pi<x<2\pi
y=cos⁡xy=\cos x 의 그래프는 x=0x=0 근처와 x=2πx=2\pi 근처에서 직선 y=12y=\dfrac{1}{2} 보다 위쪽에 있다.
검산: x=0x=0 을 넣으면 cos⁡0=1>12\cos0=1>\dfrac{1}{2} 이므로 00 이 해에 들어간다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

부등식 sin⁡x>k\sin x>k 의 해는 y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프가 직선 y=ky=k 보다 위쪽에 있는 xx 의 값의 범위예요.
부등식 sin⁡x<k\sin x<k 의 해는 그래프가 직선보다 아래쪽에 있는 xx 의 값의 범위예요.
그래서 먼저 방정식 sin⁡x=k\sin x=k 를 풀어 경계(교점)를 찾고, 그래프에서 위쪽·아래쪽을 읽어요.

삼각부등식을 푸는 순서
  1. 1
    sin⁡x>k\sin x>k 꼴로 정리해요.
  2. 2
    방정식 sin⁡x=k\sin x=k 의 해를 0≤x<2π0\le x<2\pi 에서 구해요.
    그래프와 직선의 교점
  3. 3
    그래프가 직선보다 위쪽(또는 아래쪽)인 부분을 읽어요.
    부등호에 등호가 있으면 경계를 포함해요.
  4. 4
    범위의 양 끝 00, 2π2\pi 와 tan⁡\tan 의 점근선을 확인해요.
    tan⁡\tan 는 x=π2x=\dfrac{\pi}{2}, 32π\dfrac{3}{2}\pi 를 포함하지 않아요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1sin⁡x=k\sin x=k 의 해
    y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프와 직선 y=ky=k 의 교점의 xx 좌표
  2. 20≤x<2π0\le x<2\pi 에서 기준각 α\alpha (0<α<π20<\alpha<\dfrac{\pi}{2})의 짝
    sin⁡\sin: α\alpha 와 π−α\pi-\alpha
    cos⁡\cos: α\alpha 와 2π−α2\pi-\alpha
    tan⁡\tan: α\alpha 와 π+α\pi+\alpha
  3. 3이차식 꼴
    sin⁡x=t\sin x=t 로 놓고 −1≤t≤1-1\le t\le1 인 근만 쓴다.
  4. 4sin⁡x>k\sin x>k 의 해
    y=sin⁡xy=\sin x 의 그래프가 직선 y=ky=k 보다 위쪽에 있는 xx 의 값의 범위
✗ 자주 하는 실수
  • sin⁡x=12\sin x=\dfrac{1}{2} 의 해를 x=π6x=\dfrac{\pi}{6} 하나만 써요. 0≤x<2π0\le x<2\pi 에서는 π−α=56π\pi-\alpha=\dfrac{5}{6}\pi 도 해예요.
  • sin⁡x=t\sin x=t 로 놓은 뒤 −1≤t≤1-1\le t\le1 을 확인하지 않아 sin⁡x=−2\sin x=-2 같은 근에서도 해를 찾아요.
  • cos⁡x>12\cos x>\dfrac{1}{2} 의 해를 두 교점 사이 π3<x<53π\dfrac{\pi}{3}<x<\dfrac{5}{3}\pi 로 써요. 그래프가 직선보다 위쪽인 부분은 0≤x<π30\le x<\dfrac{\pi}{3} 또는 53π<x<2π\dfrac{5}{3}\pi<x<2\pi 이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    0≤x<2π0\le x<2\pi 일 때, 방정식 2cos⁡x+3=02\cos x+\sqrt{3}=0 을 푸시오.
  2. 예제 2
    0≤x<2π0\le x<2\pi 일 때, 부등식 2cos⁡x−3>02\cos x-\sqrt{3}>0 을 푸시오.
  3. 예제 3
    0≤x<2π0\le x<2\pi 일 때, 방정식 2cos⁡2x+3sin⁡x−3=02\cos^2x+3\sin x-3=0 을 푸시오.

다음 공부

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