수학 개념 노트전체 과목

역함수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
함수 f:X→Yf: X\to Y 가 일대일대응일 때, YY 의 각 원소 yy 에 f(x)=yf(x)=y 인 XX 의 원소 xx 를 대응시키는 함수를 ff 의 역함수 f−1f^{-1} 라 해요. y=f(x)y=f(x) 를 xx 에 대하여 풀고 xx 와 yy 를 바꾸면 역함수를 구할 수 있고, 두 그래프는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이에요.
  1. 1역함수의 뜻과 존재 조건
  2. 2역함수를 구하는 방법
  3. 3역함수의 성질
  4. 4역함수의 그래프
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1역함수의 뜻과 존재 조건

역함수는 ff 의 대응을 거꾸로 되돌리는 함수예요.

정의역함수
함수 f:X→Yf: X\to Y 가 일대일대응일 때, YY 의 각 원소 yy 에 대하여 f(x)=yf(x)=y 인 XX 의 원소 xx 는 오직 하나 있다.
YY 의 각 원소 yy 에 이 xx 를 대응시키는 함수를 ff 의 역함수 라 하고, 기호로 f−1:Y→Xf^{-1}: Y\to X 와 같이 나타낸다.x=f−1(y)  ⟺  y=f(x)x=f^{-1}(y)\iff y=f(x)f−1f^{-1} 는 「ff 인버스」라 읽는다.
ff 와 f−1f^{-1}
X123Y468fY468X123
f−1f^{-1}
f(1)=4f(1)=4 이면 f−1(4)=1f^{-1}(4)=1 이에요. 화살표의 방향만 바뀌고, 정의역과 공역이 서로 바뀌어요.
성질역함수가 존재할 조건
함수 ff 의 역함수가 존재하려면 ff 가 일대일대응 이어야 한다.
이유는 두 가지이다.
일대일함수가 아니면 f(x1)=f(x2)=yf(x_1)=f(x_2)=y 인 x1≠x2x_1\ne x_2 가 있어서 f−1(y)f^{-1}(y) 의 값이 두 개가 되므로 함수가 아니다.
치역이 공역과 다르면 공역의 어떤 yy 에는 대응시킬 xx 가 없다.
학생
역함수가 없는 함수도 있어요?
쌤
있어요. f(x)=x2f(x)=x^2 이면 f(1)=f(−1)=1f(1)=f(-1)=1 이라서 f−1(1)f^{-1}(1) 을 하나로 정할 수 없어요. 그래서 일대일대응일 때만 역함수가 있어요.
성질f−1(b)=af^{-1}(b)=a 의 뜻
역함수의 정의에서 f−1(b)=a  ⟺  f(a)=bf^{-1}(b)=a\iff f(a)=b역함숫값 f−1(b)f^{-1}(b) 는 「ff 에 넣어서 bb 가 나오는 수」이다.
그래서 역함수의 식을 구하지 않고도 방정식 f(a)=bf(a)=b 를 풀어 역함숫값을 구할 수 있다.
예역함숫값 구하기
f(x)=2x−3f(x)=2x-3 일 때 f−1(5)f^{-1}(5) 의 값
f−1(5)=af^{-1}(5)=a 라 하면 f(a)=5f(a)=5 이므로
2a−3=52a-3=5
따라서 a=4a=4, 즉 f−1(5)=4f^{-1}(5)=4
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=3x+1f(x)=3x+1 일 때 f−1(7)f^{-1}(7) 의 값은?
f−1f^{-1} 는 역수가 아니다
✗ 틀린 풀이
f(x)=2x−3f(x)=2x-3 일 때
f−1(5)=1f(5)=17f^{-1}(5)=\dfrac{1}{f(5)}=\dfrac{1}{7}
왜 틀렸나 f−1(5)f^{-1}(5) 는 f(a)=5f(a)=5 가 되는 aa 이므로 역수가 아니라 거꾸로 대응하는 값을 구한다.
✓ 바른 풀이
f(x)=2x−3f(x)=2x-3 일 때
f(a)=5f(a)=5 에서 2a−3=52a-3=5
f−1(5)=4f^{-1}(5)=4
1f(x)\dfrac{1}{f(x)} 은 {f(x)}−1\{f(x)\}^{-1} 로 쓴다.
검산: f(4)=2×4−3=5f(4)=2\times4-3=5 이므로 f−1(5)=4f^{-1}(5)=4 가 맞다.
자세히 보기펼치기예제
예역함수가 있는 함수, 없는 함수
실수 전체에서 정의된 y=x2y=x^2 은 f(−1)=f(1)=1f(-1)=f(1)=1 이므로 일대일함수가 아니에요.
따라서 역함수가 존재하지 않아요.
정의역을 x≥0x\ge0, 공역을 y≥0y\ge0 으로 제한하면 일대일대응이 되어 역함수가 존재해요.
그 역함수가 무리함수 y=xy=\sqrt{x} 예요.

일차함수 y=ax+b (a≠0)y=ax+b\ (a\ne0) 는 실수 전체에서 실수 전체로의 일대일대응이므로 항상 역함수가 존재해요.
상수함수 y=3y=3 은 일대일함수가 아니므로 역함수가 없어요.

2역함수를 구하는 방법

역함수의 식은 y=f(x)y=f(x) 를 xx 에 대하여 푼 다음, xx 와 yy 를 서로 바꿔 구해요.

xx 에 대하여 푼 식 x=f−1(y)x=f^{-1}(y) 도 역함수를 나타내요.
다만 함수는 보통 정의역의 원소를 xx, 함숫값을 yy 로 쓰므로, 마지막에 x 와 y를 서로 바꾸어 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 로 나타내요.

y=2x−3y=2x-3 의 역함수
2x=y+32x=y+3
↳xx 에 대하여 풀어요
x=y+32x=\frac{y+3}{2}
y=x+32y=\frac{x+3}{2}
↳xx 와 yy 를 바꿔요
검산: f(x+32)=2⋅x+32−3=xf\left(\dfrac{x+3}{2}\right)=2\cdot\dfrac{x+3}{2}-3=x ✓
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=3x+6y=3x+6 의 역함수는?
이항할 때 부호
✗ 틀린 풀이
y=2x−3y=2x-3 의 역함수
y=x−32y=\dfrac{x-3}{2}
왜 틀렸나 xx 에 대하여 풀 때 −3-3 을 우변으로 옮기면 부호가 바뀌어 +3+3 이 된다.
✓ 바른 풀이
y=2x−3y=2x-3 의 역함수
y=x+32y=\dfrac{x+3}{2}
검산: 바른 식에 x=1x=1 을 넣으면 22 이고, f(2)=2×2−3=1f(2)=2\times2-3=1 이므로 거꾸로 대응한다.
역함수는 역수가 아니다
✗ 틀린 풀이
y=2x−3y=2x-3 의 역함수
y=12x−3y=\dfrac{1}{2x-3}
왜 틀렸나 역함수는 식을 뒤집는 것이 아니라 xx 에 대하여 풀고 xx 와 yy 를 바꾸어 구한다.
✓ 바른 풀이
y=2x−3y=2x-3 의 역함수
y=x+32y=\dfrac{x+3}{2}
검산: 역함수에 ff 의 함숫값을 넣으면 처음 값으로 돌아와야 한다. f(4)=5f(4)=5 이고 5+32=4\dfrac{5+3}{2}=4 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2
y=f(x)y=f(x) 의 역함수 구하기
  1. 1
    ff 가 일대일대응인지 확인해요.
    정의역과 치역을 함께 확인해요.
  2. 2
    y=f(x)y=f(x) 를 xx 에 대하여 풀어요.
    x=f−1(y)x=f^{-1}(y) 꼴이 돼요.
  3. 3
    xx 와 yy 를 서로 바꿔요.
    y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 꼴이 돼요.
  4. 4
    ff 의 정의역과 치역을 서로 바꾸어 역함수의 정의역과 치역으로 해요.
  5. 5
    f(f−1(x))=xf(f^{-1}(x))=x 인지 확인해요.
    검산
계수가 분수인 꼴
y=−13x+2y=-\dfrac{1}{3}x+2 의 역함수
13x=−y+2\frac{1}{3}x=-y+2
↳xx 에 대하여 풀어요
x=−3y+6x=-3y+6
↳양변에 33 을 곱해요
y=−3x+6y=-3x+6
↳xx 와 yy 를 바꿔요
예정의역이 주어진 꼴
f(x)=2x+1 (0≤x≤2)f(x)=2x+1\ (0\le x\le2) 의 역함수
ff 는 증가하므로 치역은 f(0)≤y≤f(2)f(0)\le y\le f(2), 즉 1≤y≤51\le y\le5 이에요.
y=2x+1y=2x+1 을 xx 에 대하여 풀면
x=y−12x=\dfrac{y-1}{2}
xx 와 yy 를 바꾸고 정의역과 치역도 바꾸면
f−1(x)=x−12 (1≤x≤5)f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}\ (1\le x\le5)
역함수의 치역은 0≤y≤20\le y\le2 로, ff 의 정의역과 같아요.

3역함수의 성질

공식f:X→Yf: X\to Y 가 일대일대응일 때
역함숫값
f−1(b)=a  ⟺  f(a)=b\displaystyle f^{-1}(b)=a\iff f(a)=b
정의 그대로이다.
역함수의 역함수
(f−1)−1=f\displaystyle (f^{-1})^{-1}=f
거꾸로 대응을 다시 거꾸로 하면 처음 대응이다.
합성(1)
(f−1∘f)(x)=x(x∈X)\displaystyle (f^{-1}\circ f)(x)=x\quad(x\in X)
f−1∘f=IXf^{-1}\circ f=I_X (XX 에서의 항등함수)
합성(2)
(f∘f−1)(y)=y(y∈Y)\displaystyle (f\circ f^{-1})(y)=y\quad(y\in Y)
f∘f−1=IYf\circ f^{-1}=I_Y
합성함수의 역함수
(g∘f)−1=f−1∘g−1\displaystyle (g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
g:Y→Zg: Y\to Z 도 일대일대응일 때, 순서가 바뀐다.

ff 로 보낸 것을 f−1f^{-1} 로 되돌리면 제자리이므로 f−1∘ff^{-1}\circ f 와 f∘f−1f\circ f^{-1} 는 항등함수이에요.
거꾸로 g∘f=Ig\circ f=I, f∘g=If\circ g=I 를 만족하는 함수 gg 는 ff 의 역함수예요. 즉 g=f−1g=f^{-1} 이에요.

학생
(g∘f)−1(g\circ f)^{-1} 은 왜 g−1∘f−1g^{-1}\circ f^{-1} 이 아니에요?
쌤
g∘fg\circ f 는 ff 를 먼저, gg 를 나중에 해요. 되돌릴 때는 나중에 한 gg 부터 풀어야 하니까 f−1∘g−1f^{-1}\circ g^{-1} 이에요. 양말을 신고 신발을 신었으면 신발부터 벗는 것과 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=2x+5f(x)=2x+5 일 때 (f−1∘f)(3)(f^{-1}\circ f)(3) 의 값은?
합성의 순서
✗ 틀린 풀이
(g∘f)−1=g−1∘f−1(g\circ f)^{-1}=g^{-1}\circ f^{-1}
g−1(f−1(x))=x−12+3=x+52g^{-1}(f^{-1}(x))=\dfrac{x-1}{2}+3=\dfrac{x+5}{2}
왜 틀렸나 (g∘f)−1(g\circ f)^{-1} 는 나중에 한 gg 를 먼저 되돌려야 하므로 f−1∘g−1f^{-1}\circ g^{-1} 의 순서이다.
✓ 바른 풀이
(g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}
f−1(g−1(x))=(x+3)−12=x+22f^{-1}(g^{-1}(x))=\dfrac{(x+3)-1}{2}=\dfrac{x+2}{2}
기억 요령: 양말을 신고 신발을 신었으면, 벗을 때는 신발부터 벗는다.
자세히 보기펼치기성질 더 보기예제
성질왜 (g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} 인가
g∘fg\circ f 는 「ff 를 먼저, gg 를 나중에」 한 것이다.
되돌릴 때는 나중에 한 gg 를 먼저 되돌리고, ff 를 나중에 되돌려야 한다. 양말을 신고 신발을 신었다면 신발부터 벗는 것과 같다.
결합법칙으로 확인하면
(g∘f)∘(f−1∘g−1)=g∘(f∘f−1)∘g−1=g∘g−1=I(g\circ f)\circ(f^{-1}\circ g^{-1})=g\circ(f\circ f^{-1})\circ g^{-1}=g\circ g^{-1}=I
예f(x)=2x+1f(x)=2x+1, g(x)=x−3g(x)=x-3 일 때 (g∘f)−1(x)(g\circ f)^{-1}(x)
방법 1. 합성한 뒤 역함수를 구해요.
(g∘f)(x)=(2x+1)−3=2x−2(g\circ f)(x)=(2x+1)-3=2x-2
y=2x−2y=2x-2 를 xx 에 대하여 풀고 xx 와 yy 를 바꾸면
(g∘f)−1(x)=x+22(g\circ f)^{-1}(x)=\dfrac{x+2}{2}

방법 2. 역함수를 순서를 바꾸어 합성해요.
f−1(x)=x−12f^{-1}(x)=\dfrac{x-1}{2}
g−1(x)=x+3g^{-1}(x)=x+3
(f−1∘g−1)(x)=f−1(x+3)=x+22(f^{-1}\circ g^{-1})(x)=f^{-1}(x+3)=\dfrac{x+2}{2} ✓

4역함수의 그래프

점 (a, b)(a,\ b) 가 y=f(x)y=f(x) 의 그래프 위에 있으면 점 (b, a)(b,\ a) 는 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프 위에 있어요.

따라서 y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이에요.

예그래프 위의 점 바꾸기
f(x)=2x−4f(x)=2x-4 의 그래프는 점 (3, 2)(3,\ 2) 를 지나요.
따라서 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프는 점 (2, 3)(2,\ 3) 을 지나요.
확인: f−1(x)=x+42f^{-1}(x)=\dfrac{x+4}{2} 에 x=2x=2 를 넣으면 33 ✓
y=2x−4y=2x-4 와 역함수 y=x+42y=\frac{x+4}{2}
-2-1123456-2-1123456xyO(3, 2)(2, 3)(4, 4)
점 (3, 2)(3,\ 2) 와 (2, 3)(2,\ 3) 은 점선 y=xy=x 에 대하여 대칭이에요. 두 그래프는 y=xy=x 위의 점 (4, 4)(4,\ 4) 에서 만나요.
학생
직선 y=xy=x 위에 있는 점은 어떻게 돼요?
쌤
점 (a, a)(a,\ a) 는 좌표를 바꿔도 (a, a)(a,\ a) 라서 두 그래프에 모두 있어요. 그림의 점 (4, 4)(4,\ 4) 가 그런 점이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=f(x)y=f(x) 의 그래프가 점 (1, 5)(1,\ 5) 를 지날 때 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프가 반드시 지나는 점은?
⚠ 주의그래프와 직선 y=xy=x
f(a)=af(a)=a 이면 f−1(a)=af^{-1}(a)=a 이므로, y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 직선 y=xy=x 의 교점은 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프 위에도 있어요.
예: f(x)=2x−4f(x)=2x-4 에서 f(4)=4f(4)=4 이므로 두 그래프는 점 (4, 4)(4,\ 4) 를 지나요.
그러나 두 그래프의 교점이 항상 직선 y=xy=x 위에만 있는 것은 아니에요. f(x)=−x+1f(x)=-x+1 은 y=−x+1y=-x+1 을 xx 에 대하여 풀면 x=−y+1x=-y+1 이라 역함수가 자기 자신이에요. 그래서 두 그래프가 완전히 겹쳐요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

점 (a, b)(a,\ b) 가 y=f(x)y=f(x) 의 그래프 위에 있으면 f(a)=bf(a)=b 이에요.
이것은 f−1(b)=af^{-1}(b)=a 와 같으므로 점 (b, a)(b,\ a) 는 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프 위에 있어요.
두 점 (a, b)(a,\ b) 와 (b, a)(b,\ a) 는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이에요.
지수함수와 로그함수도 서로 역함수라 그래프가 이렇게 대칭이에요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1역함수는 일대일대응일 때만 존재한다.
  2. 2f−1(b)=af^{-1}(b)=a 와 f(a)=bf(a)=b 는 같은 말이다.
  3. 3역함수 구하기
    y=f(x)y=f(x) 를 xx 에 대하여 풀고, xx 와 yy 를 바꾼다.
  4. 4(g∘f)−1=f−1∘g−1(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1} 이고, y=f(x)y=f(x) 와 y=f−1(x)y=f^{-1}(x) 의 그래프는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이다.
✗ 자주 하는 실수
  • f−1(x)f^{-1}(x) 를 역수 1f(x)\dfrac{1}{f(x)} 로 생각해요.
  • (g∘f)−1(g\circ f)^{-1} 를 g−1∘f−1g^{-1}\circ f^{-1} 로 순서를 바꾸지 않고 써요.
  • 정의역이 제한된 함수의 역함수를 구할 때 정의역과 치역을 바꾸지 않고 식만 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)=3x−2f(x)=3x-2 의 역함수를 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=ax+bf(x)=ax+b 에 대하여 f−1(1)=2f^{-1}(1)=2, f−1(−5)=−1f^{-1}(-5)=-1 일 때, 상수 aa, bb 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    두 함수 f(x)=2x−1f(x)=2x-1, g(x)=−x+3g(x)=-x+3 에 대하여 (g∘f)−1(4)(g\circ f)^{-1}(4) 의 값을 구하시오.

다음 공부

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