평행이동

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

점

(x,\ y)

를

x

축의 방향으로

a

만큼,

y

축의 방향으로

b

만큼 평행이동하면

(x+a,\ y+b)

가 돼요. 도형

f(x,\ y)=0

을 같은 만큼 평행이동한 도형의 방정식은

x

대신

x-a

y

대신

y-b

를 대입한

f(x-a,\ y-b)=0

이에요.

1점의 평행이동
2도형의 평행이동
3직선·원·포물선의 평행이동
4평행이동으로 겹쳐지는 도형
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1점의 평행이동

정의평행이동

도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 평행이동이라 한다.
점

P(x,\ y)

를

x

축의 방향으로

a

만큼,

y

축의 방향으로

b

만큼 평행이동한 점을

P^{\prime}

이라 하면

P^{\prime}(x+a,\ y+b)

이 평행이동을 기호로

(x,\ y)\to(x+a,\ y+b)

와 같이 나타낸다.

$a>0$ 이면 오른쪽, $a<0$ 이면 왼쪽으로 $|a|$ 만큼 옮겨요.
$b>0$ 이면 위쪽, $b<0$ 이면 아래쪽으로 $|b|$ 만큼 옮겨요.

예점의 평행이동

점

(2,\ -1)

을

x

축의 방향으로

3

만큼,

y

축의 방향으로

-4

만큼 평행이동하면

(2+3,\ -1+(-4))=(5,\ -5)

거꾸로: 점

(1,\ 2)

를

(4,\ -1)

로 옮기는 평행이동은

a=4-1=3

b=-1-2=-3

이 평행이동으로 점

(-2,\ 5)

는

(1,\ 2)

로 옮겨져요.

점

(2,\ -1)

을

(3,\ -4)

만큼 평행이동

오른쪽으로

3

, 아래로

4

움직여

(5,\ -5)

가 돼요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

점

(-1,\ 3)

을

x

축의 방향으로

2

만큼,

y

축의 방향으로

-5

만큼 평행이동한 점은?

점의 이동은 더한다

✗ 틀린 풀이

(2,\ -1)

을

x

축 방향

3

y

축 방향

-4

만큼

(2-3,\ -1+4)=(-1,\ 3)

왜 틀렸나 점을

x

축,

y

축 방향으로 평행이동하면 각 좌표에 이동한 양을 부호 그대로 더한다.

✓ 바른 풀이

(2,\ -1)

을

x

축 방향

3

y

축 방향

-4

만큼

(2+3,\ -1-4)=(5,\ -5)

점의 좌표에는 이동한 양을 그대로 더해요. 부호를 바꾸는 것은 도형의 방정식에서예요.

2도형의 평행이동

공식평행이동

(x,\ y)\to(x+a,\ y+b)

점

\displaystyle (x,\ y)\to(x+a,\ y+b)

좌표에 더한다.

도형

\displaystyle f(x,\ y)=0\to f(x-a,\ y-b)=0

x

대신

x-a

y

대신

y-b

를 대입한다.

y=f(x)

꼴

\displaystyle y-b=f(x-a)

즉

y=f(x-a)+b

그래서 옮긴 도형의 방정식은 $x$ 대신 $x-a$ , $y$ 대신 $y-b$ 를 대입한 식이에요.

학생

점은 더하는데 도형의 식에는 왜

x-a

처럼 빼서 넣어요?

쌤

옮긴 도형 위의 점을 거꾸로 되돌린

(x-a,\ y-b)

가 원래 도형 위에 있어야 하기 때문이에요. 점은 더하고, 도형의 식에는 빼서 넣어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

직선

y=3x

를

x

축의 방향으로

1

만큼 평행이동한 직선은?

도형에는

x-a

를 대입

✗ 틀린 풀이

직선

2x-y+1=0

을

(3,\ -2)

만큼 옮기면

2(x+3)-(y-2)+1=0

2x-y+9=0

왜 틀렸나 도형을

(a,\ b)

만큼 옮기면

x

대신

x-a

y

대신

y-b

를 넣으므로

x-3

y+2

가 들어간다.

✓ 바른 풀이

직선

2x-y+1=0

을

(3,\ -2)

만큼 옮기면

2(x-3)-(y+2)+1=0

2x-y-7=0

검산: 원래 직선 위의 점

(0,\ 1)

을 옮기면

(3,\ -1)

이고,

2\cdot3-(-1)-7=0

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

이유는 다음과 같아요. 방정식 $f(x,\ y)=0$ 이 나타내는 도형을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동한 도형을 생각해요.
옮긴 도형 위의 점을 $P^{\prime}(x,\ y)$ 라 하면, 이 점은 원래 도형 위의 점 $P$ 를 옮긴 거예요. 거꾸로 되돌리면 $P(x-a,\ y-b)$ $P$ 는 원래 도형 위에 있으므로 $f(x-a,\ y-b)=0$ 을 만족해요.

성질왜 부호가 반대인가

도형의 방정식은 「새 점

(x,\ y)

가 만족할 조건」이다.
새 점을 거꾸로

a

b

만큼 되돌린 점

(x-a,\ y-b)

가 원래 도형 위에 있어야 하므로

x-a

y-b

를 넣는다.
예를 들어

y=x^2

을 오른쪽으로

2

만큼 옮기면 꼭짓점이

x=2

로 가고, 그 식은

y=(x-2)^2

이다.

도형을 평행이동하는 순서

1
$x$ 를 모두 $(x-a)$ 로 바꿔요.
괄호로 묶어서 바꿔요.
2
$y$ 를 모두 $(y-b)$ 로 바꿔요.
3
전개하여 정리해요.
4
원래 도형 위의 한 점을 옮긴 점이 새 식을 만족하는지 확인해요.
검산

3직선·원·포물선의 평행이동

원이나 포물선도 $x$ 대신 $x-a$ , $y$ 대신 $y-b$ 를 대입해 옮겨요. 모양과 크기는 그대로라서 원은 중심만, 포물선은 꼭짓점만 옮겨 식을 써도 돼요.

예원

(x-1)^2+(y+2)^2=4

를

x

축 방향

-3

y

축 방향

1

x

대신

x+3

y

대신

y-1

을 대입하면

(x+3-1)^2+(y-1+2)^2=4

(x+2)^2+(y+1)^2=4

다른 방법: 중심

(1,\ -2)

를 옮기면

(1-3,\ -2+1)=(-2,\ -1)

이고 반지름

2

는 그대로예요.

원의 평행이동

중심

(1,\ -2)

가

(-2,\ -1)

로 옮겨지고 반지름

2

는 그대로예요.

성질평행이동해도 변하지 않는 것

평행이동은 도형을 미끄러지듯 옮길 뿐이므로 도형의 모양과 크기는 변하지 않는다.
직선의 기울기, 원의 반지름, 포물선

y=ax^2+bx+c

의

a

는 그대로이다.
그래서 원은 중심만, 포물선은 꼭짓점만 옮겨서 식을 쓸 수도 있다.
유리함수와 무리함수의 그래프도 이렇게 옮겨서 그린다.

학생

직선은 무엇을 옮겨요?

쌤

직선은 기울기가 그대로예요. 직선 위의 한 점을 옮긴 다음, 같은 기울기로 그 점을 지나게 쓰면 돼요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

원

(x-2)^2+(y+1)^2=9

를

x

축의 방향으로

-3

만큼,

y

축의 방향으로

4

만큼 평행이동한 원의 중심은?

y

쪽 부호

✗ 틀린 풀이

y=x^2-2x

를

(2,\ 3)

만큼 옮기면

y+3=(x-2)^2-2(x-2)

y=x^2-6x+5

왜 틀렸나

y

축 방향으로

b

만큼 옮기면

y

대신

y-b

를 넣으므로 여기서는

y-3

을 넣어야 한다.

✓ 바른 풀이

y=x^2-2x

를

(2,\ 3)

만큼 옮기면

y-3=(x-2)^2-2(x-2)

y=x^2-6x+11

기억 요령:

y=f(x)

꼴에서는

f(x-a)

에

b

를 더한다.
검산: 꼭짓점

(1,\ -1)

이

(3,\ 2)

로 옮겨져야 하고,

x^2-6x+11=(x-3)^2+2

이다.

자세히 보기펼치기예제 2

예직선

2x-y+1=0

을

x

축 방향

3

y

축 방향

-2

x

대신

x-3

y

대신

y+2

를 대입하면

2(x-3)-(y+2)+1=0

2x-y-7=0

기울기는

2

로 그대로예요.

예포물선

y=x^2-2x

를

x

축 방향

2

y

축 방향

3

x

대신

x-2

y

대신

y-3

을 대입하면

y-3=(x-2)^2-2(x-2)

y=(x^2-4x+4)-(2x-4)+3

y=x^2-6x+11

검산: 꼭짓점

(1,\ -1)

을 옮기면

(3,\ 2)

이고,

x^2-6x+11=(x-3)^2+2

의 꼭짓점도

(3,\ 2)

✓

4평행이동으로 겹쳐지는 도형

거꾸로 쓰는 방향: 두 도형이 주어지고 한 도형을 평행이동하여 다른 도형과 겹쳐지게 하려면 대응하는 점(원의 중심, 포물선의 꼭짓점)이 어디로 옮겨졌는지 비교해요.
평행이동으로 겹쳐질 수 있으려면 직선은 기울기가, 원은 반지름이, 포물선은 $x^2$ 의 계수가 같아야 해요.

예중심·꼭짓점 비교

원

(x-1)^2+y^2=4

를 원

x^2+(y+3)^2=4

로 옮기는 평행이동
중심

(1,\ 0)

이

(0,\ -3)

으로 옮겨지므로

a=0-1=-1

b=-3-0=-3

포물선

y=x^2

을

y=x^2-4x+7

로 옮기는 평행이동

x^2-4x+7=(x-2)^2+3

꼭짓점

(0,\ 0)

이

(2,\ 3)

으로 옮겨지므로

a=2

b=3

학생

기울기나 반지름이 다르면요?

쌤

그때는 어떻게 옮겨도 겹쳐지지 않아요. 평행이동은 모양과 크기를 바꾸지 못하기 때문이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

포물선

y=x^2

을

x

축의 방향으로

a

만큼,

y

축의 방향으로

b

만큼 평행이동하면

y=(x+1)^2-5

가 될 때

(a,\ b)

는?

자세히 보기펼치기예제

직선이 자기 자신으로 옮겨지는 조건

y-b=m(x-a)+n

↳◀

y=mx+n

을

(a,\ b)

만큼

y=mx-ma+b+n

↳◀정리해요

-ma+b=0

↳◀처음 직선과 같으려면

b=ma

예:

y=2x+1

을

(1,\ 2)

만큼 옮기면

y-2=2(x-1)+1

, 곧

y=2x+1

로 그대로예요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1점의 평행이동은 좌표에 $a$ , $b$ 를 더한다.
$(x,\ y)\to(x+a,\ y+b)$
2도형의 평행이동은 $x$ 대신 $x-a$ , $y$ 대신 $y-b$ 를 대입한다.
$f(x,\ y)=0\to f(x-a,\ y-b)=0$
3점은 더하고 도형은 빼는 것처럼 보이지만, 둘은 같은 이동을 나타낸다.
4평행이동해도 도형의 모양과 크기(직선의 기울기, 원의 반지름, 포물선의 $x^2$ 의 계수)는 변하지 않는다.

✗ 자주 하는 실수

도형을 평행이동할 때 $x$ 대신 $x+a$ , $y$ 대신 $y+b$ 를 대입해요(점의 이동과 혼동).
$y=f(x)$ 꼴에서 $y$ 쪽 이동을 반대로 하여 $y=f(x-a)-b$ 로 써요.
원을 평행이동할 때 반지름까지 바뀐다고 생각하거나, 중심의 좌표를 부호를 바꿔 읽고 옮겨요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
평행이동에 의하여 점 $(1,\ 4)$ 가 점 $(3,\ -2)$ 로 옮겨질 때, 이 평행이동에 의하여 점 $(-1,\ 5)$ 가 옮겨지는 점의 좌표를 구하시오.
예제 2
원 $x^2+y^2-4x+2y=0$ 을 $x$ 축의 방향으로 $-1$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $3$ 만큼 평행이동한 원의 방정식을 구하시오.
예제 3
포물선 $y=x^2+4x+1$ 을 $x$ 축의 방향으로 $a$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $b$ 만큼 평행이동하였더니 포물선 $y=x^2-2x+3$ 이 되었다. $a$ , $b$ 의 값을 구하시오.

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