수학 개념 노트전체 과목

곡선과 x축 사이의 넓이

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이는 S=∫ab∣f(x)∣ dxS=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx 이에요. f(x)f(x) 의 부호가 바뀌면 xx 축과의 교점에서 구간을 나누어 계산해요.
  1. 1곡선과 x축 사이의 넓이
  2. 2x축의 위와 아래에 걸쳐 있는 경우
  3. 3교점을 구하여 넓이 구하기
  4. 4곡선과 y축 사이의 넓이
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1곡선과 x축 사이의 넓이

성질곡선과 x축 사이의 넓이
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속일 때, 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이 SS 는S=∫ab∣f(x)∣ dxS=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx즉 넓이는 함수의 절댓값을 적분한 값이다.
공식f(x)f(x) 의 부호에 따른 넓이
f(x)≥0f(x)\ge0
S=∫abf(x) dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx
곡선이 xx 축 위에 있다.
f(x)≤0f(x)\le0
S=−∫abf(x) dx\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx
곡선이 xx 축 아래에 있다. 정적분 값이 음수이므로 부호를 바꾼다.
일반
S=∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx
부호가 바뀌면 구간을 나눈다.
학생
정적분 값이 곧 넓이예요?
쌤
곡선이 xx 축 위에 있을 때만 그래요.
xx 축 아래에 있으면 정적분 값이 음수라서, −- 를 붙여야 넓이가 돼요.
곡선 y=x2−2xy=x^2-2x 와 xx 축 사이의 넓이 (0≤x≤20\le x\le2)
x2−2x=x(x−2)≤0x^2-2x=x(x-2)\le0
↳x≥0x\ge0, x−2≤0x-2\le0 이라 곡선이 xx 축 아래
S=−∫02(x2−2x) dxS=-\int_{0}^{2}(x^2-2x)\,dx
↳−- 를 붙여요
=−[13x3−x2]02=-\left[\dfrac{1}{3}x^3-x^2\right]_{0}^{2}
=−(83−4)=43=-\left(\dfrac{8}{3}-4\right)=\dfrac{4}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=x2−4y=x^2-4 와 xx 축 및 두 직선 x=−2x=-2, x=2x=2 로 둘러싸인 도형의 넓이는?
정적분 값이 넓이인 것은 아니다
✗ 틀린 풀이
S=∫02(x2−2x) dx=−43S=\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-2x)\,dx=-\dfrac{4}{3}
왜 틀렸나 곡선이 xx 축 아래에 있으면 정적분 값이 음수이므로 넓이는 −- 를 붙여 양수로 만든다.
✓ 바른 풀이
S=−∫02(x2−2x) dx=43S=-\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-2x)\,dx=\dfrac{4}{3}
확인: 0<x<20<x<2 에서 x2−2x=x(x−2)<0x^2-2x=x(x-2)<0 이므로 곡선이 xx 축 아래에 있다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

왜 그런가? 함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 f(x)≥0f(x)\ge0 이면
정적분 ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이와 같아요.

f(x)≤0f(x)\le0 이면 곡선 y=f(x)y=f(x) 는 xx 축 아래에 있어요.
곡선 y=−f(x)y=-f(x) 는 곡선 y=f(x)y=f(x) 를 xx 축에 대하여 대칭이동한 것이므로 두 도형의 넓이는 같아요.
−f(x)≥0-f(x)\ge0 이므로 넓이는S=∫ab{−f(x)} dx=−∫abf(x) dxS=\int_{a}^{b}\{-f(x)\}\,dx=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx

2x축의 위와 아래에 걸쳐 있는 경우

성질구간을 나누는 넓이
a≤x≤ca\le x\le c 에서 f(x)≥0f(x)\ge0 이고 c≤x≤bc\le x\le b 에서 f(x)≤0f(x)\le0 이면S=∫acf(x) dx−∫cbf(x) dxS=\int_{a}^{c}f(x)\,dx-\int_{c}^{b}f(x)\,dx
학생
구간을 나누지 않고 한 번에 적분하면 안 돼요?
쌤
그러면 xx 축 위의 넓이와 아래의 넓이가 서로 지워져요.
그래서 xx 축과 만나는 점에서 구간을 나누고, 아래쪽 구간에는 −- 를 붙여 더해요.
부호가 바뀌는 곡선의 넓이 구하는 순서
  1. 1
    f(x)=0f(x)=0 을 풀어 구간 안에 있는 교점의 xx 좌표를 구해요.
  2. 2
    교점으로 나뉜 구간마다 f(x)f(x) 의 부호를 정해요.
    구간 안의 값 하나를 넣어 보면 돼요.
  3. 3
    f(x)≥0f(x)\ge0 인 구간은 ∫f(x) dx\displaystyle\int f(x)\,dx, f(x)≤0f(x)\le0 인 구간은 −∫f(x) dx-\displaystyle\int f(x)\,dx 로 계산해요.
  4. 4
    구한 넓이를 모두 더해요.
x2−1=0, x=1x^2-1=0,\ x=1
↳구간 안의 교점
S=−∫01(x2−1) dx+∫12(x2−1) dxS=-\int_{0}^{1}(x^2-1)\,dx+\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx
↳아래쪽은 −- 를 붙여요
=23+43=2=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}=2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
직선 y=xy=x 와 xx 축 및 두 직선 x=−1x=-1, x=1x=1 로 둘러싸인 도형의 넓이는?
구간을 나누지 않으면 넓이가 지워진다
✗ 틀린 풀이
S=∫02(x2−1) dx=23S=\displaystyle\int_{0}^{2}(x^2-1)\,dx=\dfrac{2}{3}
왜 틀렸나 곡선이 xx 축 아래로 내려가는 구간은 따로 나누어 부호를 바꾼 뒤 더해야 넓이가 된다.
✓ 바른 풀이
S=−∫01(x2−1) dx+∫12(x2−1) dx=2S=-\displaystyle\int_{0}^{1}(x^2-1)\,dx+\int_{1}^{2}(x^2-1)\,dx=2
0≤x≤10\le x\le1 부분의 넓이는 23\dfrac{2}{3}, 1≤x≤21\le x\le2 부분의 넓이는 43\dfrac{4}{3} 이다.
두 넓이를 더하면 22 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

구간 안에서 f(x)f(x) 의 부호가 바뀌면 ∫abf(x) dx\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx 는 (xx 축 위의 넓이)−-(xx 축 아래의 넓이) 가 되어 서로 지워져요.
그래서 곡선과 xx 축이 만나는 점에서 구간을 나누고, 구간마다 부호를 맞추어 더해요.
두 곡선 사이의 넓이도 같은 생각으로 구해요.

응용
곡선 y=x3−xy=x^3-x 와 xx 축 사이의 넓이 (−1≤x≤1-1\le x\le1)
x3−x=x(x+1)(x−1)x^3-x=x(x+1)(x-1)
↳교점 x=−1, 0, 1x=-1,\ 0,\ 1
∫−10(x3−x) dx=14\int_{-1}^{0}(x^3-x)\,dx=\dfrac{1}{4}
↳xx 축 위
∫01(x3−x) dx=−14\int_{0}^{1}(x^3-x)\,dx=-\dfrac{1}{4}
↳xx 축 아래
S=14+14=12S=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{2}

3교점을 구하여 넓이 구하기

「곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축으로 둘러싸인 도형」 처럼 구간이 주어지지 않으면
곡선과 xx 축의 교점의 xx 좌표를 구하여 적분 구간으로 삼아요.

학생
교점이 두 개이면 어느 쪽이 아래끝이에요?
쌤
작은 값이 아래끝, 큰 값이 위끝이에요.
거꾸로 쓰면 부호가 바뀐 값이 나와요.
곡선과 xx 축으로 둘러싸인 넓이
  1. 1
    방정식 f(x)=0f(x)=0 을 풀어 교점의 xx 좌표를 작은 것부터 구해요.
  2. 2
    가장 작은 값과 가장 큰 값을 적분 구간의 양 끝으로 해요.
    아래끝에 작은 값, 위끝에 큰 값을 써요.
  3. 3
    교점이 셋 이상이면 사이사이의 구간마다 부호를 정하여 나누어 계산해요.
−x2+2x+3=−(x−3)(x+1)=0-x^2+2x+3=-(x-3)(x+1)=0
↳x=−1x=-1 또는 x=3x=3
S=∫−13(−x2+2x+3) dxS=\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx
=[−13x3+x2+3x]−13=\left[-\dfrac{1}{3}x^3+x^2+3x\right]_{-1}^{3}
=9−(−53)=323=9-\left(-\dfrac{5}{3}\right)=\dfrac{32}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 y=−x2+4xy=-x^2+4x 와 xx 축으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
아래끝과 위끝
✗ 틀린 풀이
∫3−1(−x2+2x+3) dx=−323\displaystyle\int_{3}^{-1}(-x^2+2x+3)\,dx=-\dfrac{32}{3} 이므로 넓이는 −323-\dfrac{32}{3}
왜 틀렸나 넓이를 정적분으로 구할 때는 아래끝에 작은 값 −1-1, 위끝에 큰 값 33 을 쓰며 넓이는 항상 양수이다.
✓ 바른 풀이
∫−13(−x2+2x+3) dx=323\displaystyle\int_{-1}^{3}(-x^2+2x+3)\,dx=\dfrac{32}{3}
확인: −1<x<3-1<x<3 에서 −x2+2x+3=−(x+1)(x−3)>0-x^2+2x+3=-(x+1)(x-3)>0 이므로 정적분 값이 그대로 넓이이다.
자세히 보기펼치기그림예제틀리기 쉬운 곳
x(x+1)(x−3)=0x(x+1)(x-3)=0
↳x=−1, 0, 3x=-1,\ 0,\ 3
∫−10(x3−2x2−3x) dx=712\int_{-1}^{0}(x^3-2x^2-3x)\,dx=\dfrac{7}{12}
↳xx 축 위
∫03(x3−2x2−3x) dx=−454\int_{0}^{3}(x^3-2x^2-3x)\,dx=-\dfrac{45}{4}
↳xx 축 아래
S=712+454=716S=\dfrac{7}{12}+\dfrac{45}{4}=\dfrac{71}{6}
⚠ 주의검산
① 넓이는 항상 양수예요.
② 도형을 직사각형이나 삼각형으로 어림하여 크기를 비교해요.
예: y=−x2+2x+3y=-x^2+2x+3 의 꼭짓점은 (1, 4)(1,\ 4) 이므로 도형은 가로 44, 세로 44 인 직사각형(넓이 1616) 안에 있고, 넓이 88 인 삼각형을 품어요.
8<323<168<\dfrac{32}{3}<16 이므로 알맞아요.

4곡선과 y축 사이의 넓이

성질곡선과 y축 사이의 넓이
함수 g(y)g(y) 가 닫힌구간 [c, d][c,\ d] 에서 연속일 때, 곡선 x=g(y)x=g(y) 와 yy 축 및 두 직선 y=cy=c, y=dy=d 로 둘러싸인 도형의 넓이 SS 는S=∫cd∣g(y)∣ dyS=\int_{c}^{d}|g(y)|\,dy
학생
곡선이 x=g(y)x=g(y) 꼴이면 왜 yy 에 대하여 적분해요?
쌤
xx 와 yy 의 역할을 바꾸어 생각하기 때문이에요.
가로 길이 ∣g(y)∣|g(y)| 를 y=cy=c 부터 y=dy=d 까지 쌓아 올린다고 보면 돼요.
공식xx 축 사이 넓이와 yy 축 사이 넓이 비교
xx 축
S=∫ab∣f(x)∣ dx\displaystyle S=\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx
곡선 y=f(x)y=f(x), 구간은 xx 의 값 aa, bb
yy 축
S=∫cd∣g(y)∣ dy\displaystyle S=\int_{c}^{d}|g(y)|\,dy
곡선 x=g(y)x=g(y), 구간은 yy 의 값 cc, dd
곡선 x=y2x=y^2 과 yy 축 및 두 직선 y=0y=0, y=2y=2 로 둘러싸인 넓이
S=∫02y2 dyS=\int_{0}^{2}y^2\,dy
↳y2≥0y^2\ge0
=[13y3]02=83=\left[\dfrac{1}{3}y^3\right]_{0}^{2}=\dfrac{8}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
곡선 x=y2x=y^2 과 yy 축 및 두 직선 y=0y=0, y=3y=3 으로 둘러싸인 도형의 넓이는?
⚠ 주의적분 변수와 구간을 맞춘다
yy 축 사이의 넓이는 yy 에 대한 식 g(y)g(y) 를 yy 의 구간에서 적분해요.
교점도 g(y)=0g(y)=0 을 풀어 yy 의 값으로 구해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

곡선이 x=g(y)x=g(y) 꼴로 주어지면 xx 와 yy 의 역할을 바꾸어 생각해요.
yy 축 방향으로 놓인 구간 c≤y≤dc\le y\le d 에서 yy 에 대하여 적분해요.
지수·로그·삼각함수의 곡선도 같은 방법으로 넓이를 구해요.

응용
곡선 x=y2−2yx=y^2-2y 와 yy 축으로 둘러싸인 넓이
y(y−2)=0y(y-2)=0
↳y=0y=0 또는 y=2y=2
S=−∫02(y2−2y) dyS=-\int_{0}^{2}(y^2-2y)\,dy
↳곡선이 yy 축 왼쪽
=−[13y3−y2]02=-\left[\dfrac{1}{3}y^3-y^2\right]_{0}^{2}
=−(83−4)=43=-\left(\dfrac{8}{3}-4\right)=\dfrac{4}{3}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1곡선 y=f(x)y=f(x) 와 xx 축 및 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 도형의 넓이는 S=∫ab∣f(x)∣ dxS=\displaystyle\int_{a}^{b}|f(x)|\,dx 이다.
  2. 2f(x)≥0f(x)\ge0 이면 S=∫abf(x) dxS=\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx, f(x)≤0f(x)\le0 이면 S=−∫abf(x) dxS=-\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx 이다.
  3. 3구간 안에서 f(x)f(x) 의 부호가 바뀌면 xx 축과의 교점에서 구간을 나누어 넓이를 더한다.
  4. 4곡선 x=g(y)x=g(y) 와 yy 축 및 두 직선 y=cy=c, y=dy=d 로 둘러싸인 도형의 넓이는 S=∫cd∣g(y)∣ dyS=\displaystyle\int_{c}^{d}|g(y)|\,dy 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 곡선이 xx 축 아래에 있을 때 음수인 정적분 값을 그대로 넓이로 써요.
  • 구간 안에서 f(x)f(x) 의 부호가 바뀌는데 나누지 않고 한 번에 적분하여 위아래 넓이가 지워져요.
  • 곡선과 yy 축 사이의 넓이를 구할 때 xx 에 대하여 적분하거나 구간을 xx 의 값으로 잡아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    곡선 y=x2−2xy=x^2-2x 와 xx 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
  2. 예제 2
    곡선 y=x2−4y=x^2-4 와 xx 축 및 두 직선 x=0x=0, x=3x=3 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.
  3. 예제 3
    곡선 y=x3−x2−2xy=x^3-x^2-2x 와 xx 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 두 곡선 사이의 넓이 →
이전 개념: 정적분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 대칭이동, 중3 이차함수와 그래프, 미적분Ⅱ 넓이 (나중에)미적분Ⅰ 목차
← 정적분으로 정의된 함수두 곡선 사이의 넓이 →
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