로그의 뜻과 성질

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

a>0,\ a\ne1,\ N>0

일 때

a^x=N

을 만족하는

x

를

\log_a N

이라 해요. 로그는

\log_a 1=0

\log_a a=1

이고, 곱·몫·거듭제곱의 로그는 각각 로그의 합·차·실수배가 돼요.

1로그의 뜻
2밑과 진수의 조건
3로그의 성질
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1로그의 뜻

$2^x=8$ 을 만족하는 $x$ 는 $3$ 이에요.
그런데 $2^x=5$ 를 만족하는 $x$ 는 정수도 분수도 아니에요.
$a>0,\ a\ne1$ 이면 양수 $N$ 에 대하여 $a^x=N$ 을 만족하는 실수 $x$ 가 오직 하나 있어요(지수함수의 그래프가 직선 $y=N$ 과 한 점에서 만나요).
이 $x$ 를 나타내는 기호가 로그예요.

정의로그

a>0,\ a\ne1

이고

N>0

일 때,

a^x=N

을 만족하는 실수

x

를

x=\log_a N

으로 나타내고,

a

를 밑으로 하는

N

의 로그라 한다.
이때

N

을

\log_a N

의 진수 라 한다.

a^x=N \iff x=\log_a N

학생

\log_2 5

는 결국 얼마예요? 값을 정확히 못 써요?

쌤

2^2=4

2^3=8

이니까

2

와

3

사이의 수예요. 정수나 분수로 딱 떨어지지 않아서

\log_2 5

라는 기호 그대로 써요.

공식지수 꼴 ↔ 로그 꼴

2^3=8

\displaystyle \log_2 8=3

3^{-2}=\dfrac{1}{9}

\displaystyle \log_3 \dfrac{1}{9}=-2

로그의 값은 음수일 수 있다.

4^{\frac{1}{2}}=2

\displaystyle \log_4 2=\dfrac{1}{2}

로그의 값은 분수일 수 있다.

5^0=1

\displaystyle \log_5 1=0

로그의 값 구하기 (

\log_8 32

)

\log_8 32=x

↳◀구하는 값을

x

로

8^x=32

↳◀지수 꼴로

2^{3x}=2^5

↳◀밑을 같게

3x=5,\quad x=\dfrac{5}{3}

↳◀지수 비교

8^{\frac{5}{3}}=(2^3)^{\frac{5}{3}}=2^5=32

↳◀검산

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\log_2 \frac{1}{8}

의 값은?

밑과 진수의 자리

✗ 틀린 풀이

2^5=32 \iff \log_5 32=2

왜 틀렸나

a^x=N

에서 거듭제곱의 밑

a

가 로그의 밑이 되므로

\log_a N=x

로 써야 한다.

✓ 바른 풀이

2^5=32 \iff \log_2 32=5

지수 꼴의 밑

2

가 로그의 밑, 거듭제곱한 결과

32

가 진수, 지수

5

가 로그의 값이에요.
검산:

\log_2 32=5

를 다시 지수 꼴로 바꾸면

2^5=32

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

로그는 「 $a$ 를 몇 제곱하면 $N$ 이 되는가」의 답이에요.
지수 꼴과 로그 꼴은 서로 바꾸어 쓸 수 있어요. 밑은 그대로 밑이 되고, 지수가 로그의 값이 돼요.

응용

(\sqrt{3})^x=9,\quad 3^{\frac{x}{2}}=3^2,\quad x=4

↳◀밑이 무리수:

\log_{\sqrt{3}}9

\left(\dfrac{1}{2}\right)^x=8,\quad 2^{-x}=2^3,\quad x=-3

↳◀밑이 분수:

\log_{\frac{1}{2}}8

5^x=\dfrac{1}{25}=5^{-2},\quad x=-2

↳◀진수가 분수:

\log_5 \frac{1}{25}

2밑과 진수의 조건

공식

\log_a N

이 정의되는 조건

밑의 조건

\displaystyle a>0,\ a\ne1

a=1

이면

1^x=1

이므로

N\ne1

일 때

x

가 없고

N=1

일 때

x

가 하나로 정해지지 않는다.

a\le0

이면

a^x

가 모든 실수

x

에서 정해지지 않는다.

진수의 조건

\displaystyle N>0

a>0

이면

a^x>0

이므로

a^x=N

에서

N

은 양수이다.

학생

밑이

1

이면 왜 안 돼요?

쌤

1

은 몇 제곱해도

1

이에요. 그래서

\log_1 3

은 답이 없고,

\log_1 1

은 답이 하나로 정해지지 않아요.

밑이나 진수에 문자가 있으면 두 조건을 모두 만족하는 범위를 구해요.
예를 들어 $\log_{x-1}(5-x)$ 가 정의되는 $x$ 의 범위는 세 조건을 연립하여 구해요. $\begin{cases} x-1>0 \\ x-1\ne1 \\ 5-x>0 \end{cases}$

\log_{x-1}(5-x)

가 정의되는 범위

x>1

과

x<5

의 공통 범위에서 밑이

1

이 되는

x=2

만 빠져요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\log_{x}(3-x)

가 정의되는

x

의 범위는?

밑이

1

이 아니라는 조건

✗ 틀린 풀이

\log_{x-1}(5-x)

가 정의되는 범위

1<x<5

왜 틀렸나 로그의 밑은 양수이면서

1

이 아니어야 하므로 밑이

1

이 되는 값도 빼야 한다.

✓ 바른 풀이

\log_{x-1}(5-x)

가 정의되는 범위

1<x<2

또는

2<x<5

밑

x-1

은 양수일 뿐 아니라

1

이 아니어야 하므로

x\ne2

이에요.

3로그의 성질

성질

\log_a 1

과

\log_a a

a>0,\ a\ne1

일 때

a^0=1

이므로

\log_a 1=

a^1=a

이므로

\log_a a=1

예:

\log_3 1=0

예:

\log_7 7=1

공식

a>0,\ a\ne1

M>0,\ N>0

이고

k

가 실수일 때

곱

\displaystyle \log_a MN=\log_a M+\log_a N

곱의 로그는 로그의 합

몫

\displaystyle \log_a \frac{M}{N}=\log_a M-\log_a N

몫의 로그는 로그의 차

거듭제곱

\displaystyle \log_a M^k=k\log_a M

진수의 지수는 앞으로 나온다.

\displaystyle \log_a a^k=k

거듭제곱 성질과

\log_a a=1

에서 나온다.

곱의 로그는 로그의 합이에요. 지수법칙 $a^ma^n=a^{m+n}$ 을 로그로 쓴 것이기 때문이에요.

학생

그럼

\log_a(M+N)

도 쪼갤 수 있어요?

쌤

아니요. 성질은 진수가 곱이나 몫일 때만 써요.

\log_2(4+4)=\log_2 8=3

이지만

\log_2 4+\log_2 4=4

예요.

응용하기

\log_2 12-\log_2 3=\log_2 \dfrac{12}{3}=\log_2 4=2

↳◀몫의 성질

\log_3 \sqrt{27}=\log_3 3^{\frac{3}{2}}=\dfrac{3}{2}

↳◀거듭제곱의 성질 (

\triangle=\frac{3}{2}

)

2\log_6 2+\log_6 9=\log_6 4+\log_6 9=\log_6 36=2

↳◀거꾸로 써서 하나로 모으기

\log_{10}2+\log_{10}5=\log_{10}10=1

↳◀밑이

10

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\log_3 6+\log_3 \frac{3}{2}

의 값은?

합의 로그는 쪼갤 수 없다

✗ 틀린 풀이

\log_2(4+4)=\log_2 4+\log_2 4=4

왜 틀렸나 로그가 합으로 나뉘는 것은 진수가 곱일 때뿐이므로 진수의 합은 먼저 계산해야 한다.

✓ 바른 풀이

\log_2(4+4)=\log_2 8=3

\log_a(M+N)

은 더 간단히 할 수 없다. 진수를 먼저 계산한다.
검산:

2^3=8

이므로

\log_2 8=3

이다.

로그끼리의 곱·몫

✗ 틀린 풀이

\log_2 4\times\log_2 8=\log_2 32

왜 틀렸나

\log_a MN=\log_a M+\log_a N

은 로그의 합에 대한 성질이므로 로그끼리의 곱에는 쓸 수 없다.

✓ 바른 풀이

\log_2 4\times\log_2 8=2\times3=6

로그끼리의 곱은 각 로그의 값을 먼저 구해서 곱한다.
몫

\dfrac{\log_a M}{\log_a N}

도

\log_a\dfrac{M}{N}

으로 바꿀 수 없다.

⚠ 주의거듭제곱의 위치

\log_a M^k=k\log_a M

은 진수만 거듭제곱한 거예요.
로그 전체의 거듭제곱

(\log_a M)^k

와 달라요.
예:

\log_2 4^3=3\log_2 4=6

예:

(\log_2 4)^3=2^3=8

자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기외우기 카드

틀로 쓰면
$\log_a(\square\times\triangle)=\log_a\square+\log_a\triangle$
$\log_a \square^{\triangle}=\triangle\log_a\square$

성질왜 성립하는가

\log_a M=m

\log_a N=n

으로 놓으면

M=a^m

N=a^n

MN=a^ma^n=a^{m+n}

이므로

\log_a MN=m+n=\log_a M+\log_a N

\dfrac{M}{N}=a^{m-n}

이므로

\log_a \dfrac{M}{N}=m-n

M^k=(a^m)^k=a^{mk}

이므로

\log_a M^k=km=k\log_a M

로그의 성질 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2

\log_a MN=\log_a M\ \square\ \log_a N

단계 1 / 2

\log_a \frac{M}{N}=\log_a M\ \square\ \log_a N

단계 1 / 2지수가 앞으로 나온다.

\log_a M^k=\square\log_a M

로그 계산 순서

1
진수를 소인수분해하고, 근호는 지수로 바꿔요.
예: $\sqrt{12}=12^{\frac{1}{2}}$
2
로그 앞의 계수는 진수의 지수로 올려요.
$k\log_a M=\log_a M^k$
3
합은 곱으로, 차는 몫으로 모아 하나의 로그로 만들어요.
4
진수를 $a^k$ 꼴로 만들어 $\log_a a^k=k$ 로 값을 구해요.
5
지수 꼴로 바꾸어 확인해요.
검산: $\log_a N=k$ 이면 $a^k=N$

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1 $a>0,\ a\ne1,\ N>0$ 일 때
$a^x=N \iff x=\log_a N$
2밑의 조건은 $a>0,\ a\ne1$ , 진수의 조건은 $N>0$ 이다.
3 $\log_a 1=0$ , $\log_a a=1$
4 $\log_a MN=\log_a M+\log_a N$
$\log_a \dfrac{M}{N}=\log_a M-\log_a N$
$\log_a M^k=k\log_a M$

✗ 자주 하는 실수

$2^5=32$ 를 $\log_5 32=2$ 처럼 밑과 지수의 자리를 바꾸어 써요.
밑의 조건에서 $a\ne1$ 을 빠뜨리거나, 진수 조건 $N>0$ 을 확인하지 않아요.
$\log_a(M+N)=\log_a M+\log_a N$ , $\log_a M\times\log_a N=\log_a MN$ 처럼 성질을 잘못 써요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
$\log_9 27$ 의 값을 구하시오.
예제 2
$\log_{x-1}(-x^2+2x+8)$ 이 정의되도록 하는 실수 $x$ 의 값의 범위를 구하시오.
예제 3
$\log_3\sqrt{12}+\dfrac{1}{2}\log_3\dfrac{3}{4}-\log_3\dfrac{1}{3}$ 의 값을 구하시오.

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