부피

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

x

축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가

S(x)

인 입체도형의 부피는

V=\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx

이에요. 단면의 모양(정사각형·정삼각형·반원)에서

S(x)

를 구하여 적분해요.

1단면의 넓이와 입체도형의 부피
2단면이 정사각형·정삼각형·반원인 입체도형
3높이에 따라 단면이 바뀌는 입체도형
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (2개 · 핵심 용어 가리기)

1단면의 넓이와 입체도형의 부피

성질입체도형의 부피

닫힌구간

[a,\ b]

의 임의의

x

에서

x

축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가

S(x)

인 입체도형의 부피

V

는

V=\int_{a}^{b}S(x)\,dx

(단,

S(x)

는 연속함수)
즉 단면의 넓이를 적분하면 부피가 된다.

학생

왜 단면의 넓이를 적분하면 부피가 돼요?

쌤

입체도형을 아주 얇게 자르면 조각 하나는 밑넓이가

S(x)

, 두께가

dx

인 기둥과 같아요. 이 조각들을 모두 더한 것이 적분이에요.

공식넓이와 부피 나란히

넓이

\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx

단면(선분)의 길이

f(x)

를 적분한다.

부피

\displaystyle V=\int_{a}^{b}S(x)\,dx

단면(평면도형)의 넓이

S(x)

를 적분한다.

단면의 넓이가

S(x)=x^2+1\ (0\le x\le3)

인 입체도형

V=\int_{0}^{3}(x^2+1)\,dx=\Big[\dfrac{x^3}{3}+x\Big]_{0}^{3}

↳◀단면의 넓이를 적분

=9+3=12

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

단면의 넓이가

S(x)=2x\ (0\le x\le3)

인 입체도형의 부피는?

예밑넓이가

A

, 높이가

h

인 뿔의 부피

꼭짓점에서 밑면에 내린 수선을

x

축으로 잡고 꼭짓점을 원점으로 해요.
꼭짓점에서 거리가

x

인 단면은 밑면과 닮음이고 닮음비는

x:h

이에요.
넓이의 비는 닮음비의 제곱 이므로

S(x)=A\times\dfrac{x^2}{h^2}

따라서

V=\displaystyle\int_{0}^{h}\frac{A}{h^2}x^2\,dx=\frac{A}{h^2}\times\frac{h^3}{3}=\frac{1}{3}Ah

길이가 아니라 넓이를 적분한다

✗ 틀린 풀이

단면이 한 변의 길이가

\sqrt{x}

인 정사각형이므로

V=\displaystyle\int_{0}^{4}\sqrt{x}\,dx

왜 틀렸나 부피는 단면의 넓이를 적분하므로 한 변의 길이를 제곱하여 넓이

S(x)

를 먼저 구한다.

✓ 바른 풀이

단면의 넓이는

S(x)=(\sqrt{x})^2=x

이므로

V=\displaystyle\int_{0}^{4}x\,dx=8

기억 요령: 길이를 적분하면 넓이, 넓이를 적분하면 부피가 된다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가? 입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$ 이고, 입체도형이 $x=a$ 에서 $x=b$ 까지 놓여 있다고 해요.
구간 $[a,\ b]$ 를 $n$ 등분하면 $\Delta x=\dfrac{b-a}{n}$ 이고, $k$ 번째 얇은 조각은 밑넓이가 $S(x_k)$ , 두께가 $\Delta x$ 인 기둥에 가까워요.
조각들의 부피의 합은 $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}S(x_k)\Delta x$ 이고, $n\to\infty$ 일 때의 극한값이 부피예요.
정적분과 급수의 합의 관계에 의하여 이 극한값은 $\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx$ 이에요.

부피를 구하는 순서

1
단면이 수직이 되도록 축을 정하고, 입체도형이 놓인 구간 $[a,\ b]$ 를 정해요.
2
위치 $x$ 에서의 단면의 모양과 크기(한 변의 길이, 지름 등)를 $x$ 의 식으로 나타내요.
3
단면의 넓이 $S(x)$ 를 구해요.
길이를 그대로 적분하지 않도록 주의해요.
4
$\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx$ 를 계산해요.

2단면이 정사각형·정삼각형·반원인 입체도형

밑면이 좌표평면 위의 도형이고, $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 정사각형·정삼각형·반원 등 모양이 정해진 입체도형이 많아요.
이때 단면의 한 변(또는 지름)은 밑면을 자른 선분이므로, 그 길이를 곡선의 식으로 나타내요.

공식한 변의 길이가

t

인 단면의 넓이

정사각형

\displaystyle t^2

정삼각형

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}t^2

높이가

\dfrac{\sqrt{3}}{2}t

이므로

\dfrac{1}{2}\times t\times\dfrac{\sqrt{3}}{2}t

지름이

t

인 반원

\displaystyle \frac{1}{2}\pi\left(\frac{t}{2}\right)^2=\frac{\pi}{8}t^2

반지름은

\dfrac{t}{2}

이다.

직각이등변삼각형(빗변이 아닌 변이

t

)

\displaystyle \frac{1}{2}t^2

\text{정사각형}:\ S(x)=x,\quad V=\int_{0}^{4}x\,dx=8

↳◀

(\sqrt{x})^2

\text{정삼각형}:\ S(x)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}x,\quad V=2\sqrt{3}

↳◀

\frac{\sqrt{3}}{4}(\sqrt{x})^2

\text{반원}:\ S(x)=\dfrac{\pi}{8}x,\quad V=\pi

↳◀지름

\sqrt{x}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

위치

x\ (0\le x\le3)

에서의 단면이 한 변의 길이가

x

인 정사각형인 입체도형의 부피는?

반원의 넓이는 반지름으로

✗ 틀린 풀이

지름이

t

인 반원의 넓이를

\dfrac{1}{2}\pi t^2

왜 틀렸나 원의 넓이 공식

\pi r^2

의

r

는 반지름이므로 지름의 반

\dfrac{t}{2}

를 넣는다.

✓ 바른 풀이

지름이

t

인 반원의 넓이는

\dfrac{1}{2}\pi\left(\dfrac{t}{2}\right)^2=\dfrac{\pi}{8}t^2

확인: 지름이

2

인 반원은 반지름이

1

이므로 넓이가

\dfrac{\pi}{2}

이고,

\dfrac{\pi}{8}\times2^2=\dfrac{\pi}{2}

로 같다.

자세히 보기펼치기외우기 카드예제

단면의 넓이 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2밑변

t

, 높이

\dfrac{\sqrt{3}}{2}t

\text{정삼각형}(t)=\frac{\square}{4}t^2

단계 1 / 2반지름

\dfrac{t}{2}

인 원의 넓이의 절반

\text{지름이 } t \text{ 인 반원}=\frac{\pi}{\square}t^2

응용

지수함수·삼각함수

S(x)=(e^x)^2=e^{2x}

↳◀한 변이

e^x\ (0\le x\le1)

인 정사각형

V=\int_{0}^{1}e^{2x}\,dx=\Big[\dfrac{1}{2}e^{2x}\Big]_{0}^{1}=\dfrac{e^2-1}{2}

S(x)=(\sqrt{\sin x})^2=\sin x

↳◀한 변이

\sqrt{\sin x}\ (0\le x\le\pi)

V=\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx=2

3높이에 따라 단면이 바뀌는 입체도형

그릇이나 탑처럼 높이에 따라 수평 단면이 바뀌는 입체도형은 높이 방향을 $x$ 축으로 잡아요.
바닥에서 높이가 $x$ 인 곳의 수평 단면의 넓이를 $S(x)$ 라 하면 높이 $h$ 까지의 부피는 $\displaystyle V=\int_{0}^{h}S(x)\,dx$ 예요.

높이

x

인 곳의 수평 단면의 넓이가

\pi(x+1)

인 그릇에 높이

4

까지 물을 넣을 때

V=\int_{0}^{4}\pi(x+1)\,dx=\pi\Big[\dfrac{x^2}{2}+x\Big]_{0}^{4}

=\pi(8+4)=12\pi

↳◀물의 부피

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

높이

x

인 곳의 수평 단면의 넓이가

e^x

인 그릇에 높이

1

까지 물을 넣을 때 물의 부피는?

자세히 보기펼치기왜 그런지틀리기 쉬운 곳

⚠ 주의검산

부피는 항상 양수예요.
단면이 일정한 기둥이면

S(x)=A

이므로

V=A(b-a)

가 되어 (밑넓이)

\times

(높이)와 같은지 확인할 수 있어요.
뿔은 같은 밑넓이·높이의 기둥의

\dfrac{1}{3}

이에요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1입체도형을 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)$ 일 때, $x=a$ 에서 $x=b$ 까지의 부피는 $V=\displaystyle\int_{a}^{b}S(x)\,dx$ 이다.
2부피를 구하는 핵심은 위치 $x$ 에서의 단면의 넓이 $S(x)$ 를 $x$ 의 식으로 나타내는 것이다.
3한 변의 길이가 $t$ 인 단면: 정사각형 $t^2$ , 정삼각형 $\dfrac{\sqrt{3}}{4}t^2$ , 지름이 $t$ 인 반원 $\dfrac{\pi}{8}t^2$
4높이 $x$ 에서의 수평 단면의 넓이가 $S(x)$ 이면 높이 $h$ 까지의 부피는 $\displaystyle\int_{0}^{h}S(x)\,dx$ 이다.

✗ 자주 하는 실수

단면의 한 변의 길이를 그대로 적분하여 넓이가 아닌 길이를 적분해요.
지름이 $t$ 인 반원의 넓이를 $\dfrac{1}{2}\pi t^2$ 으로 계산해요. 반지름은 $\dfrac{t}{2}$ 이에요.
정삼각형의 넓이를 $\dfrac{1}{2}t^2$ 처럼 높이를 $t$ 로 잡아 계산해요. 높이는 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}t$ 이에요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
어떤 입체도형을 $x$ 축 위의 점 $(x,\ 0)\ (0\le x\le2)$ 을 지나고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면의 넓이가 $S(x)=3x^2+2x$ 일 때, 이 입체도형의 부피를 구하시오.
예제 2
$x$ 좌표가 $x\ (0\le x\le3)$ 인 점을 지나고 $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 $2\sqrt{x}$ 인 정삼각형인 입체도형의 부피를 구하시오.
예제 3
곡선 $y=4-x^2$ 과 $x$ 축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하고, $x$ 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정사각형인 입체도형의 부피를 구하시오.

다음 공부

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