수학 개념 노트전체 과목

지수함수와 로그함수의 극한

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
lim⁡x→0(1+x)1x=e\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e 로 무리수 ee 를 정의하고, ee 를 밑으로 하는 로그를 자연로그 ln⁡x\ln x 라 해요. 이를 이용하면 lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1 이에요.
  1. 1지수함수와 로그함수의 극한
  2. 2무리수 ee 와 자연로그
  3. 3ee 를 이용한 극한
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1지수함수와 로그함수의 극한

성질지수함수·로그함수의 연속과 극한
지수함수 y=axy=a^x (a>0, a≠1)(a>0,\ a\ne1) 와 로그함수 y=log⁡axy=\log_a x 는 정의역의 모든 점에서 연속이다.
따라서 정의역에 속하는 cc 에 대하여
lim⁡x→cax=ac\displaystyle\lim_{x\to c}a^x=a^c
lim⁡x→clog⁡ax=log⁡ac\displaystyle\lim_{x\to c}\log_a x=\log_a c (c>0)(c>0)
예: lim⁡x→32x=23=8\displaystyle\lim_{x\to3}2^x=2^3=8
학생
x→∞x\to\infty 일 때는 넣을 값이 없는데 어떻게 알아요?
쌤
그래프를 떠올리면 돼요. 밑이 11 보다 크면 axa^x 와 log⁡ax\log_a x 는 둘 다 한없이 커지고, 밑이 11 보다 작으면 방향이 반대예요.

로그끼리 빼는 꼴은 로그의 성질로 하나로 묶어 계산해요.

공식a>1a>1 일 때
지수함수
lim⁡x→∞ax=∞,lim⁡x→−∞ax=0\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=\infty,\quad \lim_{x\to-\infty}a^x=0
증가하는 함수이고, 왼쪽으로 가면 xx 축에 가까워진다.
로그함수
lim⁡x→∞log⁡ax=∞,lim⁡x→0+log⁡ax=−∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_a x=\infty,\quad \lim_{x\to0+}\log_a x=-\infty
yy 축이 점근선이다.
공식0<a<10<a<1 일 때
지수함수
lim⁡x→∞ax=0,lim⁡x→−∞ax=∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}a^x=0,\quad \lim_{x\to-\infty}a^x=\infty
감소하는 함수이다.
로그함수
lim⁡x→∞log⁡ax=−∞,lim⁡x→0+log⁡ax=∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}\log_a x=-\infty,\quad \lim_{x\to0+}\log_a x=\infty
lim⁡x→∞{log⁡2(4x+1)−log⁡2x}\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{\log_2(4x+1)-\log_2 x\}
log⁡2(4x+1)−log⁡2x=log⁡24x+1x\log_2(4x+1)-\log_2 x=\log_2\dfrac{4x+1}{x}
↳하나의 로그로 묶기
4x+1x=4+1x→4\dfrac{4x+1}{x}=4+\dfrac{1}{x}\to4
log⁡24=2\log_2 4=2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→∞(12)x\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^x 의 값은?
∞−∞\infty-\infty 꼴은 바로 계산하지 않는다
✗ 틀린 풀이
log⁡2(4x+1)−log⁡2x→∞−∞=0\log_2(4x+1)-\log_2 x\to\infty-\infty=0
왜 틀렸나 ∞−∞\infty-\infty 꼴은 값이 정해지지 않으므로 로그의 성질로 하나로 묶은 뒤 극한을 구한다.
✓ 바른 풀이
log⁡24x+1x→log⁡24=2\log_2\dfrac{4x+1}{x}\to\log_2 4=2
바른 계산: 4x+1x=4+1x→4\dfrac{4x+1}{x}=4+\dfrac{1}{x}\to4 이므로 극한값은 log⁡24=2\log_2 4=2 이다.
자세히 보기펼치기예제
lim⁡x→∞2x−2−x2x+2−x\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2^x-2^{-x}}{2^x+2^{-x}}
2x−2−x2x+2−x=1−4−x1+4−x\dfrac{2^x-2^{-x}}{2^x+2^{-x}}=\dfrac{1-4^{-x}}{1+4^{-x}}
↳가장 빨리 커지는 2x2^x 로 위아래 나누기
4−x=(14)x→04^{-x}=\left(\dfrac{1}{4}\right)^x\to0
↳x→∞x\to\infty
1−01+0=1\dfrac{1-0}{1+0}=1

2무리수 ee 와 자연로그

xx 가 00 에 가까워질 때 (1+x)1x(1+x)^{\frac{1}{x}} 의 값을 계산해 봐요.

x→0x\to0 일 때 (1+x)1x(1+x)^{\frac{1}{x}} 의 값
xx(1+x)1x(1+x)^{\frac{1}{x}}
−0.01-0.012.7319⋯2.7319\cdots
−0.001-0.0012.7196⋯2.7196\cdots
0.0010.0012.7169⋯2.7169\cdots
0.010.012.7048⋯2.7048\cdots
0.10.12.5937⋯2.5937\cdots
xx 가 양쪽에서 00 에 가까워질 때 (1+x)1x(1+x)^{\frac{1}{x}} 은 일정한 값 2.71828⋯2.71828\cdots 에 가까워져요.
정의무리수 ee
x→0x\to0 일 때 (1+x)1x(1+x)^{\frac{1}{x}} 이 가까워지는 값을 e로 나타낸다.e=lim⁡x→0(1+x)1x=2.718281828⋯e=\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=2.718281828\cdotsee 는 무리수이다.
x=1tx=\dfrac{1}{t} 로 놓으면 x→0+x\to0+ 일 때 t→∞t\to\infty 이므로 lim⁡t→∞(1+1t)t=e\displaystyle\lim_{t\to\infty}\left(1+\dfrac{1}{t}\right)^t=e 로 쓸 수도 있다.
학생
1+x1+x 는 11 에 가까워지는데, 왜 극한이 11 이 아니에요?
쌤
밑은 11 에 가까워지지만 지수 1x\dfrac{1}{x} 의 절댓값은 한없이 커져요. 두 효과가 맞서서 11 도 무한대도 아닌 2.718⋯2.718\cdots 에 다가가요.
정의자연로그
ee 를 밑으로 하는 로그 log⁡ex\log_e x 를 자연로그 라 하고, 간단히 ln⁡x\ln x 로 나타낸다.
ln⁡e=1\ln e=1, ln⁡1=0\ln1=0
eln⁡x=xe^{\ln x}=x (x>0)(x>0), ln⁡ex=x\ln e^x=x
y=exy=e^x 과 y=ln⁡xy=\ln x 는 서로 역함수이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
ln⁡e3\ln e^3 의 값은?
자세히 보기펼치기그림성질 더 보기
성질밑의 변환
a>0a>0, a≠1a\ne1, x>0x>0 일 때
log⁡ax=ln⁡xln⁡a\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}
ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a}
두 번째 식은 a=eln⁡aa=e^{\ln a} 의 양변을 xx 제곱한 것이다.

3ee 를 이용한 극한

성질로그함수의 극한
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1이유: 로그의 성질로 1x\dfrac{1}{x} 을 지수로 올린다.
ln⁡(1+x)x=ln⁡(1+x)1x\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\ln(1+x)^{\frac{1}{x}}
x→0x\to0 일 때 (1+x)1x→e(1+x)^{\frac{1}{x}}\to e 이고 로그함수는 연속이므로 극한값은 ln⁡e=1\ln e=1 이다.
성질지수함수의 극한
lim⁡x→0ex−1x=1\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1이유: ex−1=te^x-1=t 로 놓으면 x=ln⁡(1+t)x=\ln(1+t) 이고, x→0x\to0 일 때 t→0t\to0 이다.
lim⁡x→0ex−1x=lim⁡t→0tln⁡(1+t)=lim⁡t→01ln⁡(1+t)t=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{t\to0}\frac{t}{\ln(1+t)}=\lim_{t\to0}\frac{1}{\frac{\ln(1+t)}{t}}=1

두 극한값은 모두 11 이에요.

공식틀로 쓰기
세 칸의 □\square 는 모두 같은 식이고 □→0\square\to0
e 의 정의
lim⁡(1+□)1□=e\displaystyle \lim(1+\square)^{\frac{1}{\square}}=e
로그
lim⁡ln⁡(1+□)□=1\displaystyle \lim\frac{\ln(1+\square)}{\square}=1
지수
lim⁡e□−1□=1\displaystyle \lim\frac{e^{\square}-1}{\square}=1
학생
왜 □\square 를 모두 같은 식으로 맞춰야 해요?
쌤
두 극한은 분자 속 덩어리와 분모가 똑같은 식으로 00 에 갈 때만 11 이에요. 그래서 분모를 분자 속 덩어리 □\square 와 똑같이 맞추는 게 핵심이에요.
응용
lim⁡x→0e3x−1x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}
e3x−1x=3×e3x−13x\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}
↳□=3x\square=3x 로 맞추기
e3x−13x→1\dfrac{e^{3x}-1}{3x}\to1
↳3x→03x\to0
lim⁡x→0e3x−1x=3\lim_{x\to0}\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→0ln⁡(1+4x)x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+4x)}{x} 의 값은?
덩어리를 맞추지 않고 1 을 넣지 않는다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→0e3x−1x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}=1
왜 틀렸나 et−1t→1\dfrac{e^{t}-1}{t}\to1 은 지수와 분모가 같은 tt 일 때만 쓰므로 분모를 3x3x 로 맞춘다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→0e3x−1x=lim⁡x→03×e3x−13x=3\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x}=\lim_{x\to0}3\times\frac{e^{3x}-1}{3x}=3
검산: x=0.001x=0.001 이면 e0.003−10.001≈3.0045\dfrac{e^{0.003}-1}{0.001}\approx3.0045 로 33 에 가깝다.
(1+kx)1x(1+kx)^{\frac{1}{x}} 의 극한
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→0(1+2x)1x=e\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=e
왜 틀렸나 (1+t)1t→e(1+t)^{\frac{1}{t}}\to e 는 괄호 안과 지수의 분모가 같은 tt 일 때만 쓰므로 2x2x 로 맞춘다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→0(1+2x)1x=lim⁡x→0{(1+2x)12x}2=e2\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to0}\left\{(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right\}^2=e^2
1x=12x×2\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{2x}\times2 이므로 지수의 22 가 바깥으로 나와 e2e^2 이 된다.
자세히 보기펼치기왜 그런지공식 더 보기외우기 카드

이 값은 (ex)′=ex(e^x)'=e^x, (ln⁡x)′=1x(\ln x)'=\dfrac{1}{x} 을 보이는 데 쓰여요.

공식밑이 ee 가 아닐 때 (a>0a>0, a≠1a\ne1)
로그
lim⁡x→0log⁡a(1+x)x=1ln⁡a\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\frac{1}{\ln a}
log⁡a(1+x)=ln⁡(1+x)ln⁡a\log_a(1+x)=\dfrac{\ln(1+x)}{\ln a} 이므로
지수
lim⁡x→0ax−1x=ln⁡a\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln a
ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a} 이므로 □=xln⁡a\square=x\ln a
e 의 정의 응용
lim⁡x→0(1+kx)1x=ek\displaystyle \lim_{x\to0}(1+kx)^{\frac{1}{x}}=e^k
(1+kx)1x={(1+kx)1kx}k(1+kx)^{\frac{1}{x}}=\left\{(1+kx)^{\frac{1}{kx}}\right\}^k (k≠0)(k\ne0)
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 1
lim⁡x→0(1+x)1x=□\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=\square
단계 1 / 1
lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=□\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\square
단계 1 / 1
lim⁡x→0ex−1x=□\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\square
단계 1 / 2
lim⁡x→0ax−1x=ln⁡□\lim_{x\to0}\frac{a^x-1}{x}=\ln\square
극한 계산 순서
  1. 1
    x→0x\to0 일 때 00 으로 가는 덩어리 □\square 를 찾아요.
    예: e3x−1e^{3x}-1 이면 □=3x\square=3x
  2. 2
    분모를 같은 덩어리 □\square 로 만들고, 그 대신 곱한 수를 앞으로 빼요.
    e3x−1x=3×e3x−13x\dfrac{e^{3x}-1}{x}=3\times\dfrac{e^{3x}-1}{3x}
  3. 3
    기본 극한값 11 (또는 ee) 을 넣어요.
응용
lim⁡x→0ln⁡(1+2x)5x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+2x)}{5x}
ln⁡(1+2x)5x=25×ln⁡(1+2x)2x\dfrac{\ln(1+2x)}{5x}=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{\ln(1+2x)}{2x}
↳□=2x\square=2x 로 맞추기
lim⁡x→0ln⁡(1+2x)5x=25\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+2x)}{5x}=\dfrac{2}{5}
밑이 ee 가 아닌 꼴
lim⁡x→02x−1x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{2^x-1}{x}
2x=exln⁡22^x=e^{x\ln2}
↳밑을 ee 로
2x−1x=ln⁡2×exln⁡2−1xln⁡2\dfrac{2^x-1}{x}=\ln2\times\dfrac{e^{x\ln2}-1}{x\ln2}
↳□=xln⁡2\square=x\ln2 로 맞추기
lim⁡x→02x−1x=ln⁡2\lim_{x\to0}\dfrac{2^x-1}{x}=\ln2
⚠ 주의주의와 검산
세 기본 극한은 모두 □→0\square\to0 일 때의 극한이에요. x→∞x\to\infty 일 때는 쓸 수 없어요.
검산: xx 에 0.0010.001 처럼 00 에 가까운 수를 넣어 계산기로 값을 확인해요.
예를 들어 e0.003−10.001=3.0045⋯\dfrac{e^{0.003}-1}{0.001}=3.0045\cdots 로 33 에 가까워요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1a>1a>1 이면 x→∞x\to\infty 일 때 ax→∞a^x\to\infty, x→−∞x\to-\infty 일 때 ax→0a^x\to0 이다. 0<a<10<a<1 이면 반대이다.
  2. 2lim⁡x→0(1+x)1x=e=2.71828⋯\displaystyle\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e=2.71828\cdots 이고, log⁡ex\log_e x 를 ln⁡x\ln x 로 쓴다.
  3. 3lim⁡x→0ln⁡(1+x)x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1, lim⁡x→0ex−1x=1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1
  4. 4계산할 때는 □→0\square\to0 인 같은 덩어리를 만들어 ln⁡(1+□)□\dfrac{\ln(1+\square)}{\square}, e□−1□\dfrac{e^{\square}-1}{\square} 꼴로 바꾼다.
✗ 자주 하는 실수
  • lim⁡x→0e3x−1x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{3x}-1}{x} 처럼 지수와 분모의 식이 다른데 기본 극한값 11 을 그대로 써요.
  • lim⁡x→0(1+2x)1x\displaystyle\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}} 을 ee 라고 해요. 괄호 안의 2x2x 와 지수의 분모를 맞추면 e2e^2 이에요.
  • 0<a<10<a<1 일 때도 lim⁡x→∞ax=∞\displaystyle\lim_{x\to\infty}a^x=\infty 라고 해요. 밑이 11 보다 작으면 00 으로 가요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    lim⁡x→0e2x−1x\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{x} 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    lim⁡x→0ln⁡(1+3x)ex−1\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+3x)}{e^x-1} 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    lim⁡x→0(1−x)2x\displaystyle\lim_{x\to0}(1-x)^{\frac{2}{x}} 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 지수함수와 로그함수의 미분 →
이전 개념: 등비수열의 극한설명에서 참고한 다른 과목 개념: 대수 지수함수와 그래프, 대수 로그함수와 그래프, 미적분Ⅰ 함수의 연속, 대수 로그의 뜻과 성질, 중3 제곱근과 실수, 공통수학2 역함수, 대수 로그의 밑 변환미적분Ⅱ 목차
← 등비급수지수함수와 로그함수의 미분 →
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