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등비급수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
첫째항이 a (a≠0)a\ (a\ne0), 공비가 rr 인 등비급수 ∑n=1∞arn−1\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} 은 −1<r<1-1<r<1 일 때 수렴하고 그 합은 a1−r\dfrac{a}{1-r} 이며, r≤−1r\le-1 또는 r≥1r\ge1 이면 발산해요. 순환소수를 분수로 바꾸거나, 일정한 비율로 작아지는 도형의 넓이·길이의 합을 구할 때 써요.
  1. 1등비급수의 수렴과 발산
  2. 2순환소수를 분수로 나타내기
  3. 3수렴 조건으로 xx 의 값의 범위 구하기
  4. 4도형에서의 등비급수
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1등비급수의 수렴과 발산

정의등비급수
첫째항이 aa, 공비가 rr 인 등비수열의 각 항을 차례로 더한 급수a+ar+ar2+⋯+arn−1+⋯=∑n=1∞arn−1a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots=\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}을 첫째항이 aa, 공비가 rr 인 등비급수 라 한다.
성질등비급수의 수렴 조건과 합
첫째항이 a (a≠0)a\ (a\ne0), 공비가 rr 인 등비급수 ∑n=1∞arn−1\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} 은
① −1<r<1-1<r<1 이면 수렴 하고, 그 합은 a1−r\dfrac{a}{1-r}② r≤−1r\le-1 또는 r≥1r\ge1 이면 발산한다.
a=0a=0 이면 모든 항이 00 이므로 rr 의 값에 관계없이 00 에 수렴한다.
공식등비수열과 등비급수의 수렴 조건 비교
등비수열 {arn−1}\{ar^{n-1}\}
a=0 또는 −1<r≤1\displaystyle a=0 \text{ 또는 } -1<r\le1
r=1r=1 이면 모든 항이 aa 로 일정하므로 수렴한다.
등비급수 ∑n=1∞arn−1\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1}
a=0 또는 −1<r<1\displaystyle a=0 \text{ 또는 } -1<r<1
r=1r=1 이면 Sn=naS_n=na 가 되어 발산한다.
학생
등비수열은 r=1r=1 이어도 수렴하는데, 등비급수는 왜 안 돼요?
쌤
r=1r=1 이면 같은 수 aa 를 한없이 더하게 돼요. a≠0a\ne0 이면 합이 한없이 커지거나 작아지니 발산해요.
등비급수의 합
∑n=1∞3(12)n−1=31−12=6\sum_{n=1}^{\infty}3\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{3}{1-\frac{1}{2}}=6
↳a=3, r=12a=3,\ r=\frac{1}{2}
∑n=1∞(−23)n=−231+23=−25\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n=\dfrac{-\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=-\dfrac{2}{5}
↳a=−23, r=−23a=-\frac{2}{3},\ r=-\frac{2}{3}
∑n=1∞2n3n+1=291−23=23\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n}{3^{n+1}}=\dfrac{\frac{2}{9}}{1-\frac{2}{3}}=\dfrac{2}{3}
↳a=29, r=23a=\frac{2}{9},\ r=\frac{2}{3}
∑n=1∞(32)n\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{3}{2}\right)^n
↳r=32>1r=\frac{3}{2}>1 이므로 발산
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∑n=1∞(13)n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^n 의 값은?
첫째항을 정확히 구한다
✗ 틀린 풀이
∑n=1∞(−23)n=11+23=35\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n=\dfrac{1}{1+\frac{2}{3}}=\dfrac{3}{5}
왜 틀렸나 등비급수의 합 a1−r\dfrac{a}{1-r} 에서 aa 는 첫째항이므로 일반항에 n=1n=1 을 넣어 구해야 한다.
✓ 바른 풀이
첫째항은 n=1n=1 을 넣은 −23-\dfrac{2}{3} 이므로
∑n=1∞(−23)n=−231+23=−25\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n=\dfrac{-\frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=-\dfrac{2}{5}
지수가 nn 이면 첫째항은 공비와 같고, 지수가 n−1n-1 이면 첫째항은 11 이에요.
등비수열의 조건과 섞지 않는다
✗ 틀린 풀이
등비급수 ∑n=1∞rn−1\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1} 은 −1<r≤1-1<r\le1 일 때 수렴한다.
왜 틀렸나 r=1r=1 이면 부분합이 한없이 커지므로 등비급수의 수렴 조건에는 r=1r=1 이 들어가지 않는다.
✓ 바른 풀이
등비급수 ∑n=1∞rn−1\sum_{n=1}^{\infty}r^{n-1} 은 −1<r<1-1<r<1 일 때만 수렴한다.
기억 요령: 등비수열 {rn}\{r^n\} 의 수렴 조건은 −1<r≤1-1<r\le1, 등비급수의 수렴 조건은 −1<r<1-1<r<1 이다.
급수는 항을 계속 더하므로 r=1r=1 이 빠진다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가? a≠0a\ne0 일 때 부분합 SnS_n 을 구하여 판정해요.
r≠1r\ne1 이면 Sn=a(1−rn)1−rS_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}
−1<r<1-1<r<1 이면 rn→0r^n\to0 이므로 lim⁡n→∞Sn=a1−r\lim_{n\to\infty}S_n=\dfrac{a}{1-r}
r>1r>1 또는 r≤−1r\le-1 이면 {rn}\{r^n\} 이 발산하므로 {Sn}\{S_n\} 도 발산해요.
r=1r=1 이면 Sn=naS_n=na 이므로 발산해요.

등비급수의 합 구하기
  1. 1
    n=1n=1 을 넣어 첫째항 aa 를 구해요.
    ∑n=1∞rn\sum_{n=1}^{\infty}r^n 의 첫째항은 11 이 아니라 rr 이에요.
  2. 2
    이웃한 두 항의 비로 공비 rr 를 구해요.
  3. 3
    −1<r<1-1<r<1 인지 확인해요.
  4. 4
    합 a1−r\dfrac{a}{1-r} 을 계산해요.

2순환소수를 분수로 나타내기

순환소수는 같은 숫자의 배열이 일정한 자리만큼씩 밀려 나타나므로 등비급수로 나타낼 수 있어요.

0.3˙0.\dot{3} 을 분수로
0.3˙=0.3+0.03+0.003+⋯0.\dot{3}=0.3+0.03+0.003+\cdots
↳a=310, r=110a=\frac{3}{10},\ r=\frac{1}{10}
=3101−110=13=\dfrac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\dfrac{1}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
0.6˙0.\dot{6} 을 분수로 나타내면?
자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기
두 자리가 반복될 때
0.1˙2˙=0.12+0.0012+0.000012+⋯0.\dot{1}\dot{2}=0.12+0.0012+0.000012+\cdots
↳a=12100, r=1100a=\frac{12}{100},\ r=\frac{1}{100}
=121001−1100=1299=433=\dfrac{\frac{12}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\dfrac{12}{99}=\dfrac{4}{33}
순환하지 않는 부분이 있을 때
0.25˙=0.2+(0.05+0.005+0.0005+⋯ )0.2\dot{5}=0.2+(0.05+0.005+0.0005+\cdots)
↳괄호 안: a=5100, r=110a=\frac{5}{100},\ r=\frac{1}{10}
=210+51001−110=\dfrac{2}{10}+\dfrac{\frac{5}{100}}{1-\frac{1}{10}}
=15+118=2390=\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{18}=\dfrac{23}{90}
성질0.9˙=10.\dot{9}=1
0.9˙=0.9+0.09+0.009+⋯0.\dot{9}=0.9+0.09+0.009+\cdots 은 첫째항 910\dfrac{9}{10}, 공비 110\dfrac{1}{10} 인 등비급수이므로
0.9˙=9101−110=10.\dot{9}=\dfrac{\frac{9}{10}}{1-\frac{1}{10}}=1
순환소수를 분수로 고치는 방법은 이 등비급수의 합과 같은 결과를 준다.

3수렴 조건으로 xx 의 값의 범위 구하기

공비에 xx 가 있으면 수렴 조건 −1<r<1-1<r<1 을 xx 에 대한 부등식으로 풀어요.

공비에 xx 가 있을 때
∑n=1∞(x−13)n\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{x-1}{3}\right)^n
−1<x−13<1-1<\dfrac{x-1}{3}<1
↳수렴 조건
−2<x<4-2<x<4
↳각 변에 33 을 곱하고 11 을 더하기
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
∑n=1∞(2x)n\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(2x)^n 이 수렴하는 xx 의 값의 범위는?
학생
첫째항에도 xx 가 있으면 무엇이 달라져요?
쌤
첫째항이 00 이면 모든 항이 00 이라 공비와 관계없이 수렴해요. 그래서 첫째항이 00 인 경우도 함께 넣어요.
첫째항에도 xx 가 있을 때
∑n=1∞(x+2)(x−1)n−1\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)(x-1)^{n-1}
x+2=0 또는 −1<x−1<1x+2=0\ \text{또는}\ -1<x-1<1
↳첫째항 00 또는 −1<r<1-1<r<1
x=−2 또는 0<x<2x=-2\ \text{또는}\ 0<x<2
0<x<20<x<2
-3-2-10123
−2-2
00
22
x=−2x=-2 이면 첫째항이 00 이라 모든 항이 00 이므로 따로 포함해요.
첫째항이 0 인 경우를 빠뜨리지 않는다
✗ 틀린 풀이
∑n=1∞(x+2)(x−1)n−1\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)(x-1)^{n-1} 이 수렴하는 xx 의 값의 범위는 0<x<20<x<2
왜 틀렸나 첫째항이 00 이면 공비와 관계없이 모든 항이 00 이어서 수렴하므로 이 경우도 따로 넣는다.
✓ 바른 풀이
x=−2x=-2 이면 모든 항이 00 이므로 수렴한다.
따라서 x=−2x=-2 또는 0<x<20<x<2
수렴 조건은 「a=0a=0 또는 −1<r<1-1<r<1」이에요.

4도형에서의 등비급수

성질닮음비와 공비
같은 모양의 도형을 일정한 비율로 줄여 가며 한없이 그릴 때, 이웃한 두 도형의 닮음비가 1:k1:k 이면
길이(변, 둘레)는 공비가 kk 인 등비수열을 이루고
넓이는 공비가 k2k^2 인 등비수열을 이룬다.
학생
넓이는 왜 공비가 k2k^2 이에요?
쌤
닮음비가 1:k1:k 이면 넓이의 비는 1:k21:k^2 이에요. 그래서 첫 번째 도형으로 첫째항을 구한 뒤, 길이의 합이면 공비 kk, 넓이의 합이면 k2k^2 을 써요.
정사각형의 각 변의 중점을 이어 만든 정사각형
바깥 정사각형의 한 변이 44 이면, 네 모서리에 직각을 낀 두 변이 22 인 직각이등변삼각형이 생겨요.
다음 정사각형의 한 변은 그 빗변 22+22=22\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2} 예요.
정사각형의 넓이의 합
한 변이 44 인 정사각형에서 시작
222\sqrt{2}
↳두 번째 정사각형의 한 변(빗변)
4:22=1:224:2\sqrt{2}=1:\dfrac{\sqrt{2}}{2}
↳닮음비
(22)2=12\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2}
↳넓이의 공비
161−12=32\dfrac{16}{1-\frac{1}{2}}=32
↳넓이의 합
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
닮음비가 1:131:\dfrac{1}{3} 로 줄어드는 도형들에서 넓이의 공비는?
넓이의 공비는 닮음비의 제곱
✗ 틀린 풀이
정사각형들의 넓이의 합
161−22\dfrac{16}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}
왜 틀렸나 닮음비가 kk 이면 넓이의 비는 k2k^2 이므로 넓이로 만든 등비급수의 공비는 k2k^2 이다.
✓ 바른 풀이
넓이의 공비는 (22)2=12\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{1}{2} 이므로
161−12=32\dfrac{16}{1-\frac{1}{2}}=32
확인: 넓이가 16, 8, 4, ⋯16,\ 8,\ 4,\ \cdots 로 반씩 줄어드는지 처음 몇 개를 계산해 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
도형에서 등비급수의 합 구하기
  1. 1
    첫 번째 도형의 길이 또는 넓이를 구해요.
    첫째항이 돼요.
  2. 2
    첫 번째와 두 번째 도형의 닮음비 1:k1:k 를 구해요(변의 길이는 피타고라스 정리 등으로 구해요).
  3. 3
    길이의 합이면 공비 kk, 넓이의 합이면 공비 k2k^2 으로 a1−r\dfrac{a}{1-r} 을 계산해요.
정사각형의 둘레의 합
a=16, r=22a=16,\ r=\dfrac{\sqrt{2}}{2}
↳첫 둘레 4×44\times4, 공비는 닮음비
161−22=322−2\dfrac{16}{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}=\dfrac{32}{2-\sqrt{2}}
=32(2+2)2=32+162=\dfrac{32(2+\sqrt{2})}{2}=32+16\sqrt{2}
↳분모 유리화
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1첫째항이 a (a≠0)a\ (a\ne0), 공비가 rr 인 등비급수 ∑n=1∞arn−1\sum_{n=1}^{\infty}ar^{n-1} 은 −1<r<1-1<r<1 이면 수렴하고 합은 a1−r\dfrac{a}{1-r} 이다.
  2. 2r≤−1r\le-1 또는 r≥1r\ge1 이면 발산한다. a=0a=0 이면 rr 에 관계없이 00 에 수렴한다.
  3. 3순환소수는 등비급수로 나타내어 분수로 바꿀 수 있다.
  4. 4도형이 일정한 비율로 작아지며 한없이 이어지면, 닮음비로 공비를 구한다. 길이의 공비는 닮음비, 넓이의 공비는 닮음비의 제곱이다.
✗ 자주 하는 실수
  • ∑n=1∞rn\sum_{n=1}^{\infty}r^n 의 첫째항을 11 로 보아 합을 11−r\dfrac{1}{1-r} 로 계산해요.
  • 등비수열의 수렴 조건 −1<r≤1-1<r\le1 과 섞어 r=1r=1 일 때도 등비급수가 수렴한다고 생각해요.
  • 도형에서 넓이의 합을 구할 때 닮음비를 그대로 공비로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    ∑n=1∞3n5n+1\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3^n}{5^{n+1}} 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    등비급수 ∑n=1∞(2x−1)n\sum_{n=1}^{\infty}(2x-1)^n 이 수렴하도록 하는 실수 xx 의 값의 범위를 구하시오.
  3. 예제 3
    한 변의 길이가 44 인 정삼각형의 각 변의 중점을 이어 만든 정삼각형에서 다시 같은 과정을 한없이 반복할 때, 처음 정삼각형을 포함한 모든 정삼각형의 넓이의 합을 구하시오.
    ABC

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