수학 개념 노트전체 과목

로그의 밑 변환

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} 를 로그의 밑의 변환 공식이라 해요. 이 공식으로 밑이 다른 로그를 같은 밑으로 바꾸어 계산하고, log⁡ambn=nmlog⁡ab\log_{a^m} b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b, alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b 같은 성질을 얻어요.
  1. 1로그의 밑의 변환
  2. 2밑의 변환 공식에서 얻는 성질
  3. 3지수에 로그가 있는 수
  4. 4주어진 로그로 나타내기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1로그의 밑의 변환

성질밑의 변환 공식
a>0, a≠1, b>0, c>0, c≠1a>0,\ a\ne1,\ b>0,\ c>0,\ c\ne1 일 때 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\frac{\log_c b}{\log_c a}이 공식을 로그의 밑의 변환 공식이라 한다.
학생
새 밑 cc 는 아무 수나 골라도 돼요?
쌤
11 이 아닌 양수이면 어느 것이든 돼요. 보통 계산하기 쉬운 수로 잡아요. log⁡48\log_4 8 은 44 와 88 이 모두 22 의 거듭제곱이니까 c=2c=2 로 하면 32\dfrac{3}{2} 이에요.
같은 밑으로 바꾸기
log⁡48=log⁡28log⁡24=32\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}
↳4=224=2^2, 8=238=2^3: 밑 22
log⁡927=log⁡327log⁡39=32\log_9 27=\dfrac{\log_3 27}{\log_3 9}=\dfrac{3}{2}
↳99 와 2727: 밑 33
log⁡128=log⁡28log⁡212=3−1=−3\log_{\frac{1}{2}}8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 \frac{1}{2}}=\dfrac{3}{-1}=-3
↳12=2−1\frac{1}{2}=2^{-1}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡84\log_8 4 의 값은?
나눗셈이지 뺄셈이 아니다
✗ 틀린 풀이
log⁡48=log⁡28−log⁡24=3−2=1\log_4 8=\log_2 8-\log_2 4=3-2=1
왜 틀렸나 밑의 변환 공식은 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} 처럼 두 로그의 나눗셈이다.
✓ 바른 풀이
log⁡48=log⁡28log⁡24=32\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}
뺄셈으로 바뀌는 것은 진수가 몫일 때 log⁡284=log⁡28−log⁡24\log_2\dfrac{8}{4}=\log_2 8-\log_2 4 이다.
검산: 432=23=84^{\frac{3}{2}}=2^3=8 이다.
분모에 밑
✗ 틀린 풀이
log⁡48=log⁡24log⁡28=23\log_4 8=\dfrac{\log_2 4}{\log_2 8}=\dfrac{2}{3}
왜 틀렸나 log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a} 이므로 진수의 로그가 분자, 밑의 로그가 분모로 가야 한다.
✓ 바른 풀이
log⁡48=log⁡28log⁡24=32\log_4 8=\dfrac{\log_2 8}{\log_2 4}=\dfrac{3}{2}
밑 44 는 분모, 진수 88 은 분자로 가요.
log⁡48\log_4 8 의 값은 44 를 몇 제곱하면 88 이 되는가이므로 11 보다 커야 해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가
로그의 정의와 로그의 성질 log⁡cMk=klog⁡cM\log_c M^k=k\log_c M 을 차례로 써요.

log⁡ab=x\log_a b=x
↳구하는 값을 xx 로 놓아요
ax=ba^x=b
↳로그를 지수로 바꿔요
log⁡cax=log⁡cb\log_c a^x=\log_c b
↳양변에 밑이 cc 인 로그
xlog⁡ca=log⁡cbx\log_c a=\log_c b
↳지수를 앞으로
x=log⁡cblog⁡cax=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
↳a≠1a\ne1 이므로 log⁡ca≠0\log_c a\ne0

틀로 쓰면 다음과 같아요.log⁡□△=log⁡c△log⁡c□\log_{\square}\triangle=\frac{\log_c\triangle}{\log_c\square}밑 □\square 는 아래(분모)로, 진수 △\triangle 는 위(분자)로 가요.
새 밑 cc 는 11 이 아닌 양수이면 무엇이든 돼요. 밑과 진수가 모두 cc 의 거듭제곱이 되도록 고르면 계산이 쉬워요.
밑이 1010 인 로그인 상용로그는 밑을 생략하여 log⁡N\log N 으로 써요. 새 밑을 1010 으로 하면 분모와 분자에 log⁡\log 만 써요.

검산은 로그의 정의로 돌아가서 해요.
log⁡48=32\log_4 8=\dfrac{3}{2} 이 맞다면 432=84^{\frac{3}{2}}=8 이어야 해요.
432=(22)32=23=84^{\frac{3}{2}}=(2^2)^{\frac{3}{2}}=2^3=8 이므로 맞아요.

2밑의 변환 공식에서 얻는 성질

공식a, b, ca,\ b,\ c 는 11 이 아닌 양수 (bb 는 진수로만 쓰일 때 양수), m≠0m\ne0
역수
log⁡ab=1log⁡ba\displaystyle \log_a b=\frac{1}{\log_b a}
새 밑을 bb 로 하면 log⁡ab=log⁡bblog⁡ba=1log⁡ba\log_a b=\dfrac{\log_b b}{\log_b a}=\dfrac{1}{\log_b a}
곱이 1
log⁡ab×log⁡ba=1\displaystyle \log_a b\times\log_b a=1
역수의 곱
이어 곱하기
log⁡ab×log⁡bc=log⁡ac\displaystyle \log_a b\times\log_b c=\log_a c
log⁡blog⁡a×log⁡clog⁡b=log⁡clog⁡a\dfrac{\log b}{\log a}\times\dfrac{\log c}{\log b}=\dfrac{\log c}{\log a}
밑과 진수의 지수
log⁡ambn=nmlog⁡ab\displaystyle \log_{a^m} b^n=\frac{n}{m}\log_a b
특히 log⁡aman=nm\log_{a^m}a^n=\dfrac{n}{m}

log⁡ab\log_a b 와 log⁡ba\log_b a 는 서로 역수이에요. 밑과 진수를 바꾸면 값이 역수가 돼요.

성질log⁡ambn=nmlog⁡ab\log_{a^m} b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b 인 이유
밑을 aa 로 바꾸면 log⁡ambn=log⁡abnlog⁡aam=nlog⁡abm\log_{a^m}b^n=\frac{\log_a b^n}{\log_a a^m}=\frac{n\log_a b}{m}진수의 지수 nn 은 앞으로 나와 분자에, 밑의 지수 mm 은 분모에 간다.
즉 log⁡ambn\log_{a^m}b^n 은 log⁡ab\log_a b 의 nm\frac{n}{m} 배이다.
학생
log⁡84\log_8 4 가 23\dfrac{2}{3} 인지 32\dfrac{3}{2} 인지 헷갈려요.
쌤
log⁡2322\log_{2^3}2^2 이니까 진수의 지수 22 가 분자, 밑의 지수 33 이 분모예요. 그래서 23\dfrac{2}{3} 이에요.
응용
log⁡832=log⁡2325=53\log_8 32=\log_{2^3}2^5=\dfrac{5}{3}
↳진수의 지수는 분자, 밑의 지수는 분모
log⁡39=log⁡31232=212=4\log_{\sqrt{3}}9=\log_{3^{\frac{1}{2}}}3^2=\dfrac{2}{\frac{1}{2}}=4
↳3=312\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}
log⁡1432=log⁡2−225=−52\log_{\frac{1}{4}}32=\log_{2^{-2}}2^5=-\dfrac{5}{2}
↳14=2−2\frac{1}{4}=2^{-2}
log⁡427=log⁡2233=32log⁡23\log_4 27=\log_{2^2}3^3=\dfrac{3}{2}\log_2 3
↳밑이 달라도 지수만 앞으로
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡432\log_4 32 의 값은?
분자와 분모를 바꾸지 않는다
✗ 틀린 풀이
log⁡832=log⁡2325=35\log_8 32=\log_{2^3}2^5=\dfrac{3}{5}
왜 틀렸나 log⁡ambn=nmlog⁡ab\log_{a^m}b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b 이므로 진수의 지수가 분자, 밑의 지수가 분모이다.
✓ 바른 풀이
log⁡832=log⁡2325=53\log_8 32=\log_{2^3}2^5=\dfrac{5}{3}
진수의 지수 55 가 분자, 밑의 지수 33 이 분모예요.
검산: 853=(23)53=25=328^{\frac{5}{3}}=(2^3)^{\frac{5}{3}}=2^5=32
자세히 보기펼치기예제외우기 카드
예이어 곱하기
log⁡23×log⁡38=log⁡28=3\log_2 3\times\log_3 8=\log_2 8=3확인: 밑을 1010 으로 바꾸면 log⁡3log⁡2×log⁡8log⁡3=log⁡8log⁡2=3\dfrac{\log 3}{\log 2}\times\dfrac{\log 8}{\log 3}=\dfrac{\log 8}{\log 2}=3
떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2밑은 분모로
log⁡ab=log⁡c□log⁡ca\log_a b=\frac{\log_c \square}{\log_c a}
단계 1 / 1
log⁡ab×log⁡ba=□\log_a b\times\log_b a=\square
단계 1 / 2진수의 지수가 분자
log⁡ambn=□□log⁡ab\log_{a^m} b^n=\frac{\square}{\square}\log_a b

3지수에 로그가 있는 수

성질alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b
a>0, a≠1, b>0a>0,\ a\ne1,\ b>0 일 때 alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b이유: log⁡ab\log_a b 는 「aa 를 몇 제곱하면 bb 가 되는가」의 답이다. 그 수만큼 aa 를 제곱하면 당연히 bb 이다.
예: 2log⁡25=52^{\log_2 5}=5
학생
4log⁡234^{\log_2 3} 처럼 밑이 다르면 바로 쓸 수 없어요?
쌤
먼저 밑을 맞춰요. 4log⁡23=(22)log⁡23=22log⁡23=2log⁡29=94^{\log_2 3}=(2^2)^{\log_2 3}=2^{2\log_2 3}=2^{\log_2 9}=9 예요.
밑을 맞춘 뒤 쓰기
9log⁡32=(32)log⁡32=32log⁡329^{\log_3 2}=(3^2)^{\log_3 2}=3^{2\log_3 2}
↳9=329=3^2
=3log⁡34=4=3^{\log_3 4}=4
↳계수 22 를 진수의 지수로 올려 alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
25log⁡5325^{\log_5 3} 의 값은?
밑과 로그의 밑이 같아야 한다
✗ 틀린 풀이
9log⁡32=29^{\log_3 2}=2
왜 틀렸나 alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b 는 거듭제곱의 밑과 로그의 밑이 같을 때만 쓸 수 있다.
✓ 바른 풀이
9log⁡32=3log⁡34=49^{\log_3 2}=3^{\log_3 4}=4
alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b 는 거듭제곱의 밑과 로그의 밑이 같을 때만 써요. 99 와 33 은 다르므로 먼저 9=329=3^2 으로 고쳐요.
성질alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b}=b^{\log_c a}
a>0, b>0, c>0, c≠1a>0,\ b>0,\ c>0,\ c\ne1 일 때 alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b}=b^{\log_c a}이유: 양변에 밑이 cc 인 로그를 씌운다.
왼쪽은 log⁡calog⁡cb=log⁡cb×log⁡ca\log_c a^{\log_c b}=\log_c b\times\log_c a
오른쪽은 log⁡cblog⁡ca=log⁡ca×log⁡cb\log_c b^{\log_c a}=\log_c a\times\log_c b
두 값이 같으므로 양변은 같은 수이다.
거듭제곱의 밑 aa 와 로그의 진수 bb 를 서로 바꾸어도 된다는 뜻이다.
자세히 보기펼치기예제
예밑과 진수 바꾸기
4log⁡23=3log⁡24=32=94^{\log_2 3}=3^{\log_2 4}=3^2=93log⁡25=5log⁡233^{\log_2 5}=5^{\log_2 3}

4주어진 로그로 나타내기

log⁡2\log 2, log⁡3\log 3 의 값이 주어지면 진수를 22, 33, 1010 의 곱과 몫으로 쪼개어 다른 로그를 나타낼 수 있어요.

학생
55 는 22 와 33 으로 쪼갤 수 없는데 log⁡5\log 5 는 어떻게 나타내요?
쌤
5=1025=\dfrac{10}{2} 로 봐요. log⁡10=1\log 10=1 이니까 log⁡5=1−log⁡2=1−a\log 5=1-\log 2=1-a 예요.
log⁡2=a\log 2=a, log⁡3=b\log 3=b 일 때 다른 로그를 aa, bb 로 나타내기
  1. 1
    밑이 1010 이 아니면 밑의 변환 공식으로 log⁡△log⁡□\dfrac{\log\triangle}{\log\square} 꼴로 바꿔요.
  2. 2
    진수를 소인수분해해요.
    55 가 있으면 5=1025=\dfrac{10}{2} 로 봐요.
  3. 3
    log⁡MN=log⁡M+log⁡N\log MN=\log M+\log N, log⁡Mk=klog⁡M\log M^k=k\log M 로 log⁡2\log 2, log⁡3\log 3 만 남겨요.
  4. 4
    aa, bb 를 넣어요.
log⁡2=a\log 2=a, log⁡3=b\log 3=b 일 때
log⁡12=2log⁡2+log⁡3=2a+b\log 12=2\log 2+\log 3=2a+b
↳12=22×312=2^2\times3
log⁡618=log⁡18log⁡6=a+2ba+b\log_6 18=\dfrac{\log 18}{\log 6}=\dfrac{a+2b}{a+b}
↳18=2×3218=2\times3^2, 6=2×36=2\times3
log⁡215=log⁡3+1−log⁡2log⁡2=b+1−aa\log_2 15=\dfrac{\log 3+1-\log 2}{\log 2}=\dfrac{b+1-a}{a}
↳15=3×10215=3\times\frac{10}{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
log⁡2=a\log 2=a, log⁡3=b\log 3=b 일 때 log⁡18\log 18 은?
log⁡5\log 5 는 log⁡2+log⁡3\log 2+\log 3 이 아니다
✗ 틀린 풀이
log⁡5=log⁡(2+3)=a+b\log 5=\log(2+3)=a+b
왜 틀렸나 로그의 합은 진수의 곱이므로 55 는 22, 33 의 곱이 아닌 102\dfrac{10}{2} 로 나타내야 한다.
✓ 바른 풀이
log⁡5=log⁡102=1−a\log 5=\log\dfrac{10}{2}=1-a
log⁡2=a\log2=a 와 log⁡10=1\log10=1 을 이용할 수 있도록 5=1025=\dfrac{10}{2} 로 바꾼다.
검산: log⁡5+log⁡2=log⁡10=1\log5+\log2=\log10=1 이므로 log⁡5=1−a\log5=1-a 이다.
자세히 보기펼치기예제
밑이 1010 이 아닌 로그가 주어질 때
log⁡23=a\log_2 3=a
log⁡32=1a\log_3 2=\dfrac{1}{a}
↳역수 관계
log⁡98=log⁡3223=32log⁡32=32a\log_9 8=\log_{3^2}2^3=\dfrac{3}{2}\log_3 2=\dfrac{3}{2a}
↳9=329=3^2, 8=238=2^3
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1밑의 변환 공식
    log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}
    분모에 밑, 분자에 진수를 쓴다.
  2. 2log⁡ab×log⁡ba=1\log_a b\times\log_b a=1
    두 로그는 서로 역수이다.
  3. 3log⁡ambn=nmlog⁡ab\log_{a^m} b^n=\dfrac{n}{m}\log_a b
    진수의 지수가 분자, 밑의 지수가 분모로 간다.
  4. 4alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b, alog⁡cb=blog⁡caa^{\log_c b}=b^{\log_c a}
✗ 자주 하는 실수
  • 밑의 변환을 뺄셈으로 하거나(log⁡48=log⁡28−log⁡24\log_4 8=\log_2 8-\log_2 4), 분자와 분모를 바꾸어 써요.
  • log⁡ambn\log_{a^m}b^n 을 mnlog⁡ab\dfrac{m}{n}\log_a b 로 지수의 위치를 바꾸어 써요.
  • 9log⁡32=29^{\log_3 2}=2 처럼 거듭제곱의 밑과 로그의 밑이 다른데 alog⁡ab=ba^{\log_a b}=b 를 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    log⁡927\log_9 27 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    log⁡23×log⁡35×log⁡58\log_2 3\times\log_3 5\times\log_5 8 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    log⁡2=a\log 2=a, log⁡3=b\log 3=b 일 때, log⁡615\log_6 15 를 aa, bb 로 나타내시오.

다음 공부

다음 개념: 상용로그 →다음 개념: 로그함수와 그래프 →
이전 개념: 로그의 뜻과 성질설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 소인수분해대수 목차
← 로그의 뜻과 성질상용로그 →
학원·교습소에서 쓰시나요?

학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

학원용 문의하기