수학 개념 노트전체 과목

지수함수와 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
a>0, a≠1a>0,\ a\ne1 일 때 y=axy=a^x 을 지수함수라 해요. 그래프는 점 (0, 1)(0,\ 1) 을 지나고 xx 축을 점근선으로 가지며, a>1a>1 이면 증가, 0<a<10<a<1 이면 감소해요. 이 성질로 수의 크기를 비교하고 최댓값·최솟값을 구해요.
  1. 1지수함수의 뜻
  2. 2지수함수 y=axy=a^x 의 그래프와 성질
  3. 3지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
  4. 4지수함수를 이용한 수의 크기 비교
  5. 5지수함수의 최댓값과 최솟값
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1지수함수의 뜻

정의지수함수
a>0, a≠1a>0,\ a\ne1 일 때, 실수 xx 에 axa^x 을 대응시키는 함수 y=axy=a^x 을 aa 를 밑으로 하는 지수함수 라 한다.
학생
지수함수는 왜 밑이 a>0, a≠1a>0,\ a\ne1 이어야 해요?
쌤
밑이 음수면 (−2)12=−2(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} 처럼 실수가 아닌 값이 생기고, a=1a=1 이면 늘 11 인 상수함수가 돼요. 그래서 이런 경우를 뺀 거예요.

y=2xy=2^x 에 여러 값을 넣어 보면 다음과 같아요.

y=2xy=2^x 의 값
xx−2-2−1-100112233
yy14\frac{1}{4}12\frac{1}{2}11224488
xx 가 11 씩 커질 때마다 yy 는 22 배가 돼요.
xx 가 작아지면 yy 는 00 에 한없이 가까워지지만 00 이나 음수가 되지는 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 지수함수인 것은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

밑에 조건을 붙이는 이유는 다음과 같아요.
a<0a<0 이면 (−2)12=−2(-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} 처럼 실수가 아닌 값이 생겨 모든 실수 xx 에서 정의할 수 없어요.
a=1a=1 이면 1x=11^x=1 로 상수함수가 돼요.
a=0a=0 이면 x≤0x\le0 에서 정의되지 않아요.

2지수함수 y=axy=a^x 의 그래프와 성질

공식y=ax (a>0, a≠1)y=a^x\ (a>0,\ a\ne1) 의 성질
정의역
{x∣x 는 실수}\displaystyle \{x\mid x\text{ 는 실수}\}
치역
{y∣y>0}\displaystyle \{y\mid y>0\}
axa^x 은 항상 양수이다.
지나는 점
(0, 1),(1, a)\displaystyle (0,\ 1),\quad(1,\ a)
a0=1a^0=1, a1=aa^1=a
점근선
x 축 (y=0)\displaystyle x\text{ 축 }(y=0)
그래프는 xx 축에 한없이 가까워지지만 만나지 않는다.
증가·감소
a>1: 증가,0<a<1: 감소\displaystyle a>1:\ \text{증가},\quad 0<a<1:\ \text{감소}
일대일대응
x1≠x2 ⇒ ax1≠ax2\displaystyle x_1\ne x_2\ \Rightarrow\ a^{x_1}\ne a^{x_2}
실수 전체에서 양의 실수 전체로의 일대일대응

y=axy=a^x 의 그래프의 점근선은 x축이에요.
a>1a>1 이면 xx 의 값이 커질 때 yy 의 값도 커지는 증가 함수예요.

성질증가와 감소를 식으로
a>1a>1 이면 x1<x2  ⟺  ax1<ax2x_1<x_2\iff a^{x_1}<a^{x_2}0<a<10<a<1 이면 x1<x2  ⟺  ax1>ax2x_1<x_2\iff a^{x_1}>a^{x_2}밑이 11 보다 크면 지수의 대소와 거듭제곱의 대소가 같고, 11 보다 작으면 반대이다.
학생
그래프가 xx 축과 만나는 점은 없어요?
쌤
없어요. axa^x 는 항상 양수라서 그래프는 xx 축 위쪽에만 있고, xx 축에 한없이 가까워지기만 해요.
성질y=(1a)xy=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x 와 y=axy=a^x
(1a)x=a−x\left(\dfrac{1}{a}\right)^x=a^{-x} 이다.
y=axy=a^x 에서 xx 대신 −x-x 를 넣은 식이므로, 두 그래프는 y축에 대하여 대칭이다.
예: y=(12)xy=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x 의 그래프는 y=2xy=2^x 의 그래프를 yy 축에 대하여 대칭이동한 것이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=3xy=3^x 의 그래프가 yy 축과 만나는 점은?
점근선과 치역
✗ 틀린 풀이
y=2xy=2^x 의 그래프는 xx 축과 원점에서 만난다.
왜 틀렸나 2x2^x 은 항상 양수이므로 그래프는 xx 축과 만나지 않고 yy 절편은 20=12^0=1 이다.
✓ 바른 풀이
y=2xy=2^x 의 그래프는 xx 축과 만나지 않고, yy 축과 점 (0, 1)(0,\ 1) 에서 만난다.
2x>02^x>0 이므로 y=0y=0 이 되는 xx 는 없어요.
x=0x=0 을 넣으면 20=12^0=1 이므로 yy 절편은 11 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지

증가 함수란 아무 두 수 x1<x2x_1<x_2 를 잡았을 때 언제나 ax1<ax2a^{x_1}<a^{x_2} 인 함수예요.

3지수함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동

공식y=axy=a^x 의 그래프의 이동
평행이동 (m, n)(m,\ n)
y=ax−m+n\displaystyle y=a^{x-m}+n
점근선 y=ny=n, 치역 {y∣y>n}\{y\mid y>n\}, 점 (m, 1+n)(m,\ 1+n) 을 지난다.
xx 축 대칭
y=−ax\displaystyle y=-a^x
yy 대신 −y-y
yy 축 대칭
y=a−x=(1a)x\displaystyle y=a^{-x}=\left(\frac{1}{a}\right)^x
xx 대신 −x-x
원점 대칭
y=−a−x\displaystyle y=-a^{-x}
xx 대신 −x-x, yy 대신 −y-y
학생
y=2x−1y=2^{x-1} 은 왜 오른쪽으로 옮겨져요? −1-1 이면 왼쪽 같아요.
쌤
x=1x=1 일 때 21−1=20=12^{1-1}=2^0=1 이 돼요. 원래 (0, 1)(0,\ 1) 에 있던 점이 (1, 1)(1,\ 1) 로 간 거라서 xx 축 방향으로 +1+1 만큼 옮겨진 그래프예요.
y=2x−1+3y=2^{x-1}+3 의 그래프
y=2x → y=2x−1+3y=2^x\ \to\ y=2^{x-1}+3
↳xx 축 방향 11, yy 축 방향 33
y=3y=3
↳점근선
{y∣y>3}\{y\mid y>3\}
↳치역
(0, 1) → (1, 4)(0,\ 1)\ \to\ (1,\ 4)
↳지나는 점
x=0: y=12+3=72x=0:\ y=\dfrac{1}{2}+3=\dfrac{7}{2}
↳yy 절편
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=2x+1−4y=2^{x+1}-4 의 그래프의 점근선은?
지나는 점의 부호
✗ 틀린 풀이
y=3x+2−1y=3^{x+2}-1 의 그래프는 점 (2, 0)(2,\ 0) 을 지난다.
왜 틀렸나 지수가 00 이 되는 xx 에서 30=13^0=1 이므로 지수 x+2=0x+2=0 인 x=−2x=-2 를 찾아야 한다.
✓ 바른 풀이
y=3x+2−1y=3^{x+2}-1 의 그래프는 점 (−2, 0)(-2,\ 0) 을 지난다.
지수 x+2x+2 가 00 이 되는 x=−2x=-2 에서 y=30−1=0y=3^0-1=0 이에요.
x+2=x−(−2)x+2=x-(-2) 이므로 xx 축의 방향으로 −2-2 만큼 옮긴 거예요.
점근선은 y=−1y=-1 이에요.
치역도 평행이동된다
✗ 틀린 풀이
y=2x−3y=2^x-3 의 치역은 {y∣y>0}\{y\mid y>0\}
왜 틀렸나 그래프를 yy 축 방향으로 평행이동하면 점근선과 치역도 같은 만큼 함께 이동한다.
✓ 바른 풀이
y=2x−3y=2^x-3 의 치역은 {y∣y>−3}\{y\mid y>-3\}
2x>02^x>0 의 양변에서 33 을 빼면 2x−3>−32^x-3>-3 이에요. 점근선 y=−3y=-3 보다 위쪽이 치역이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

왜 그런가
y=axy=a^x 의 그래프를 xx 축의 방향으로 mm 만큼, yy 축의 방향으로 nn 만큼 평행이동하면 다음과 같아요.

y−n=ax−my-n=a^{x-m}
↳xx 대신 x−mx-m, yy 대신 y−ny-n
y=ax−m+ny=a^{x-m}+n
↳y=y= 꼴로
y=0 → y=ny=0\ \to\ y=n
↳점근선도 옮겨져요
(0, 1) → (m, 1+n)(0,\ 1)\ \to\ (m,\ 1+n)
↳지나는 점도 옮겨져요
계수가 곱해진 꼴
y=4×2x=22×2x=2x+2y=4\times2^x=2^2\times2^x=2^{x+2}
↳4=224=2^2
y=2x → y=2x+2y=2^x\ \to\ y=2^{x+2}
↳xx 축 방향으로 −2-2 만큼 평행이동

4지수함수를 이용한 수의 크기 비교

밑을 같게 만들 수 있는 수는 지수함수의 증가·감소를 써서 지수만 보고 크기를 비교해요.

거듭제곱의 크기 비교
  1. 1
    모든 수를 같은 밑의 거듭제곱 a□a^{\square} 꼴로 나타내요.
    거듭제곱근은 amn=amn\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac{m}{n}}
  2. 2
    지수끼리 크기를 비교해요.
  3. 3
    밑이 a>1a>1 이면 지수가 큰 쪽이 커요.
    0<a<10<a<1 이면 지수가 큰 쪽이 작아요.
학생
2\sqrt{2} 와 43\sqrt[3]{4} 는 어떻게 비교해요?
쌤
둘 다 밑이 22 인 거듭제곱 2122^{\frac{1}{2}}, 2232^{\frac{2}{3}} 로 바꿔서 지수끼리 비교해요. 밑이 11 보다 크면 지수가 큰 쪽이 커요.
밑이 11 보다 클 때
2=212,43=223,328=258\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}},\quad \sqrt[3]{4}=2^{\frac{2}{3}},\quad \sqrt[8]{32}=2^{\frac{5}{8}}
↳밑을 22 로
12<58<23\dfrac{1}{2}<\dfrac{5}{8}<\dfrac{2}{3}
↳지수 비교
2<328<43\sqrt{2}<\sqrt[8]{32}<\sqrt[3]{4}
↳밑 2>12>1: 대소 그대로
밑이 11 보다 작을 때
A=(13)23A=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}
B=(19)12=(13)1B=\left(\dfrac{1}{9}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}
↳밑을 13\frac{1}{3} 로
C=(127)14=(13)34C=\left(\dfrac{1}{27}\right)^{\frac{1}{4}}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{3}{4}}
↳밑을 13\frac{1}{3} 로
23<34<1\dfrac{2}{3}<\dfrac{3}{4}<1
↳지수 비교
B<C<AB<C<A
↳밑 13<1\frac{1}{3}<1: 대소 반대
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=(12)13A=\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}, B=(14)14B=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{4}} 중 큰 것은?
밑이 1 보다 작으면 반대
✗ 틀린 풀이
23<1\dfrac{2}{3}<1 이므로 (13)23<(13)1\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}<\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}
왜 틀렸나 밑이 11 보다 작은 지수함수는 감소함수이므로 지수가 작을수록 값이 크다.
✓ 바른 풀이
23<1\dfrac{2}{3}<1 이고 밑이 11 보다 작으므로 (13)23>(13)1\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}>\left(\dfrac{1}{3}\right)^{1}
y=(13)xy=\left(\dfrac{1}{3}\right)^x 은 감소함수예요.
검산: (13)23≈0.48\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\frac{2}{3}}\approx0.48 이고 (13)1≈0.33\left(\dfrac{1}{3}\right)^1\approx0.33 이에요.

5지수함수의 최댓값과 최솟값

성질p≤x≤qp\le x\le q 에서 y=axy=a^x 의 최댓값·최솟값
a>1a>1 이면 증가하므로
최댓값은 aqa^q, 최솟값은 apa^p 이다.
0<a<10<a<1 이면 감소하므로
최댓값은 apa^p, 최솟값은 aqa^q 이다.
즉 최댓값과 최솟값은 정의역의 양 끝에서 나온다.
학생
y=2x+1−3y=2^{x+1}-3 처럼 식이 복잡해도 양 끝만 보면 돼요?
쌤
네. 평행이동해도 증가·감소는 그대로라서 양 끝에서 최대·최소가 나와요. 밑 22 가 11 보다 크니까 오른쪽 끝에서 최댓값이에요.
−1≤x≤2-1\le x\le2 에서 y=2x+1−3y=2^{x+1}-3
x=2: 23−3=5x=2:\ 2^3-3=5
↳최댓값 (밑 2>12>1, 오른쪽 끝)
x=−1: 20−3=−2x=-1:\ 2^0-3=-2
↳최솟값 (왼쪽 끝)
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
−1≤x≤2-1\le x\le2 에서 y=(13)xy=\left(\frac{1}{3}\right)^x 의 최댓값은?
자세히 보기펼치기예제
0≤x≤30\le x\le3 에서 y=(12)x−2y=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x-2}
x=0: (12)−2=4x=0:\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-2}=4
↳최댓값 (밑 <1<1, 왼쪽 끝)
x=3: (12)1=12x=3:\ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1}=\dfrac{1}{2}
↳최솟값 (오른쪽 끝)
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1y=ax (a>0, a≠1)y=a^x\ (a>0,\ a\ne1) 의 정의역은 실수 전체, 치역은 양의 실수 전체이다.
  2. 2그래프는 점 (0, 1)(0,\ 1), (1, a)(1,\ a) 를 지나고, 점근선은 xx 축이다.
  3. 3a>1a>1 이면 증가, 0<a<10<a<1 이면 감소한다.
    y=(1a)xy=\left(\dfrac{1}{a}\right)^x 의 그래프는 y=axy=a^x 의 그래프와 yy 축에 대하여 대칭이다.
  4. 4y=ax−m+ny=a^{x-m}+n 의 그래프는 y=axy=a^x 의 그래프를 평행이동한 것으로, 점근선은 y=ny=n 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • y=ax−m+ny=a^{x-m}+n 이 지나는 점을 (−m, 1+n)(-m,\ 1+n) 으로 쓰거나 점근선을 y=0y=0 으로 그대로 둬요.
  • 밑이 11 보다 작은데 지수가 큰 쪽이 크다고 비교해요.
  • y=axy=a^x 의 그래프가 xx 축과 만난다고 생각하거나, 치역에 00 을 넣어요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 y=2x−1+3y=2^{x-1}+3 의 그래프의 점근선의 방정식, 치역, 그래프가 지나는 점 하나를 구하시오.
  2. 예제 2
    세 수 2\sqrt{2}, 43\sqrt[3]{4}, 328\sqrt[8]{32} 의 대소를 비교하시오.
  3. 예제 3
    −1≤x≤2-1\le x\le2 에서 함수 y=(13)x−1+2y=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{x-1}+2 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 지수방정식과 지수부등식 →다음 개념: 로그함수와 그래프 →
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