공식 등비수열 { r n } \{r^n\} { r n } lim n → ∞ r n = ∞ \displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=\infty n → ∞ lim r n = ∞ 양의 무한대로 발산. 예: 2 n 2^n 2 n 2 , 4 , 8 , ⋯ 2,\ 4,\ 8,\ \cdots 2 , 4 , 8 , ⋯ 왜? 이유 보기
lim n → ∞ r n = 1 \displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=1 n → ∞ lim r n = 1 lim n → ∞ r n = 0 \displaystyle \lim_{n\to\infty}r^n=0 n → ∞ lim r n = 0 0 0 0 ( 1 2 ) n \left(\dfrac{1}{2}\right)^n ( 2 1 ) n ( − 1 2 ) n \left(-\dfrac{1}{2}\right)^n ( − 2 1 ) n 왜? 이유 보기
진동 \displaystyle \text{진동} 진동 예: ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n − 1 , 1 , − 1 , ⋯ -1,\ 1,\ -1,\ \cdots − 1 , 1 , − 1 , ⋯ ( − 2 ) n (-2)^n ( − 2 ) n − 2 , 4 , − 8 , ⋯ -2,\ 4,\ -8,\ \cdots − 2 , 4 , − 8 , ⋯ 왜? 이유 보기
학생 r = − 1 r=-1 r = − 1 − 1 -1 − 1 1 1 1 쌤 수렴은 한 값에 한없이 가까워지는 거예요. ( − 1 ) n (-1)^n ( − 1 ) n − 1 , 1 -1,\ 1 − 1 , 1 성질 등비수열이 수렴할 조건
등비수열 { r n } \{r^n\} { r n } − 1 < r ≤ 1 -1<r\le1 − 1 < r ≤ 1 ∣ r ∣ < 1 |r|<1 ∣ r ∣ < 1 0 이고, r = 1 r=1 r = 1 1 1 1 a a a r r r { a r n − 1 } \{ar^{n-1}\} { a r n − 1 } a = 0 a=0 a = 0 − 1 < r ≤ 1 -1<r\le1 − 1 < r ≤ 1 a = 0 a=0 a = 0 0 0 0 r r r x x x 일차부등식 으로 푼다. 이전 개념 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 수렴하는 수열은?
{ ( − 3 2 ) n } \left\{\left(-\dfrac{3}{2}\right)^n\right\} { ( − 2 3 ) n } { ( − 1 ) n } \{(-1)^n\} {( − 1 ) n } { ( 3 4 ) n } \left\{\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\right\} { ( 4 3 ) n } -2 -1 0 1 2 ( 2 3 ) n \left(\dfrac{2}{3}\right)^n ( 3 2 ) n 은 색칠한 구간 안이라
0 0 0 에 수렴해요.
( − 3 2 ) n \left(-\dfrac{3}{2}\right)^n ( − 2 3 ) n 은
r ≤ − 1 r\le-1 r ≤ − 1 이라 진동,
( 2 ) n (\sqrt{2})^n ( 2 ) n 은
r > 1 r>1 r > 1 이라 양의 무한대로 발산해요.
− 1 < x − 1 2 ≤ 1 -1<\dfrac{x-1}{2}\le1 − 1 < 2 x − 1 ≤ 1 ↳ ◀ { ( x − 1 2 ) n } \left\{\left(\dfrac{x-1}{2}\right)^n\right\} { ( 2 x − 1 ) n } ↳ ◀ 각 변에 2 2 2 1 1 1 x + 1 = 0 또는 − 1 < x − 2 ≤ 1 x+1=0\ \text{또는}\ -1<x-2\le1 x + 1 = 0 또는 − 1 < x − 2 ≤ 1 ↳ ◀ { ( x + 1 ) ( x − 2 ) n − 1 } \{(x+1)(x-2)^{n-1}\} {( x + 1 ) ( x − 2 ) n − 1 } 0 0 0 x = − 1 또는 1 < x ≤ 3 x=-1\ \text{또는}\ 1<x\le3 x = − 1 또는 1 < x ≤ 3 ✗ 틀린 풀이
등비수열 { r n } \{r^n\} { r n } − 1 < r < 1 -1<r<1 − 1 < r < 1 왜 틀렸나 r = 1 r=1 r = 1 1 1 1 1 1 1 r = 1 r=1 r = 1 ↓ ✓ 바른 풀이
등비수열 { r n } \{r^n\} { r n } − 1 < r ≤ 1 -1<r\le1 − 1 < r ≤ 1 기억 요령: 수렴 조건 − 1 < r ≤ 1 -1<r\le1 − 1 < r ≤ 1 − 1 -1 − 1 r = − 1 r=-1 r = − 1 − 1 , 1 , − 1 , ⋯ -1,\ 1,\ -1,\ \cdots − 1 , 1 , − 1 , ⋯ + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 그림 이 결과는 등비급수 가 수렴할 조건으로 이어져요.
이전 개념 r = 1 + h ( h > 0 ) r=1+h\ (h>0) r = 1 + h ( h > 0 ) ↳ ◀ r r r 1 1 1 h h h r n = ( 1 + h ) n ≥ 1 + n h r^n=(1+h)^n\ge1+nh r n = ( 1 + h ) n ≥ 1 + nh ↳ ◀ 전개하면 1 + n h + ⋯ 1+nh+\cdots 1 + nh + ⋯ 1 + n h → ∞ 1+nh\to\infty 1 + nh → ∞ ↳ ◀ 따라서 r n → ∞ r^n\to\infty r n → ∞ ② 0 < ∣ r ∣ < 1 0<|r|<1 0 < ∣ r ∣ < 1 1 ∣ r ∣ > 1 \dfrac{1}{|r|}>1 ∣ r ∣ 1 > 1 1 ∣ r ∣ n → ∞ \dfrac{1}{|r|^n}\to\infty ∣ r ∣ n 1 → ∞ ∣ r n ∣ = ∣ r ∣ n → 0 |r^n|=|r|^n\to0 ∣ r n ∣ = ∣ r ∣ n → 0 r n → 0 r^n\to0 r n → 0 r = 0 r=0 r = 0 0 0 0 r = − 1 r=-1 r = − 1 − 1 -1 − 1 1 1 1 r < − 1 r<-1 r < − 1 ∣ r n ∣ → ∞ |r^n|\to\infty ∣ r n ∣ → ∞
{ ( x + 1 ) ( x − 2 ) n − 1 } \{(x+1)(x-2)^{n-1}\} {( x + 1 ) ( x − 2 ) n − 1 } x x x -2 -1 0 1 2 3 4 x = − 1 x=-1 x = − 1 이면 모든 항이
0 0 0 이라 따로 포함해요.
분모에서 밑의 절댓값이 가장 큰 거듭제곱으로 분자와 분모를 나눠요. 그러면 나머지 항은 ( 2 3 ) n \left(\dfrac{2}{3}\right)^n ( 3 2 ) n 0 0 0
학생 왜 하필 분모에서 가장 큰 밑으로 나눠요?
쌤 그래야 분모가 0 0 0 0 0 0 ( 3 2 ) n \left(\dfrac{3}{2}\right)^n ( 2 3 ) n 지수가 n + 1 n+1 n + 1 3 n + 1 = 3 × 3 n 3^{n+1}=3\times3^n 3 n + 1 = 3 × 3 n 지수법칙 ) 처럼 나누어 생각해요.
이전 개념 분모의 가장 큰 밑으로 나누기
lim n → ∞ 3 n + 1 + 2 n 3 n − 2 n \lim_{n\to\infty}\dfrac{3^{n+1}+2^n}{3^n-2^n} lim n → ∞ 3 n − 2 n 3 n + 1 + 2 n = lim n → ∞ 3 + ( 2 3 ) n 1 − ( 2 3 ) n =\lim_{n\to\infty}\dfrac{3+\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n} = lim n → ∞ 1 − ( 3 2 ) n 3 + ( 3 2 ) n = 3 1 = 3 =\dfrac{3}{1}=3 = 1 3 = 3 ↳ ◀ ( 2 3 ) n → 0 \left(\frac{2}{3}\right)^n\to0 ( 3 2 ) n → 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
lim n → ∞ 4 n + 1 − 3 n 4 n + 1 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{4^{n+1}-3^n}{4^n+1} n → ∞ lim 4 n + 1 4 n + 1 − 3 n 지수가 n+1 인 항
✗ 틀린 풀이
3 n + 1 3 n = 1 \dfrac{3^{n+1}}{3^n}=1 3 n 3 n + 1 = 1 lim n → ∞ 3 n + 1 + 2 n 3 n − 2 n = 1 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3^{n+1}+2^n}{3^n-2^n}=1 lim n → ∞ 3 n − 2 n 3 n + 1 + 2 n = 1 왜 틀렸나 지수법칙에 따라 3 n + 1 = 3 × 3 n 3^{n+1}=3\times3^n 3 n + 1 = 3 × 3 n 3 n 3^n 3 n 3 3 3 ↓ ✓ 바른 풀이
3 n + 1 3 n = 3 \dfrac{3^{n+1}}{3^n}=3 3 n 3 n + 1 = 3 lim n → ∞ 3 n + 1 + 2 n 3 n − 2 n = 3 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3^{n+1}+2^n}{3^n-2^n}=3 lim n → ∞ 3 n − 2 n 3 n + 1 + 2 n = 3 바른 계산: 분자와 분모를 3 n 3^n 3 n 3 + ( 2 3 ) n 1 − ( 2 3 ) n → 3 1 = 3 \dfrac{3+\left(\frac{2}{3}\right)^n}{1-\left(\frac{2}{3}\right)^n}\to\dfrac{3}{1}=3 1 − ( 3 2 ) n 3 + ( 3 2 ) n → 1 3 = 3 + 펼치기 접기 예제 3 극한값이 음수인 경우
lim n → ∞ 2 n − 5 n 5 n + 1 + 3 n \lim_{n\to\infty}\dfrac{2^n-5^n}{5^{n+1}+3^n} lim n → ∞ 5 n + 1 + 3 n 2 n − 5 n = lim n → ∞ ( 2 5 ) n − 1 5 + ( 3 5 ) n =\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left(\frac{2}{5}\right)^n-1}{5+\left(\frac{3}{5}\right)^n} = lim n → ∞ 5 + ( 5 3 ) n ( 5 2 ) n − 1 밑을 같게 바꾸기
lim n → ∞ 4 n 3 n + 2 2 n + 1 \lim_{n\to\infty}\dfrac{4^n}{3^n+2^{2n+1}} lim n → ∞ 3 n + 2 2 n + 1 4 n ↳ ◀ 2 2 n + 1 = 2 × 4 n 2^{2n+1}=2\times4^n 2 2 n + 1 = 2 × 4 n = lim n → ∞ 1 ( 3 4 ) n + 2 =\lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\left(\frac{3}{4}\right)^n+2} = lim n → ∞ ( 4 3 ) n + 2 1 분자의 밑이 더 클 때
lim n → ∞ 3 n 2 n + 1 \lim_{n\to\infty}\dfrac{3^n}{2^n+1} lim n → ∞ 2 n + 1 3 n = lim n → ∞ ( 3 2 ) n 1 + ( 1 2 ) n = ∞ =\lim_{n\to\infty}\dfrac{\left(\frac{3}{2}\right)^n}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^n}=\infty = lim n → ∞ 1 + ( 2 1 ) n ( 2 3 ) n = ∞ 분자의 밑이 분모의 가장 큰 밑보다 크면 발산해요.
밑에 문자가 있으면 r n r^n r n r r r ∣ r ∣ < 1 |r|<1 ∣ r ∣ < 1 r = 1 r=1 r = 1 r = − 1 r=-1 r = − 1 ∣ r ∣ > 1 |r|>1 ∣ r ∣ > 1 ∣ r ∣ > 1 |r|>1 ∣ r ∣ > 1 r n r^n r n 1 r n → 0 \dfrac{1}{r^n}\to0 r n 1 → 0
f ( x ) = lim n → ∞ x 2 n + 1 + 1 x 2 n + 1 f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x^{2n+1}+1}{x^{2n}+1} f ( x ) = lim n → ∞ x 2 n + 1 x 2 n + 1 + 1 ∣ x ∣ < 1 : f ( x ) = 0 + 1 0 + 1 = 1 |x|<1:\ f(x)=\dfrac{0+1}{0+1}=1 ∣ x ∣ < 1 : f ( x ) = 0 + 1 0 + 1 = 1 ↳ ◀ x 2 n → 0 x^{2n}\to0 x 2 n → 0 x 2 n + 1 → 0 x^{2n+1}\to0 x 2 n + 1 → 0 ∣ x ∣ > 1 : f ( x ) = lim n → ∞ x + 1 x 2 n 1 + 1 x 2 n = x |x|>1:\ f(x)=\lim_{n\to\infty}\dfrac{x+\frac{1}{x^{2n}}}{1+\frac{1}{x^{2n}}}=x ∣ x ∣ > 1 : f ( x ) = lim n → ∞ 1 + x 2 n 1 x + x 2 n 1 = x x = 1 : f ( 1 ) = 1 + 1 1 + 1 = 1 x=1:\ f(1)=\dfrac{1+1}{1+1}=1 x = 1 : f ( 1 ) = 1 + 1 1 + 1 = 1 x = − 1 : f ( − 1 ) = − 1 + 1 1 + 1 = 0 x=-1:\ f(-1)=\dfrac{-1+1}{1+1}=0 x = − 1 : f ( − 1 ) = 1 + 1 − 1 + 1 = 0 ↳ ◀ x 2 n = 1 x^{2n}=1 x 2 n = 1 x 2 n + 1 = − 1 x^{2n+1}=-1 x 2 n + 1 = − 1
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
g ( x ) = lim n → ∞ x n x n + 1 g(x)=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{x^{n}}{x^{n}+1} g ( x ) = n → ∞ lim x n + 1 x n g ( 1 ) g(1) g ( 1 ) ⚠ 주의 r = 1 r=1 r = 1 r = − 1 r=-1 r = − 1 ∣ r ∣ < 1 |r|<1 ∣ r ∣ < 1 ∣ r ∣ > 1 |r|>1 ∣ r ∣ > 1 r = ± 1 r=\pm1 r = ± 1 f ( x ) f(x) f ( x ) x = − 1 x=-1 x = − 1 f ( − 1 ) = 0 f(-1)=0 f ( − 1 ) = 0 ∣ x ∣ > 1 |x|>1 ∣ x ∣ > 1 f ( x ) = x f(x)=x f ( x ) = x − 1 -1 − 1 + 펼치기 접기 예제 예 함숫값 구하기
위의 f ( x ) f(x) f ( x ) f ( 1 2 ) = 1 f\left(\dfrac{1}{2}\right)=1 f ( 2 1 ) = 1 f ( 3 ) = 3 f(3)=3 f ( 3 ) = 3 f ( − 3 ) = − 3 f(-3)=-3 f ( − 3 ) = − 3 f ( − 1 ) = 0 f(-1)=0 f ( − 1 ) = 0