수학 개념 노트전체 과목

함수의 연속

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
함수 f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 정의되고, 극한값 lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 가 존재하며, 그 값이 f(a)f(a) 와 같을 때 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 연속이에요. 연속함수의 합·차·곱·몫도 연속이므로 다항함수는 모든 실수에서, 유리함수는 분모가 00 이 아닌 모든 실수에서 연속이에요.
  1. 1x=ax=a 에서 함수의 연속
  2. 2불연속인 경우와 판정
  3. 3구간과 구간에서의 연속
  4. 4연속함수의 성질
  5. 5연속이 되도록 미정계수 정하기
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1x=ax=a 에서 함수의 연속

정의연속
함수 f(x)f(x) 가 실수 aa 에 대하여 다음 세 조건을 모두 만족시킬 때, f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 연속이라 한다.
① 함수 f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 정의되어 있다.
② 극한값 lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 가 존재한다.
③ lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 연속이 아닐 때, f(x)f(x) 는 x=ax=a 에서 불연속이라 한다.
학생
연속은 그래프로 보면 어떤 모양이에요?
쌤
x=ax=a 에서 그래프가 끊어지지 않고 이어져 있는 모양이에요.
세 조건 중 하나라도 깨지면 그 점에서 그래프가 끊어지거나 구멍이 나요.
성질연속 조건을 한 줄로
f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 연속   ⟺  \iff lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=f(a)②는 좌극한과 우극한이 같다는 뜻이므로 ②, ③을 합치면 이 식이 된다.
f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 의 x=1x=1 에서의 연속
f(1)=1+1=2f(1)=1+1=2
↳① 정의되어 있어요
lim⁡x→1(x2+1)=2\lim_{x\to1}(x^2+1)=2
↳② 극한값이 있어요
lim⁡x→1f(x)=f(1)\lim_{x\to1}f(x)=f(1)
↳③ 같으므로 연속
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)={x+2(x≠1)3(x=1)f(x)=\begin{cases} x+2 & (x\ne1) \\ 3 & (x=1) \end{cases} 는 x=1x=1 에서 어떤가?
자세히 보기펼치기왜 그런지

연속은 사잇값 정리와 미분가능성의 바탕이 돼요.

2불연속인 경우와 판정

불연속인 경우는 연속의 세 조건 중 어느 것이 깨졌는지에 따라 세 가지예요.
그래프에서 ○ 는 그 점이 빠진 것, ● 는 그 점이 있는 것이에요.

학생
극한값이 있으면 연속 아니에요?
쌤
아니에요. ③이 깨진 그래프처럼 극한값 22 가 있어도 함숫값 33 과 다르면 불연속이에요.
극한값과 함숫값이 같은지까지 확인해야 해요.
x=ax=a 에서 연속인지 판정하기
  1. 1
    f(a)f(a) 를 구해요.
    정의되지 않으면 그 자리에서 불연속
  2. 2
    좌극한과 우극한을 구해 극한값이 있는지 봐요.
    구간별 함수는 경계에서 양쪽 식을 따로 써요.
  3. 3
    극한값과 f(a)f(a) 를 비교해요.
    같으면 연속, 다르면 불연속
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)={2x(x<1)x+3(x≥1)f(x)=\begin{cases} 2x & (x<1) \\ x+3 & (x\ge1) \end{cases} 가 x=1x=1 에서 불연속인 이유는?
정의되어 있다고 연속은 아니다
✗ 틀린 풀이
f(x)={x2−1x−1(x≠1)3(x=1)f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-1}{x-1} & (x\ne1) \\ 3 & (x=1) \end{cases} 은 f(1)=3f(1)=3 으로 정의되어 있으므로 x=1x=1 에서 연속이다.
왜 틀렸나 연속이려면 함숫값이 있을 뿐 아니라 극한값이 존재하고 그 값이 함숫값과 같아야 한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x+1)=2\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2
f(1)=3f(1)=3
lim⁡x→1f(x)≠f(1)\lim_{x\to1}f(x)\ne f(1) 이므로 불연속이다.
연속 판정 순서: ① f(a)f(a) 가 있는가 ② lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 가 있는가 ③ 두 값이 같은가.
이 함수는 ③ 을 만족하지 않는다.
한쪽 극한만 보는 실수
✗ 틀린 풀이
f(x)={x+1(x<0)x−1(x≥0)f(x)=\begin{cases} x+1 & (x<0) \\ x-1 & (x\ge0) \end{cases} 에서
lim⁡x→0+f(x)=−1=f(0)\lim_{x\to0+}f(x)=-1=f(0) 이므로 x=0x=0 에서 연속이다.
왜 틀렸나 극한값이 존재하려면 좌극한과 우극한이 같아야 하므로 두 쪽을 모두 계산해야 한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→0−f(x)=1\lim_{x\to0-}f(x)=1
lim⁡x→0+f(x)=−1\lim_{x\to0+}f(x)=-1
좌극한과 우극한이 달라 극한값이 없으므로 불연속이다.
확인: x=−0.01x=-0.01 이면 f(x)=0.99f(x)=0.99, x=0.01x=0.01 이면 f(x)=−0.99f(x)=-0.99 이다.
그래프가 x=0x=0 에서 끊어진다.

3구간과 구간에서의 연속

정의구간
두 실수 aa, bb (a<ba<b)에 대하여 다음 집합을 구간이라 한다.
{x∣a≤x≤b}=[a, b]\{x\mid a\le x\le b\}=[a,\ b] : 닫힌구간
{x∣a<x<b}=(a, b)\{x\mid a<x<b\}=(a,\ b) : 열린구간
{x∣a≤x<b}=[a, b)\{x\mid a\le x<b\}=[a,\ b), {x∣a<x≤b}=(a, b]\{x\mid a<x\le b\}=(a,\ b] : 반닫힌 구간 또는 반열린 구간
끝이 없는 구간은 ∞\infty 를 써서 나타낸다.
예: {x∣x≥a}=[a, ∞)\{x\mid x\ge a\}=[a,\ \infty), {x∣x<b}=(−∞, b)\{x\mid x<b\}=(-\infty,\ b), 실수 전체 =(−∞, ∞)=(-\infty,\ \infty)
반열린 구간 [1, 3)[1,\ 3)
1≤x<31\le x<3
-1012345
11
33
● 는 끝점을 포함, ○ 는 포함하지 않아요.
정의구간에서 연속
함수 f(x)f(x) 가 어떤 구간에 속하는 모든 실수 xx 에서 연속일 때, f(x)f(x) 는 그 구간에서 연속이라 한다.
닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이라는 것은 다음을 뜻한다.
열린구간 (a, b)(a,\ b) 에서 연속이다.
lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x\to a+}f(x)=f(a)
lim⁡x→b−f(x)=f(b)\lim_{x\to b-}f(x)=f(b)
끝점에서는 구간 안쪽의 한쪽 극한만 본다.
어떤 구간에서 연속인 함수를 그 구간에서의 연속함수 라 한다.
학생
닫힌구간의 끝점에서는 왜 한쪽 극한만 봐요?
쌤
끝점의 바깥쪽은 구간에 들어 있지 않기 때문이에요.
x=ax=a 에서는 오른쪽에서, x=bx=b 에서는 왼쪽에서 다가가는 극한만 함숫값과 같으면 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
{x∣−1<x≤4}\{x\mid -1<x\le 4\} 를 구간으로 나타내면?
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

무리함수 f(x)=x−1f(x)=\sqrt{x-1} 의 정의역은 [1, ∞)[1,\ \infty) 이에요.

4연속함수의 성질

성질연속함수의 성질
두 함수 f(x)f(x), g(x)g(x) 가 x=ax=a 에서 연속이면 다음 함수도 x=ax=a 에서 연속이다.
① cf(x)cf(x) (cc 는 상수)
② f(x)+g(x)f(x)+g(x), f(x)−g(x)f(x)-g(x)
③ f(x)g(x)f(x)g(x)
④ f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)} (단, g(a)≠0g(a)\ne0)
이유: 극한의 성질에 의해 예를 들어 lim⁡x→a{f(x)+g(x)}=f(a)+g(a)\lim_{x\to a}\{f(x)+g(x)\}=f(a)+g(a) 이다.
학생
왜 나눌 때만 g(a)≠0g(a)\ne0 조건이 붙어요?
쌤
분모가 00 이면 그 점에서 함숫값이 정의되지 않아 연속일 수 없어요.
더하기, 빼기, 곱하기에는 이런 문제가 없어요.
성질다항함수와 유리함수의 연속
y=xy=x 와 상수함수는 모든 실수에서 연속이다.
여기에 곱·상수배·합의 성질을 되풀이하면 다항함수는 모든 실수에서 연속이다.
유리함수 f(x)g(x)\dfrac{f(x)}{g(x)} (ff, gg 는 다항식)는 몫의 성질에 의해 g(x)≠0g(x)\ne0 인 모든 실수에서 연속이다.
y=x+1x2−4y=\dfrac{x+1}{x^2-4} 가 연속인 구간
-4-3-2-101234
−2-2
22
분모 x2−4=(x+2)(x−2)x^2-4=(x+2)(x-2) 가 00 인 x=−2, 2x=-2,\ 2 에서만 끊어져요.
y=xx2+1y=\dfrac{x}{x^2+1} 처럼 분모가 항상 양수이면 모든 실수에서 연속이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
함수 y=xx2−9y=\dfrac{x}{x^2-9} 가 불연속인 xx 의 값을 모두 구하면?
약분한 식으로 판단하는 실수
✗ 틀린 풀이
x2−1x−1=x+1\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1 이므로 y=x2−1x−1y=\dfrac{x^2-1}{x-1} 은 모든 실수에서 연속이다.
왜 틀렸나 연속은 처음 주어진 식으로 판단하며, 분모가 00 이 되는 x=1x=1 에서는 함숫값이 없다.
✓ 바른 풀이
y=x2−1x−1y=\dfrac{x^2-1}{x-1} 은 x=1x=1 에서 정의되지 않으므로 x=1x=1 에서 불연속이다.
연속인 구간은 (−∞, 1)(-\infty,\ 1), (1, ∞)(1,\ \infty)
약분한 x+1x+1 은 x≠1x\ne1 에서만 원래 식과 같다.
그래프는 직선 y=x+1y=x+1 에서 점 (1, 2)(1,\ 2) 가 빠진 모양이다.

5연속이 되도록 미정계수 정하기

성질구간별 함수가 경계에서 연속일 조건
f(x)={g(x)(x<a)h(x)(x≥a)f(x)=\begin{cases} g(x) & (x<a) \\ h(x) & (x\ge a) \end{cases} (gg, hh 는 다항함수)가 x=ax=a 에서 연속이려면
lim⁡x→a−g(x)=h(a)\lim_{x\to a-}g(x)=h(a)
즉 g(a)=h(a)g(a)=h(a) 이다.
x≥ax\ge a 쪽은 h(x)h(x) 가 다항함수이므로 우극한이 저절로 h(a)h(a) 가 된다.
f(x)={g(x)(x≠a)k(x=a)f(x)=\begin{cases} g(x) & (x\ne a) \\ k & (x=a) \end{cases} 꼴이면 k=lim⁡x→ag(x)k=\lim_{x\to a}g(x) 이다.
연속이 되도록 상수 정하기
  1. 1
    식이 바뀌는 경계 x=ax=a 를 찾아요.
  2. 2
    좌극한, 우극한, f(a)f(a) 를 각각 상수가 들어간 식으로 나타내요.
  3. 3
    세 값이 같다는 방정식을 세워 풀어요.
경계에서 식을 맞추기
lim⁡x→1−(x2+k)=1+k\lim_{x\to1-}(x^2+k)=1+k
↳좌극한은 x<1x<1 의 식
f(1)=2×1+1=3f(1)=2\times1+1=3
↳함숫값은 x≥1x\ge1 의 식
1+k=3, k=21+k=3,\ k=2
↳같아야 연속
학생
식이 바뀌는 경계가 두 곳이면 어떻게 해요?
쌤
경계마다 따로 식을 세워요.
상수가 두 개이면 두 경계에서 얻은 방정식을 연립해서 풀어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)={x2+k(x<2)3x(x≥2)f(x)=\begin{cases} x^2+k & (x<2) \\ 3x & (x\ge2) \end{cases} 가 x=2x=2 에서 연속일 때 kk 의 값은?
경계에서 쓰는 식
✗ 틀린 풀이
f(x)={x2+k(x<1)2x+1(x≥1)f(x)=\begin{cases} x^2+k & (x<1) \\ 2x+1 & (x\ge1) \end{cases} 에서 좌극한을 2×1+1=32\times1+1=3 으로 계산하여
kk 를 정할 수 없다고 한다.
왜 틀렸나 좌극한은 x<1x<1 쪽의 값으로 정해지므로 x<1x<1 일 때의 식 x2+kx^2+k 에서 x→1x\to1 의 극한을 구한다.
✓ 바른 풀이
좌극한은 x<1x<1 의 식으로 계산한다.
lim⁡x→1−(x2+k)=1+k\lim_{x\to1-}(x^2+k)=1+k
1+k=31+k=3 에서 k=2k=2
함숫값 f(1)f(1) 과 우극한은 x≥1x\ge1 의 식으로 구하여 33 이다.
확인: k=2k=2 이면 좌극한도 1+2=31+2=3 이 되어 연속이다.
자세히 보기펼치기그림예제 2
한 점만 따로 정의된 경우
f(x)={x2−x−2x−2(x≠2)k(x=2)f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-x-2}{x-2} & (x\ne2) \\ k & (x=2) \end{cases} 가 x=2x=2 에서 연속일 때
x2−x−2x−2=(x−2)(x+1)x−2=x+1\dfrac{x^2-x-2}{x-2}=\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=x+1
↳x≠2x\ne2 라서 약분
lim⁡x→2f(x)=lim⁡x→2(x+1)=3\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x+1)=3
↳극한값
k=f(2)=3k=f(2)=3
↳연속이면 함숫값 == 극한값
극한의 미정계수와 연결
f(x)={x2+ax+bx−1(x≠1)3(x=1)f(x)=\begin{cases} \frac{x^2+ax+b}{x-1} & (x\ne1) \\ 3 & (x=1) \end{cases} 가 x=1x=1 에서 연속일 때
lim⁡x→1x2+ax+bx−1=3\lim_{x\to1}\dfrac{x^2+ax+b}{x-1}=3
↳연속이면 극한값 =f(1)=f(1)
1+a+b=01+a+b=0
↳분모 →0\to0 이니 분자 →0\to0
x2+ax−a−1=(x−1)(x+a+1)x^2+ax-a-1=(x-1)(x+a+1)
↳b=−a−1b=-a-1 을 넣고 인수분해
lim⁡x→1(x+a+1)=a+2=3\lim_{x\to1}(x+a+1)=a+2=3
↳약분하여 극한 구하기
a=1, b=−2a=1,\ b=-2
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1f(x)f(x) 가 x=ax=a 에서 연속   ⟺  \iff ① f(a)f(a) 가 정의되고 ② lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 가 존재하며 ③ lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x\to a}f(x)=f(a)
  2. 2세 조건 중 하나라도 만족하지 않으면 x=ax=a 에서 불연속이다.
  3. 3f(x)f(x), g(x)g(x) 가 x=ax=a 에서 연속이면 cf(x)cf(x), f(x)±g(x)f(x)\pm g(x), f(x)g(x)f(x)g(x), f(x)g(x) (g(a)≠0)\dfrac{f(x)}{g(x)}\ (g(a)\ne0) 도 x=ax=a 에서 연속이다.
  4. 4다항함수는 모든 실수에서 연속이고, 유리함수는 (분모) ≠0\ne0 인 모든 실수에서 연속이다.
✗ 자주 하는 실수
  • f(a)f(a) 가 정의되어 있거나 한쪽 극한이 f(a)f(a) 와 같다는 것만 보고 연속이라고 해요.
  • x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} 을 약분한 x+1x+1 로 판단하여, 분모가 00 이 되는 점에서도 연속이라고 해요.
  • 구간별 함수의 경계에서 좌극한을 구할 때 x≥ax\ge a 쪽의 식을 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)={x2−4x−2(x≠2)3(x=2)f(x)=\begin{cases} \frac{x^2-4}{x-2} & (x\ne2) \\ 3 & (x=2) \end{cases} 가 x=2x=2 에서 연속인지 판정하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=x−1x2−x−6f(x)=\dfrac{x-1}{x^2-x-6} 이 연속인 구간을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)={x2+ax(x<2)3x+a(x≥2)f(x)=\begin{cases} x^2+ax & (x<2) \\ 3x+a & (x\ge2) \end{cases} 가 실수 전체에서 연속일 때, 상수 aa 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 최대·최소 정리와 사잇값 정리 →다음 개념: 미분가능성과 연속성 →
이전 개념: 함수의 극한값의 계산설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 유리식과 유리함수, 공통수학2 집합의 뜻과 표현, 공통수학2 무리식과 무리함수미적분Ⅰ 목차
← 함수의 극한값의 계산최대·최소 정리와 사잇값 정리 →
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학원용 버전에는 개념별 확인 문제 채점, 1,200여 개 유형별 문제 풀이, 학생 질문 게시판과 진도 관리가 들어 있어요.

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