수학 개념 노트전체 과목

로그함수와 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
로그함수 y=log⁡axy=\log_a x 는 지수함수 y=axy=a^x 의 역함수이고, 두 그래프는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이에요. 정의역은 양의 실수 전체, 점근선은 yy축이며, a>1a>1 이면 증가, 0<a<10<a<1 이면 감소해요.
  1. 1로그함수의 뜻
  2. 2로그함수의 그래프와 성질
  3. 3로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동
  4. 4로그의 크기 비교
  5. 5로그함수의 최대·최소
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1로그함수의 뜻

정의로그함수
a>0, a≠1a>0,\ a\ne1 일 때 함수y=log⁡ax(x>0)y=\log_a x\quad (x>0)를 aa 를 밑으로 하는 로그함수라 한다.
로그함수 y=log⁡axy=\log_a x 는 지수함수 y=axy=a^x 의 역함수이다.
공식지수함수와 로그함수 나란히 보기
식
y=ax⟷y=log⁡ax\displaystyle y=a^x \quad\longleftrightarrow\quad y=\log_a x
xx 와 yy 를 바꾼 관계
정의역
실수 전체⟷{x∣x>0}\displaystyle \text{실수 전체} \quad\longleftrightarrow\quad \{x \mid x>0\}
역함수의 정의역은 원래 함수의 치역이다.
치역
{y∣y>0}⟷실수 전체\displaystyle \{y \mid y>0\} \quad\longleftrightarrow\quad \text{실수 전체}
지나는 점
(0, 1), (1, a)⟷(1, 0), (a, 1)\displaystyle (0,\ 1),\ (1,\ a) \quad\longleftrightarrow\quad (1,\ 0),\ (a,\ 1)
좌표의 순서가 바뀐다.
점근선
x축 (y=0)⟷y축 (x=0)\displaystyle x\text{축}\ (y=0) \quad\longleftrightarrow\quad y\text{축}\ (x=0)
증가·감소
a>1 이면 증가,0<a<1 이면 감소\displaystyle a>1 \text{ 이면 증가},\quad 0<a<1 \text{ 이면 감소}
두 함수가 같다.
학생
로그함수는 왜 x>0x>0 에서만 정의돼요?
쌤
y=log⁡axy=\log_a x 는 ay=xa^y=x 라는 뜻이에요. aya^y 는 항상 양수이니까 xx 도 양수여야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=log⁡3xy=\log_3 x 의 그래프가 지나는 점은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제성질 더 보기

왜 역함수인가
지수함수 y=axy=a^x (a>0, a≠1a>0,\ a\ne1) 는 실수 전체의 집합에서 양의 실수 전체의 집합으로의 일대일대응이므로 역함수가 있어요.
로그의 정의로 xx 에 대하여 풀면 다음과 같아요.

y=axy=a^x
↳지수함수
x=log⁡ayx=\log_a y
↳로그의 정의로 xx 에 대하여 풀어요
y=log⁡axy=\log_a x
↳xx 와 yy 를 서로 바꿔요
성질왜 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭인가
점 (p, q)(p,\ q) 가 y=axy=a^x 의 그래프 위에 있으면
q=apq=a^p
로그의 정의에 의하여
p=log⁡aqp=\log_a q
즉 점 (q, p)(q,\ p) 는 y=log⁡axy=\log_a x 의 그래프 위에 있다.
두 점 (p, q)(p,\ q), (q, p)(q,\ p) 는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이다.

2로그함수의 그래프와 성질

성질로그함수 y=log⁡axy=\log_a x 의 성질
① 정의역은 양의 실수 전체의 집합이고, 치역은 실수 전체의 집합이다.
② a>1a>1 이면 xx 의 값이 증가할 때 yy 의 값도 증가한다.
0<a<10<a<1 이면 xx 의 값이 증가할 때 yy 의 값은 감소한다.
③ 그래프는 점 (1, 0)(1,\ 0) 과 점 (a, 1)(a,\ 1) 을 지난다.
④ 일대일함수이다. 즉 x1≠x2x_1\ne x_2 이면 log⁡ax1≠log⁡ax2\log_a x_1\ne\log_a x_2 이다.

xx 가 00 에 가까워지면 그래프가 yy축에 한없이 가까워지므로 yy축(직선 x=0x=0)이 그래프의 점근선이에요.

학생
log⁡ax\log_a x 의 값이 음수가 될 수도 있어요?
쌤
네. 치역이 실수 전체라서 음수도 나와요. a>1a>1 이면 0<x<10<x<1 에서 log⁡ax<0\log_a x<0 이에요. 진수가 양수여야 하는 것과 헷갈리지 말아요.
성질y=log⁡1axy=\log_{\frac{1}{a}} x 와 y=log⁡axy=\log_a x
밑의 변환 공식에 의하여
log⁡1ax=log⁡axlog⁡a1a=−log⁡ax\log_{\frac{1}{a}} x=\dfrac{\log_a x}{\log_a \frac{1}{a}}=-\log_a x
따라서 y=log⁡1axy=\log_{\frac{1}{a}} x 의 그래프는 y=log⁡axy=\log_a x 의 그래프와 xx축에 대하여 대칭이다.
예를 들어 y=log⁡12xy=\log_{\frac{1}{2}} x 는 y=−log⁡2xy=-\log_2 x 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=log⁡12xy=\log_{\frac{1}{2}} x 에 대한 설명으로 옳은 것은?
점근선
✗ 틀린 풀이
y=log⁡2xy=\log_2 x 의 점근선은 xx축(직선 y=0y=0)
왜 틀렸나 로그함수는 지수함수의 역함수이므로 점근선도 xx, yy 가 바뀐 yy 축(직선 x=0x=0)이다.
✓ 바른 풀이
y=log⁡2xy=\log_2 x 의 점근선은 yy축(직선 x=0x=0)
y=2xy=2^x 의 점근선이 xx 축이고, 역함수 y=log⁡2xy=\log_2 x 는 직선 y=xy=x 에 대칭이므로 점근선이 yy 축이 된다.
진수 xx 가 00 에 가까워지는 곳이 점근선이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

그래프가 점 (1, 0)(1,\ 0), (a, 1)(a,\ 1) 을 지나는 것은
log⁡a1=0\log_a 1=0
log⁡aa=1\log_a a=1
이기 때문이에요.
a>1a>1 일 때 xx 가 00 에 가까워지면 log⁡ax\log_a x 의 값은 한없이 작아져요.

3로그함수의 그래프의 평행이동과 대칭이동

공식y=log⁡axy=\log_a x 의 그래프를 옮긴 식
평행이동
y=log⁡a(x−m)+n\displaystyle y=\log_a (x-m)+n
xx축 방향으로 mm, yy축 방향으로 nn 만큼. 정의역 x>mx>m, 점근선 x=mx=m, 점 (m+1, n)(m+1,\ n) 을 지난다.
xx축 대칭
y=−log⁡ax=log⁡1ax\displaystyle y=-\log_a x=\log_{\frac{1}{a}} x
yy 대신 −y-y
yy축 대칭
y=log⁡a(−x)\displaystyle y=\log_a (-x)
xx 대신 −x-x. 정의역은 x<0x<0
원점 대칭
y=−log⁡a(−x)\displaystyle y=-\log_a (-x)
xx 대신 −x-x, yy 대신 −y-y
직선 y=xy=x 대칭
y=ax\displaystyle y=a^x
역함수
성질틀로 보기
y=log⁡a(□)+ny=\log_a(□)+n
진수 □ 에 어떤 식이 와도 다음이 성립한다.
정의역은 □>0>0 인 xx 의 범위이다.
점근선은 □=0=0 인 직선이다.
□=1=1 이 되는 xx 에서 y=ny=n 이다.
학생
점근선은 왜 진수가 00 이 되는 직선이에요?
쌤
진수가 00 에 가까워지면 그래프가 그 직선에 한없이 가까워지기 때문이에요. y=log⁡2(x+3)−1y=\log_2(x+3)-1 이면 x+3=0x+3=0, 곧 직선 x=−3x=-3 이에요.
예평행이동
y=log⁡2(x+3)−1y=\log_2(x+3)-1
y=log⁡2xy=\log_2 x 의 그래프를 xx축 방향으로 −3-3 만큼, yy축 방향으로 −1-1 만큼 평행이동한 거예요.
진수 조건 x+3>0x+3>0 에서 정의역은 x>−3x>-3
점근선은 직선 x=−3x=-3
x+3=1x+3=1, 즉 x=−2x=-2 일 때 y=−1y=-1 이므로 점 (−2, −1)(-2,\ -1) 을 지나요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=log⁡3(x−2)+1y=\log_3(x-2)+1 의 정의역과 점근선은?
진수에 계수가 있을 때 점근선
✗ 틀린 풀이
y=log⁡2(2x−4)y=\log_2(2x-4) 의 점근선은 직선 x=4x=4
왜 틀렸나 로그함수의 점근선은 진수가 00 이 되는 xx 의 값으로 정해지므로 2x−4=02x-4=0 을 푼다.
✓ 바른 풀이
진수가 00 이 되는 xx 를 구하면
2x−4=02x-4=0
따라서 점근선은 직선 x=2x=2
2x−4=2(x−2)2x-4=2(x-2) 로 묶으면 xx 축 방향으로 22 만큼 평행이동한 것임을 알 수 있다.
자세히 보기펼치기예제 3
응용
y=log⁡2(2x−4)y=\log_2(2x-4)
log⁡2(2x−4)=log⁡22+log⁡2(x−2)=log⁡2(x−2)+1\log_2(2x-4)=\log_2 2+\log_2(x-2)=\log_2(x-2)+1
↳2x−4=2(x−2)2x-4=2(x-2)
y=log⁡2x → y=log⁡2(x−2)+1y=\log_2 x\ \to\ y=\log_2(x-2)+1
↳xx 축 방향 22, yy 축 방향 11
x>2x>2
↳정의역
x=2x=2
↳점근선
진수의 xx 계수가 음수인 꼴
y=log⁡3(3−x)y=\log_3(3-x)
y=log⁡3{−(x−3)}y=\log_3\{-(x-3)\}
↳3−x=−(x−3)3-x=-(x-3)
y=log⁡3x → y=log⁡3(−x)y=\log_3 x\ \to\ y=\log_3(-x)
↳yy 축에 대하여 대칭이동
y=log⁡3(−x) → y=log⁡3{−(x−3)}y=\log_3(-x)\ \to\ y=\log_3\{-(x-3)\}
↳xx 축 방향으로 33 만큼
x<3,점근선 x=3x<3,\quad \text{점근선 } x=3
↳정의역과 점근선
xx 의 값이 증가하면 진수 3−x3-x 가 감소하므로 yy 의 값도 감소해요.
이동한 그래프의 식 구하기
y=log⁡2xy=\log_2 x
↳처음 그래프
y=log⁡2(x−1)−2y=\log_2(x-1)-2
↳xx 축 방향 11, yy 축 방향 −2-2: x→x−1x\to x-1, y→y+2y\to y+2
−y=log⁡2(x−1)−2-y=\log_2(x-1)-2
↳xx 축 대칭: yy 대신 −y-y
y=−log⁡2(x−1)+2y=-\log_2(x-1)+2
↳y=y= 꼴로 정리
(1, 0)→(2, −2)→(2, 2)(1,\ 0)\to(2,\ -2)\to(2,\ 2)
↳검산: x=2x=2 이면 y=−0+2=2y=-0+2=2

4로그의 크기 비교

로그함수의 증가·감소를 쓰면 밑이 같은 두 로그의 크기를 진수만 보고 비교할 수 있어요.

공식밑이 같은 로그의 대소 (0<x1<x20<x_1<x_2)
a>1a>1
log⁡ax1<log⁡ax2\displaystyle \log_a x_1<\log_a x_2
진수가 크면 로그도 크다.
0<a<10<a<1
log⁡ax1>log⁡ax2\displaystyle \log_a x_1>\log_a x_2
진수가 크면 로그는 작다.
학생
밑이 다르면 어떻게 비교해요?
쌤
밑을 같게 바꾼 뒤 진수를 비교해요. 예를 들어 log⁡49=log⁡23\log_4 9=\log_2 3 이에요. 11 같은 수도 log⁡33\log_3 3 처럼 로그로 바꿔 비교해요.
A=2log⁡32A=2\log_3 2, B=log⁡35B=\log_3 5, C=1C=1
A=log⁡322=log⁡34,C=log⁡33A=\log_3 2^2=\log_3 4,\quad C=\log_3 3
↳모두 밑 33 으로
3<4<53<4<5
↳진수 비교
C<A<BC<A<B
↳밑 3>13>1: 대소 그대로
예밑이 11 보다 작을 때
log⁡123\log_{\frac{1}{2}} 3, log⁡125\log_{\frac{1}{2}} 5
진수를 비교하면 3<53<5
밑 12\frac{1}{2} 이 11 보다 작으므로 대소가 반대예요.
따라서 log⁡123>log⁡125\log_{\frac{1}{2}} 3>\log_{\frac{1}{2}} 5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
A=log⁡132A=\log_{\frac{1}{3}}2, B=log⁡135B=\log_{\frac{1}{3}}5 중 큰 것은?
밑이 11 보다 작은 로그의 대소
✗ 틀린 풀이
3<53<5 이므로
log⁡123<log⁡125\log_{\frac{1}{2}} 3<\log_{\frac{1}{2}} 5
왜 틀렸나 밑이 11 보다 작은 로그함수는 감소함수이므로 진수가 클수록 값이 작다.
✓ 바른 풀이
3<53<5 이고 밑이 11 보다 작으므로
log⁡123>log⁡125\log_{\frac{1}{2}} 3>\log_{\frac{1}{2}} 5
y=log⁡12xy=\log_{\frac{1}{2}} x 는 감소함수예요. 계산으로 확인하면 log⁡124=−2<log⁡122=−1\log_{\frac{1}{2}} 4=-2<\log_{\frac{1}{2}} 2=-1 이에요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제
로그의 크기 비교하기
  1. 1
    밑을 같게 만들어요.
    밑의 변환 공식, log⁡amb=1mlog⁡ab\log_{a^m} b=\frac{1}{m}\log_a b 를 써요.
  2. 2
    계수는 진수의 지수로 올리고, 수는 로그로 나타내요.
    klog⁡ab=log⁡abkk\log_a b=\log_a b^k,  1=log⁡aa\ 1=\log_a a
  3. 3
    진수의 크기를 비교해요.
  4. 4
    밑이 11 보다 크면 그대로, 11 보다 작으면 반대로 로그의 대소를 정해요.
밑이 다른 꼴
A=log⁡410A=\log_4 10, B=log⁡23B=\log_2 3, C=32C=\frac{3}{2}
A=12log⁡210=log⁡210A=\dfrac{1}{2}\log_2 10=\log_2 \sqrt{10}
↳모두 밑 22 로
B=log⁡29B=\log_2 \sqrt{9}
C=32log⁡22=log⁡28C=\dfrac{3}{2}\log_2 2=\log_2 \sqrt{8}
8<9<10\sqrt{8}<\sqrt{9}<\sqrt{10}
↳진수 비교
C<B<AC<B<A
↳밑 2>12>1: 대소 그대로

5로그함수의 최대·최소

성질닫힌구간에서의 최대·최소
y=log⁡af(x)y=\log_a f(x) 는 증가 또는 감소하므로 m≤x≤nm\le x\le n 에서 끝 값에서 최대·최소가 된다(진수가 일차식일 때).
a>1a>1 이면 x=mx=m 에서 최솟값, x=nx=n 에서 최댓값을 가진다.
0<a<10<a<1 이면 x=mx=m 에서 최댓값, x=nx=n 에서 최솟값을 가진다.
진수가 이차식처럼 증가·감소가 바뀌는 식이면 먼저 진수의 최대·최소를 구한다.
a>1a>1 이면 진수가 최소일 때 yy 도 최소이고, 0<a<10<a<1 이면 진수가 최소일 때 yy 는 최대이다.
학생
진수가 이차식이면 왜 양 끝만 보면 안 돼요?
쌤
진수가 구간 안에서 줄었다가 늘어날 수 있어서 양 끝이 아닌 곳에서 최대·최소가 나올 수 있어요. 그래서 진수의 최솟값부터 구해요.
예밑이 11 보다 클 때
y=log⁡2(x+1)+1 (1≤x≤7)y=\log_2(x+1)+1\ (1\le x\le7)
밑 2>12>1 이므로 증가함수예요.
x=1x=1 일 때 최솟값
log⁡22+1=2\log_2 2+1=2
x=7x=7 일 때 최댓값
log⁡28+1=4\log_2 8+1=4
예밑이 11 보다 작을 때
y=log⁡13(x−1) (2≤x≤10)y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\ (2\le x\le10)
밑 13<1\frac{1}{3}<1 이므로 감소함수예요.
x=2x=2 일 때 최댓값
log⁡131=0\log_{\frac{1}{3}} 1=0
x=10x=10 일 때 최솟값
log⁡139=−2\log_{\frac{1}{3}} 9=-2
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
1≤x≤71\le x\le7 에서 y=log⁡12(x+1)y=\log_{\frac{1}{2}}(x+1) 의 최댓값은?
밑이 11 보다 작을 때의 최댓값
✗ 틀린 풀이
y=log⁡13(x−1) (2≤x≤10)y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)\ (2\le x\le10)
x=10x=10 일 때 최댓값 −2-2
왜 틀렸나 밑이 11 보다 작은 로그함수는 감소함수이므로 정의역의 왼쪽 끝에서 최댓값을 갖는다.
✓ 바른 풀이
감소함수이므로 x=2x=2 일 때 최댓값
log⁡131=0\log_{\frac{1}{3}} 1=0
xx 가 크다고 yy 가 큰 것이 아니에요. 밑이 11 보다 작으면 왼쪽 끝에서 최대예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

진수가 이차식이면 먼저 진수를 완전제곱식으로 고쳐 진수의 최솟값을 구해요.

진수가 이차식인 꼴
y=log⁡2(x2−2x+5)y=\log_2(x^2-2x+5)
x2−2x+5=(x−1)2+4≥4x^2-2x+5=(x-1)^2+4\ge4
↳진수의 최솟값 44
x=1: log⁡24=2x=1:\ \log_2 4=2
↳밑 2>12>1: 진수가 최소일 때 yy 도 최소
x=1: log⁡124=−2x=1:\ \log_{\frac{1}{2}}4=-2
↳밑이 12\frac{1}{2} 이면 이때 최댓값
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1y=log⁡axy=\log_a x (a>0, a≠1a>0,\ a\ne1) 는 지수함수 y=axy=a^x 의 역함수이다.
    두 그래프는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이다.
  2. 2정의역은 양의 실수 전체, 치역은 실수 전체이다.
    그래프는 점 (1, 0)(1,\ 0) 을 지나고, yy축(직선 x=0x=0)이 점근선이다.
  3. 3a>1a>1 이면 증가, 0<a<10<a<1 이면 감소한다.
    그래서 진수의 대소와 로그의 대소는 a>1a>1 이면 같고, 0<a<10<a<1 이면 반대이다.
  4. 4y=log⁡a(x−m)+ny=\log_a(x-m)+n 의 그래프는 y=log⁡axy=\log_a x 의 그래프를 xx축 방향으로 mm 만큼, yy축 방향으로 nn 만큼 평행이동한 것이다.
    점근선은 직선 x=mx=m 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 로그함수 y=log⁡axy=\log_a x 의 점근선을 지수함수처럼 xx축(직선 y=0y=0)으로 써요.
  • y=log⁡2(2x−4)y=\log_2(2x-4) 의 점근선을 직선 x=4x=4 로 읽어요. 진수가 00 이 되는 x=2x=2 가 점근선이에요.
  • 밑이 11 보다 작은 로그함수에서도 진수가 클수록 함숫값이 크다고 생각하여 대소·최대·최소를 거꾸로 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 y=log⁡3(x−2)+1y=\log_3(x-2)+1 의 정의역과 그래프의 점근선의 방정식을 구하고, 그래프가 지나는 점 중 xx좌표가 33 인 점의 좌표를 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 y=log⁡2xy=\log_2 x 의 그래프를 xx축 방향으로 11 만큼, yy축 방향으로 −2-2 만큼 평행이동한 뒤 xx축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식을 구하시오.
  3. 예제 3
    0≤x≤60\le x\le6 에서 함수 y=log⁡12(x+2)y=\log_{\frac{1}{2}}(x+2) 의 최댓값과 최솟값의 합을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 로그방정식과 로그부등식 →
이전 개념: 로그의 밑 변환, 지수함수와 그래프설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 역함수, 공통수학2 대칭이동, 공통수학2 평행이동, 공통수학1 이차함수의 최대·최소대수 목차
← 지수방정식과 지수부등식로그방정식과 로그부등식 →
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