합성함수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

두 함수

f,\ g

의 합성함수

(g\circ f)(x)=g(f(x))

의 뜻과 정의되는 조건을 알고, 함숫값과 식을 구하며, 교환법칙은 성립하지 않고 결합법칙은 성립함을 이해해요.

1합성함수의 뜻
2합성함수의 식 구하기
3합성함수의 성질
4대응표로 구하기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (5개 · 핵심 용어 가리기)

1합성함수의 뜻

정의합성함수

두 함수

f:X\to Y

g:Y\to Z

가 주어질 때,

X

의 각 원소

x

에

Y

의 원소

f(x)

가 대응하고, 다시

f(x)

에

Z

의 원소

g(f(x))

가 대응한다.
이렇게

X

의 각 원소

x

에

Z

의 원소

g(f(x))

를 대응시키는

X

에서

Z

로의 새로운 함수를

f

와

g

의 합성함수 라 하고, 기호로 다음과 같이 나타낸다.

g\circ f:X\to Z

(g\circ f)(x)=g(f(x))

학생

g\circ f

인데 왜

f

를 먼저 계산해요?

쌤

(g\circ f)(x)=g(f(x))

에서

x

에 가까운 안쪽

f

가 먼저 계산돼요. 그래서 오른쪽에 적힌

f

가 먼저예요.

f:X\to Y

g:Y\to Z

파란 화살표가

f

, 주황 화살표가

g

예요.

1\to4\to8

처럼 두 화살표를 이어 따라가면

g\circ f

예요.

그림에서

g\circ f

구하기

(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(4)=8

↳◀

1\to4\to8

(g\circ f)(2)=g(f(2))=g(6)=9

↳◀

2\to6\to9

(g\circ f)(3)=g(f(3))=g(5)=7

↳◀

3\to5\to7

따라서

g\circ f

는

1\to8,\ 2\to9,\ 3\to7

로 대응하는

X

에서

Z

로의 함수예요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=x+2

g(x)=3x

일 때

(g\circ f)(1)

의 값은?

계산 순서

✗ 틀린 풀이

(g\circ f)(1)=f(g(1))

왜 틀렸나

(g\circ f)(x)=g(f(x))

이므로

x

바로 옆의

f

를 먼저 계산하고 그 값을

g

에 넣는다.

✓ 바른 풀이

(g\circ f)(1)=g(f(1))

기억 요령: 기호

g\circ f

는 오른쪽에서 왼쪽으로 읽는다.

성질합성함수가 정의되는 조건

g(f(x))

를 계산하려면 모든

x\in X

에 대하여

f(x)

가

g

의 정의역에 속해야 한다.
따라서

g\circ f

는

f

의 치역이

g

의 정의역의 부분집합일 때 정의된다.

\{f(x)\mid x\in X\}\subset(g\text{ 의 정의역})

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

합성함수의 함숫값

(g\circ f)(a)

구하기

1
안쪽의 $f(a)$ 를 먼저 구해요.
기호 $g\circ f$ 에서 오른쪽에 적힌 $f$ 가 먼저 작용해요.
2
구한 값을 $g$ 에 넣어 $g(f(a))$ 를 구해요.
3
$g\circ f$ 는 「 $f$ 다음에 $g$ 」로 읽어요.
적힌 순서(왼쪽에서 오른쪽)와 계산 순서는 반대예요.

예정의되지 않는 경우

X=\{1,\ 2,\ 3\}

에서 정의된 함수

f(x)=x-1

의 치역은

\{0,\ 1,\ 2\}

이에요.
함수

g

의 정의역이

\{1,\ 2,\ 3\}

이면

f(1)=0

에 대하여

g(0)

을 구할 수 없어요.
따라서

g\circ f

는 정의되지 않아요.

2합성함수의 식 구하기

합성함수의 식은 바깥 함수의 식에서 $x$ 자리에 안쪽 함수의 식을 통째로, 괄호째 넣어 구해요.

학생

f(x)

를 넣으면

g

의 식에 있던

x

는 다 바뀌어요?

쌤

네,

g

의 식에 있는

x

를 하나도 빠짐없이

f(x)

의 식으로 바꿔요.

g(x)=x^2-3

이면

x^2

의

x

가

2x+1

로 바뀌어

(2x+1)^2-3

이 돼요.

공식

f(x)=2x+1,\ g(x)=x^2-3

일 때

(g\circ f)(x)

\displaystyle g(f(x))=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2

g

의

\square

자리에

2x+1

을 넣는다.

(f\circ g)(x)

\displaystyle f(g(x))=2(x^2-3)+1=2x^2-5

f(\square)=2\square+1

의

\square

자리에

x^2-3

을 넣는다.

(f\circ f)(x)

\displaystyle f(f(x))=2(2x+1)+1=4x+3

같은 함수끼리도 합성할 수 있다.

(g\circ g)(x)

\displaystyle g(g(x))=(x^2-3)^2-3=x^4-6x^2+6

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=x-1

g(x)=x^2

일 때

(g\circ f)(x)

는?

괄호를 빠뜨린 경우

✗ 틀린 풀이

(g\circ f)(x)=2x+1^2-3=2x-2

왜 틀렸나

g

의

x

자리에

f(x)=2x+1

을 넣을 때는 한 덩어리로 보고 괄호째 넣어야 한다.

✓ 바른 풀이

(g\circ f)(x)=(2x+1)^2-3=4x^2+4x-2

검산:

x=0

이면

f(0)=1

g(1)=1-3=-2

이고,

4x^2+4x-2

에

x=0

을 넣어도

-2

이다.

곱과 헷갈린 경우

✗ 틀린 풀이

(g\circ f)(x)=g(x)f(x)=(x^2-3)(2x+1)

왜 틀렸나

\circ

는 곱셈이 아니라

f(x)

를

g

에 다시 넣는다는 기호이므로

g(f(x))

로 계산한다.

✓ 바른 풀이

(g\circ f)(x)=g(f(x))=(2x+1)^2-3

기억 요령:

g\circ f

는 「

f

를 한 다음

g

를 한다」로 읽는다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

$(g\circ f)(x)$ 의 식은 $g$ 의 식에서 $x$ 자리에 $f(x)$ 의 식을 통째로 넣어 구해요.
$f(x)=2x+1$ , $g(x)=x^2-3$ 이면 $g$ 를 다음 틀로 봐요. $g(\square)=\square^2-3$ $\square$ 자리에 $2x+1$ 을 괄호째 넣으면 $(g\circ f)(x)$ 가 돼요.
합성함수는 합성함수의 미분에 쓰여요.

합성함수의 식을 구하는 순서

1
바깥 함수(기호에서 왼쪽)의 식을 $\square$ 틀로 써요.
$(g\circ f)(x)$ 이면 바깥 함수는 $g$ 이에요.
2
$\square$ 자리에 안쪽 함수의 식을 괄호째 넣어요.
3
전개하여 정리해요.
4
$x$ 에 간단한 수를 넣어 검산해요.
$x=1$ 이면 $f(1)=3,\ g(3)=6$ 이고, $4+4-2=6$ 이므로 맞아요.

거꾸로

합성함수의 값이 주어질 때:

(g\circ f)(a)=6

(2a+1)^2-3=6

↳◀

g(f(a))=6

(2a+1)^2=9

↳◀

3

을 이항해요

2a+1=3\ \text{또는}\ 2a+1=-3

↳◀제곱근은 두 개

a=1\ \text{또는}\ a=-2

3합성함수의 성질

성질교환법칙은 성립하지 않는다

위에서 구한 두 식을 비교하면

(g\circ f)(x)=4x^2+4x-2

(f\circ g)(x)=2x^2-5

이므로

g\circ f\ne f\circ g

이다.
즉 합성함수에서는 일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.

f(x)=x+1

g(x)=x+2

처럼 두 식이 우연히 같아지는 경우도 있지만, 늘 그런 것은 아니다.

학생

그럼

g\circ f

와

f\circ g

가 같아지는 경우는 없어요?

쌤

있어요.

f(x)=x+1

g(x)=x+2

이면 둘 다

x+3

이에요. 하지만 일반적으로는 같지 않으니 순서를 함부로 바꾸면 안 돼요.

성질결합법칙은 성립한다

세 함수

f,\ g,\ h

에 대하여 다음 등식이 성립한다. 이것을 합성함수의 결합법칙이라 한다.

h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f

양쪽 모두

x

에

f,\ g,\ h

를 차례로 적용한

h(g(f(x)))

를 대응시키기 때문이다.
그래서 괄호 없이

h\circ g\circ f

로 쓴다.

성질항등함수와의 합성

함수

f:X\to X

와

X

에서의 항등함수

I

에 대하여

(f\circ I)(x)=f(I(x))=f(x)

(I\circ f)(x)=I(f(x))=f(x)

이므로 다음이 성립한다.

f\circ I=I\circ f=f

I

는 수의 곱셈에서

1

과 같은 역할을 한다.

공식합성함수의 성질 정리

교환법칙

\displaystyle g\circ f\ne f\circ g

일반적으로 성립하지 않는다. 순서를 바꾸면 안 된다.

결합법칙

\displaystyle h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f

항상 성립한다.

항등함수

\displaystyle f\circ I=I\circ f=f

I(x)=x

와 합성해도 그대로이다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=x+1

g(x)=2x

일 때

(f\circ g)(x)

는?

순서를 바꾸어 계산한 경우

✗ 틀린 풀이

(f\circ g)(x)

대신

(g\circ f)(x)

를 구해도 된다.

(f\circ g)(x)=4x^2+4x-2

왜 틀렸나 합성함수는 교환법칙이 성립하지 않으므로

f\circ g

는 반드시

f(g(x))

로 계산한다.

✓ 바른 풀이

(f\circ g)(x)=f(g(x))

를 그대로 계산한다.

(f\circ g)(x)=2x^2-5

검산:

x=0

이면

g(0)=-3

f(-3)=-5

이고,

2x^2-5

에

x=0

을 넣어도

-5

이다.

자세히 보기펼치기예제 2

f\circ g=g\circ f

가 되는 상수 구하기

f(x)=2x+1

g(x)=3x+k

(f\circ g)(x)=2(3x+k)+1=6x+2k+1

(g\circ f)(x)=3(2x+1)+k=6x+3+k

2k+1=k+3

↳◀

x

의 계수는 둘 다

6

, 상수항도 같아야 해요

k=2

예결합법칙 확인

f(x)=x+1

g(x)=2x

h(x)=x^2

일 때

(g\circ f)(x)=2x+2

이므로

(h\circ(g\circ f))(x)=(2x+2)^2

(h\circ g)(x)=(2x)^2=4x^2

이므로

((h\circ g)\circ f)(x)=4(x+1)^2=(2x+2)^2

두 결과가 같아요.

4대응표로 구하기

함수가 대응표(대응 그림)로 주어지면 식이 없어도 화살표를 차례로 따라가 합성함수의 값을 구해요.
$X=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$ 에서 $X$ 로의 두 함수 $f,\ g$ 가 다음과 같아요.

f,\ g

의 대응표

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$
$f(x)$	$3$	$4$	$2$	$1$
$g(x)$	$2$	$2$	$1$	$3$

노란 칸:

(g\circ f)(1)

은

f(1)=3

을 읽은 뒤

x=3

아래의

g(3)=1

을 읽어요.

학생

(g\circ f)(a)

는 어느 줄을 먼저 읽어요?

쌤

f

의 줄을 먼저 읽어

f(a)

를 찾고, 그 값을

g

의 줄에서 찾아요. 오른쪽에 적힌 함수의 줄이 먼저예요.

예대응표에서 합성하기

(g\circ f)(1)=g(f(1))=g(3)=1

(f\circ g)(1)=f(g(1))=f(2)=4

(f\circ f)(1)=f(f(1))=f(3)=2

(f\circ f\circ f)(1)=f((f\circ f)(1))=f(2)=4

x

마다 구하여

g\circ f

의 대응표를 만들면

\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline (g\circ f)(x) & 1 & 3 & 2 & 2 \end{array}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

위 대응표에서

(g\circ f)(2)

의 값은?

대응표에서의 순서

✗ 틀린 풀이

(g\circ f)(1)

에서

g(1)=2

를 먼저 읽는다.

f(2)=4

왜 틀렸나 대응표에서도

g\circ f

는

f

의 줄을 먼저 읽고, 그 값을

g

의 줄에서 찾아야 한다.

✓ 바른 풀이

f(1)=3

을 먼저 읽는다.

g(3)=1

확인 방법:

1\to3\to1

처럼 화살표를 차례로 이어 써 보면 순서를 놓치지 않는다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

대응표에서

(g\circ f)(a)

구하기

1
$f$ 의 줄에서 $a$ 아래의 값 $f(a)$ 를 읽어요.
2
$g$ 의 줄에서 $f(a)$ 아래의 값을 읽어요.
두 번째에는 $x$ 줄에서 $f(a)$ 를 찾아 내려가요.
3
세 번 이상 합성하면 같은 일을 오른쪽 함수부터 되풀이해요.

예거꾸로

합성 결과가 주어질 때

(f\circ f)(a)=1

을 만족시키는

a

를 구해요.

f(f(a))=1

이고,

f

의 줄에서 값이

1

인 곳은

f(4)=1

뿐이므로

f(a)=4

f

의 줄에서 값이

4

인 곳은

f(2)=4

이므로

a=2

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1두 함수 $f:X\to Y$ , $g:Y\to Z$ 에 대하여 $X$ 의 각 원소 $x$ 에 $g(f(x))$ 를 대응시키는 함수를 합성함수 $g\circ f$ 라 한다.
2 $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ 는 오른쪽에 적힌 $f$ 를 먼저, 왼쪽에 적힌 $g$ 를 나중에 계산한다.
3 $g\circ f$ 는 $f$ 의 치역이 $g$ 의 정의역에 포함될 때 정의된다.
4일반적으로 $g\circ f\ne f\circ g$ 이고, $h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f$ 와 $f\circ I=I\circ f=f$ 는 항상 성립한다.

✗ 자주 하는 실수

$(g\circ f)(x)$ 를 $f(g(x))$ 로 계산하여 합성의 순서를 거꾸로 해요.
식을 넣을 때 괄호 없이 넣거나, $g\circ f$ 를 두 함수의 곱 $g(x)f(x)$ 로 생각해요.
합성함수에서도 교환법칙이 성립한다고 생각하여 $g\circ f$ 와 $f\circ g$ 를 같게 봐요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
두 함수 $f(x)=3x-1$ , $g(x)=x^2+2$ 에 대하여 $(g\circ f)(1)$ 과 $(f\circ g)(1)$ 의 값을 구하시오.
예제 2
두 함수 $f(x)=-2x+3$ , $g(x)=x^2-x$ 에 대하여 $(g\circ f)(x)$ 와 $(f\circ g)(x)$ 를 구하시오.
예제 3
집합 $X=\{1,\ 2,\ 3,\ 4\}$ 에서 $X$ 로의 두 함수 $f,\ g$ 가 다음과 같다. $\begin{array}{c|cccc} x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & 2 & 3 & 4 & 1 \\ \hline g(x) & 3 & 1 & 1 & 2 \end{array}$ $(g\circ f)(2)+(f\circ g)(3)$ 의 값을 구하고, $(f\circ f)(a)=1$ 을 만족시키는 $a$ 를 구하시오.

다음 공부

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