매개변수로 나타낸 함수의 미분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

x=f(t)

y=g(t)

로 나타낸 함수의 도함수는

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}

(

f'(t)\ne0

) 이에요. 결과는 보통

t

에 대한 식이고, 특정한 점의 기울기는 그 점의

t

값을 넣어 구해요.

1매개변수로 나타낸 함수
2매개변수로 나타낸 함수의 미분법
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (1개 · 핵심 용어 가리기)

1매개변수로 나타낸 함수

정의매개변수

두 변수

x

y

사이의 관계가 변수

t

를 통하여

x=f(t),\quad y=g(t)

와 같이 나타내어질 때, 변수

t

를 매개변수 라 하고 이 식을 매개변수로 나타낸 함수라 한다.

학생

왜

x

y

를 굳이

t

로 따로 나타내요?

쌤

원처럼

y

를

x

의 식 하나로 쓰기 어려운 곡선도 간단히 나타낼 수 있어요. 시각

t

에 따라 움직이는 점의 위치를 나타낼 때도 편해요.

x=t+1

y=t^2

t=x-1

↳◀첫째 식

y=(x-1)^2

↳◀둘째 식에 넣어

t

없애기

이처럼

t

를 없앨 수 있으면

x

y

사이의 관계식이 돼요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x=2t

y=t+3

에서

t

를 없애면?

자세히 보기펼치기왜 그런지

$x=\cos t$ , $y=\sin t$ ( $0\le t<2\pi$ ) 이면 $\sin^2t+\cos^2t=1$ 이므로 $x^2+y^2=1$ 이에요.
즉 점 $(x,\ y)$ 는 원 $x^2+y^2=1$ 위를 움직여요.

2매개변수로 나타낸 함수의 미분법

성질매개변수로 나타낸 함수의 미분법

x=f(t)

y=g(t)

가

t

에 대하여 미분가능하고

f'(t)\ne0

이면

\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\frac{g'(t)}{f'(t)}

학생

왜

t

로 미분한 것끼리 나누면

\dfrac{dy}{dx}

가 돼요?

쌤

기울기는

y

의 변화량을

x

의 변화량으로 나눈 값이에요. 둘 다

t

의 변화량으로 나눠 두어도 그 비는 같아서

\dfrac{dy/dt}{dx/dt}

가 돼요.

공식틀로 쓰기

기울기

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{(y\text{ 를 }t\text{ 로 미분})}{(x\text{ 를 }t\text{ 로 미분})}

분자와 분모의 자리를 기억한다. 구하는 것이

\dfrac{dy}{dx}

이므로

y

가 위,

x

가 아래이다.

거꾸로

\displaystyle \frac{dx}{dy}=\frac{\frac{dx}{dt}}{\frac{dy}{dt}}

\dfrac{dy}{dt}\ne0

일 때.

\dfrac{dx}{dy}

는

\dfrac{dy}{dx}

의 역수이다.

x=t^2+1

y=t^3-t

일 때

t=1

에서의

\dfrac{dy}{dx}

\dfrac{dx}{dt}=2t,\quad\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1

↳◀각각 미분

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}

↳◀

y

쪽

\div

x

쪽

t=1:\ \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2}=1

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

x=t^2

y=6t

일 때

t=1

에서의

\dfrac{dy}{dx}

는?

분자와 분모의 자리

✗ 틀린 풀이

x=2t+1

y=t^2

이면

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2}{2t}=\dfrac{1}{t}

왜 틀렸나

\dfrac{dy}{dx}

는

y

를

t

로 미분한 것을 분자에,

x

를

t

로 미분한 것을 분모에 둔다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}=\dfrac{2t}{2}=t

확인:

t=\dfrac{x-1}{2}

이므로

y=\dfrac{(x-1)^2}{4}

이고, 미분하면

\dfrac{x-1}{2}=t

이다.

점의 좌표와

t

의 값

✗ 틀린 풀이

x=t^2

y=t^3

위의 점

(4,\ 8)

에서

t=4

를 넣어

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\cdot4=6

왜 틀렸나

\dfrac{dy}{dx}

는

t

의 식이므로 주어진 점에 대응하는

t

의 값을 먼저 구해 넣는다.

✓ 바른 풀이

t^2=4

t^3=8

에서

t=2

이므로

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{2}\cdot2=3

확인:

t=2

이면

x=4

y=8

로 주어진 점이 된다.

자세히 보기펼치기예제 3왜 그런지틀리기 쉬운 곳

왜 그런가

\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{\Delta y/\Delta t}{\Delta x/\Delta t}

↳◀

t

의 증분

\Delta t

로 나누기

\to\dfrac{g'(t)}{f'(t)}

↳◀

\Delta t\to0

이면

\Delta x\to0

합성함수의 미분법으로도 확인할 수 있어요.
$y$ 를 $x$ 의 함수로 보면 $\dfrac{dy}{dt}=\dfrac{dy}{dx}\cdot\dfrac{dx}{dt}$ 이므로 양변을 $\dfrac{dx}{dt}$ 로 나눈 것과 같아요.
이 기울기로 곡선의 접선을 구하고, 평면 위의 운동을 다뤄요.

매개변수로 나타낸 함수의 미분 순서

1
$\dfrac{dx}{dt}$ 와 $\dfrac{dy}{dt}$ 를 각각 구해요.
2
$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy/dt}{dx/dt}$ 로 나눠요.
결과는 $t$ 에 대한 식으로 둬요.
3
기울기를 묻는 점이 $t$ 의 값으로 주어지면 그대로 넣어요.
4
점의 좌표 $(a,\ b)$ 로 주어지면 $f(t)=a$ , $g(t)=b$ 를 모두 만족시키는 $t$ 를 먼저 구해요.

응용

x=\cos t

y=\sin t

일 때

t=\dfrac{\pi}{3}

에서의

\dfrac{dy}{dx}

\dfrac{dx}{dt}=-\sin t,\quad\dfrac{dy}{dt}=\cos t

\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\cos t}{\sin t}

t=\dfrac{\pi}{3}:\ -\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt3}{2}}=-\dfrac{\sqrt3}{3}

응용

x=t^2

y=t^3

위의 점

(4,\ 8)

에서의

\dfrac{dy}{dx}

t^2=4,\ t^3=8\ \Rightarrow\ t=2

↳◀

t^2=4

에서

t=\pm2

, 그중

t^3=8

인 것

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2}{2t}=\dfrac{3}{2}t

t=2:\ \dfrac{dy}{dx}=3

⚠ 주의검산

t

를 없앨 수 있으면

y

를

x

의 식으로 바꾸어 미분한 결과와 비교해요.
예:

x=e^t

y=e^{2t}

이면

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2e^{2t}}{e^t}=2e^t

이에요.

y=x^2

이므로

\dfrac{dy}{dx}=2x=2e^t

로 같아요.

공식함수를 나타내는 방법에 따른 도함수 비교

y=f(x)

\displaystyle \frac{dy}{dx}=f'(x)

x

에 대한 식

매개변수

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)}

t

에 대한 식

음함수

\displaystyle \frac{dy}{dx}

x

y

에 대한 식

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1두 변수 $x$ , $y$ 사이의 관계를 변수 $t$ 를 써서 $x=f(t)$ , $y=g(t)$ 로 나타낼 때 $t$ 를 매개변수라 한다.
2 $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}=\dfrac{g'(t)}{f'(t)}$ (단, $f'(t)\ne0$ )
3분자는 $y$ 를 미분한 것, 분모는 $x$ 를 미분한 것이다. 결과는 $t$ 에 대한 식이다.
4점 $(a,\ b)$ 에서의 기울기는 $f(t)=a$ , $g(t)=b$ 인 $t$ 를 먼저 구하여 넣는다.

✗ 자주 하는 실수

$\dfrac{dy}{dx}$ 를 $\dfrac{dx/dt}{dy/dt}$ 로 분자·분모를 바꾸어 써요.
점의 좌표 $(a,\ b)$ 가 주어졌을 때 $t=a$ 를 그대로 넣어요.
$\dfrac{dy}{dt}$ 만 구하고 $\dfrac{dx}{dt}$ 로 나누지 않아요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
$x=3t-1$ , $y=t^2+2t$ 로 나타낸 함수에서 $\dfrac{dy}{dx}$ 를 $t$ 에 대한 식으로 나타내시오.
예제 2
$x=2\cos t$ , $y=3\sin t$ 로 나타낸 곡선에서 $t=\dfrac{\pi}{6}$ 에 대응하는 점에서의 $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값을 구하시오.
예제 3
$x=t^2-2t$ , $y=t^3+t$ 로 나타낸 곡선 위의 점 $(3,\ -2)$ 에서의 $\dfrac{dy}{dx}$ 의 값을 구하시오.

다음 공부

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