수학 개념 노트전체 과목

음함수와 역함수의 미분

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
f(x, y)=0f(x,\ y)=0 꼴의 음함수는 yy 를 xx 의 함수로 보고 양변을 xx 에 대하여 미분하여 dydx\dfrac{dy}{dx} 를 구해요. 역함수의 도함수는 dydx=1dx/dy\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy} 이고, b=f(a)b=f(a) 이면 (f−1)′(b)=1f′(a)(f^{-1})'(b)=\dfrac{1}{f'(a)} 이에요.
  1. 1음함수의 미분법
  2. 2역함수의 미분법
  3. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1음함수의 미분법

정의음함수
xx 의 함수 yy 가 x2+y2−25=0x^2+y^2-25=0 처럼 f(x, y)=0f(x,\ y)=0 꼴로 주어질 때, 이것을 xx 에 대한 yy 의 음함수 표현이라 한다.
y=f(x)y=f(x) 꼴로 풀어 쓰기 어렵거나, 풀면 식이 둘 이상으로 나뉘는 경우가 많다. 예: y=25−x2y=\sqrt{25-x^2} 과 y=−25−x2y=-\sqrt{25-x^2}
학생
x2+y2=25x^2+y^2=25 처럼 yy 를 풀기 어려운 식은 어떻게 미분해요?
쌤
yy 를 풀지 않아도 돼요. yy 를 xx 의 함수로 보고 양변을 그대로 xx 에 대하여 미분해요.
yy 가 들어간 항에는 속미분 dydx\dfrac{dy}{dx} 가 붙어요.
공식yy 가 들어간 항을 xx 에 대하여 미분하기
yny^n
ddx(yn)=nyn−1dydx\displaystyle \frac{d}{dx}(y^n)=ny^{n-1}\frac{dy}{dx}
xyxy
ddx(xy)=y+xdydx\displaystyle \frac{d}{dx}(xy)=y+x\frac{dy}{dx}
곱의 미분법
eye^y
ddx(ey)=eydydx\displaystyle \frac{d}{dx}(e^y)=e^y\frac{dy}{dx}
sin⁡y\sin y
ddx(sin⁡y)=cos⁡y dydx\displaystyle \frac{d}{dx}(\sin y)=\cos y\,\frac{dy}{dx}
틀
ddx{f(y)}=f′(y)⋅dydx\displaystyle \frac{d}{dx}\{f(y)\}=f'(y)\cdot\frac{dy}{dx}
yy 로 미분한 뒤 dydx\dfrac{dy}{dx} 를 곱한다.
x2+y2=25x^2+y^2=25 위의 점 (3, 4)(3,\ 4) 에서의 dydx\dfrac{dy}{dx}
2x+2ydydx=02x+2y\dfrac{dy}{dx}=0
↳양변을 xx 에 대하여 미분
dydx=−xy\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x}{y}
↳y≠0y\ne0
dydx=−34\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}
↳x=3x=3, y=4y=4 넣기
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+y2=10x^2+y^2=10 위의 점 (1, 3)(1,\ 3) 에서 dydx\dfrac{dy}{dx} 의 값은?
y2y^2 의 미분
✗ 틀린 풀이
ddx(y2)=2y\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y
왜 틀렸나 yy 는 xx 의 함수이므로 y2y^2 을 xx 로 미분할 때 속미분 dydx\dfrac{dy}{dx} 를 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
ddx(y2)=2ydydx\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}
확인: y=x3y=x^3 이면 y2=x6y^2=x^6 이고 (x6)′=6x5=2y⋅3x2(x^6)'=6x^5=2y\cdot3x^2 이다.
xyxy 의 미분
✗ 틀린 풀이
ddx(xy)=dydx\dfrac{d}{dx}(xy)=\dfrac{dy}{dx}
왜 틀렸나 xyxy 는 xx 와 yy 의 곱이므로 곱의 미분법으로 두 항을 모두 써야 한다.
✓ 바른 풀이
ddx(xy)=1⋅y+xdydx\dfrac{d}{dx}(xy)=1\cdot y+x\dfrac{dy}{dx}
확인: y=x2y=x^2 이면 xy=x3xy=x^3 이고 (x3)′=3x2=y+x⋅2x(x^3)'=3x^2=y+x\cdot2x 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2틀리기 쉬운 곳

yy 를 풀지 않고 미분하려면 yy 를 xx 의 함수로 보고 양변을 xx 에 대하여 미분해요.
이때 yy 가 들어간 항은 합성함수의 미분법을 써요. y2y^2 은 겉함수 u2u^2, 속함수 yy 이므로
ddx(y2)=2y⋅dydx\displaystyle \frac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot\frac{dy}{dx}
xyxy 같은 곱은 곱의 미분법을 함께 써요.

음함수의 미분 순서
  1. 1
    양변의 각 항을 xx 에 대하여 미분해요.
    yy 가 들어간 항에는 dydx\dfrac{dy}{dx} 가 붙어요.
  2. 2
    dydx\dfrac{dy}{dx} 가 있는 항을 한쪽으로, 나머지를 다른 쪽으로 모아요.
  3. 3
    dydx\dfrac{dy}{dx} 의 계수로 나눠요.
    결과는 보통 xx, yy 에 대한 식이에요.
  4. 4
    점 (a, b)(a,\ b) 에서의 기울기는 x=ax=a, y=by=b 를 함께 넣어요.
    먼저 그 점이 곡선 위에 있는지 확인해요.
응용
x2−xy+y2=3x^2-xy+y^2=3 위의 점 (−1, 1)(-1,\ 1)
2x−(y+xdydx)+2ydydx=02x-\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)+2y\dfrac{dy}{dx}=0
↳xyxy 는 곱의 미분법
(2y−x)dydx=y−2x(2y-x)\dfrac{dy}{dx}=y-2x
↳dydx\frac{dy}{dx} 끼리 모으기
dydx=y−2x2y−x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y-2x}{2y-x}
dydx=33=1\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3}{3}=1
↳x=−1x=-1, y=1y=1 넣기
응용
x3+y3=9x^3+y^3=9 위의 점 (1, 2)(1,\ 2)
3x2+3y2dydx=03x^2+3y^2\dfrac{dy}{dx}=0
dydx=−x2y2=−14\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{x^2}{y^2}=-\dfrac{1}{4}
↳x=1x=1, y=2y=2 넣기
⚠ 주의검산
yy 에 대하여 풀 수 있으면 풀어서 미분한 결과와 비교해요.
예: 점 (3, 4)(3,\ 4) 는 위쪽 반원 y=25−x2y=\sqrt{25-x^2} 위에 있어요.
y′=−x25−x2y'=-\dfrac{x}{\sqrt{25-x^2}} 이므로 x=3x=3 에서 −34-\dfrac{3}{4} 로 같아요.

2역함수의 미분법

성질역함수의 미분법
dydx=1dxdy(dxdy≠0)\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}\quad\left(\frac{dx}{dy}\ne0\right)함수 f(x)f(x) 의 역함수를 g(x)g(x) 라 할 때, f(a)=bf(a)=b 이고 f′(a)≠0f'(a)\ne0 이면g′(b)=1f′(a)g'(b)=\frac{1}{f'(a)}역함수의 미분계수는 원래 함수의 대응하는 점에서의 미분계수의 역수이다.
학생
왜 역함수는 미분계수가 역수가 돼요?
쌤
두 그래프가 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이라 xx 와 yy 의 자리가 바뀌어요. 그래서 기울기 dydx\dfrac{dy}{dx} 도 dxdy\dfrac{dx}{dy} 로 뒤집혀 역수가 돼요.
g=f−1g=f^{-1} 일 때 g′(b)g'(b) 구하기
  1. 1
    f(a)=bf(a)=b 인 aa 를 구해요(삼차식이면 인수정리로 풀어요).
    g(b)=ag(b)=a 이에요. 역함수에서는 xx 와 yy 의 자리가 바뀌어요.
  2. 2
    f′(a)f'(a) 를 구해요.
  3. 3
    g′(b)=1f′(a)g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}
f(x)=x3+x+1f(x)=x^3+x+1 의 역함수를 g(x)g(x) 라 할 때 g′(3)g'(3)
a3+a−2=0a^3+a-2=0
↳f(a)=3f(a)=3
(a−1)(a2+a+2)=0, a=1(a-1)(a^2+a+2)=0,\ a=1
↳a2+a+2>0a^2+a+2>0 이므로 a=1a=1 뿐
f′(x)=3x2+1, f′(1)=4f'(x)=3x^2+1,\ f'(1)=4
g′(3)=1f′(1)=14g'(3)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3+2f(x)=x^3+2 의 역함수를 g(x)g(x) 라 할 때 g′(10)g'(10) 의 값은?
g′(3)g'(3) 에 넣는 값
✗ 틀린 풀이
f(x)=x3+x+1f(x)=x^3+x+1 의 역함수 gg 에서 g′(3)=1f′(3)=128g'(3)=\dfrac{1}{f'(3)}=\dfrac{1}{28}
왜 틀렸나 g′(b)=1f′(a)g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)} 의 aa 는 f(a)=bf(a)=b 를 만족하는 값이므로 f(a)=3f(a)=3 인 aa 를 먼저 찾는다.
✓ 바른 풀이
f(1)=3f(1)=3 이므로 g′(3)=1f′(1)=14g'(3)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}
계산: f(1)=1+1+1=3f(1)=1+1+1=3 이므로 a=1a=1 이고, f′(x)=3x2+1f'(x)=3x^2+1 에서 f′(1)=4f'(1)=4 이다.
자세히 보기펼치기예제 4성질 더 보기그림
왜 그런가
y=f−1(x)  ⟺  x=f(y)y=f^{-1}(x)\iff x=f(y)
↳역함수의 뜻
1=f′(y)⋅dydx1=f'(y)\cdot\dfrac{dy}{dx}
↳f(y)f(y) 는 합성함수의 미분법으로
dydx=1f′(y)\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{f'(y)}
↳f′(y)≠0f'(y)\ne0
조립제법
a3+a−2a^3+a-2 를 a−1a-1 로 나누기
11
11
00
11
−2-2
11
11
22
11
11
22
00
몫 x2+x+2x^{2}+x+2나머지 00
빠진 a2a^2 의 자리에 00 을 써요. 몫은 a2+a+2a^2+a+2, 나머지는 00 이에요.
예응용
y=ln⁡xy=\ln x 의 도함수
y=ln⁡xy=\ln x 이면 x=eyx=e^y
dxdy=ey=x\dfrac{dx}{dy}=e^y=x
dydx=1dx/dy=1x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{dx/dy}=\dfrac{1}{x}
지수함수의 도함수에서 로그함수의 도함수를 다시 얻어요.
응용
y=xy=\sqrt{x} (x>0x>0) 의 도함수
x=y2 (y>0)x=y^2\ (y>0)
↳xx 를 yy 로
dxdy=2y\dfrac{dx}{dy}=2y
dydx=12y=12x\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{2y}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}
↳역수
성질그래프로 보기
y=f(x)y=f(x) 의 그래프와 y=g(x)y=g(x) 의 그래프는 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이다.
점 (a, b)(a,\ b) 에서의 접선을 직선 y=xy=x 에 대하여 대칭이동하면 점 (b, a)(b,\ a) 에서 y=g(x)y=g(x) 에 접하는 직선이 된다.
대칭이동하면 xx 와 yy 가 바뀌므로 기울기 mm 이 1m\dfrac{1}{m} 으로 바뀐다.
예: f(x)=2x+1f(x)=2x+1 의 역함수 g(x)=x−12g(x)=\dfrac{x-1}{2} 의 기울기 12\dfrac{1}{2} 은 22 의 역수이다.
이 성질로 역함수 그래프의 접선을 구한다.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
ddx(y2)=2y⋅□\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\cdot\square
단계 1 / 2
dydx=1□\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\square}
단계 1 / 2
g′(b)=1f′(□)g'(b)=\dfrac{1}{f'(\square)}
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1음함수 f(x, y)=0f(x,\ y)=0 의 미분: yy 를 xx 의 함수로 보고 양변을 xx 에 대하여 미분한 뒤 dydx\dfrac{dy}{dx} 에 대하여 정리한다.
  2. 2yy 가 들어간 항은 합성함수의 미분법으로 미분한다. 예: ddx(y2)=2ydydx\dfrac{d}{dx}(y^2)=2y\dfrac{dy}{dx}
  3. 3역함수의 미분법: dydx=1dxdy\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{1}{\frac{dx}{dy}} (단, dxdy≠0\dfrac{dx}{dy}\ne0)
  4. 4gg 가 ff 의 역함수이고 f(a)=bf(a)=b 이면 g′(b)=1f′(a)g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}
✗ 자주 하는 실수
  • 음함수를 미분할 때 y2y^2 을 2y2y 로 미분하여 dydx\dfrac{dy}{dx} 를 빠뜨려요.
  • xyxy 를 미분할 때 곱의 미분법을 쓰지 않고 dydx\dfrac{dy}{dx} 만 남겨요.
  • f(a)=bf(a)=b 일 때 (f−1)′(b)(f^{-1})'(b) 를 1f′(b)\dfrac{1}{f'(b)} 로 계산해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    곡선 y2=4xy^2=4x 위의 점 (1, −2)(1,\ -2) 에서의 dydx\dfrac{dy}{dx} 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    곡선 x2+3xy+y2=5x^2+3xy+y^2=5 위의 점 (1, 1)(1,\ 1) 에서의 dydx\dfrac{dy}{dx} 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=x3+2x−1f(x)=x^3+2x-1 의 역함수를 g(x)g(x) 라 할 때, g′(2)g'(2) 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 여러 가지 곡선의 접선 →
이전 개념: 합성함수의 미분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 역함수, 미적분Ⅰ 도함수, 공통수학1 인수정리와 조립제법, 대수 로그의 뜻과 성질, 공통수학2 대칭이동미적분Ⅱ 목차
← 매개변수로 나타낸 함수의 미분여러 가지 곡선의 접선 →
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