함수의 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

이계도함수

f''(x)

의 부호로 곡선의 오목·볼록과 변곡점을 알 수 있고,

f'(a)=0

일 때

f''(a)

의 부호로 극대·극소를 판정할 수 있어요. 증가·감소, 오목·볼록, 점근선을 모아 함수의 그래프를 그리고 최댓값·최솟값을 구해요.

1이계도함수
2곡선의 오목과 볼록
3변곡점
4이계도함수를 이용한 극값의 판정
5함수의 그래프 그리기
6최대·최소
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (4개 · 핵심 용어 가리기)

1이계도함수

정의이계도함수

함수

f(x)

의 도함수

f'(x)

가 미분가능할 때,

f'(x)

의 도함수를

f(x)

의 이계도함수 라 한다.
기호로 다음과 같이 나타낸다.

f''(x),\quad y'',\quad \dfrac{d^2y}{dx^2},\quad \dfrac{d^2}{dx^2}f(x)

학생

이계도함수는 새 공식을 배워야 해요?

쌤

아니요. 도함수를 한 번 더 미분하면 돼요. 곱·몫·합성함수의 미분법을 두 번 쓰는 거예요.

이계도함수 구하기

f'(x)=3x^2-6x,\quad f''(x)=6x-6

↳◀

f(x)=x^3-3x^2+2

f'(x)=e^x+xe^x=(x+1)e^x

↳◀

f(x)=xe^x

: 곱의 미분법

f''(x)=e^x+(x+1)e^x=(x+2)e^x

↳◀다시 곱의 미분법

f'(x)=2\cos2x,\quad f''(x)=-4\sin2x

↳◀

f(x)=\sin2x

: 속미분을 두 번

g'(x)=\dfrac{1}{x},\quad g''(x)=-\dfrac{1}{x^2}

↳◀

g(x)=\ln x

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f(x)=\sin3x

일 때

f''(x)

는?

속미분을 두 번 곱한다

✗ 틀린 풀이

(e^{3x})''=3e^{3x}

왜 틀렸나 합성함수는 한 번 미분할 때마다 속미분

3

이 곱해지므로 두 번 미분하면

3^2

이 곱해진다.

✓ 바른 풀이

(e^{3x})'=3e^{3x}

(e^{3x})''=9e^{3x}

기억 요령:

e^{kx}

을

n

번 미분하면

k^ne^{kx}

이다.

자세히 보기펼치기왜 그런지

이계도함수는 새로운 공식이 필요 없어요. 미분법(곱의 미분법, 몫의 미분법, 합성함수의 미분법)을 두 번 쓰면 돼요.

2곡선의 오목과 볼록

정의아래로 볼록, 위로 볼록

어떤 구간에서 곡선

y=f(x)

위의 임의의 두 점 P, Q 사이의 곡선 부분이 항상 선분 PQ 보다 아래쪽에 있으면, 곡선은 그 구간에서 아래로 볼록 하다고 한다.
두 점 사이의 곡선 부분이 항상 선분 PQ 보다 위쪽에 있으면, 곡선은 그 구간에서 위로 볼록하다고 한다.

성질이계도함수의 부호와 오목·볼록

함수

f(x)

가 이계도함수를 갖는 구간에서

f''(x)>0

이면 곡선

y=f(x)

는 그 구간에서 아래로 볼록하다.

f''(x)<0

이면 곡선

y=f(x)

는 그 구간에서 위로 볼록하다.

학생

왜

f''(x)>0

이면 아래로 볼록해요?

쌤

f''(x)>0

이면

f'(x)

, 즉 접선의 기울기가 점점 커져요. 기울기가 커지면서 휘는 곡선은 아래로 볼록한 모양이에요.

곡선

y=x^3-3x^2+2

의 오목·볼록

$x$	$\cdots$	$1$	$\cdots$
$y''$	$-$	0	$+$
모양

y''=6x-6=6(x-1)

x<1

에서 위로 볼록,

x>1

에서 아래로 볼록해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

곡선

y=x^3-6x^2

이 아래로 볼록한 구간은?

증가·감소와 섞지 않는다

✗ 틀린 풀이

f''(x)>0

인 구간에서

f(x)

는 증가한다.

왜 틀렸나

f''(x)

의 부호는 곡선의 오목·볼록을 알려 주고, 증가·감소는

f'(x)

의 부호로 정한다.

✓ 바른 풀이

f''(x)>0

인 구간에서 곡선

y=f(x)

는 아래로 볼록하다.
증가·감소는

f'(x)

의 부호로 정한다.

확인:

f(x)=x^2

은

f''(x)=2>0

이어서 아래로 볼록하지만,

x<0

에서는 감소한다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가?
$f''(x)>0$ 이면 $f'(x)$ 가 증가해요. 즉 오른쪽으로 갈수록 접선의 기울기가 커져요.
기울기가 점점 커지는 곡선은 위로 휘어 올라가므로 아래로 볼록해요.
$f''(x)<0$ 이면 접선의 기울기가 점점 작아지므로 위로 볼록해요.

응용

y=e^{x}

와

y=\ln x

(e^{x})''=e^{x}>0

↳◀실수 전체에서 아래로 볼록

(\ln x)''=-\dfrac{1}{x^2}<0

↳◀

x>0

에서 위로 볼록

3변곡점

정의변곡점

곡선

y=f(x)

위의 점

\mathrm{P}(a,\ f(a))

의 좌우에서 곡선의 볼록한 방향이 바뀔 때, 점 P 를 곡선의 변곡점이라 한다.

성질변곡점 찾기

함수

f(x)

에서

f''(a)=0

이고

x=a

의 좌우에서

f''(x)

의 부호가 바뀌면 점

(a,\ f(a))

는 곡선

y=f(x)

의 변곡점이다.

학생

그럼

f''(a)=0

이기만 하면 변곡점이에요?

쌤

그것만으로는 부족해요. 그 점의 좌우에서

f''(x)

의 부호가 바뀌어야, 즉 볼록한 방향이 실제로 바뀌어야 변곡점이에요.

곡선

y=x^4-4x^3

의 변곡점

$x$	$\cdots$	$0$	$\cdots$	$2$	$\cdots$
$y''$	$+$	0	$-$	0	$+$
모양		변곡점 $0$		변곡점 $-16$

$y''$ $12x^2-24x=12x(x-2)$
$y''=0$ 인 $x=0,\ 2$ 의 좌우에서 부호가 바뀌어요.

두 점에서 모두 부호가 바뀌므로 변곡점은

(0,\ 0)

(2,\ -16)

f''(a)=0

이라고 모두 변곡점은 아니다

✗ 틀린 풀이

f(x)=x^4

에서

f''(0)=0

이므로 원점은 변곡점이다.

왜 틀렸나 변곡점이 되기 위해서는

f''(a)=0

일 뿐 아니라

x=a

의 좌우에서

f''(x)

의 부호가 바뀌어야 한다.

✓ 바른 풀이

f''(x)=12x^2\ge0

이므로

x=0

의 좌우에서

f''(x)

의 부호가 바뀌지 않는다.
따라서 원점은 변곡점이 아니다.

확인: 곡선

y=x^4

은 원점의 왼쪽과 오른쪽에서 모두 아래로 볼록하다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

곡선

y=x^3-3x^2+1

의 변곡점은?

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

변곡점을 구하는 순서

1
$f''(x)$ 를 구해요.
2
$f''(x)=0$ 인 $x$ 의 값을 구해요.
3
그 값의 좌우에서 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌는지 확인해요.
$f''(x)$ 를 인수분해하거나, 항상 양수인 인수( $e^{x}$ , $x^2+1$ 등)를 떼어 내면 부호를 보기 쉬워요.
4
부호가 바뀌는 $x=a$ 에 대하여 점 $(a,\ f(a))$ 가 변곡점이에요.
변곡점은 점이므로 좌표로 답해요.

응용

곡선

y=xe^{x}

의 변곡점

y''=(x+2)e^{x}

↳◀

e^x>0

이라 부호는

x+2

를 따라요

x=-2:\ y=-2e^{-2}

↳◀좌우에서 부호가 바뀌어요

\left(-2,\ -\dfrac{2}{e^{2}}\right)

↳◀변곡점

4이계도함수를 이용한 극값의 판정

성질극대·극소의 판정

이계도함수를 갖는 함수

f(x)

에서

f'(a)=0

일 때

f''(a)<0

이면

f(x)

는

x=a

에서 극대이다.

f''(a)>0

이면

f(x)

는

x=a

에서 극소이다.

학생

왜

f''(a)

의 부호만 보면 극대·극소를 알 수 있어요?

쌤

f''(a)>0

이면 그 근처에서 곡선이 아래로 볼록해서

x=a

가 바닥이 되니 극소예요.

f''(a)<0

이면 위로 볼록한 곡선의 꼭대기라 극대예요.

f(x)=x^3-3x

의 극값

f'(x)=3(x+1)(x-1)=0

↳◀

x=-1,\ 1

f''(x)=6x

f''(-1)=-6<0

↳◀극대:

f(-1)=2

f''(1)=6>0

↳◀극소:

f(1)=-2

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f'(2)=0

f''(2)=-3

일 때

f(x)

는

x=2

에서?

⚠ 주의

f''(a)=0

이면 이 방법으로 판정할 수 없다

f(x)=x^4

과

f(x)=x^3

은 모두

f'(0)=0

f''(0)=0

이에요.
그런데

x^4

은

x=0

에서 극소이고,

x^3

은

x=0

에서 극값을 갖지 않아요.
이때는

f'(x)

의 부호가 바뀌는지 직접 조사해요.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가?( $f''(x)$ 가 연속인 경우)
$f''(a)>0$ 이면 $x=a$ 근처에서 $f''(x)>0$ 이므로 $f'(x)$ 는 증가해요.
$f'(a)=0$ 이므로 $f'(x)$ 는 $x=a$ 의 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수예요.
따라서 $f(x)$ 는 감소하다가 증가하여 $x=a$ 에서 극소예요.
$f''(a)<0$ 인 경우도 같은 방법으로 극대임을 알 수 있어요.

응용

0<x<2\pi

에서

f(x)=x-2\sin x

의 극값

f'(x)=1-2\cos x=0

↳◀

\cos x=\frac{1}{2}

x=\dfrac{\pi}{3}\ \text{또는}\ x=\dfrac{5}{3}\pi

f''(x)=2\sin x

f''\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3}>0

↳◀극솟값

\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}

f''\left(\tfrac{5}{3}\pi\right)=-\sqrt{3}<0

↳◀극댓값

\frac{5}{3}\pi+\sqrt{3}

5함수의 그래프 그리기

함수의 그래프를 그리는 순서

1
정의역을 구하고, 대칭성과 좌표축과의 교점을 조사해요.
2
$f'(x)$ 의 부호로 증가·감소와 극값을 조사해요.
3
$f''(x)$ 의 부호로 오목·볼록과 변곡점을 조사해요.
4
$x\to\infty$ , $x\to-\infty$ 일 때와 정의되지 않는 점 근처에서의 극한으로 점근선을 조사해요.
$\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=b$ 이면 직선 $y=b$ 가 점근선이고, $\lim\limits_{x\to a+}f(x)=\pm\infty$ 이면 직선 $x=a$ 가 점근선이에요.
5
위의 내용을 한 표에 모아 그래프를 그려요.

학생

왜

f'(x)

와

f''(x)

를 둘 다 조사해요?

쌤

f'(x)

는 올라가는지 내려가는지를,

f''(x)

는 어느 쪽으로 휘는지를 알려 줘요. 둘을 한 표에 모아야 그래프의 모양이 정해져요.

아래 표에서 $\cup$ 는 아래로 볼록, $\cap$ 은 위로 볼록을 나타내요.

y=xe^{x}

의 증감·오목볼록표

$x$	$\cdots$	$-2$	$\cdots$	$-1$	$\cdots$
$f'(x)$	$-$	$-$	$-$	0	$+$
$f''(x)$	$-$	0	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	↘	변곡점 $-\frac{2}{e^{2}}$	↘	극소 $-\frac{1}{e}$	↗
모양

$y'$ $(x+1)e^{x}$
$y''$ $(x+2)e^{x}$
$e^x>0$ 이라 부호는 $x+1$ , $x+2$ 를 따라요.

\lim\limits_{x\to\infty}xe^{x}=\infty

\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{x}=0

이므로

x

축이 점근선이에요.
(

x\to-\infty

일 때

e^{x}

가 훨씬 빠르게

0

에 가까워져요.)

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

f'(x)>0

f''(x)<0

인 구간에서 곡선

y=f(x)

는?

자세히 보기펼치기그림틀리기 쉬운 곳

응용

y=\dfrac{\ln x}{x}

(정의역

x>0

) 의 증감·오목볼록표

$x$	$\cdots$	$e$	$\cdots$	$e^{\frac{3}{2}}$	$\cdots$
$f'(x)$	$+$	0	$-$	$-$	$-$
$f''(x)$	$-$	$-$	$-$	0	$+$
$f(x)$	↗	극대 $\frac{1}{e}$	↘	변곡점	↘
모양

$y'$ $\dfrac{1-\ln x}{x^2}$ , $x=e$ 에서 $0$
$y''$ $\dfrac{2\ln x-3}{x^3}$ , $x=e^{\frac{3}{2}}$ 에서 $0$

변곡점은

\left(e^{\frac{3}{2}},\ \dfrac{3}{2e^{\frac{3}{2}}}\right)

\lim\limits_{x\to0+}\dfrac{\ln x}{x}=-\infty

라

y

축이,

\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0

이라

x

축이 점근선이에요.

삼각함수가 섞인 꼴

0\le x\le2\pi

에서

y=x+\sin x

$x$	$0$	$\cdots$	$\pi$	$\cdots$	$2\pi$
$f'(x)$	$+$	$+$	0	$+$	$+$
$f''(x)$	0	$-$	0	$+$	0
$f(x)$	$0$	↗	변곡점 $\pi$	↗	$2\pi$
모양

y'=1+\cos x\ge0

이라 계속 증가하고,

x=\pi

에서

y'=0

이지만 부호가 바뀌지 않아 극값이 없어요.

y''=-\sin x

의 부호가

x=\pi

에서 바뀌므로 변곡점은

(\pi,\ \pi)

⚠ 주의검산

① 극댓값이 이웃한 극솟값보다 큰지 확인해요.
② 변곡점은 이웃한 두 극점 사이에 있는지(또는 한쪽 바깥에 있는지) 증감표와 맞추어 봐요.
③ 점근선 쪽으로 그래프가 실제로 다가가는지 큰

|x|

를 하나 넣어 확인해요.
예:

x=-10

이면

xe^{x}=-10e^{-10}

은

0

에 매우 가까운 음수예요.

6최대·최소

성질최댓값·최솟값 구하기

닫힌구간

[a,\ b]

에서 연속인 함수는 구간 안의 극값과 양 끝 값

f(a)

f(b)

중 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
지수함수·로그함수·삼각함수가 섞인 함수에서도 방법은 같다.

학생

극값만 비교하면 안 돼요?

쌤

안 돼요. 닫힌구간에서는 양 끝 값이 극값보다 클 수도, 작을 수도 있어요. 그래서 양 끝 값까지 모두 비교해요.

0\le x\le\pi

에서

f(x)=x+2\cos x

의 최댓값과 최솟값

f'(x)=1-2\sin x=0

↳◀

\sin x=\frac{1}{2}

x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5}{6}\pi

f(0)=2,\quad f(\pi)=\pi-2

↳◀양 끝 값

f\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\pi}{6}+\sqrt{3}

↳◀최댓값 (

\approx2.26

)

f\left(\tfrac{5}{6}\pi\right)=\dfrac{5}{6}\pi-\sqrt{3}

↳◀최솟값 (

\approx0.89

)

\pi\approx3.14

\sqrt{3}\approx1.73

으로 네 값을 비교해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

닫힌구간

[0,\ 2]

에서

f(x)=e^{x}-x

의 최솟값은?

자세히 보기펼치기성질 더 보기

성질극값이 하나뿐일 때

어떤 구간에서 연속인 함수가 극값을 하나만 가지면, 그 극댓값은 그 구간에서의 최댓값이고 그 극솟값은 그 구간에서의 최솟값이다.
예:

f(x)=xe^{-x}

은

f'(x)=(1-x)e^{-x}

이므로

x=1

에서만 극대이다.
따라서 실수 전체에서 최댓값은

f(1)=\dfrac{1}{e}

이다.

\lim\limits_{x\to-\infty}xe^{-x}=-\infty

이므로 최솟값은 없다.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1이계도함수 $f''(x)$ 는 도함수 $f'(x)$ 를 한 번 더 미분한 함수이다.
2 $f''(x)>0$ 인 구간에서 곡선 $y=f(x)$ 는 아래로 볼록하고, $f''(x)<0$ 인 구간에서 위로 볼록하다.
3 $f''(a)=0$ 이고 $x=a$ 의 좌우에서 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌면 점 $(a,\ f(a))$ 는 변곡점이다.
4 $f'(a)=0$ 일 때 $f''(a)<0$ 이면 극대, $f''(a)>0$ 이면 극소이다. 그래프는 증가·감소, 오목·볼록, 점근선을 모아 그린다.

✗ 자주 하는 실수

$f''(a)=0$ 이기만 하면 점 $(a,\ f(a))$ 를 변곡점이라고 해요. $f(x)=x^4$ 처럼 $f''(x)$ 의 부호가 바뀌지 않으면 변곡점이 아니에요.
$f''(x)>0$ 을 「증가한다」로 읽어요. 증가·감소는 $f'(x)$ , 오목·볼록은 $f''(x)$ 의 부호로 정해요.
$f'(a)=0$ , $f''(a)=0$ 일 때 극값이 없다고 단정하거나, 변곡점을 좌표가 아닌 $x$ 의 값만으로 답해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
곡선 $y=x^4-6x^2$ 이 아래로 볼록한 구간과 위로 볼록한 구간을 구하고, 변곡점의 좌표를 구하시오.
예제 2
함수 $f(x)=xe^{-x}$ 의 극값을 이계도함수를 이용하여 구하고, 곡선 $y=f(x)$ 의 변곡점의 좌표를 구하시오.
예제 3
닫힌구간 $[1,\ e^{2}]$ 에서 함수 $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 방정식과 부등식에의 활용 →

이전 개념: 합성함수의 미분설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 유리식과 유리함수, 미적분Ⅰ 도함수, 미적분Ⅰ 함수의 증가와 감소, 미적분Ⅰ 함수의 극대와 극소, 미적분Ⅰ 함수의 그래프와 최대·최소미적분Ⅱ 목차

← 여러 가지 곡선의 접선 방정식과 부등식에의 활용 →

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