수학 개념 노트전체 과목

최대·최소 정리와 사잇값 정리

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속인 함수는 반드시 최댓값과 최솟값을 가져요(최대·최소 정리). 또 f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b) 이면 f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 사이의 모든 값을 (a, b)(a,\ b) 에서 적어도 한 번 가져요(사잇값 정리). 따라서 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 이면 방정식 f(x)=0f(x)=0 은 (a, b)(a,\ b) 에서 적어도 하나의 실근을 가져요.
  1. 1최대·최소 정리
  2. 2사잇값 정리
  3. 3방정식의 실근의 존재
  4. 4실근이 존재하는 구간 찾기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1최대·최소 정리

성질최대·최소 정리
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이면 f(x)f(x) 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
학생
최댓값은 꼭 그래프가 꺾이는 곳에서 나와요?
쌤
아니요. x2−2xx^2-2x 는 끝점 x=3x=3 에서 최댓값 33 이 나와요.
끝점과 구간 안의 점을 모두 후보로 봐야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
닫힌구간 [−1, 2][-1,\ 2] 에서 f(x)=x2f(x)=x^2 의 최댓값은?
열린구간에서의 최댓값
✗ 틀린 풀이
열린구간 (0, 1)(0,\ 1) 에서 y=xy=x 의 최댓값은 11 이다.
왜 틀렸나 최댓값은 구간 안의 xx 에서 실제로 나오는 함숫값이어야 하는데, 열린구간은 끝점을 포함하지 않는다.
✓ 바른 풀이
열린구간 (0, 1)(0,\ 1) 에서 y=xy=x 의 최댓값은 없다.
(0, 1)(0,\ 1) 에서 y=xy=x 는 11 에 한없이 가까워지지만 11 이 되지는 않으므로 가장 큰 값이 없다.
닫힌구간 [0, 1][0,\ 1] 이면 최댓값 11 이 있다.
⚠ 주의두 조건 중 하나라도 없으면 보장되지 않는다
① 닫힌구간이 아닌 경우
열린구간 (0, 1)(0,\ 1) 에서 y=xy=x 는 11 과 00 에 한없이 가까워지지만, x=0x=0, x=1x=1 이 구간에 없으므로 최댓값도 최솟값도 없어요.
구간 (0, 1](0,\ 1] 에서 y=1xy=\dfrac{1}{x} 은 최솟값 11 은 있지만, x→0+x\to0+ 일 때 한없이 커지므로 최댓값은 없어요.
② 연속이 아닌 경우
아래 그래프처럼 끊어진 곳이 있으면 최댓값이 없을 수 있어요.
자세히 보기펼치기그림왜 그런지

정리의 조건을 만족하지 않는다고 해서 최댓값·최솟값이 항상 없는 것은 아니에요.
예: 열린구간 (−1, 1)(-1,\ 1) 에서 y=x2y=x^2 은 최솟값 00 을 가져요.
조건을 만족하면 「반드시 있다」는 것을 보장할 뿐이에요.

구간의 양 끝을 포함하고 끊어지지 않은 그래프에는 가장 높은 점과 가장 낮은 점이 반드시 있다는 뜻이에요.
최댓값·최솟값은 구간의 끝점에서 나올 수도 있고, 구간 안의 점에서 나올 수도 있어요.
이 정리는 평균값 정리를 보이는 데 쓰여요.

2사잇값 정리

성질사잇값 정리
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b) 이면, f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 사이의 임의의 값 kk 에 대하여f(c)=kf(c)=k인 cc 가 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 존재한다.
이것을 사잇값 정리 라 한다.
학생
f(c)=kf(c)=k 인 cc 는 하나만 있어요?
쌤
「적어도 하나」라서 여러 개일 수도 있어요.
사잇값 정리는 cc 가 있다는 것만 알려 주고, cc 의 값은 f(c)=kf(c)=k 를 풀어 구해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)f(x) 가 [1, 3][1,\ 3] 에서 연속이고 f(1)=2f(1)=2, f(3)=8f(3)=8 일 때, f(c)=kf(c)=k 인 cc 가 (1, 3)(1,\ 3) 에 반드시 있는 kk 는?
연속 조건을 빠뜨린 실수
✗ 틀린 풀이
f(x)={x(0≤x<1)x+1(1≤x≤2)f(x)=\begin{cases} x & (0\le x<1) \\ x+1 & (1\le x\le2) \end{cases} 에서 f(0)=0f(0)=0, f(2)=3f(2)=3 이므로
f(c)=32f(c)=\dfrac{3}{2} 인 cc 가 (0, 2)(0,\ 2) 에 있다.
왜 틀렸나 사잇값 정리는 닫힌구간 전체에서 연속일 때만 쓸 수 있으므로 불연속인 점이 있는지 먼저 본다.
✓ 바른 풀이
f(x)f(x) 는 x=1x=1 에서 불연속이므로 사잇값 정리를 쓸 수 없다.
실제로 0≤x<10\le x<1 이면 f(x)<1f(x)<1, 1≤x≤21\le x\le2 이면 f(x)≥2f(x)\ge2 이므로 f(c)=32f(c)=\dfrac{3}{2} 인 cc 는 없다.
그래프를 그려 보면 x=1x=1 에서 yy 의 값이 11 보다 작은 값에서 22 로 건너뛰므로 그 사이의 값을 지나지 않는다.
자세히 보기펼치기그림

3방정식의 실근의 존재

성질f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 이면 실근이 있다
함수 f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 이면, 방정식 f(x)=0f(x)=0 은 열린구간 (a, b)(a,\ b) 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
이유: f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 이면 f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 의 부호가 달라 00 이 그 사이의 값이다.
사잇값 정리에서 k=0k=0 으로 놓으면 f(c)=0f(c)=0 인 cc 가 (a, b)(a,\ b) 에 있다.
실근의 개수는 도함수를 이용해 정확히 셀 수 있다.
방정식 x3−3x+1=0x^3-3x+1=0
f(x)=x3−3x+1f(x)=x^3-3x+1
↳다항함수라 연속
f(0)=1>0f(0)=1>0
f(1)=1−3+1=−1<0f(1)=1-3+1=-1<0
f(0)f(1)<0f(0)f(1)<0
↳(0, 1)(0,\ 1) 에 실근이 있어요
학생
f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 이면 실근이 몇 개예요?
쌤
적어도 하나 있다는 것만 알 수 있어요.
정확한 개수는 그래프를 그려서 xx 축과 만나는 점을 세어야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
방정식 x3+x−3=0x^3+x-3=0 의 실근이 반드시 있는 구간은?
f(a)f(b)>0f(a)f(b)>0 이면 실근이 없다?
✗ 틀린 풀이
f(x)=x2−1f(x)=x^2-1 에서 f(−2)f(2)=9>0f(-2)f(2)=9>0 이므로 (−2, 2)(-2,\ 2) 에는 실근이 없다.
왜 틀렸나 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 은 실근이 있음을 보장하는 조건일 뿐이고, 곱이 양수일 때는 실근에 대해 알려 주지 않는다.
✓ 바른 풀이
f(−2)f(2)>0f(-2)f(2)>0 이어도 (−2, 2)(-2,\ 2) 에 실근 x=−1x=-1, x=1x=1 이 있다.
확인: y=x2−1y=x^2-1 의 그래프는 x=−1x=-1, x=1x=1 에서 xx 축과 만난다.
실근이 짝수 개이면 양 끝의 부호가 같을 수 있다.
연속인지 먼저 확인
✗ 틀린 풀이
f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} 에서 f(−1)f(1)=−1<0f(-1)f(1)=-1<0 이므로 방정식 1x=0\dfrac{1}{x}=0 은 (−1, 1)(-1,\ 1) 에서 실근을 갖는다.
왜 틀렸나 사잇값 정리를 쓰려면 먼저 닫힌구간 [−1, 1][-1,\ 1] 전체에서 함수가 연속인지 확인해야 한다.
✓ 바른 풀이
f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} 은 x=0x=0 에서 정의되지 않아 [−1, 1][-1,\ 1] 에서 연속이 아니다.
실제로 1x=0\dfrac{1}{x}=0 을 만족시키는 xx 는 없다.
y=1xy=\dfrac{1}{x} 의 그래프는 x=0x=0 에서 끊어져 xx 축과 만나지 않는다.
그래서 양 끝의 부호가 달라도 근이 없다.
자세히 보기펼치기예제
f(x)=g(x)f(x)=g(x) 꼴
방정식 x3=x+3x^3=x+3
h(x)=x3−x−3h(x)=x^3-x-3
↳한쪽으로 모으기
h(1)=−3<0,h(2)=3>0h(1)=-3<0,\quad h(2)=3>0
↳부호가 달라요
h(1)h(2)<0h(1)h(2)<0
↳(1, 2)(1,\ 2) 에 실근이 있어요

4실근이 존재하는 구간 찾기

실근이 있는 구간을 찾을 때는 정수 xx 에서 함숫값의 표를 만들어요.
부호가 바뀌는 이웃한 두 정수 사이에 실근이 적어도 하나 있어요.

실근이 존재하는 구간 찾기
  1. 1
    방정식을 f(x)=0f(x)=0 꼴로 정리해요.
    f(x)=g(x)f(x)=g(x) 이면 h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x)
  2. 2
    f(x)f(x) 가 연속인지 확인해요.
    다항함수는 항상 연속
  3. 3
    정수 xx 에서 함숫값의 표를 만들어요.
  4. 4
    부호가 바뀌는 이웃한 두 정수 nn, n+1n+1 을 찾으면 (n, n+1)(n,\ n+1) 에 실근이 있어요.
방정식 x3−2x2−x+1=0x^3-2x^2-x+1=0
f(x)f(x) 의 부호
xx−1-100112233
f(x)f(x)−1-111−1-1−1-177
부호−-++−-−-++
부호가 바뀌는 (−1, 0)(-1,\ 0), (0, 1)(0,\ 1), (2, 3)(2,\ 3) 에서 각각 적어도 하나의 실근을 가져요.
학생
부호가 바뀌는 곳이 세 군데면 실근도 세 개예요?
쌤
구간마다 적어도 하나씩이니 세 개 이상이에요.
삼차방정식은 실근이 많아야 33 개라서 이때는 정확히 세 개예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=x3−4x+1f(x)=x^3-4x+1 에서 f(0)=1f(0)=1, f(1)=−2f(1)=-2, f(2)=1f(2)=1 일 때 방정식 f(x)=0f(x)=0 의 실근이 반드시 있는 구간을 모두 구하면?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

삼차방정식의 실근은 많아야 33 개이므로 세 구간에 정확히 하나씩 있어요.

예실근이 주어진 구간에 있도록 상수 정하기
방정식 x2+kx−2=0x^2+kx-2=0 이 열린구간 (1, 2)(1,\ 2) 에서 실근을 갖도록 하는 kk 의 값의 범위를 구해요.
두 근의 곱이 −2<0-2<0 이므로 두 근의 부호가 달라 양수인 근은 하나뿐이에요.
x>0x>0 에서 f(x)=x2+kx−2f(x)=x^2+kx-2 는 그 근보다 작은 쪽에서 음수, 큰 쪽에서 양수이므로 조건은 f(1)<0<f(2)f(1)<0<f(2), 즉 f(1)f(2)<0f(1)f(2)<0 과 같아요.
f(1)=k−1,f(2)=2k+2f(1)=k-1,\quad f(2)=2k+2
↳양 끝 값
(k−1)(2k+2)<0(k-1)(2k+2)<0
↳f(1)f(2)<0f(1)f(2)<0
−1<k<1-1<k<1
↳이차부등식 풀기
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1최대·최소 정리: f(x)f(x) 가 닫힌구간 [a, b][a,\ b] 에서 연속이면 f(x)f(x) 는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.
  2. 2사잇값 정리: f(x)f(x) 가 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 f(a)≠f(b)f(a)\ne f(b) 이면, f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 사이의 임의의 값 kk 에 대하여 f(c)=kf(c)=k 인 cc 가 (a, b)(a,\ b) 에 적어도 하나 존재한다.
  3. 3f(x)f(x) 가 [a, b][a,\ b] 에서 연속이고 f(a)f(b)<0f(a)f(b)<0 이면 방정식 f(x)=0f(x)=0 은 (a, b)(a,\ b) 에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.
✗ 자주 하는 실수
  • 열린구간이나 불연속인 함수에도 최대·최소 정리, 사잇값 정리를 그대로 써요.
  • f(a)f(b)>0f(a)f(b)>0 이면 (a, b)(a,\ b) 에 실근이 없다고 판단해요.
  • 사잇값 정리의 cc 가 하나뿐이라고 생각하거나, f(a)f(a) 와 f(b)f(b) 사이 밖의 값도 갖는다고 생각해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    닫힌구간 [0, 3][0,\ 3] 에서 함수 f(x)=x2−4x+3f(x)=x^2-4x+3 의 최댓값과 최솟값을 구하시오.
  2. 예제 2
    방정식 x3+x−1=0x^3+x-1=0 이 열린구간 (0, 1)(0,\ 1) 에서 적어도 하나의 실근을 가짐을 보이시오.
  3. 예제 3
    방정식 x3−4x+1=0x^3-4x+1=0 의 실근이 존재하는 구간을 이웃한 두 정수 사이의 열린구간으로 모두 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 함수의 연속설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 이차함수의 최대·최소, 공통수학1 삼차방정식과 사차방정식, 공통수학1 근과 계수의 관계미적분Ⅰ 목차
← 함수의 연속평균변화율과 미분계수 →
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