수학 개념 노트전체 과목

일차함수와 그래프

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
일차함수 y=ax+by=ax+b (a≠0a\ne0) 의 그래프는 y=axy=ax 의 그래프를 yy 축의 방향으로 bb 만큼 평행이동한 직선이에요. 기울기 aa 는 xx 의 증가량에 대한 yy 의 증가량의 비율이고, yy 절편은 bb, xx 절편은 −ba-\frac{b}{a} 이며, 기울기가 같으면 평행하거나 일치해요.
  1. 1함수와 함숫값
  2. 2일차함수와 그 그래프
  3. 3xx 절편과 yy 절편
  4. 4일차함수의 그래프의 기울기
  5. 5일차함수의 그래프의 성질
  6. 6일차함수의 그래프의 평행과 일치
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1함수와 함숫값

정의함수
두 변수 xx, yy 에 대하여 xx 의 값이 변함에 따라 yy 의 값이 오직 하나씩 정해지는 대응 관계가 있을 때, yy 는 xx 의 함수 라 한다.
yy 가 xx 의 함수일 때 기호로 y=f(x)y=f(x) 와 같이 나타낸다.
한 개에 500500 원인 지우개 xx 개의 값 yy 원
xx
yy
11
22
33
500500
10001000
15001500
xx 의 값 하나에서 화살표가 꼭 하나씩 나가요. 그래서 yy 는 xx 의 함수이고, 이 관계는 y=500xy=500x 예요.
학생
식으로 나타낼 수 있어야 함수예요?
쌤
아니요. 식이 없어도 xx 의 값 하나에 yy 의 값이 오직 하나씩 정해지기만 하면 함수예요. xx 하나에 yy 가 둘 이상 나오면 함수가 아니에요.
함수인지 판단하기
✗ 틀린 풀이
자연수 xx 의 약수 yy 는 xx 의 함수이다
왜 틀렸나 함수가 되기 위해서는 xx 의 값 하나에 yy 의 값이 오직 하나만 정해져야 한다.
✓ 바른 풀이
자연수 xx 의 약수 yy 는 xx 의 함수가 아니다
x=4x=4 이면 yy 의 값이 1, 2, 41,\ 2,\ 4 로 하나로 정해지지 않는다.
자연수 xx 와 그 약수 yy
xx
yy
11
22
33
44
11
22
33
44
x=4x=4 에서 화살표가 1, 2, 41,\ 2,\ 4 세 개로 갈라져요. yy 가 하나로 정해지지 않으니 함수가 아니에요.
정의함숫값
함수 y=f(x)y=f(x) 에서 xx 의 값에 따라 하나로 정해지는 yy 의 값 f(x)f(x) 를 xx 의 함숫값이라 한다.
f(x)=2x−3f(x)=2x-3 이면 f(2)f(2) 는 xx 자리에 22 를 넣은 값이다.
f(2)=2×2−3=1f(2)=2\times2-3=1
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)=3x−1f(x)=3x-1 일 때 f(−2)f(-2) 의 값은?
음수의 함숫값
✗ 틀린 풀이
f(x)=2x−3f(x)=2x-3 에서
f(−1)=2−1−3=−2f(-1)=2-1-3=-2
왜 틀렸나 xx 자리에 음수를 넣을 때는 괄호를 쳐서 2×(−1)2\times(-1) 처럼 곱셈으로 계산한다.
✓ 바른 풀이
f(x)=2x−3f(x)=2x-3 에서
f(−1)=2×(−1)−3=−5f(-1)=2\times(-1)-3=-5
확인 방법: xx 를 빈 괄호로 바꾼 식 2×()−32\times(\quad)-3 을 먼저 쓰고 괄호 안에 수를 넣는다.

2일차함수와 그 그래프

정의일차함수
함수 y=f(x)y=f(x) 에서
y=ax+by=ax+b (단, aa, bb 는 상수, a≠0a\ne0)
와 같이 yy 가 xx 에 대한 일차식으로 나타내어질 때, 이 함수를 xx 에 대한 일차함수 라 한다.
예: y=−x2+1y=-\frac{x}{2}+1, y=3xy=3x 는 일차함수이다.
y=3y=3, y=x2y=x^2, y=2xy=\frac{2}{x} 는 일차함수가 아니다.
정의평행이동
한 도형을 일정한 방향으로 일정한 거리만큼 옮기는 것을 평행이동이라 한다.
일차함수 y=ax+by=ax+b 의 그래프는 y=axy=ax 의 그래프를 yy 축의 방향으로 bb 만큼 평행이동한 직선이다.
y=ax+by=ax+b 를 yy 축의 방향으로 kk 만큼 평행이동하면 y=ax+b+ky=ax+b+k
학생
y=2x+3y=2x+3 의 그래프는 왜 y=2xy=2x 를 위로 33 만큼 옮긴 직선이에요?
쌤
같은 xx 에서 y=2x+3y=2x+3 의 값은 y=2xy=2x 의 값보다 항상 33 커요. 모든 점이 똑같이 33 씩 위로 올라가니 평행이동이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=2x−1y=2x-1 의 그래프를 yy 축의 방향으로 −3-3 만큼 평행이동한 식은?
음의 방향으로 평행이동
✗ 틀린 풀이
y=3x−1y=3x-1 을 yy 축의 방향으로 −2-2 만큼 평행이동하면
y=3x+1y=3x+1
왜 틀렸나 yy 축의 방향으로 −2-2 만큼 평행이동하면 아래로 옮기므로 상수항에 −2-2 를 더한다.
✓ 바른 풀이
y=3x−1y=3x-1 을 yy 축의 방향으로 −2-2 만큼 평행이동하면
y=3x−3y=3x-3
검산: 점 (0, −1)(0,\ -1) 을 아래로 22 만큼 옮기면 (0, −3)(0,\ -3) 이고, y=3x−3y=3x-3 의 yy 절편과 같다.
자세히 보기펼치기그림예제
y=2xy=2x 와 y=2x+3y=2x+3 의 값 비교
xx−1-1001122
y=2xy=2x−2-2002244
y=2x+3y=2x+311335577
같은 xx 에서 y=2x+3y=2x+3 의 값이 항상 33 씩 커요. 그래서 그래프는 y=2xy=2x 를 위로 33 만큼 옮긴 직선이에요.
예평행이동한 그래프의 식
y=−3x+2y=-3x+2 의 그래프를 yy 축의 방향으로 −5-5 만큼 평행이동하면
y=−3x+2−5y=-3x+2-5
따라서 y=−3x−3y=-3x-3

3xx 절편과 yy 절편

정의절편
일차함수의 그래프가 xx 축과 만나는 점의 xx 좌표를 x절편, yy 축과 만나는 점의 yy 좌표를 yy 절편이라 한다.
xx 축 위의 점은 yy 좌표가 00 이므로 xx 절편은 y=0y=0 을 넣어 구한다.
yy 축 위의 점은 xx 좌표가 00 이므로 yy 절편은 x=0x=0 을 넣어 구한다.
공식y=ax+by=ax+b 의 절편
xx 절편
−ba\displaystyle -\frac{b}{a}
0=ax+b0=ax+b 를 풀면 x=−bax=-\frac{b}{a}
yy 절편
b\displaystyle b
x=0x=0 을 넣으면 y=by=b
y=2x−4y=2x-4 의 두 절편
-2-11234-5-4-3-2-112xyOx절편 2y절편 -4
두 점 (2, 0)(2,\ 0), (0, −4)(0,\ -4) 를 지나는 직선이에요.
학생
xx 절편은 공식 −ba-\frac{b}{a} 를 외워야 해요?
쌤
외워도 되지만 부호를 틀리기 쉬워요. y=0y=0 을 넣고 직접 푸는 쪽이 더 안전해요. y=2x−4y=2x-4 이면 0=2x−40=2x-4 에서 x=2x=2 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=3x+6y=3x+6 의 xx 절편은?
xx 절편의 부호
✗ 틀린 풀이
y=2x−4y=2x-4 의 xx 절편은
−42=−2-\frac{4}{2}=-2
왜 틀렸나 xx 절편은 y=0y=0 일 때의 xx 의 값이므로 0=2x−40=2x-4 를 풀어 구해야 한다.
✓ 바른 풀이
y=2x−4y=2x-4 의 xx 절편은
−−42=2-\frac{-4}{2}=2
검산: x=2x=2 를 넣으면 y=2×2−4=0y=2\times2-4=0 이다.
자세히 보기펼치기예제왜 그런지
예절편 구하기
y=2x−4y=2x-4 에서
y=0y=0 을 넣으면 0=2x−40=2x-4 이므로 xx 절편은 22
x=0x=0 을 넣으면 y=−4y=-4 이므로 yy 절편은 −4-4
그래프는 두 점 (2, 0)(2,\ 0), (0, −4)(0,\ -4) 를 지나는 직선이에요.
두 절편으로 그래프 그리기
  1. 1
    xx 절편과 yy 절편을 구해요.
  2. 2
    두 점 (x절편, 0)(x\text{절편},\ 0), (0, y절편)(0,\ y\text{절편}) 을 좌표평면에 찍어요.
  3. 3
    두 점을 지나는 직선을 그어요.
    두 점이 정해지면 직선은 하나로 정해져요.

4일차함수의 그래프의 기울기

정의기울기
일차함수 y=ax+by=ax+b 에서 xx 의 값의 증가량에 대한 yy 의 값의 증가량의 비율은 항상 일정하고, 그 값은 xx 의 계수 aa 와 같다. 이 비율 aa 를 그래프의 기울기 라 한다.
y=2x+1y=2x+1 의 증가량
x: 1→3 (+2),y: 3→7 (+4)x:\ 1\to3\ (+2),\quad y:\ 3\to7\ (+4)
↳42=2\frac{4}{2}=2
x: −1→0 (+1),y: −1→1 (+2)x:\ -1\to0\ (+1),\quad y:\ -1\to1\ (+2)
↳21=2\frac{2}{1}=2
(y의 증가량)(x의 증가량)\frac{(y\text{의 증가량})}{(x\text{의 증가량})} 은 언제나 22 로, xx 의 계수와 같아요.
학생
기울기는 그래프가 얼마나 기울었는지를 나타내요?
쌤
네. xx 가 11 늘 때 yy 가 변하는 양이에요. 기울기가 22 이면 오른쪽으로 11 갈 때 위로 22 올라가고, −2-2 이면 아래로 22 내려가요.
공식기울기 구하기
y=ax+by=ax+b
a\displaystyle a
xx 의 계수
증가량으로
(y의 값의 증가량)(x의 값의 증가량)\displaystyle \frac{(y\text{의 값의 증가량})}{(x\text{의 값의 증가량})}
분모·분자는 같은 순서로 뺀다.
두 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1), (x2, y2)(x_2,\ y_2)
y2−y1x2−x1\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
x1≠x2x_1\ne x_2
기울기와 yy 절편으로 그래프 그리기
y=−23x+2y=-\frac{2}{3}x+2
-2-112345-2-11234xyO오른쪽 3아래 2(0, 2)(3, 0)
yy 절편 (0, 2)(0,\ 2) 에서 오른쪽으로 33, 아래로 22 움직인 점 (3, 0)(3,\ 0) 을 찍고 두 점을 이어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 (1, 2)(1,\ 2), (3, 8)(3,\ 8) 을 지나는 직선의 기울기는?
빼는 순서
✗ 틀린 풀이
−1−5−1−2=2\frac{-1-5}{-1-2}=2
왜 틀렸나 기울기를 구할 때는 분자와 분모 모두 같은 점의 좌표에서 다른 점의 좌표를 같은 순서로 뺀다.
✓ 바른 풀이
−1−52−(−1)=−2\frac{-1-5}{2-(-1)}=-2
검산: 기울기가 −2-2 이면 (−1, 5)(-1,\ 5) 에서 xx 가 33 만큼 커질 때 yy 는 66 만큼 줄어 (2, −1)(2,\ -1) 이 된다.
자세히 보기펼치기예제
예두 점을 지나는 직선의 기울기
두 점 (−1, 5)(-1,\ 5), (2, −1)(2,\ -1) 을 지나는 일차함수의 그래프의 기울기는
−1−52−(−1)=−63=−2\frac{-1-5}{2-(-1)}=\frac{-6}{3}=-2

5일차함수의 그래프의 성질

공식y=ax+by=ax+b 에서 aa 와 bb 가 정하는 것
a>0a>0
오른쪽 위로 향하는 직선\displaystyle \text{오른쪽 위로 향하는 직선}
xx 의 값이 증가하면 yy 의 값도 증가한다.
a<0a<0
오른쪽 아래로 향하는 직선\displaystyle \text{오른쪽 아래로 향하는 직선}
xx 의 값이 증가하면 yy 의 값은 감소한다.
∣a∣|a| 가 클수록
y축에 가까워진다\displaystyle \text{y축에 가까워진다}
그래프가 더 가파르다.
b>0b>0
y축의 양의 부분에서 만남\displaystyle \text{y축의 양의 부분에서 만남}
yy 절편이 양수
b<0b<0
y축의 음의 부분에서 만남\displaystyle \text{y축의 음의 부분에서 만남}
yy 절편이 음수
공식aa, bb 의 부호와 지나는 사분면
a>0, b>0a>0,\ b>0
제1, 2, 3사분면\displaystyle \text{제1, 2, 3사분면}
제4사분면을 지나지 않는다.
a>0, b<0a>0,\ b<0
제1, 3, 4사분면\displaystyle \text{제1, 3, 4사분면}
제2사분면을 지나지 않는다.
a<0, b>0a<0,\ b>0
제1, 2, 4사분면\displaystyle \text{제1, 2, 4사분면}
제3사분면을 지나지 않는다.
a<0, b<0a<0,\ b<0
제2, 3, 4사분면\displaystyle \text{제2, 3, 4사분면}
제1사분면을 지나지 않는다.
학생
지나는 사분면은 외워야 해요?
쌤
외우기보다 그려 보는 게 빨라요. aa 의 부호로 오른쪽 위인지 아래인지, bb 의 부호로 yy 축과 만나는 점이 위인지 아래인지 정하고 대충 그리면 바로 보여요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=−2x+3y=-2x+3 의 그래프가 지나지 않는 사분면은?
기울어진 정도 비교
✗ 틀린 풀이
y=2xy=2x 와 y=−3xy=-3x 중
2>−32>-3 이므로 y=2xy=2x 가 더 가파르다
왜 틀렸나 그래프가 기울어진 정도는 부호와 관계없이 기울기의 절댓값이 클수록 가파르다.
✓ 바른 풀이
y=2xy=2x 와 y=−3xy=-3x 중
∣−3∣>∣2∣|-3|>|2| 이므로 y=−3xy=-3x 가 더 가파르다
기억 요령: 기울기의 부호는 오른쪽 위로 올라가는지 내려가는지만 알려 주고, 가파른 정도는 절댓값이 알려 준다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

사분면은 외우기보다 그려서 확인해요. yy 절편 bb 의 위치에 점을 찍고, aa 의 부호에 따라 오른쪽 위 또는 오른쪽 아래로 직선을 그어 보면 지나지 않는 사분면이 바로 보여요.

6일차함수의 그래프의 평행과 일치

공식두 일차함수 y=ax+by=ax+b, y=cx+dy=cx+d 의 그래프
a=c, b≠da=c,\ b\ne d
평행\displaystyle \text{평행}
기울기는 같고 yy 절편은 다르다.
a=c, b=da=c,\ b=d
일치\displaystyle \text{일치}
기울기와 yy 절편이 모두 같다.
a≠ca\ne c
한 점에서 만남\displaystyle \text{한 점에서 만남}
기울기가 다르다.
학생
기울기가 같으면 왜 만나지 않아요?
쌤
기울기가 같으면 두 직선은 같은 방향으로 똑같이 기울어 있어요. yy 절편만 다르면 한쪽을 위아래로 옮긴 모양이라 끝까지 만나지 않아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=ax+1y=ax+1 의 그래프가 y=4x−2y=4x-2 의 그래프와 평행할 때 aa 의 값은?
식을 정리한 뒤 비교
✗ 틀린 풀이
y=−2x+4y=-2x+4 와 y=−2(x−2)y=-2(x-2) 는 평행하다
왜 틀렸나 두 일차함수를 비교할 때는 괄호를 풀어 y=ax+by=ax+b 꼴로 정리한 뒤 기울기와 yy 절편을 함께 본다.
✓ 바른 풀이
y=−2(x−2)=−2x+4y=-2(x-2)=-2x+4 이므로 두 그래프는 일치한다
기억 요령: 기울기가 같고 yy 절편이 다르면 평행, yy 절편까지 같으면 일치이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가요? 기울기가 같은 두 일차함수의 그래프는 같은 y=axy=ax 를 위아래로 평행이동한 거예요.
따라서 yy 절편이 다르면 서로 만나지 않고(평행), yy 절편까지 같으면 완전히 겹쳐요(일치).
두 직선이 수직인지도 기울기로 판단할 수 있어요.

예평행·일치 조건
y=ax+3y=ax+3 의 그래프가 y=−2x+1y=-2x+1 의 그래프와 평행하면 기울기가 같으므로
a=−2a=-2
y=3x+by=3x+b 의 그래프가 y=cx−4y=cx-4 의 그래프와 일치하면 기울기와 yy 절편이 모두 같아야 하므로
c=3c=3
b=−4b=-4
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1xx 의 값이 정해짐에 따라 yy 의 값이 오직 하나씩 정해지면 yy 는 xx 의 함수이고 y=f(x)y=f(x) 로 나타낸다. xx 의 값에 따라 정해지는 yy 의 값 f(x)f(x) 를 함숫값이라 한다.
  2. 2y=ax+by=ax+b (a≠0a\ne0) 꼴의 함수가 일차함수이다. 그 그래프는 y=axy=ax 의 그래프를 yy 축의 방향으로 bb 만큼 평행이동한 직선이다.
  3. 3기울기 a=(y의 값의 증가량)(x의 값의 증가량)a=\frac{(y\text{의 값의 증가량})}{(x\text{의 값의 증가량})}, yy 절편 bb, xx 절편 −ba-\frac{b}{a} 이다.
  4. 4a>0a>0 이면 오른쪽 위로, a<0a<0 이면 오른쪽 아래로 향한다. 기울기가 같으면 평행하거나 일치한다.
✗ 자주 하는 실수
  • xx 절편을 구할 때 −ba-\frac{b}{a} 에서 부호를 잘못 처리하거나 yy 절편과 바꾸어 써요.
  • 두 점으로 기울기를 구할 때 분자와 분모의 빼는 순서를 다르게 해요.
  • 그래프가 가파른 정도를 기울기의 절댓값이 아니라 기울기의 크기로 비교해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    일차함수 f(x)=ax+3f(x)=ax+3 에서 f(2)=−1f(2)=-1 일 때, f(−3)f(-3) 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    일차함수 y=−23x+4y=-\frac{2}{3}x+4 의 그래프의 기울기, xx 절편, yy 절편을 구하시오.
  3. 예제 3
    일차함수 y=2x−3y=2x-3 의 그래프를 yy 축의 방향으로 kk 만큼 평행이동한 그래프가 점 (2, 5)(2,\ 5) 를 지날 때, kk 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 일차함수의 식과 일차방정식 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 정비례와 반비례, 중1 일차식의 계산, 중1 좌표평면과 그래프, 공통수학2 두 직선의 위치 관계 (나중에)중학교 2학년 목차
← 연립일차방정식일차함수의 식과 일차방정식 →
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