수학 개념 노트전체 과목

함수의 극한

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
xx 가 aa 가 아니면서 aa 에 한없이 가까워질 때 f(x)f(x) 가 일정한 값 LL 에 한없이 가까워지면 lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L 로 나타내요. 극한값은 좌극한과 우극한이 같을 때만 존재하고, 함숫값 f(a)f(a) 와는 관계없이 aa 근처의 값으로 정해져요.
  1. 1x→ax\to a 일 때 함수의 수렴
  2. 2함수의 발산
  3. 3x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty 일 때의 극한
  4. 4좌극한과 우극한
  5. 5그래프로 극한 읽기, 함숫값과 극한값
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1x→ax\to a 일 때 함수의 수렴

정의함수의 수렴
함수 f(x)f(x) 에서 xx 의 값이 aa 가 아니면서 aa 에 한없이 가까워질 때, f(x)f(x) 의 값이 일정한 값 LL 에 한없이 가까워지면 f(x)f(x) 는 LL 에 수렴 한다고 한다.
이때 LL 을 x=ax=a 에서 f(x)f(x) 의 극한값 또는 극한이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L또는 x→ax\to a 일 때 f(x)→Lf(x)\to L
lim⁡x→1(x+2)\lim_{x\to 1}(x+2)
xx0.90.90.990.990.9990.999→1←\to1\leftarrow1.0011.0011.011.011.11.1
x+2x+22.92.92.992.992.9992.999→3←\to3\leftarrow3.0013.0013.013.013.13.1
왼쪽 세 칸은 11 보다 작은 쪽, 오른쪽 세 칸은 큰 쪽에서 가까워질 때예요.
어느 쪽에서 가까워지든 x+2x+2 는 33 에 한없이 가까워지므로 lim⁡x→1(x+2)=3\lim_{x\to 1}(x+2)=3
학생
xx 를 11 에 아무리 가까이 해도 11 이 되지는 않아요?
쌤
네. x→1x\to1 은 xx 가 11 이 아니면서 한없이 가까워진다는 뜻이에요.
0.9990.999, 1.0011.001 처럼 계속 다가가기만 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→3x2−9x−3\lim_{x\to 3}\dfrac{x^2-9}{x-3} 의 값은?
⚠ 주의x→ax\to a 는 x=ax=a 가 아니다
극한은 xx 가 aa 에 「가까워질 때」의 값을 봐요.
x=ax=a 일 때의 값은 보지 않으므로, f(a)f(a) 가 정의되지 않아도 극한값은 존재할 수 있어요.
자세히 보기펼치기예제
예상수함수의 극한
f(x)=cf(x)=c (cc 는 상수)이면 xx 의 값에 관계없이 f(x)f(x) 의 값은 항상 cc 이에요.
따라서 lim⁡x→ac=c\lim_{x\to a}c=c
예: lim⁡x→25=5\lim_{x\to 2}5=5

2함수의 발산

정의양의 무한대·음의 무한대로 발산
함수 f(x)f(x) 가 수렴하지 않으면 f(x)f(x) 는 발산 한다고 한다.
x→ax\to a 일 때 f(x)f(x) 의 값이 한없이 커지면 f(x)f(x) 는 양의 무한대로 발산한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\inftyf(x)f(x) 의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지면 음의 무한대로 발산한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.lim⁡x→af(x)=−∞\lim_{x\to a}f(x)=-\infty
학생
발산하면 모두 ∞\infty 나 −∞-\infty 로 써요?
쌤
아니요. 한없이 커지거나 작아질 때만 ∞\infty, −∞-\infty 로 써요.
왼쪽과 오른쪽에서 서로 다른 값으로 가는 것처럼 어느 쪽도 아닌 발산도 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→21(x−2)2\lim_{x\to 2}\dfrac{1}{(x-2)^2} 은?
∞\infty 는 극한값이 아니다
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty 이므로 극한값은 ∞\infty 이다.
왜 틀렸나 극한값은 일정한 실수에 수렴할 때만 쓰고, 한없이 커지면 양의 무한대로 발산한다고 한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→01x2=∞\lim_{x\to 0}\dfrac{1}{x^2}=\infty 이므로 양의 무한대로 발산하고, 극한값은 존재하지 않는다.
∞\infty 는 한없이 커지는 상태를 나타내는 기호이고 수가 아니다.
그래서 =∞=\infty 로 쓴 식은 「양의 무한대로 발산한다」로 읽는다.
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3x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty 일 때의 극한

정의x→∞x\to\infty, x→−∞x\to-\infty
xx 의 값이 한없이 커지는 것을 x→∞x\to\infty 로 나타낸다.
xx 의 값이 음수이면서 그 절댓값이 한없이 커지는 것을 x→−∞x\to-\infty 로 나타낸다.
이때 f(x)f(x) 가 일정한 값 LL 에 한없이 가까워지면 f(x)f(x) 는 LL 에 수렴 한다고 하고, 다음과 같이 나타낸다.lim⁡x→∞f(x)=L,lim⁡x→−∞f(x)=L\lim_{x\to\infty}f(x)=L,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=L발산하는 경우도 lim⁡x→∞f(x)=∞\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty 처럼 같은 방법으로 나타낸다.
학생
x→−∞x\to-\infty 일 때 1x\dfrac{1}{x} 은 음수인데 극한값이 00 이에요?
쌤
네. 1x\dfrac{1}{x} 의 값은 음수이지만 00 에 한없이 가까워지므로 극한값은 00 이에요.
값의 부호와 극한값은 따로 봐요.
공식다항함수의 발산
x→∞x\to\infty
lim⁡x→∞x2=∞,lim⁡x→∞(−x2+1)=−∞\displaystyle \lim_{x\to\infty}x^2=\infty,\quad \lim_{x\to\infty}(-x^2+1)=-\infty
x→−∞x\to-\infty (짝수 차수)
lim⁡x→−∞x2=∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^2=\infty
x<0x<0 이어도 x2>0x^2>0 이다.
x→−∞x\to-\infty (홀수 차수)
lim⁡x→−∞x3=−∞\displaystyle \lim_{x\to-\infty}x^3=-\infty
x<0x<0 이면 x3<0x^3<0 이다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
lim⁡x→−∞(x2−3)\lim_{x\to-\infty}(x^2-3) 은?
x→−∞x\to-\infty 일 때 부호
✗ 틀린 풀이
lim⁡x→−∞x2=−∞\lim_{x\to-\infty}x^2=-\infty
왜 틀렸나 음수를 제곱하면 양수이므로 x→−∞x\to-\infty 일 때 x2x^2 은 양수이면서 한없이 커진다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→−∞x2=∞\lim_{x\to-\infty}x^2=\infty
x=−10, −100x=-10,\ -100 을 넣으면 x2=100, 10000x^2=100,\ 10000 으로 양수이면서 커져요.
xx 가 음수라고 해서 결과가 음수인 것은 아니에요.
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성질유리함수 y=kx−p+qy=\dfrac{k}{x-p}+q 와 극한
x→∞x\to\infty 또는 x→−∞x\to-\infty 이면 ∣x−p∣|x-p| 가 한없이 커지므로 kx−p→0\dfrac{k}{x-p}\to0 이다.
따라서 lim⁡x→∞(kx−p+q)=lim⁡x→−∞(kx−p+q)=q\lim_{x\to\infty}\left(\frac{k}{x-p}+q\right)=\lim_{x\to-\infty}\left(\frac{k}{x-p}+q\right)=q그래프의 점근선 y=qy=q 가 이 극한값이다.
예: lim⁡x→∞(1x−2+3)=3\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{x-2}+3\right)=3

4좌극한과 우극한

정의좌극한·우극한
xx 가 aa 보다 크면서 aa 에 한없이 가까워지는 것을 x→a+x\to a+ 로 나타낸다.
이때 f(x)f(x) 가 LL 에 한없이 가까워지면 LL 을 x=ax=a 에서의 우극한이라 하고 lim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x\to a+}f(x)=L 로 나타낸다.
xx 가 aa 보다 작으면서 aa 에 한없이 가까워지는 것을 x→a−x\to a- 로 나타낸다.
이때의 극한을 x=ax=a 에서의 좌극한이라 하고 lim⁡x→a−f(x)\lim_{x\to a-}f(x) 로 나타낸다.
성질극한값이 존재할 조건
lim⁡x→af(x)=L  ⟺  lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L\iff \lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L「x→ax\to a」는 양쪽에서 가까워지는 것을 모두 포함하므로, 두 방향의 극한이 같은 값이어야 한다.
좌극한과 우극한이 다르거나 어느 한쪽이 존재하지 않으면 lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 는 존재하지 않는다.
구간별로 정의된 함수의 극한 구하기
  1. 1
    x=ax=a 가 식이 바뀌는 경계인지 확인해요.
    경계가 아니면 그 구간의 식 하나로 구해요.
  2. 2
    좌극한은 x<ax<a 쪽의 식으로 구해요.
  3. 3
    우극한은 x>ax>a 쪽의 식으로 구해요.
  4. 4
    두 값이 같으면 그 값이 극한값이고, 다르면 극한값은 존재하지 않아요.
학생
f(0)f(0) 이 정의되지 않으면 좌극한·우극한도 없어요?
쌤
아니요. 좌극한과 우극한은 x=0x=0 근처의 값으로 정해져요.
∣x∣x\dfrac{|x|}{x} 는 좌극한 −1-1, 우극한 11 이 있지만 서로 달라서 극한값이 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)={2x(x<1)x+3(x≥1)f(x)=\begin{cases} 2x & (x<1) \\ x+3 & (x\ge1) \end{cases} 에서 lim⁡x→1−f(x)\lim_{x\to1-}f(x) 의 값은?
좌극한에 쓰는 식
✗ 틀린 풀이
f(x)={x2(x<2)3x−1(x≥2)f(x)=\begin{cases} x^2 & (x<2) \\ 3x-1 & (x\ge2) \end{cases} 에서
lim⁡x→2−f(x)=3×2−1=5\lim_{x\to 2-}f(x)=3\times2-1=5
왜 틀렸나 좌극한은 x<2x<2 쪽에서 다가가는 극한이므로 x<2x<2 일 때의 식 x2x^2 으로 계산해야 한다.
✓ 바른 풀이
lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2−x2=4\lim_{x\to 2-}f(x)=\lim_{x\to 2-}x^2=4
3x−13x-1 은 x≥2x\ge2 의 식으로, 우극한 55 를 구할 때 쓴다.
좌극한 44 와 우극한 55 가 다르므로 lim⁡x→2f(x)\lim_{x\to 2}f(x) 는 존재하지 않는다.
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5그래프로 극한 읽기, 함숫값과 극한값

그래프에서 lim⁡x→a−f(x)\lim_{x\to a-}f(x) 는 x=ax=a 의 왼쪽에서 그래프를 따라 다가갈 때 yy 좌표가 가까워지는 값이에요.
lim⁡x→a+f(x)\lim_{x\to a+}f(x) 는 오른쪽에서 다가갈 때의 값이에요.
그래프에서 속이 빈 점 ○ 는 그 점이 그래프에 포함되지 않음을, 속이 찬 점 ● 는 포함됨을 뜻해요.
함숫값 f(a)f(a) 는 ● 의 높이로 읽고, 극한은 ○ 이든 ● 이든 선이 다가가는 높이로 읽어요.

성질함숫값과 극한값의 관계
극한값은 x=ax=a 근처의 값으로 정해지고, 함숫값 f(a)f(a) 는 x=ax=a 에서의 값이다. 다음 세 경우가 모두 가능하다.
① f(a)f(a) 가 정의되지 않지만 극한값은 있다.
예: x2−1x−1\dfrac{x^2-1}{x-1} 은 x=1x=1 에서 정의되지 않지만 극한값은 22
② 둘 다 있지만 서로 다르다.
예: f(x)={x+1(x≠1)5(x=1)f(x)=\begin{cases} x+1 & (x\ne1) \\ 5 & (x=1) \end{cases} 이면 f(1)=5f(1)=5 이고 lim⁡x→1f(x)=2\lim_{x\to1}f(x)=2
③ 둘이 같다.
예: 다항함수 f(x)=x+2f(x)=x+2 는 f(1)=3f(1)=3 이고 lim⁡x→1f(x)=3\lim_{x\to1}f(x)=3
③ 인 경우를 x=ax=a 에서 연속이라 한다.
학생
극한값과 함숫값이 같으면 뭐가 좋아요?
쌤
③ 처럼 같으면 x=ax=a 에서 그래프가 끊어지지 않아요.
이때는 x=ax=a 를 넣은 값 f(a)f(a) 가 바로 극한값이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)={x2(x≠2)1(x=2)f(x)=\begin{cases} x^2 & (x\ne2) \\ 1 & (x=2) \end{cases} 에서 lim⁡x→2f(x)\lim_{x\to2}f(x) 의 값은?
함숫값을 극한값으로 쓰는 실수
✗ 틀린 풀이
f(x)={x+1(x≠1)5(x=1)f(x)=\begin{cases} x+1 & (x\ne1) \\ 5 & (x=1) \end{cases} 에서 f(1)=5f(1)=5 이므로
lim⁡x→1f(x)=5\lim_{x\to1}f(x)=5
왜 틀렸나 x→1x\to1 의 극한은 x≠1x\ne1 인 값들로 정해지므로 x≠1x\ne1 일 때의 식 x+1x+1 로 구해야 한다.
✓ 바른 풀이
x≠1x\ne1 일 때 f(x)=x+1f(x)=x+1 이므로
lim⁡x→1f(x)=lim⁡x→1(x+1)=2\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(x+1)=2
확인: x=0.99x=0.99, x=1.01x=1.01 을 넣으면 f(x)=1.99f(x)=1.99, 2.012.01 로 22 에 가까워진다.
극한값과 함숫값 f(1)f(1) 은 따로 구한다.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1x→ax\to a 일 때 f(x)f(x) 가 일정한 값 LL 에 한없이 가까워지면 lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L 이다.
  2. 2f(x)f(x) 의 값이 한없이 커지면 양의 무한대로 발산한다고 하고 lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\infty 로 나타낸다.
    ∞\infty 는 수가 아니므로 이때 극한값은 존재하지 않는다.
  3. 3lim⁡x→af(x)=L\lim_{x\to a}f(x)=L 이 성립할 필요충분조건은 lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=L\lim_{x\to a-}f(x)=\lim_{x\to a+}f(x)=L 이다.
  4. 4극한값은 x=ax=a 근처의 값으로 정해지므로 함숫값 f(a)f(a) 와 다를 수 있다.
✗ 자주 하는 실수
  • 함숫값 f(a)f(a) 를 그대로 극한값 lim⁡x→af(x)\lim_{x\to a}f(x) 로 써요.
  • 구간별 함수에서 좌극한을 구할 때 x≥ax\ge a 쪽의 식을 써요.
  • lim⁡x→af(x)=∞\lim_{x\to a}f(x)=\infty 를 「극한값이 ∞\infty 이다」라고 하거나, 좌극한과 우극한이 다른데 극한값이 있다고 해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    함수 f(x)={x2+1(x<1)3(x=1)−x+3(x>1)f(x)=\begin{cases} x^2+1 & (x<1) \\ 3 & (x=1) \\ -x+3 & (x>1) \end{cases} 에 대하여 lim⁡x→1f(x)\lim_{x\to1}f(x) 와 f(1)f(1) 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    함수 f(x)=x2−x∣x−1∣f(x)=\dfrac{x^2-x}{|x-1|} 에 대하여 lim⁡x→1+f(x)\lim_{x\to1+}f(x), lim⁡x→1−f(x)\lim_{x\to1-}f(x) 를 구하고, lim⁡x→1f(x)\lim_{x\to1}f(x) 가 존재하는지 판단하시오.
  3. 예제 3
    함수 f(x)=1x+1+2f(x)=\dfrac{1}{x+1}+2 에 대하여 다음을 구하시오.
    lim⁡x→∞f(x)\lim_{x\to\infty}f(x), lim⁡x→−∞f(x)\lim_{x\to-\infty}f(x), lim⁡x→−1+f(x)\lim_{x\to-1+}f(x), lim⁡x→−1−f(x)\lim_{x\to-1-}f(x)

다음 공부

다음 개념: 함수의 극한값의 계산 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 명제의 참·거짓과 필요조건·충분조건, 공통수학2 함수의 뜻과 그래프, 공통수학2 유리식과 유리함수미적분Ⅰ 목차
함수의 극한값의 계산 →
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