수학 개념 노트전체 과목

이항분포

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
확률이 pp 인 사건이 nn 회의 독립시행에서 일어나는 횟수 XX 는 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르고 P(X=x)=nCx pxqn−xP(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^xq^{n-x} (q=1−pq=1-p) 이에요. E(X)=npE(X)=np, V(X)=npqV(X)=npq, σ(X)=npq\sigma(X)=\sqrt{npq} 이에요.
  1. 1이항분포의 뜻
  2. 2이항분포의 평균과 분산
  3. 3평균과 분산에서 n, p 구하기
  4. 4큰수의 법칙
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1이항분포의 뜻

한 개의 주사위를 33 번 던질 때 11 의 눈이 나오는 횟수를 XX 라 해요.
각 시행은 서로 독립이고, 매번 11 의 눈이 나올 확률은 16\dfrac{1}{6} 로 같아요.
독립시행의 확률에 의하여
P(X=x)=3Cx(16)x(56)3−xP(X=x)={}_{3}\mathrm{C}_{x}\left(\dfrac{1}{6}\right)^x\left(\dfrac{5}{6}\right)^{3-x} (x=0, 1, 2, 3x=0,\ 1,\ 2,\ 3)
이 확률을 막대그래프로 나타내면 다음과 같아요.

B(3, 16)\mathrm{B}\left(3,\ \frac{1}{6}\right) 의 확률분포
75216\frac{75}{216}
125216\frac{125}{216}
125216\frac{125}{216}
00
75216\frac{75}{216}
11
15216\frac{15}{216}
22
1216\frac{1}{216}
33
XX
P(X=x)P(X=x)
11 의 눈이 나올 확률이 작으므로 X=0X=0 쪽 막대가 가장 높아요. 네 막대의 합은 11 이에요.
정의이항분포
한 번의 시행에서 사건 AA 가 일어날 확률이 pp 일 때, nn 회의 독립시행에서 AA 가 일어나는 횟수를 XX 라 하면 XX 의 확률질량함수는
P(X=x)=nCx pxqn−xP(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^xq^{n-x} (x=0, 1, 2, ⋯ , nx=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n, q=1−pq=1-p)
이다. 이러한 XX 의 확률분포를 이항분포 라 하고 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 로 나타낸다.
이때 확률변수 XX 는 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따른다고 한다.
학생
독립시행의 확률이랑 이항분포는 뭐가 달라요?
쌤
식은 같아요. 독립시행의 확률은 「rr 번 일어날 확률」 하나를 구하는 것이고, 이항분포는 x=0x=0 부터 nn 까지 모든 값의 확률을 모은 확률분포예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
동전 한 개를 44 번 던질 때 앞면이 나오는 횟수를 XX 라 하면 P(X=2)P(X=2) 의 값은?
세 부분을 모두 쓴다
✗ 틀린 풀이
P(X=2)=(12)2=14P(X=2)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}
왜 틀렸나 이항분포의 확률은 nCr{}_{n}\mathrm{C}_{r}, prp^r, qn−rq^{n-r} 의 세 부분을 모두 곱해야 한다.
✓ 바른 풀이
P(X=2)=5C2(12)2(12)3=516P(X=2)={}_{5}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\dfrac{5}{16}
바른 계산은 10×14×18=51610\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{5}{16} 이다.
확인 방법: X=0, 1, ⋯ , 5X=0,\ 1,\ \cdots,\ 5 의 확률을 모두 더하면 11 이 되어야 한다.
B(n, p) 의 순서
✗ 틀린 풀이
주사위를 1010 번 던질 때 66 의 눈의 횟수
X∼B(16, 10)X\sim\mathrm{B}\left(\dfrac{1}{6},\ 10\right)
왜 틀렸나 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 에서는 시행 횟수 nn 을 먼저, 한 번의 확률 pp 를 나중에 쓴다.
✓ 바른 풀이
B(10, 16)\mathrm{B}\left(10,\ \dfrac{1}{6}\right)
확인 방법: 앞자리는 자연수인 횟수, 뒷자리는 00 과 11 사이의 확률이어야 한다.
⚠ 주의이항분포가 아닌 경우
흰 공과 검은 공이 든 주머니에서 공을 꺼내고 다시 넣지 않으면 꺼낼 때마다 확률이 바뀌어요.
각 시행이 독립이 아니므로 흰 공의 개수는 이항분포를 따르지 않아요.
꺼낸 공을 다시 넣으면(복원추출) 이항분포를 따라요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

확률질량함수의 각 부분은 다음을 뜻해요.
nCx{}_{n}\mathrm{C}_{x} 는 nn 번 중 AA 가 일어나는 xx 번을 고르는 경우의 수예요.
pxp^x 는 AA 가 xx 번 일어날 확률이에요.
qn−xq^{n-x} 는 나머지 n−xn-x 번에 AA 가 일어나지 않을 확률이에요.
pp 와 qq 의 지수를 더하면 항상 nn 이에요.

「이항」 이라는 이름은 확률들이 (q+p)n(q+p)^n 을 이항정리로 전개한 각 항이기 때문이에요.
(q+p)n=nC0qn+nC1pqn−1+⋯+nCnpn(q+p)^n={}_{n}\mathrm{C}_{0}q^n+{}_{n}\mathrm{C}_{1}pq^{n-1}+\cdots+{}_{n}\mathrm{C}_{n}p^n
q+p=1q+p=1 이므로 확률을 모두 더하면 1n=11^n=1 이 돼요.

이항분포인지 확인하고 식을 세우는 순서
  1. 1
    같은 시행을 nn 번 독립적으로 반복하는지 확인해요.
    꺼낸 공을 다시 넣지 않으면 시행이 독립이 아니에요.
  2. 2
    구하는 것이 사건 AA 가 일어나는 횟수인지 확인해요.
  3. 3
    한 번의 시행에서 AA 의 확률 pp 와 q=1−pq=1-p 를 구해요.
  4. 4
    B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 로 쓰고 P(X=x)=nCx pxqn−xP(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^xq^{n-x} 에 넣어요.
    nn 이 먼저, pp 가 나중이에요.
예XX 가 이항분포 B(5, 12)\mathrm{B}\left(5,\ \dfrac{1}{2}\right) 를 따를 때
P(X=2)=5C2(12)2(12)3P(X=2)={}_{5}\mathrm{C}_{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\left(\dfrac{1}{2}\right)^3
=10×132=516=10\times\dfrac{1}{32}=\dfrac{5}{16}
X≥1X\ge 1 의 여사건은 X=0X=0 이에요.
P(X≥1)=1−P(X=0)P(X\ge 1)=1-P(X=0)
=1−(12)5=3132=1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^5=\dfrac{31}{32}

2이항분포의 평균과 분산

공식XX 가 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따를 때 (q=1−pq=1-p)
평균
E(X)=np\displaystyle E(X)=np
(횟수)×\times(한 번의 확률)
분산
V(X)=npq=np(1−p)\displaystyle V(X)=npq=np(1-p)
평균에 qq 를 한 번 더 곱한다.
표준편차
σ(X)=npq\displaystyle \sigma(X)=\sqrt{npq}

XX 가 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르면 평균은 npnp, 분산은 npqnpq 이에요.

학생
이항분포에서는 분산이 평균보다 커질 수 없어요?
쌤
네. 분산 npqnpq 는 평균 npnp 에 qq 를 곱한 것이고 0≤q≤10\le q\le 1 이니까요. 분산이 평균보다 크게 나오면 계산이 틀린 거예요.
예XX 가 B(36, 13)\mathrm{B}\left(36,\ \dfrac{1}{3}\right) 를 따를 때
E(X)=36×13=12E(X)=36\times\dfrac{1}{3}=12
V(X)=36×13×23=8V(X)=36\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=8
σ(X)=8=22\sigma(X)=\sqrt{8}=2\sqrt{2}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 B(50, 15)\mathrm{B}\left(50,\ \frac{1}{5}\right) 를 따를 때 V(X)V(X) 의 값은?
분산에는 q 를 곱한다
✗ 틀린 풀이
V(X)=np=36×13=12V(X)=np=36\times\dfrac{1}{3}=12
왜 틀렸나 이항분포의 분산은 npnp 에 일어나지 않을 확률 qq 까지 곱한 npqnpq 이다.
✓ 바른 풀이
V(X)=npq=36×13×23=8V(X)=npq=36\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=8
기억 요령: 평균은 npnp, 분산은 npqnpq 이다.
0<q<10<q<1 이므로 분산은 언제나 평균보다 작다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2외우기 카드

왜 이런 공식이 되는지 n=2n=2 일 때 직접 계산하여 확인해 봐요.
XX 가 B(2, p)\mathrm{B}(2,\ p) 를 따르면 확률분포는
P(X=0)=q2P(X=0)=q^2
P(X=1)=2C1pq=2pqP(X=1)={}_{2}\mathrm{C}_{1}pq=2pq
P(X=2)=p2P(X=2)=p^2
이에요.

n=2n=2 일 때 직접 계산
E(X)=0×q2+1×2pq+2×p2E(X)=0\times q^2+1\times2pq+2\times p^2
=2p(q+p)=2p=2p(q+p)=2p
↳q+p=1q+p=1
E(X2)=1×2pq+4×p2E(X^2)=1\times2pq+4\times p^2
V(X)=2pq+4p2−(2p)2=2pqV(X)=2pq+4p^2-(2p)^2=2pq
↳E(X2)−{E(X)}2E(X^2)-\{E(X)\}^2

이 값들은 위 공식에 n=2n=2 를 넣은 값과 같아요. 일반적으로 nn 번이면 평균은 npnp, 분산은 npqnpq 이에요.

평균 npnp 는 「nn 번 하면 AA 가 평균 npnp 번 일어난다」 는 뜻이에요. 예를 들어 동전을 100100 번 던지면 앞면은 평균 5050 번 나와요.
분산은 평균에 실패할 확률 qq (0<q<10<q<1) 를 곱하므로 평균보다 작아요.
nn 이 크면 이항분포는 정규분포에 가까워져요.

공식 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 3
P(X=x)=nCx p□q□P(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^{\square}q^{\square}
단계 1 / 2
V(X)=np□V(X)=np\square
예응용
문장으로 주어진 경우
한 개의 주사위를 180180 번 던질 때 33 의 배수의 눈이 나오는 횟수를 XX 라 해요.
한 번 던질 때 33 의 배수(3, 63,\ 6)가 나올 확률은 26=13\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} 이에요.
따라서 XX 는 B(180, 13)\mathrm{B}\left(180,\ \dfrac{1}{3}\right) 를 따라요.
E(X)=180×13=60E(X)=180\times\dfrac{1}{3}=60
V(X)=180×13×23=40V(X)=180\times\dfrac{1}{3}\times\dfrac{2}{3}=40
Y=2X+1Y=2X+1 이면 E(aX+b)E(aX+b), V(aX+b)V(aX+b) 의 성질에 의하여
E(Y)=2×60+1=121E(Y)=2\times60+1=121
V(Y)=22×40=160V(Y)=2^2\times40=160

3평균과 분산에서 n, p 구하기

평균과 분산이 주어지면 공식을 거꾸로 써서 nn 과 pp 를 구해요.
V(X)V(X) 를 E(X)E(X) 로 나누면 npqnp=q\dfrac{npq}{np}=q 이므로 먼저 qq 가 나와요.

XX 가 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르고 E(X)=6E(X)=6, V(X)=4V(X)=4 일 때
np=6,npq=4np=6,\quad npq=4
q=46=23q=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}
↳아래 식 ÷\div 위 식
p=1−23=13p=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}
n=6÷13=18n=6\div\frac{1}{3}=18
↳np=6np=6 에 넣어요
따라서 n=18, p=13n=18,\ p=\dfrac{1}{3} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르고 E(X)=10E(X)=10, V(X)=8V(X)=8 일 때 pp 의 값은?
먼저 나오는 것은 q
✗ 틀린 풀이
V(X)E(X)=46\dfrac{V(X)}{E(X)}=\dfrac{4}{6} 이므로 p=23p=\dfrac{2}{3}
왜 틀렸나 V(X)E(X)=npqnp\dfrac{V(X)}{E(X)}=\dfrac{npq}{np} 이므로 이 비는 qq 이고, pp 는 1−q1-q 로 구한다.
✓ 바른 풀이
V(X)E(X)=q=23\dfrac{V(X)}{E(X)}=q=\dfrac{2}{3} 이므로 p=13p=\dfrac{1}{3}
npqnp=q\dfrac{npq}{np}=q 이에요.
검산: n=18n=18, p=13p=\dfrac{1}{3} 이면 np=6np=6, npq=4npq=4
자세히 보기펼치기왜 그런지
n, p 를 구하는 순서
  1. 1
    np=E(X)np=E(X), npq=V(X)npq=V(X) 를 써요.
  2. 2
    두 식을 나누어 q=V(X)E(X)q=\dfrac{V(X)}{E(X)} 를 구해요.
  3. 3
    p=1−qp=1-q 를 구하고, np=E(X)np=E(X) 에 넣어 nn 을 구해요.
  4. 4
    0<p<10<p<1 이고 nn 이 자연수인지 확인해요.

E(X2)E(X^2) 이 주어지면 먼저 V(X)=E(X2)−{E(X)}2V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 으로 분산을 구한 다음 같은 방법으로 풀어요.
예를 들어 E(X)=5E(X)=5, E(X2)=30E(X^2)=30 이면 V(X)=30−25=5V(X)=30-25=5 이에요.

4큰수의 법칙

XX 가 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르면 Xn\dfrac{X}{n} 은 nn 번 중 사건 AA 가 일어난 비율, 즉 상대도수예요.
nn 을 크게 할수록 이 상대도수가 어디에 모이는지 알아봐요.

정의큰수의 법칙
한 번의 시행에서 사건 AA 가 일어날 확률이 pp 일 때, nn 회의 독립시행에서 AA 가 일어나는 횟수를 XX 라 하자.
아무리 작은 양수 hh 를 정하더라도, nn 을 한없이 크게 하면
P(∣Xn−p∣<h)P\left(\left|\dfrac{X}{n}-p\right|<h\right)
는 11 에 한없이 가까워진다. 이것을 큰수의 법칙이라 한다.
학생
그럼 동전을 10001000 번 던지면 앞면이 꼭 500500 번 나와요?
쌤
아니요. 횟수 XX 는 500500 에서 벗어날 수 있어요. 큰수의 법칙은 비율 Xn\frac{X}{n} 이 12\frac{1}{2} 에서 조금이라도 크게 벗어날 확률이 nn 이 커질수록 00 에 가까워진다는 뜻이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
주사위 한 개를 nn 번 던질 때 11 의 눈이 나오는 횟수를 XX 라 하자. nn 을 한없이 크게 할 때 Xn\frac{X}{n} 이 가까워지는 값은?
횟수가 아니라 비율이 모인다
✗ 틀린 풀이
동전을 10001000 번 던지면
앞면은 반드시 500500 번 나온다.
왜 틀렸나 큰수의 법칙은 비율 Xn\dfrac{X}{n} 이 pp 에서 크게 벗어날 확률이 작아진다는 성질이다. 횟수 XX 가 정확히 npnp 가 된다는 뜻이 아니다.
✓ 바른 풀이
동전을 10001000 번 던지면
앞면의 비율 X1000\dfrac{X}{1000} 이 12\dfrac{1}{2} 가까이에 있을 확률이 크다.
동전을 10001000 번 던질 때 앞면이 정확히 500500 번 나올 확률은 1000C500(12)1000{}_{1000}\mathrm{C}_{500}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1000} 으로 약 0.0250.025 이다.
확인 방법: 비율에 대한 말인지, 횟수에 대한 말인지 먼저 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런지 Xn\dfrac{X}{n} 의 평균과 분산으로 확인해 봐요.
E(Xn)=npn=pE\left(\dfrac{X}{n}\right)=\dfrac{np}{n}=p
V(Xn)=npqn2=pqnV\left(\dfrac{X}{n}\right)=\dfrac{npq}{n^2}=\dfrac{pq}{n}
nn 이 커지면 분산 pqn\dfrac{pq}{n} 이 00 에 가까워지므로 Xn\dfrac{X}{n} 은 평균 pp 근처에 몰려요.

이 법칙 덕분에 시행 횟수가 충분히 클 때의 상대도수를 통계적 확률로 쓸 수 있어요.
예를 들어 압정을 1000010000 번 던져 바늘이 위로 향한 비율이 0.620.62 이면, 그 확률을 0.620.62 로 보아도 크게 틀리지 않아요.

한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1한 번의 시행에서 사건 AA 가 일어날 확률이 pp 일 때, nn 회의 독립시행에서 AA 가 일어나는 횟수 XX 의 확률분포
  2. 2P(X=x)=nCx pxqn−xP(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^xq^{n-x}
    (x=0, 1, 2, ⋯ , nx=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n, q=1−pq=1-p)
  3. 3이 확률분포를 이항분포라 하고 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 로 나타낸다.
  4. 4E(X)=npE(X)=np
    V(X)=npqV(X)=npq
    σ(X)=npq\sigma(X)=\sqrt{npq}
✗ 자주 하는 실수
  • P(X=x)=nCx pxqn−xP(X=x)={}_{n}\mathrm{C}_{x}\,p^xq^{n-x} 에서 nCx{}_{n}\mathrm{C}_{x} 나 qn−xq^{n-x} 를 빠뜨려요.
  • 이항분포의 분산을 npnp 나 np2np^2 으로 계산하거나, B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 에서 nn 과 pp 의 순서를 바꾸어 읽어요.
  • V(X)E(X)\dfrac{V(X)}{E(X)} 를 pp 로 착각해요. 이 값은 q=1−pq=1-p 이에요.
  • 큰수의 법칙을 「nn 번 하면 정확히 npnp 번 일어난다」로 오해해요. 가까워지는 것은 횟수 XX 가 아니라 비율 Xn\dfrac{X}{n} 이고, 그것도 확률적으로 가까워진다는 뜻이에요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    한 개의 주사위를 44 번 던질 때 66 의 눈이 나오는 횟수를 XX 라 하자. P(X=2)P(X=2) 를 구하시오.
  2. 예제 2
    확률변수 XX 가 이항분포 B(50, 25)\mathrm{B}\left(50,\ \dfrac{2}{5}\right) 를 따를 때, E(X)E(X), V(X)V(X), σ(X)\sigma(X) 를 구하시오.
  3. 예제 3
    확률변수 XX 가 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따르고 E(X)=4E(X)=4, V(X)=3V(X)=3 일 때, nn 과 pp 의 값을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 모비율의 추정 →
이전 개념: 이산확률변수의 기댓값과 분산확률과 통계 목차
← 이산확률변수의 기댓값과 분산연속확률변수와 확률밀도함수 →
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