독립시행의 확률

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

한 번의 시행에서 사건

A

가 일어날 확률이

p

일 때, 이 시행을

n

번 반복하는 독립시행에서

A

가

r

번 일어날 확률은

{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}

이에요.

1독립시행
2독립시행의 확률
3동전·주사위를 반복하여 던지기
4「적어도 한 번」 일어날 확률
5이기는 조건이 있는 경기
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (3개 · 핵심 용어 가리기)

1독립시행

정의독립시행

동전이나 주사위를 여러 번 던지는 것처럼 같은 시행을 반복할 때, 각 시행의 결과가 서로 독립인 시행을 독립시행이라 한다.
꺼낸 것을 다시 넣는 복원 추출을 반복하는 것도 독립시행이다.
꺼낸 것을 다시 넣지 않는 비복원 추출은 매번 확률이 바뀌므로 독립시행이 아니다.

학생

꺼낸 것을 다시 넣지 않으면 왜 독립시행이 아니에요?

쌤

꺼낸 만큼 주머니 속이 바뀌어서 다음에 꺼낼 때의 확률이 달라져요. 앞의 결과가 뒤의 확률에 영향을 주니까 독립이 아니에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 독립시행이 아닌 것은?

2독립시행의 확률

성질독립시행의 확률

한 번의 시행에서 사건

A

가 일어날 확률이

p

일 때, 이 시행을

n

번 반복하는 독립시행에서 사건

A

가

r

번 일어날 확률은

{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}\ (\text{단, }r=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ n)

{}_{n}\mathrm{C}_{r}

은

A

가 일어나는

r

번의 자리를 고르는 방법의 수이다.

p^{r}

은

A

가

r

번 일어날 확률,

(1-p)^{n-r}

은 나머지

n-r

번 일어나지 않을 확률이다.

학생

확률을 그냥 곱하면 되지 왜

{}_{n}\mathrm{C}_{r}

를 또 곱해요?

쌤

p^{r}(1-p)^{n-r}

은 정해진 순서 하나의 확률이에요.

A

가 일어나는

r

번의 자리가

{}_{n}\mathrm{C}_{r}

가지로 달라질 수 있어서, 그 순서들을 모두 더하려고 곱해요.

왜 이런 식이 되는지 예로 알아봐요. 주사위 한 개를 $3$ 번 던질 때 $1$ 의 눈이 정확히 $2$ 번 나올 확률을 구해 봐요.
$1$ 의 눈이 나오는 것을 ○, 나오지 않는 것을 × 로 나타내요.

주사위

3

번

○ 는

1

의 눈

○ → ○○○

× → ○○×

○

○ → ○×○

× → ○××

○

○ → ×○○

× → ×○×

○

○ → ××○

× → ×××

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

\frac{1}{6}

\frac{5}{6}

주황 가지가 ○ 가 두 번인 ○○×, ○×○, ×○○ 의

{}_{3}\mathrm{C}_{2}=3

개예요. 어느 가지든

\frac{1}{6}

두 번,

\frac{5}{6}

한 번을 곱해요.

각 시행은 독립이므로 순서 하나의 확률은 곱으로 구해요.
$\frac{1}{6}\times\frac{1}{6}\times\frac{5}{6}=\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{1}$
세 순서는 서로 배반이므로 더하면 ${}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{1}=\frac{15}{216}=\frac{5}{72}$

공식자주 쓰는 꼴

n

번 중

r

번

\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}

동전(

p=\frac{1}{2}

)

\displaystyle {}_{n}\mathrm{C}_{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

\left(\frac{1}{2}\right)^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-r}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

한 번도 일어나지 않음

\displaystyle (1-p)^{n}

r=0

일 때

n

번 모두 일어남

\displaystyle p^{n}

r=n

일 때

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

동전 한 개를

4

번 던질 때 앞면이

1

번 나올 확률은?

자리 고르기를 빠뜨리기

✗ 틀린 풀이

주사위

3

번 중

1

의 눈이

2

번

\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{216}

왜 틀렸나

1

의 눈이 나오는

2

번의 자리를 고르는

{}_{3}\mathrm{C}_{2}

가지를 곱해야 한다.

✓ 바른 풀이

주사위

3

번 중

1

의 눈이

2

번

{}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)=\frac{5}{72}

확인 방법: ○○×, ○×○, ×○○ 의

3

가지를 모두 써 보면 각각의 확률이 같으므로

3

배 한다.

지수를 잘못 쓰기

✗ 틀린 풀이

{}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{3}

왜 틀렸나

1

의 눈이 나오지 않는 횟수는

3-2=1

번이므로 두 지수의 합은 시행 횟수

3

이어야 한다.

✓ 바른 풀이

{}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{6}\right)^{2}\left(\frac{5}{6}\right)^{1}

기억 요령:

{}_{n}\mathrm{C}_{r}p^{r}q^{n-r}

에서 아래 첨자

n

과 두 지수의 합이 같은지 확인한다.

자세히 보기펼치기성질 더 보기왜 그런지외우기 카드

성질틀로 외우기

(자리 고르기)

\times

(일어날 확률)

^{\text{일어난 횟수}}\times

(안 일어날 확률)

^{\text{안 일어난 횟수}}

{}_{□}\mathrm{C}_{△}\,p^{△}(1-p)^{□-△}

두 지수의 합은 전체 횟수 □ 이고,

{}_{□}\mathrm{C}_{△}

의 △ 와

p

의 지수 △ 는 같다.

독립시행의 확률을 구하는 순서

1
한 번의 시행에서 사건 $A$ 와 그 확률 $p$ 를 정해요.
예: 주사위에서 $3$ 의 배수의 눈이면 $p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$
2
반복 횟수 $n$ 과 $A$ 가 일어나는 횟수 $r$ 를 정해요.
「 $r$ 번 이상」 이면 $r,\ r+1,\ \cdots,\ n$ 번인 경우를 각각 구해 더해요.
3
${}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$ 에 대입해요.
지수의 합이 $n$ 인지 확인해요.

공식 외우기 — 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 3자리 고르기 × 일어남 × 안 일어남

(n\text{번 중 }r\text{번})={}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{\square}

3동전·주사위를 반복하여 던지기

동전이나 주사위를 여러 번 던지는 문제는 한 번 던질 때의 확률 $p$ , 던지는 횟수 $n$ , 일어나는 횟수 $r$ 를 먼저 정하고 공식에 넣어요.

예동전 한 개를

5

번 던질 때 앞면이

3

번 나올 확률

p=\frac{1}{2}

n=5

r=3

이므로

{}_{5}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=10\times\frac{1}{32}=\frac{5}{16}

학생

「

3

번 이상」처럼 횟수가 여러 개면요?

쌤

횟수마다 따로 구해서 더해요.

3

번,

4

번,

5

번 나오는 경우는 동시에 일어나지 않으니까 확률을 더하면 돼요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

주사위 한 개를

2

번 던질 때 짝수의 눈이 정확히

1

번 나올 확률은?

자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기

예응용

주사위 한 개를

4

번 던질 때

3

의 배수의 눈이

2

번 나올 확률

한 번 던질 때

3

의 배수의 눈(

3,\ 6

)이 나올 확률은

p=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

n=4

r=2

이므로

{}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=6\times\frac{1}{9}\times\frac{4}{9}=\frac{8}{27}

예「이상」

동전 한 개를

4

번 던질 때 앞면이

3

번 이상 나올 확률

앞면이

3

번 나오는 경우와

4

번 나오는 경우는 서로 배반이므로 각각 구해 더해요.

3

번일 확률은

{}_{4}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{4}{16}

4

번일 확률은

{}_{4}\mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{16}

따라서 구하는 확률은

\frac{4}{16}+\frac{1}{16}=\frac{5}{16}

성질검산하는 방법

이항정리와 연결

r=0,\ 1,\ \cdots,\ n

일 때의 확률을 모두 더하면 이항정리에 의해

\sum_{r=0}^{n}{}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}=\{p+(1-p)\}^{n}=1

예를 들어 주사위를

3

번 던질 때

1

의 눈이

0,\ 1,\ 2,\ 3

번 나올 확률은 차례로

\frac{125}{216},\ \frac{75}{216},\ \frac{15}{216},\ \frac{1}{216}

이고, 그 합은

1

이다. 한 경우를 구한 뒤 다른 경우들과 합해

1

이 되는지로 검산할 수 있다.
이 확률들을 모은 것이 이항분포이다.

4「적어도 한 번」 일어날 확률

성질

1-(1-p)^{n}

「적어도 한 번 일어난다」 의 여사건은 「한 번도 일어나지 않는다」 이다.
한 번도 일어나지 않을 확률은

r=0

인 경우이므로

{}_{n}\mathrm{C}_{0}\,p^{0}(1-p)^{n}=(1-p)^{n}

따라서 적어도 한 번 일어날 확률은

1-(1-p)^{n}

학생

r=1,\ 2,\ \cdots,\ n

인 경우를 하나씩 더해도 되지 않아요?

쌤

돼요. 하지만

n

가지를 모두 따로 구해야 해서 길어요. 여사건 「한 번도 일어나지 않는다」 는

r=0

한 가지뿐이라 훨씬 빨라요.

예주사위 한 개를

3

번 던질 때

6

의 눈이 적어도 한 번 나올 확률

6

의 눈이 한 번도 나오지 않을 확률은

\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{125}{216}

따라서 구하는 확률은

1-\frac{125}{216}=\frac{91}{216}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

동전 한 개를

3

번 던질 때 앞면이 적어도 한 번 나올 확률은?

한 번의 확률을 횟수만큼 더하기

✗ 틀린 풀이

6

의 눈이 적어도 한 번 나올 확률

3\times\frac{1}{6}=\frac{1}{2}

왜 틀렸나 각 회에

6

이 나오는 사건은 배반이 아니므로 「적어도 한 번」은 여사건의 확률을

1

에서 빼서 구한다.

✓ 바른 풀이

6

의 눈이 적어도 한 번 나올 확률

1-\left(\frac{5}{6}\right)^{3}=\frac{91}{216}

바른 계산에서 여사건은 세 번 모두

6

이 아닌 눈이 나오는 것이고 그 확률은

\left(\frac{5}{6}\right)^{3}

이다.
확인 방법: 확률은 언제나

1

이하이다.

자세히 보기펼치기예제

거꾸로

적어도 한 번 앞면이 나올 확률이

\frac{15}{16}

이상이 되는

n

의 최솟값

1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\ge\frac{15}{16}

↳◀여사건 이용

\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\le\frac{1}{16}

↳◀이항해요

2^{n}\ge16

↳◀역수: 부등호 방향 반대

n\ge4

따라서

n

의 최솟값은

4

예요.

5이기는 조건이 있는 경기

두 사람 $A,\ B$ 가 경기를 반복할 때, 비기는 경우가 없고 각 경기의 결과가 서로 독립이면 독립시행이에요.
「먼저 $m$ 번 이기는 사람이 우승한다」 는 조건이 있으면 우승이 정해지는 순간 경기가 끝나요.
따라서 마지막 경기는 우승한 사람이 반드시 이긴 경기예요.

A

가

k

번째 경기에서 우승할 확률(

A

가 한 경기에서 이길 확률

p

, 먼저

m

번 이기면 우승)

1
앞의 $k-1$ 경기에서 $A$ 가 $m-1$ 번 이겨요.
${}_{k-1}\mathrm{C}_{m-1}\,p^{m-1}(1-p)^{k-m}$
2
$k$ 번째 경기에서 $A$ 가 이겨요.
$p$
3
두 확률을 곱해요.
${}_{k-1}\mathrm{C}_{m-1}\,p^{m}(1-p)^{k-m}$

예

A

가 이길 확률이

\frac{2}{3}

이고 먼저

3

번 이기면 우승할 때,

A

가

4

번째 경기에서 우승할 확률

앞의

3

경기에서

A

가

2

번 이길 확률은

{}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{9}

4

번째 경기에서

A

가 이길 확률

\frac{2}{3}

을 곱하면

\frac{4}{9}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{27}

A

가

4

번째 경기에서 우승하는 경우

	$1$	$2$	$3$	$4$ 번째
①	승	승	패	승
②	승	패	승	승
③	패	승	승	승

마지막

4

번째 경기는 꼭 이겨요. 앞의

3

경기에서

2

번 이기는 자리만

{}_{3}\mathrm{C}_{2}=3

가지로 바뀌어요. 「승승승패」 는

3

번째에서 이미 끝나므로 없어요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

A

가 한 경기에서 이길 확률이

\frac{1}{2}

이고 먼저

2

번 이기면 우승할 때,

A

가

3

번째 경기에서 우승할 확률은?

마지막 경기까지 자리 고르기에 넣기

✗ 틀린 풀이

4

경기 중

3

번 이기므로

{}_{4}\mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{32}{81}

왜 틀렸나

4

번째 경기에서 우승이 정해지려면 그 경기를 이겨야 하므로 앞의

3

경기에서만 이길 자리를 고른다.

✓ 바른 풀이

앞의

3

경기 중

2

번 이기고

4

번째 경기를 이기므로

{}_{3}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)\times\frac{2}{3}=\frac{8}{27}

바른 계산은 앞의

3

경기 중

2

번 이길 확률에

4

번째 경기를 이길 확률

\frac{2}{3}

을 곱한다.
앞의

3

경기를 모두 이기면

4

번째 경기는 열리지 않는다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

두 사람 $A,\ B$ 가 경기를 반복할 때, 비기는 경우가 없고 각 경기의 결과가 서로 독립이면 독립시행이에요.
「먼저 $m$ 번 이기는 사람이 우승한다」 는 조건이 있으면 우승이 정해지는 순간 경기가 끝나요.
따라서 마지막 경기는 우승한 사람이 반드시 이긴 경기예요.

예응용

같은 조건에서

A

가 우승할 확률

5

경기를 하면 두 사람 중 누군가는 반드시

3

번 이기므로 경기는 늦어도

5

번째에 끝나요.
그래서

A

는

3

번째,

4

번째,

5

번째 경기 중 하나에서 우승하고, 이 경우들은 서로 배반이에요.

3

번째 경기에서 우승할 확률은

\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{24}{81}

4

번째 경기에서 우승할 확률은

\frac{8}{27}=\frac{24}{81}

5

번째 경기에서 우승할 확률은

{}_{4}\mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\times\frac{2}{3}=\frac{16}{81}

따라서 구하는 확률은

\frac{24}{81}+\frac{24}{81}+\frac{16}{81}=\frac{64}{81}

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1같은 시행을 반복할 때 각 시행의 결과가 서로 독립이면 이 시행을 독립시행이라 한다.
2한 번에 사건 $A$ 가 일어날 확률이 $p$ 일 때, $n$ 번의 독립시행에서 $A$ 가 $r$ 번 일어날 확률은 ${}_{n}\mathrm{C}_{r}\,p^{r}(1-p)^{n-r}$ 이다.
3「적어도 한 번」 일어날 확률은 여사건 「한 번도 일어나지 않음」 을 이용하여 $1-(1-p)^{n}$ 이다.
4먼저 $m$ 번 이기면 우승하는 경기에서 $k$ 번째 경기에 우승하려면 앞의 $k-1$ 경기에서 $m-1$ 번 이기고 마지막 경기를 이겨야 한다.

✗ 자주 하는 실수

${}_{n}\mathrm{C}_{r}$ 를 곱하지 않아 사건이 일어나는 $r$ 번의 자리를 고르는 경우를 빠뜨려요.
$(1-p)$ 의 지수를 $n-r$ 이 아닌 $n$ 이나 $r$ 로 써요. 두 지수의 합이 $n$ 인지 확인해요.
먼저 $m$ 번 이기면 우승하는 경기에서 마지막 경기까지 자리 고르기에 넣어 ${}_{k}\mathrm{C}_{m}$ 으로 계산해요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
동전 한 개를 $6$ 번 던질 때, 앞면이 $4$ 번 나올 확률을 구하시오.
예제 2
주사위 한 개를 $4$ 번 던질 때, $3$ 의 배수의 눈이 $3$ 번 이상 나올 확률을 구하시오.
예제 3
$A,\ B$ 두 사람이 경기를 하여 먼저 $3$ 번 이기는 사람이 우승한다. 한 경기에서 $A$ 가 이길 확률이 $\frac{3}{5}$ 이고 비기는 경우는 없을 때, $5$ 번째 경기에서 $A$ 가 우승할 확률을 구하시오. (단, 각 경기의 결과는 서로 독립이다.)

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