정의 평균(기댓값)
이산확률변수 X X X P ( X = x i ) = p i P(X=x_i)=p_i P ( X = x i ) = p i i = 1 , 2 , ⋯ , n i=1,\ 2,\ \cdots,\ n i = 1 , 2 , ⋯ , n E ( X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ⋯ + x n p n = ∑ i = 1 n x i p i E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n=\sum_{i=1}^{n} x_ip_i E ( X ) = x 1 p 1 + x 2 p 2 + ⋯ + x n p n = ∑ i = 1 n x i p i X X X 기댓값 이라 하고, m m m 동전 3 3 3 X X X X = x X=x X = x 인 결과는
3 C x {}_{3}\mathrm{C}_{x} 3 C x 가지, 전체는
2 3 = 8 2^3=8 2 3 = 8 가지예요. 아래 줄은 위의 값과 확률을 곱한 것이고, 그 합계가
E ( X ) = 0 + 3 8 + 6 8 + 3 8 = 3 2 E(X)=0+\frac{3}{8}+\frac{6}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2} E ( X ) = 0 + 8 3 + 8 6 + 8 3 = 2 3 이에요.
막대들이
x = 3 2 x=\frac{3}{2} x = 2 3 를 가운데로 좌우 대칭이에요. 평균
E ( X ) = 3 2 E(X)=\frac{3}{2} E ( X ) = 2 3 은 막대들이 균형을 이루는 받침점 자리예요.
학생 평균 3 2 \frac{3}{2} 2 3 X X X 쌤 괜찮아요. 평균은 시행을 아주 많이 반복했을 때 나온 값들의 평균이 가까워지는 값이에요. 한 번에 실제로 나오는 값일 필요는 없어요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
X X X 0 , 1 , 2 0,\ 1,\ 2 0 , 1 , 2 1 2 , 1 4 , 1 4 \frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{4} 2 1 , 4 1 , 4 1 E ( X ) E(X) E ( X ) 1 1 1 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3 1 2 \dfrac{1}{2} 2 1 확률을 곱하여 더한다
✗ 틀린 풀이
X X X 1 , 2 , 3 1,\ 2,\ 3 1 , 2 , 3 E ( X ) = 1 + 2 + 3 3 = 2 E(X)=\dfrac{1+2+3}{3}=2 E ( X ) = 3 1 + 2 + 3 = 2 왜 틀렸나 기댓값은 X X X ↓ ✓ 바른 풀이
E ( X ) = 1 × p 1 + 2 × p 2 + 3 × p 3 E(X)=1\times p_1+2\times p_2+3\times p_3 E ( X ) = 1 × p 1 + 2 × p 2 + 3 × p 3 X X X p 1 = 1 2 , p 2 = 1 3 , p 3 = 1 6 p_1=\dfrac{1}{2},\ p_2=\dfrac{1}{3},\ p_3=\dfrac{1}{6} p 1 = 2 1 , p 2 = 3 1 , p 3 = 6 1 E ( X ) = 5 3 E(X)=\dfrac{5}{3} E ( X ) = 3 5 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 어떤 시행을 N N N X X X x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n x 1 , x 2 , ⋯ , x n f 1 , f 2 , ⋯ , f n f_1,\ f_2,\ \cdots,\ f_n f 1 , f 2 , ⋯ , f n 평균 은x 1 f 1 + x 2 f 2 + ⋯ + x n f n N = x 1 f 1 N + x 2 f 2 N + ⋯ + x n f n N \dfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_nf_n}{N}=x_1\dfrac{f_1}{N}+x_2\dfrac{f_2}{N}+\cdots+x_n\dfrac{f_n}{N} N x 1 f 1 + x 2 f 2 + ⋯ + x n f n = x 1 N f 1 + x 2 N f 2 + ⋯ + x n N f n N N N 상대도수 f i N \dfrac{f_i}{N} N f i p i p_i p i f i N \dfrac{f_i}{N} N f i p i p_i p i X X X
이전 개념 예 기댓값의 뜻
상금
주사위 한 개를 던져 6 6 6 1200 1200 1200 2 2 2 4 4 4 300 300 300 X X X X 1200 300 0 합계 P ( X = x ) 1 6 1 3 1 2 1 \begin{array}{c|ccc|c} X & 1200 & 300 & 0 & \text{합계} \\ \hline P(X=x) & \frac{1}{6} & \frac{1}{3} & \frac{1}{2} & 1 \end{array} X P ( X = x ) 1200 6 1 300 3 1 0 2 1 합계 1 E ( X ) = 1200 × 1 6 + 300 × 1 3 + 0 × 1 2 E(X)=1200\times\dfrac{1}{6}+300\times\dfrac{1}{3}+0\times\dfrac{1}{2} E ( X ) = 1200 × 6 1 + 300 × 3 1 + 0 × 2 1 = 200 + 100 + 0 = 300 =200+100+0=300 = 200 + 100 + 0 = 300 300 300 300 평균만으로는 값들이 평균 근처에 모여 있는지 멀리 흩어져 있는지 알 수 없어요.x i − m x_i-m x i − m 편차 )를 써요.0 0 0
이전 개념 정의 분산과 표준편차
E ( X ) = m E(X)=m E ( X ) = m V ( X ) = E ( ( X − m ) 2 ) = ∑ i = 1 n ( x i − m ) 2 p i V(X)=E\big((X-m)^2\big)=\sum_{i=1}^{n} (x_i-m)^2p_i V ( X ) = E ( ( X − m ) 2 ) = ∑ i = 1 n ( x i − m ) 2 p i X X X 분산 이라 한다.σ ( X ) = V ( X ) \sigma(X)=\sqrt{V(X)} σ ( X ) = V ( X ) X X X 표준편차 라 한다.V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 학생 분산만 있으면 되지 표준편차는 왜 따로 써요?
쌤 분산은 제곱해서 구했으니 단위도 제곱이 돼요. 제곱근을 씌운 표준편차는 X X X 정의
V ( X ) = ∑ i = 1 n ( x i − m ) 2 p i \displaystyle V(X)=\sum_{i=1}^{n} (x_i-m)^2p_i V ( X ) = i = 1 ∑ n ( x i − m ) 2 p i 평균이 정수일 때 편하다.
계산 공식
V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 \displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 대부분 이것이 편하다.
표준편차
σ ( X ) = V ( X ) \displaystyle \sigma(X)=\sqrt{V(X)} σ ( X ) = V ( X ) 동전 3 3 3 x 2 P ( X = x ) x^2P(X=x) x 2 P ( X = x ) 아래 줄은 값의 제곱과 확률을 곱한 것이고, 그 합계가
E ( X 2 ) = 3 E(X^2)=3 E ( X 2 ) = 3 이에요.
예 동전 3개를 던질 때 앞면의 개수 X 의 분산
위 표에서 E ( X 2 ) = 3 E(X^2)=3 E ( X 2 ) = 3 E ( X ) = 3 2 E(X)=\dfrac{3}{2} E ( X ) = 2 3 V ( X ) = 3 − ( 3 2 ) 2 = 3 4 V(X)=3-\left(\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{3}{4} V ( X ) = 3 − ( 2 3 ) 2 = 4 3 σ ( X ) = 3 4 = 3 2 \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} σ ( X ) = 4 3 = 2 3 ( − 3 2 ) 2 × 1 8 + ( − 1 2 ) 2 × 3 8 + ( 1 2 ) 2 × 3 8 + ( 3 2 ) 2 × 1 8 = 24 32 = 3 4 \left(-\dfrac{3}{2}\right)^2\times\dfrac{1}{8}+\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2\times\dfrac{3}{8}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times\dfrac{3}{8}+\left(\dfrac{3}{2}\right)^2\times\dfrac{1}{8}=\dfrac{24}{32}=\dfrac{3}{4} ( − 2 3 ) 2 × 8 1 + ( − 2 1 ) 2 × 8 3 + ( 2 1 ) 2 × 8 3 + ( 2 3 ) 2 × 8 1 = 32 24 = 4 3 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
E ( X ) = 2 E(X)=2 E ( X ) = 2 E ( X 2 ) = 5 E(X^2)=5 E ( X 2 ) = 5 V ( X ) V(X) V ( X ) 평균의 제곱을 뺀다
✗ 틀린 풀이
V ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) = 3 − 3 2 V(X)=E(X^2)-E(X)=3-\dfrac{3}{2} V ( X ) = E ( X 2 ) − E ( X ) = 3 − 2 3 왜 틀렸나 분산은 E ( X 2 ) E(X^2) E ( X 2 ) { E ( X ) } 2 \{E(X)\}^2 { E ( X ) } 2 ↓ ✓ 바른 풀이
V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 = 3 − 9 4 V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2=3-\dfrac{9}{4} V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 = 3 − 4 9 바른 계산은 3 − 9 4 = 3 4 3-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4} 3 − 4 9 = 4 3 0 0 0 E ( X 2 ) ≥ { E ( X ) } 2 E(X^2)\ge\{E(X)\}^2 E ( X 2 ) ≥ { E ( X ) } 2 표준편차는 제곱근
✗ 틀린 풀이
V ( X ) = 3 4 V(X)=\dfrac{3}{4} V ( X ) = 4 3 σ ( X ) = 3 4 \sigma(X)=\dfrac{3}{4} σ ( X ) = 4 3 왜 틀렸나 표준편차는 분산의 양의 제곱근이므로 분산 3 4 \dfrac{3}{4} 4 3 ↓ ✓ 바른 풀이
σ ( X ) = 3 4 = 3 2 \sigma(X)=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} σ ( X ) = 4 3 = 2 3 분산과 표준편차를 구별해요. 문제에서 무엇을 묻는지 확인해요.
+ 펼치기 접기 왜 그런지 예제 외우기 카드 분산은 편차를 제곱했으므로 단위도 제곱이 돼요. 예를 들어 X X X V ( X ) V(X) V ( X ) 2 ^2 2 X X X
정의대로 계산하면 분수 계산이 복잡해서 위 상자의 계산 공식을 주로 써요. 이 공식이 나오는 과정은 다음과 같아요 .
이전 개념 ( x i − m ) 2 p i = x i 2 p i − 2 m x i p i + m 2 p i (x_i-m)^2p_i=x_i^2p_i-2mx_ip_i+m^2p_i ( x i − m ) 2 p i = x i 2 p i − 2 m x i p i + m 2 p i ↳ ◀ 한 항씩 전개
∑ ( x i − m ) 2 p i = ∑ x i 2 p i − 2 m ∑ x i p i + m 2 ∑ p i \sum (x_i-m)^2p_i=\sum x_i^2p_i-2m\sum x_ip_i+m^2\sum p_i ∑ ( x i − m ) 2 p i = ∑ x i 2 p i − 2 m ∑ x i p i + m 2 ∑ p i = E ( X 2 ) − 2 m × m + m 2 × 1 =E(X^2)-2m\times m+m^2\times1 = E ( X 2 ) − 2 m × m + m 2 × 1 ↳ ◀ ∑ x i p i = m \sum x_ip_i=m ∑ x i p i = m ∑ p i = 1 \sum p_i=1 ∑ p i = 1 = E ( X 2 ) − m 2 =E(X^2)-m^2 = E ( X 2 ) − m 2 「제곱의 평균에서 평균의 제곱을 뺀다」 로 외워요.
공식 떠올리기
□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.
단계 1 / 2
E ( X ) = ∑ i = 1 n □ p i E(X)=\sum_{i=1}^{n} \square\, p_i E ( X ) = ∑ i = 1 n □ p i 정답 보기
단계 1 / 3 제곱의 평균 빼기 평균의 제곱
V ( X ) = E ( □ ) − { E ( X ) } 2 V(X)=E(\square)-\{E(X)\}^2 V ( X ) = E ( □ ) − { E ( X ) } 2 정답 보기
공식 Y = a X + b Y=aX+b Y = a X + b a , b a,\ b a , b 평균
E ( a X + b ) = a E ( X ) + b \displaystyle E(aX+b)=aE(X)+b E ( a X + b ) = a E ( X ) + b 분산
V ( a X + b ) = a 2 V ( X ) \displaystyle V(aX+b)=a^2V(X) V ( a X + b ) = a 2 V ( X ) 표준편차
σ ( a X + b ) = ∣ a ∣ σ ( X ) \displaystyle \sigma(aX+b)=|a|\sigma(X) σ ( a X + b ) = ∣ a ∣ σ ( X ) 분산에서 V ( a X + b ) V(aX+b) V ( a X + b ) V ( X ) V(X) V ( X ) a 2 a^2 a 2 배예요.
쌤 모든 값에 b b b b b b E ( X ) = 3 E(X)=3 E ( X ) = 3 V ( X ) = 2 V(X)=2 V ( X ) = 2 Y = − 2 X + 5 Y=-2X+5 Y = − 2 X + 5 E ( Y ) = − 2 × 3 + 5 = − 1 E(Y)=-2\times3+5=-1 E ( Y ) = − 2 × 3 + 5 = − 1 V ( Y ) = ( − 2 ) 2 × 2 = 8 V(Y)=(-2)^2\times2=8 V ( Y ) = ( − 2 ) 2 × 2 = 8 σ ( Y ) = ∣ − 2 ∣ × 2 = 2 2 \sigma(Y)=|-2|\times\sqrt{2}=2\sqrt{2} σ ( Y ) = ∣ − 2∣ × 2 = 2 2 ↳ ◀ ∣ a ∣ σ ( X ) |a|\sigma(X) ∣ a ∣ σ ( X ) 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
V ( X ) = 3 V(X)=3 V ( X ) = 3 V ( 2 X + 1 ) V(2X+1) V ( 2 X + 1 ) 분산에는 b 가 없고 a 는 제곱
✗ 틀린 풀이
V ( − 2 X + 5 ) = − 2 V ( X ) + 5 V(-2X+5)=-2V(X)+5 V ( − 2 X + 5 ) = − 2 V ( X ) + 5 왜 틀렸나 분산은 흩어진 정도이므로 b b b a a a a 2 a^2 a 2 ↓ ✓ 바른 풀이
V ( − 2 X + 5 ) = ( − 2 ) 2 V ( X ) = 4 V ( X ) V(-2X+5)=(-2)^2V(X)=4V(X) V ( − 2 X + 5 ) = ( − 2 ) 2 V ( X ) = 4 V ( X ) 평균은 E ( a X + b ) = a E ( X ) + b E(aX+b)=aE(X)+b E ( a X + b ) = a E ( X ) + b V ( a X + b ) = a 2 V ( X ) V(aX+b)=a^2V(X) V ( a X + b ) = a 2 V ( X ) 0 0 0 표준편차는 절댓값
✗ 틀린 풀이
σ ( − 2 X ) = − 2 σ ( X ) \sigma(-2X)=-2\sigma(X) σ ( − 2 X ) = − 2 σ ( X ) 왜 틀렸나 표준편차는 0 0 0 σ ( a X ) = ∣ a ∣ σ ( X ) \sigma(aX)=|a|\sigma(X) σ ( a X ) = ∣ a ∣ σ ( X ) a a a ↓ ✓ 바른 풀이
σ ( − 2 X ) = ∣ − 2 ∣ σ ( X ) = 2 σ ( X ) \sigma(-2X)=|-2|\sigma(X)=2\sigma(X) σ ( − 2 X ) = ∣ − 2∣ σ ( X ) = 2 σ ( X ) 기억 요령: V ( − 2 X ) = 4 V ( X ) V(-2X)=4V(X) V ( − 2 X ) = 4 V ( X ) σ ( − 2 X ) = 2 σ ( X ) \sigma(-2X)=2\sigma(X) σ ( − 2 X ) = 2 σ ( X ) + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 3 왜 이렇게 되는지 알아봐요.Y = a X + b Y=aX+b Y = a X + b a , b a,\ b a , b X X X x i x_i x i a x i + b ax_i+b a x i + b p i p_i p i
평균
E ( Y ) = ∑ ( a x i + b ) p i E(Y)=\sum (ax_i+b)p_i E ( Y ) = ∑ ( a x i + b ) p i = a ∑ x i p i + b ∑ p i =a\sum x_ip_i+b\sum p_i = a ∑ x i p i + b ∑ p i ↳ ◀ 나누어 묶어요
분산과 표준편차
( a x i + b ) − ( a m + b ) = a ( x i − m ) (ax_i+b)-(am+b)=a(x_i-m) ( a x i + b ) − ( am + b ) = a ( x i − m ) ↳ ◀ 값 − - − E ( Y ) = a m + b E(Y)=am+b E ( Y ) = am + b V ( Y ) = ∑ a 2 ( x i − m ) 2 p i = a 2 V ( X ) V(Y)=\sum a^2(x_i-m)^2p_i=a^2V(X) V ( Y ) = ∑ a 2 ( x i − m ) 2 p i = a 2 V ( X ) σ ( Y ) = a 2 V ( X ) = ∣ a ∣ σ ( X ) \sigma(Y)=\sqrt{a^2V(X)}=|a|\sigma(X) σ ( Y ) = a 2 V ( X ) = ∣ a ∣ σ ( X ) 모든 값을 똑같이
b b b 만큼 옮기면 흩어진 정도는 변하지 않아요.
예 응용
분수 꼴
같은 X X X Y = X − 1 2 Y=\dfrac{X-1}{2} Y = 2 X − 1 Y = 1 2 X − 1 2 Y=\dfrac{1}{2}X-\dfrac{1}{2} Y = 2 1 X − 2 1 a = 1 2 , b = − 1 2 a=\dfrac{1}{2},\ b=-\dfrac{1}{2} a = 2 1 , b = − 2 1 E ( Y ) = 1 2 × 3 − 1 2 = 1 E(Y)=\dfrac{1}{2}\times3-\dfrac{1}{2}=1 E ( Y ) = 2 1 × 3 − 2 1 = 1 V ( Y ) = ( 1 2 ) 2 × 2 = 1 2 V(Y)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2\times2=\dfrac{1}{2} V ( Y ) = ( 2 1 ) 2 × 2 = 2 1 분산 공식을 거꾸로 쓰면 제곱의 평균을 구할 수 있어요.E ( X 2 ) = V ( X ) + { E ( X ) } 2 E(X^2)=V(X)+\{E(X)\}^2 E ( X 2 ) = V ( X ) + { E ( X ) } 2 E ( X ) = 3 E(X)=3 E ( X ) = 3 V ( X ) = 2 V(X)=2 V ( X ) = 2 E ( X 2 ) = 2 + 3 2 = 11 E(X^2)=2+3^2=11 E ( X 2 ) = 2 + 3 2 = 11 .
이전 개념 제곱의 평균
E ( X 2 ) = ∑ x i 2 p i \displaystyle E(X^2)=\sum x_i^2p_i E ( X 2 ) = ∑ x i 2 p i 값을 먼저 제곱하고 평균
평균의 제곱
{ E ( X ) } 2 = ( ∑ x i p i ) 2 \displaystyle \{E(X)\}^2=\left(\sum x_ip_i\right)^2 { E ( X ) } 2 = ( ∑ x i p i ) 2 평균을 먼저 구하고 제곱
분산
V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 \displaystyle V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 V ( X ) = E ( X 2 ) − { E ( X ) } 2 표준편차
σ ( X ) = V ( X ) \displaystyle \sigma(X)=\sqrt{V(X)} σ ( X ) = V ( X ) 분산의 양의 제곱근
학생 E ( X 2 ) E(X^2) E ( X 2 ) { E ( X ) } 2 \{E(X)\}^2 { E ( X ) } 2 쌤 항상 E ( X 2 ) E(X^2) E ( X 2 ) 0 0 0 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
E ( X ) = 2 E(X)=2 E ( X ) = 2 V ( X ) = 3 V(X)=3 V ( X ) = 3 E ( X 2 ) E(X^2) E ( X 2 )