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정규분포

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
평균이 mm, 표준편차가 σ\sigma 인 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 의 곡선은 직선 x=mx=m 에 대하여 대칭인 종 모양이고 넓이는 11 이에요. mm 은 곡선의 위치를, σ\sigma 는 곡선의 모양을 정하며, 대칭을 이용하여 확률을 구해요.
  1. 1정규분포의 뜻
  2. 2정규분포 곡선의 성질
  3. 3대칭을 이용한 확률
  4. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1정규분포의 뜻

많은 학생의 키나 같은 제품의 무게처럼 자연과 사회에서 얻은 자료는 평균 근처에 많이 모이고, 평균에서 멀어질수록 적어져요.
이런 자료의 상대도수의 히스토그램은 자료가 많아지고 계급의 크기가 작아질수록 평균을 중심으로 좌우 대칭인 종 모양의 곡선에 가까워져요.
이 곡선을 확률밀도함수의 그래프로 가지는 연속확률변수의 분포가 정규분포예요.
이항분포도 시행 횟수가 크면 이런 모양이 돼요.

정의정규분포
연속확률변수 XX 의 확률밀도함수가f(x)=12π σe−(x−m)22σ2(−∞<x<∞)f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}\quad(-\infty<x<\infty)일 때, XX 의 확률분포를 정규분포 라 한다. (mm 은 상수, σ\sigma 는 양의 상수, ee 는 2.718⋯2.718\cdots 인 무리수)
이때 E(X)=mE(X)=m, V(X)=σ2V(X)=\sigma^2 임이 알려져 있고, 이 정규분포를 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 으로 나타낸다.
y=f(x)y=f(x) 의 그래프를 정규분포 곡선이라 한다.
학생
확률밀도함수의 식이 복잡한데 외워야 해요?
쌤
식을 직접 계산할 일은 거의 없어요. 평균 mm 과 표준편차 σ\sigma 가 곡선을 정한다는 것, N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 의 두 번째 자리가 분산이라는 것을 꼭 기억해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 정규분포 N(20, 9)\mathrm{N}(20,\ 9) 를 따를 때 XX 의 표준편차는?
N(m, σ²) 의 두 번째 자리는 분산
✗ 틀린 풀이
XX 가 N(50, 16)\mathrm{N}(50,\ 16) 을 따르므로
σ(X)=16\sigma(X)=16
왜 틀렸나 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 의 두 번째 자리는 분산이므로 표준편차는 그 양의 제곱근이다.
✓ 바른 풀이
V(X)=16V(X)=16
σ(X)=16=4\sigma(X)=\sqrt{16}=4
확인 방법: N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 처럼 제곱 꼴로 고쳐 쓰면 표준편차 44 가 바로 보인다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

확률밀도함수의 식은 외우지 않아도 돼요. 중요한 것은 정규분포가 평균 mm 과 표준편차 σ\sigma 두 값만으로 완전히 정해진다는 거예요.
N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 의 두 번째 자리는 표준편차가 아니라 분산이에요.
예를 들어 N(50, 16)\mathrm{N}(50,\ 16) 은 평균이 5050, 분산이 1616, 표준편차가 16=4\sqrt{16}=4 인 정규분포이고 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 으로도 써요.

2정규분포 곡선의 성질

성질정규분포 곡선의 성질
정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르는 확률변수 XX 의 정규분포 곡선은 다음 성질을 가진다.
(1) 직선 x=x= mm 에 대하여 대칭인 종 모양의 곡선이다.
(2) xx 축을 점근선으로 가진다. 곡선은 xx 축과 만나지 않는다.
(3) 곡선과 xx 축 사이의 넓이는 11 이다.
(4) x=mx=m 일 때 최댓값 12π σ\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} 를 가진다.
(5) σ\sigma 가 일정할 때 mm 이 변하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 곡선의 모양은 같다.
(6) mm 이 일정할 때 σ\sigma 가 클수록 곡선의 가운데 부분이 낮아지면서 양쪽으로 넓게 퍼지고, σ\sigma 가 작을수록 높아지면서 x=mx=m 근처로 모인다.

곡선의 위치는 평균 mm 이, 곡선의 모양(높이와 퍼진 정도)은 표준편차 σ\sigma 가 정해요.

학생
σ\sigma 가 커지면 왜 곡선이 낮아져요?
쌤
곡선 아래 넓이는 항상 11 이에요. 옆으로 넓게 퍼지면 그만큼 높이가 낮아져야 넓이가 11 로 유지돼요.
공식평균과 표준편차가 바뀔 때
mm 만 커진다
곡선이 오른쪽으로 평행이동\displaystyle \text{곡선이 오른쪽으로 평행이동}
모양(높이, 퍼진 정도)은 그대로이다.
mm 만 작아진다
곡선이 왼쪽으로 평행이동\displaystyle \text{곡선이 왼쪽으로 평행이동}
σ\sigma 만 커진다
낮아지고 옆으로 퍼진다\displaystyle \text{낮아지고 옆으로 퍼진다}
대칭축 x=mx=m 은 그대로이다.
σ\sigma 만 작아진다
높아지고 가운데로 모인다\displaystyle \text{높아지고 가운데로 모인다}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 정규분포 N(10, 22)\mathrm{N}(10,\ 2^2), N(10, 42)\mathrm{N}(10,\ 4^2) 의 곡선에 대한 설명으로 옳은 것은?
표준편차가 크면 곡선은 낮다
✗ 틀린 풀이
σ\sigma 가 클수록 곡선의 최댓값도 크다.
왜 틀렸나 곡선 아래 넓이는 항상 11 이므로 σ\sigma 가 커져 넓게 퍼지면 곡선의 높이는 낮아진다.
✓ 바른 풀이
σ\sigma 가 클수록 곡선의 최댓값은 작다.
최댓값은 x=mx=m 에서의 값 12π σ\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} 이므로 σ\sigma 에 반비례한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림

(6) 의 이유는 넓이가 항상 11 이기 때문이에요.
표준편차가 크면 자료가 평균에서 멀리까지 흩어져 있으므로 곡선이 옆으로 퍼져요.
넓이가 11 로 일정하므로 퍼진 만큼 높이는 낮아져요.
최댓값 12π σ\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma} 에서도 σ\sigma 가 22 배가 되면 높이가 12\dfrac{1}{2} 배가 됨을 알 수 있어요.
즉 곡선의 위치는 평균 mm 이, 곡선의 모양(높이와 퍼진 정도)은 표준편차 σ\sigma 가 정해요.

예세 정규분포 곡선 비교
세 반의 점수 AA, BB, CC 가 각각 정규분포 N(60, 52)\mathrm{N}(60,\ 5^2), N(60, 102)\mathrm{N}(60,\ 10^2), N(70, 52)\mathrm{N}(70,\ 5^2) 을 따른다고 해요.
AA 와 BB 는 평균이 같으므로 대칭축이 직선 x=60x=60 으로 같아요.
BB 는 표준편차가 더 크므로 AA 보다 낮고 넓게 퍼진 곡선이에요. 최댓값은 AA 의 12\dfrac{1}{2} 배예요.
AA 와 CC 는 표준편차가 같으므로 모양이 같아요.
CC 의 곡선은 AA 의 곡선을 xx 축의 방향으로 1010 만큼 평행이동한 거예요.

3대칭을 이용한 확률

정규분포에서도 P(a≤X≤b)P(a\le X\le b) 는 정규분포 곡선과 xx 축, 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 부분의 넓이예요.
곡선이 직선 x=mx=m 에 대하여 대칭이고 전체 넓이가 11 이므로, x=mx=m 의 왼쪽과 오른쪽의 넓이는 각각 12\dfrac{1}{2} 이에요.
따라서 P(X≥m)=P(X≤m)=P(X\ge m)=P(X\le m)= 0.50.5 이에요.

공식XX 가 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따를 때 (a>0a>0)
반쪽
P(X≤m)=P(X≥m)=0.5\displaystyle P(X\le m)=P(X\ge m)=0.5
대칭
P(m−a≤X≤m)=P(m≤X≤m+a)\displaystyle P(m-a\le X\le m)=P(m\le X\le m+a)
대칭축에서 같은 거리만큼 떨어진 범위
양 끝
P(X≤m−a)=P(X≥m+a)\displaystyle P(X\le m-a)=P(X\ge m+a)
가운데
P(m−a≤X≤m+a)=2P(m≤X≤m+a)\displaystyle P(m-a\le X\le m+a)=2P(m\le X\le m+a)
바깥쪽
P(X≥m+a)=0.5−P(m≤X≤m+a)\displaystyle P(X\ge m+a)=0.5-P(m\le X\le m+a)
안쪽까지
P(X≤m+a)=0.5+P(m≤X≤m+a)\displaystyle P(X\le m+a)=0.5+P(m\le X\le m+a)
예XX 가 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 을 따르고 P(50≤X≤54)=0.3413P(50\le X\le 54)=0.3413, P(50≤X≤58)=0.4772P(50\le X\le 58)=0.4772 일 때
4646 과 5454 는 대칭축 x=50x=50 에서 똑같이 44 만큼 떨어져 있으므로
P(46≤X≤50)=P(50≤X≤54)P(46\le X\le 50)=P(50\le X\le 54)
따라서
P(46≤X≤54)=2×0.3413=0.6826P(46\le X\le 54)=2\times0.3413=0.6826
X≥58X\ge 58 은 x=50x=50 의 오른쪽 넓이 0.50.5 에서 50≤X≤5850\le X\le 58 부분을 뺀 거예요.
P(X≥58)=0.5−0.4772=0.0228P(X\ge 58)=0.5-0.4772=0.0228
46≤X≤5846\le X\le 58 은 x=50x=50 을 경계로 나눠요.
P(46≤X≤58)=P(46≤X≤50)+P(50≤X≤58)P(46\le X\le 58)=P(46\le X\le 50)+P(50\le X\le 58)
=0.3413+0.4772=0.8185=0.3413+0.4772=0.8185
P(X≤54)=0.5+0.3413=0.8413P(X\le 54)=0.5+0.3413=0.8413
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
XX 가 N(50, 42)\mathrm{N}(50,\ 4^2) 을 따르고 P(50≤X≤54)=0.3413P(50\le X\le 54)=0.3413 일 때 P(X≥54)P(X\ge 54) 의 값은?
바깥쪽은 0.5 에서 뺀다
✗ 틀린 풀이
P(X≥58)=P(50≤X≤58)=0.4772P(X\ge 58)=P(50\le X\le 58)=0.4772
왜 틀렸나 X≥58X\ge 58 은 오른쪽 끝부분이므로 오른쪽 절반의 넓이 0.50.5 에서 P(50≤X≤58)P(50\le X\le 58) 을 뺀다.
✓ 바른 풀이
P(X≥58)=0.5−P(50≤X≤58)=0.0228P(X\ge 58)=0.5-P(50\le X\le 58)=0.0228
확인 방법: 끝부분의 확률은 0.50.5 보다 작아야 한다.
0.5−0.4772=0.02280.5-0.4772=0.0228 이다.
m 을 걸치는 범위는 나누어 더한다
✗ 틀린 풀이
P(46≤X≤58)=P(50≤X≤58)−P(50≤X≤54)P(46\le X\le 58)=P(50\le X\le 58)-P(50\le X\le 54)
=0.4772−0.3413=0.4772-0.3413
왜 틀렸나 구간이 평균 5050 의 양쪽에 걸치면 왼쪽과 오른쪽의 넓이를 나누어 구해 더한다.
✓ 바른 풀이
P(46≤X≤58)=P(46≤X≤50)+P(50≤X≤58)P(46\le X\le 58)=P(46\le X\le 50)+P(50\le X\le 58)
=0.3413+0.4772=0.3413+0.4772
확인 방법: 평균을 포함하는 구간의 확률은 그 안의 한쪽 부분의 확률보다 커야 한다.
0.3413+0.4772=0.81850.3413+0.4772=0.8185 이다.
⚠ 주의σ 의 몇 배인지가 확률을 정한다
정규분포에서 평균에서 σ\sigma 의 몇 배만큼 떨어진 범위의 확률은 mm, σ\sigma 의 값에 관계없이 같아요.
P(m−σ≤X≤m+σ)≈0.6826P(m-\sigma\le X\le m+\sigma)\approx0.6826
P(m−2σ≤X≤m+2σ)≈0.9544P(m-2\sigma\le X\le m+2\sigma)\approx0.9544
P(m−3σ≤X≤m+3σ)≈0.9974P(m-3\sigma\le X\le m+3\sigma)\approx0.9974
앞의 예에서 54=50+454=50+4 는 m+σm+\sigma, 58=50+2×458=50+2\times4 는 m+2σm+2\sigma 이에요.
이 성질을 이용하여 표준정규분포로 확률을 구해요.
학생
m−σm-\sigma 와 m+σm+\sigma 사이의 확률은 왜 정규분포마다 같아요?
쌤
σ\sigma 가 커지면 곡선이 퍼지는 만큼 범위도 같은 비율로 넓어져요. 곡선을 가로세로로 늘이고 줄인 같은 모양이라, 평균에서 σ\sigma 의 몇 배인지만 같으면 넓이도 같아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

정규분포에서도 P(a≤X≤b)P(a\le X\le b) 는 정규분포 곡선과 xx 축, 두 직선 x=ax=a, x=bx=b 로 둘러싸인 부분의 넓이예요.
곡선이 직선 x=mx=m 에 대하여 대칭이고 전체 넓이가 11 이므로, x=mx=m 의 왼쪽과 오른쪽의 넓이는 각각 12\dfrac{1}{2} 이에요.
따라서 P(X≥m)=P(X≤m)=P(X\ge m)=P(X\le m)= 0.50.5 이에요.

대칭을 이용하여 확률을 구하는 순서
  1. 1
    정규분포 곡선을 그리고 가운데에 x=mx=m 을 표시해요.
  2. 2
    구하는 범위를 x=mx=m 을 경계로 왼쪽과 오른쪽으로 나눠요.
    mm 을 걸치는 범위는 두 부분의 합이에요.
  3. 3
    왼쪽 부분은 대칭을 이용해 오른쪽의 같은 넓이로 바꿔요.
    m−am-a 는 m+am+a 로 옮겨요.
  4. 4
    mm 의 바깥쪽 끝까지 가는 범위는 0.50.5 에서 빼요.
예응용
대칭축 찾기
XX 가 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르고 P(X≤20)=P(X≥30)P(X\le 20)=P(X\ge 30) 이라 해요.
양 끝의 넓이가 같으므로 x=20x=20 과 x=30x=30 은 대칭축 x=mx=m 에서 같은 거리에 있어요.
m=20+302=25m=\dfrac{20+30}{2}=25
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2): 평균이 mm, 표준편차가 σ\sigma 인 정규분포
  2. 2정규분포 곡선은 직선 x=mx=m 에 대하여 대칭인 종 모양이고, 곡선과 xx 축 사이의 넓이는 11 이다.
  3. 3mm 이 바뀌면 곡선이 평행이동하고, σ\sigma 가 커지면 곡선이 낮아지면서 옆으로 퍼진다.
  4. 4P(X≤m)=P(X≥m)=0.5P(X\le m)=P(X\ge m)=0.5
    P(m−a≤X≤m)=P(m≤X≤m+a)P(m-a\le X\le m)=P(m\le X\le m+a)
✗ 자주 하는 실수
  • N(50, 16)\mathrm{N}(50,\ 16) 에서 표준편차를 1616 으로 읽어요. 두 번째 자리는 분산이므로 σ=4\sigma=4 이에요.
  • 표준편차가 클수록 정규분포 곡선이 높다고 생각해요. σ\sigma 가 클수록 곡선은 낮고 넓게 퍼져요.
  • P(X≥m+a)P(X\ge m+a) 를 P(m≤X≤m+a)P(m\le X\le m+a) 와 같다고 하거나, 0.50.5 에서 빼는 것을 잊어요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    확률변수 XX 가 정규분포 N(30, 32)\mathrm{N}(30,\ 3^2) 을 따르고 P(30≤X≤33)=0.3413P(30\le X\le 33)=0.3413 일 때, P(27≤X≤33)P(27\le X\le 33) 을 구하시오.
  2. 예제 2
    확률변수 XX 가 정규분포 N(m, σ2)\mathrm{N}(m,\ \sigma^2) 을 따르고 P(X≤12)=P(X≥20)P(X\le 12)=P(X\ge 20) 일 때, mm 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    확률변수 XX 가 정규분포 N(60, 42)\mathrm{N}(60,\ 4^2) 을 따르고 P(X≤64)=0.8413P(X\le 64)=0.8413, P(X≥68)=0.0228P(X\ge 68)=0.0228 일 때, P(56≤X≤68)P(56\le X\le 68) 을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 표준정규분포 →
이전 개념: 연속확률변수와 확률밀도함수, 이산확률변수의 기댓값과 분산설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 도수분포표와 그래프, 공통수학2 유리식과 유리함수, 공통수학2 평행이동확률과 통계 목차
← 연속확률변수와 확률밀도함수표준정규분포 →
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