수학 개념 노트전체 과목

모비율의 추정

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
크기 nn 인 표본의 표본비율 p^=Xn\hat{p}=\dfrac{X}{n} 은 E(p^)=pE(\hat{p})=p, V(p^)=pqnV(\hat{p})=\dfrac{pq}{n} 이고 nn 이 크면 근사적으로 N(p, pqn)\mathrm{N}\left(p,\ \dfrac{pq}{n}\right) 을 따라요. 모비율 pp 의 신뢰도 95 %95\,\% 신뢰구간은 p^−1.96p^q^n≤p≤p^+1.96p^q^n\hat{p}-1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\le p\le \hat{p}+1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} (99 %99\,\% 는 2.582.58) 이에요.
  1. 1모비율과 표본비율
  2. 2표본비율의 분포
  3. 3모비율의 추정
  4. 4신뢰구간의 길이와 표본의 크기
  5. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1모비율과 표본비율

정의모비율과 표본비율
모집단에서 어떤 특성을 갖는 대상의 비율을 모비율이라 하고 pp 로 나타낸다.
모집단에서 크기가 nn 인 표본을 임의추출할 때, 표본에서 그 특성을 갖는 대상의 수를 XX 라 하면
p^=Xn\hat{p}=\dfrac{X}{n}
을 표본비율이라 한다.
학생
모비율과 표본비율은 뭐가 달라요?
쌤
모비율 pp 는 모집단 전체에서의 비율이라 정해진 값이에요. 표본비율 p^=Xn\hat{p}=\frac{X}{n} 은 뽑은 표본에서 구한 비율이라 표본마다 달라져요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
어느 학교 학생 중 200200 명을 임의추출하였더니 5050 명이 안경을 썼을 때, 표본비율 p^\hat{p} 는?
표본의 크기로 나눈다
✗ 틀린 풀이
시민 1000010000 명 중 400400 명을 뽑아 240240 명이 버스를 이용할 때
p^=24010000=0.024\hat{p}=\dfrac{240}{10000}=0.024
왜 틀렸나 표본비율은 표본에서 구하는 값이므로 분모는 표본의 크기 n=400n=400 이다.
✓ 바른 풀이
p^=240400=0.6\hat{p}=\dfrac{240}{400}=0.6
확인 방법: 표본비율은 뽑은 400400 명 가운데 버스를 이용하는 사람의 비율이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

p^\hat{p} 는 「피 햇」 이라 읽어요.
예를 들어 어느 도시 시민 중 400400 명을 임의추출하였더니 240240 명이 버스를 이용한다면
p^=240400=0.6\hat{p}=\dfrac{240}{400}=0.6
이에요. 모비율 pp 는 도시 전체의 비율이므로 정해진 상수이고, p^\hat{p} 는 표본에 따라 달라지는 확률변수예요.

2표본비율의 분포

공식모비율 pp, 표본의 크기 nn, q=1−pq=1-p
평균
E(p^)=p\displaystyle E(\hat{p})=p
분산
V(p^)=pqn\displaystyle V(\hat{p})=\dfrac{pq}{n}
XX 의 분산 npqnpq 를 n2n^2 으로 나눈다.
표준편차
σ(p^)=pqn\displaystyle \sigma(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}
성질표본비율의 분포
nn 이 충분히 크면 XX 는 근사적으로 정규분포 N(np, npq)\mathrm{N}(np,\ npq) 를 따른다.
따라서 p^=Xn\hat{p}=\dfrac{X}{n} 은 근사적으로 정규분포
N(p, pqn)\mathrm{N}\left(p,\ \dfrac{pq}{n}\right)
을 따른다. 보통 np≥5np\ge 5, nq≥5nq\ge 5 이면 nn 이 충분히 크다고 본다.

표본비율의 분산은 V(p^)=V(\hat{p})= pqn\frac{pq}{n} 이에요.

평균분산
표본평균 X‾\overline{X}mmσ2n\dfrac{\sigma^2}{n}
표본비율 p^\hat{p}pppqn\dfrac{pq}{n}
모분산 σ2\sigma^2 자리에 pqpq 가 들어간 꼴이에요.
학생
V(p^)V(\hat{p}) 는 왜 npqnpq 가 아니라 pqn\frac{pq}{n} 이에요?
쌤
npqnpq 는 개수 XX 의 분산이에요. p^=Xn\hat{p}=\frac{X}{n} 이니까 분산은 1n2\frac{1}{n^2} 배가 되어 npqn2=pqn\frac{npq}{n^2}=\frac{pq}{n} 이에요.
예모비율이 0.20.2 인 모집단에서 크기가 100100 인 표본을 임의추출할 때
E(p^)=0.2E(\hat{p})=0.2
V(p^)=0.2×0.8100=0.0016V(\hat{p})=\dfrac{0.2\times0.8}{100}=0.0016
σ(p^)=0.0016=0.04\sigma(\hat{p})=\sqrt{0.0016}=0.04
np=20np=20, nq=80nq=80 이 충분히 크므로 p^\hat{p} 는 근사적으로 N(0.2, 0.042)\mathrm{N}(0.2,\ 0.04^2) 을 따라요.
(단, P(0≤Z≤2)=0.4772P(0\le Z\le 2)=0.4772)
P(p^≥0.28)=P(Z≥0.28−0.20.04)=P(Z≥2)P(\hat{p}\ge 0.28)=P\left(Z\ge \dfrac{0.28-0.2}{0.04}\right)=P(Z\ge 2)
=0.5−0.4772=0.0228=0.5-0.4772=0.0228
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
모비율이 0.50.5 인 모집단에서 크기가 100100 인 표본을 임의추출할 때 σ(p^)\sigma(\hat{p}) 의 값은?
p̂ 의 분산과 X 의 분산
✗ 틀린 풀이
V(p^)=npq=100×0.2×0.8=16V(\hat{p})=npq=100\times0.2\times0.8=16
왜 틀렸나 p^=Xn\hat{p}=\dfrac{X}{n} 이므로 분산은 XX 의 분산 npqnpq 를 n2n^2 으로 나눈 pqn\dfrac{pq}{n} 이다.
✓ 바른 풀이
V(p^)=pqn=0.2×0.8100=0.0016V(\hat{p})=\dfrac{pq}{n}=\dfrac{0.2\times0.8}{100}=0.0016
기억 요령: 개수 XX 의 분산은 npqnpq, 비율 p^\hat{p} 의 분산은 pqn\dfrac{pq}{n} 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

왜 이런 공식이 되는지 알아봐요. 표본을 복원추출하면 한 명씩 뽑을 때마다 특성을 가질 확률이 pp 로 같고 서로 독립이에요.
따라서 특성을 갖는 대상의 수 XX 는 이항분포 B(n, p)\mathrm{B}(n,\ p) 를 따라요.
E(X)=npE(X)=np
V(X)=npqV(X)=npq

p^=Xn\hat{p}=\dfrac{X}{n} 이므로 aXaX 의 평균·분산 성질에서 a=1na=\dfrac{1}{n} 로 놓아요.

E(p^)=1nE(X)=npn=pE(\hat{p})=\frac{1}{n}E(X)=\frac{np}{n}=p
V(p^)=1n2V(X)=npqn2=pqnV(\hat{p})=\frac{1}{n^2}V(X)=\frac{npq}{n^2}=\frac{pq}{n}

n=2n=2 일 때 직접 확인해 봐요. 두 명 중 특성을 갖는 사람이 0, 1, 20,\ 1,\ 2 명이면 p^=0, 12, 1\hat{p}=0,\ \dfrac{1}{2},\ 1 이에요.

p^\hat{p}0012\frac{1}{2}11
확률q2q^22pq2pqp2p^2
특성을 갖는 사람 수가 B(2, p)\mathrm{B}(2,\ p) 를 따르므로 확률은 2Cxpxq2−x{}_{2}\mathrm{C}_{x}p^xq^{2-x} 예요.
E(p^)=12×2pq+1×p2=p(q+p)=pE(\hat{p})=\frac{1}{2}\times2pq+1\times p^2=p(q+p)=p
↳q+p=1q+p=1
E(p^2)=14×2pq+1×p2=pq2+p2E(\hat{p}^2)=\frac{1}{4}\times2pq+1\times p^2=\frac{pq}{2}+p^2
V(p^)=pq2+p2−p2=pq2V(\hat{p})=\frac{pq}{2}+p^2-p^2=\frac{pq}{2}
↳E(p^2)−{E(p^)}2E(\hat{p}^2)-\{E(\hat{p})\}^2

공식 V(p^)=V(\hat{p})= pqn\frac{pq}{n} 에 n=2n=2 를 넣은 값과 같아요.

표본평균과 나란히 비교하면 다음과 같아요.

3모비율의 추정

공식모비율 pp 의 신뢰구간 (표본의 크기 nn, 표본비율 p^\hat{p}, q^=1−p^\hat{q}=1-\hat{p})
신뢰도 95 %95\,\%
p^−1.96p^q^n≤p≤p^+1.96p^q^n\displaystyle \hat{p}-1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\le p\le \hat{p}+1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}
신뢰도 99 %99\,\%
p^−2.58p^q^n≤p≤p^+2.58p^q^n\displaystyle \hat{p}-2.58\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\le p\le \hat{p}+2.58\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}
학생
모비율 pp 대신 왜 p^\hat{p} 를 넣어요?
쌤
모비율 pp 를 모르니까 추정하는 거예요. nn 이 충분히 크면 p^\hat{p} 가 pp 에 가까우므로, 표준편차 pqn\sqrt{\frac{pq}{n}} 의 pp 자리에 p^\hat{p} 를 넣어 계산해요.
예어느 도시 시민 400400 명을 임의추출하였더니 320320 명이 찬성하였을 때
p^=320400=0.8\hat{p}=\dfrac{320}{400}=0.8
q^=0.2\hat{q}=0.2
0.8×0.2400=0.0004=0.02\sqrt{\dfrac{0.8\times0.2}{400}}=\sqrt{0.0004}=0.02
1.96×0.02=0.03921.96\times0.02=0.0392
따라서 신뢰도 95 %95\,\% 의 신뢰구간은 0.7608≤p≤0.83920.7608\le p\le 0.8392
신뢰도 99 %99\,\% 이면 2.58×0.02=0.05162.58\times0.02=0.0516 이므로
0.7484≤p≤0.85160.7484\le p\le 0.8516
p^=0.8\hat{p}=0.8 일 때의 두 신뢰구간
95 %95\,\%: 0.7608≤p≤0.83920.7608\le p\le 0.8392
99 %99\,\%: 0.7484≤p≤0.85160.7484\le p\le 0.8516
0.740.760.780.80.820.840.86
p^\hat{p}
가운데가 p^=0.8\hat{p}=0.8 이고 한쪽 거리가 95 %95\,\% 는 0.03920.0392, 99 %99\,\% 는 0.05160.0516 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
임의추출한 100100 명 중 5050 명이 찬성하였을 때, 모비율 pp 에 대한 신뢰도 95 %95\,\% 의 신뢰구간은?
근호를 씌운다
✗ 틀린 풀이
0.8−1.96×0.8×0.2400≤p≤0.8+1.96×0.8×0.24000.8-1.96\times\dfrac{0.8\times0.2}{400}\le p\le 0.8+1.96\times\dfrac{0.8\times0.2}{400}
왜 틀렸나 신뢰구간에는 표준편차를 쓰므로 분산 p^q^n\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n} 에 근호를 씌워야 한다.
✓ 바른 풀이
0.8−1.960.8×0.2400≤p≤0.8+1.960.8×0.24000.8-1.96\sqrt{\dfrac{0.8\times0.2}{400}}\le p\le 0.8+1.96\sqrt{\dfrac{0.8\times0.2}{400}}
확인 방법: 0.16400=0.02\sqrt{\dfrac{0.16}{400}}=0.02 이므로 신뢰구간은 0.8−0.0392≤p≤0.8+0.03920.8-0.0392\le p\le 0.8+0.0392 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

모평균의 신뢰구간 x‾±kσn\overline{x}\pm k\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 과 같은 틀이에요.
가운데 값 x‾\overline{x} 자리에 p^\hat{p} 가, 표준편차 σn\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} 자리에 p^q^n\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} 이 들어가요.

이 공식이 나오는 과정은 다음과 같아요.
nn 이 충분히 크면 Z=p^−ppq/nZ=\dfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{pq/n}} 은 근사적으로 표준정규분포를 따라요.
P(−1.96≤Z≤1.96)=0.95P(-1.96\le Z\le 1.96)=0.95 에서 모평균의 추정과 같은 방법으로 정리하면
p^−1.96pqn≤p≤p^+1.96pqn\hat{p}-1.96\sqrt{\dfrac{pq}{n}}\le p\le \hat{p}+1.96\sqrt{\dfrac{pq}{n}}
근호 안의 pp 는 모르는 값이에요. nn 이 충분히 크면 p^\hat{p} 는 pp 에 가까우므로 pp, qq 대신 p^\hat{p}, q^\hat{q} 를 써요.

공식 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
V(p^)=pq□V(\hat{p})=\dfrac{pq}{\square}
단계 1 / 3
95 %=p^±1.96□n95\,\%=\hat{p}\pm 1.96\sqrt{\dfrac{\square}{n}}
모비율의 신뢰구간을 구하는 순서
  1. 1
    표본비율 p^=Xn\hat{p}=\dfrac{X}{n} 과 q^=1−p^\hat{q}=1-\hat{p} 를 구해요.
  2. 2
    p^q^n\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} 을 계산해요.
    근호를 빠뜨리지 않아요.
  3. 3
    신뢰도에 맞는 kk 를 곱해요.
    95 %95\,\% 이면 1.961.96, 99 %99\,\% 이면 2.582.58
  4. 4
    p^\hat{p} 에서 빼고 더하여 구간을 써요.

4신뢰구간의 길이와 표본의 크기

성질신뢰구간의 길이
모비율의 신뢰구간의 길이는
2kp^q^n2k\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}} (k=1.96k=1.96 또는 2.582.58)
이다. 모평균의 경우와 마찬가지로 신뢰도가 높을수록 길고, nn 이 클수록 짧다.
표본의 크기를 44 배로 하면 길이는 12\dfrac{1}{2} 배가 된다.
학생
길이를 13\frac{1}{3} 배로 하려면요?
쌤
길이는 n\sqrt{n} 에 반비례하니까 n\sqrt{n} 을 33 배, 즉 표본의 크기를 99 배로 해야 해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
p^=0.5\hat{p}=0.5, n=100n=100 일 때 모비율에 대한 신뢰도 95 %95\,\% 의 신뢰구간의 길이는?
길이는 양쪽을 합한다
✗ 틀린 풀이
1.960.16n≤0.07841.96\sqrt{\dfrac{0.16}{n}}\le 0.0784 로 놓고 n≥100n\ge 100
왜 틀렸나 신뢰구간의 길이는 양쪽 거리를 합한 것이므로 2×1.960.16n2\times1.96\sqrt{\dfrac{0.16}{n}} 으로 놓아야 한다.
✓ 바른 풀이
2×1.960.16n≤0.07842\times1.96\sqrt{\dfrac{0.16}{n}}\le 0.0784 로 놓고 n≥400n\ge 400
확인 방법: n=400n=400 이면 0.16400=0.02\sqrt{\dfrac{0.16}{400}}=0.02 이고 2×1.96×0.02=0.07842\times1.96\times0.02=0.0784 이다.
자세히 보기펼치기예제
길이가 0.07840.0784 이하가 되는 표본의 크기 (p^=0.2\hat{p}=0.2, 신뢰도 95 %95\,\%)
2×1.960.2×0.8n≤0.07842\times1.96\sqrt{\frac{0.2\times0.8}{n}}\le 0.0784
0.16n≤0.02\sqrt{\frac{0.16}{n}}\le 0.02
↳양변을 3.923.92 로 나눠요
0.16n≤0.0004\frac{0.16}{n}\le 0.0004
↳양변을 제곱해요
n≥400n\ge 400
따라서 nn 의 최솟값은 400400 이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1모비율이 pp 인 모집단에서 크기가 nn 인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 p^\hat{p} 에 대하여 (q=1−pq=1-p)
  2. 2E(p^)=pE(\hat{p})=p
    V(p^)=pqnV(\hat{p})=\dfrac{pq}{n}
    σ(p^)=pqn\sigma(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{pq}{n}}
  3. 3nn 이 충분히 크면 p^\hat{p} 는 근사적으로 정규분포 N(p, pqn)\mathrm{N}\left(p,\ \dfrac{pq}{n}\right) 을 따른다.
  4. 4모비율 pp 의 신뢰구간 (q^=1−p^\hat{q}=1-\hat{p})
    신뢰도 95 %95\,\%: p^−1.96p^q^n≤p≤p^+1.96p^q^n\hat{p}-1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}\le p\le \hat{p}+1.96\sqrt{\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n}}
    신뢰도 99 %99\,\% 이면 1.961.96 대신 2.582.58
✗ 자주 하는 실수
  • 표본비율의 분산을 개수 XX 의 분산 npqnpq 로 써요. V(p^)=pqnV(\hat{p})=\dfrac{pq}{n} 이에요.
  • 신뢰구간에서 근호를 빠뜨려 p^±1.96p^q^n\hat{p}\pm1.96\dfrac{\hat{p}\hat{q}}{n} 으로 계산해요.
  • 표본비율을 모집단의 크기로 나누어 구하거나, 신뢰구간의 길이에서 22 를 빠뜨려요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    모비율이 0.20.2 인 모집단에서 크기가 100100 인 표본을 임의추출할 때, 표본비율 p^\hat{p} 의 평균, 분산, 표준편차를 구하시오.
  2. 예제 2
    어느 도시 시민 400400 명을 임의추출하여 조사하였더니 320320 명이 찬성하였다. 이 도시 시민 전체의 찬성 비율 pp 에 대한 신뢰도 95 %95\,\% 의 신뢰구간을 구하시오. (단, P(0≤Z≤1.96)=0.475P(0\le Z\le 1.96)=0.475)
  3. 예제 3
    어느 공장 제품 900900 개를 임의추출하여 검사하였더니 불량품이 9090 개였다. 이 공장 제품 전체의 불량률 pp 에 대한 신뢰도 99 %99\,\% 의 신뢰구간을 구하시오. (단, P(0≤Z≤2.58)=0.495P(0\le Z\le 2.58)=0.495)

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