이산확률변수와 확률분포

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

시행의 결과에 따라 값이 정해지는 변수를 확률변수라 하고, 값을 셀 수 있으면 이산확률변수라 해요. 확률질량함수

P(X=x_i)=p_i

는

0\le p_i\le 1

\sum p_i=1

을 만족하고, 범위의 확률은 그 범위에 드는 값의 확률을 더해서 구해요.

1확률변수
2확률분포와 확률질량함수
3확률질량함수의 성질
4범위의 확률 구하기
5헷갈리는 기호 비교
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (5개 · 핵심 용어 가리기)

1확률변수

동전 $2$ 개를 동시에 던지는 시행에서 앞면을 H, 뒷면을 T 라 하면 표본공간은
$S=\{\mathrm{HH},\ \mathrm{HT},\ \mathrm{TH},\ \mathrm{TT}\}$
이에요. 앞면이 나오는 개수를 $X$ 라 하면 각 결과에 $X$ 의 값이 하나씩 정해져요(아래 대응 그림).

정의확률변수

어떤 시행에서 표본공간의 각 원소에 하나의 실수를 대응시키는 것을 확률변수 라 한다.
확률변수는 보통

X,\ Y,\ Z

와 같은 대문자로 나타내고, 그 변수가 가지는 값은

x,\ y,\ z

와 같은 소문자로 나타낸다.

X

가

x

라는 값을 가질 확률을

P(X=x)

로 나타낸다.

동전

2

개

결과마다

X

의 값 하나

표본공간의 원소마다 화살표가 하나씩 나가 실수 하나에 대응해요. 이 대응이 확률변수

X

예요.

학생

확률변수는 변수인데 왜 「확률」이 붙어요?

쌤

X

의 값은 시행 결과에 따라 정해져서 어떤 값이 나올지 미리 알 수 없어요. 값마다 나올 확률로만 말할 수 있어서 확률변수라고 해요. 동전

2

개라면

X=1

일 확률은

\frac{2}{4}

예요.

정의이산확률변수

확률변수

X

가 가지는 값이 유한개이거나

1,\ 2,\ 3,\ \cdots

처럼 셀 수 있을 때,

X

를 이산확률변수 라 한다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

다음 중 이산확률변수가 아닌 것은?

자세히 보기펼치기예제

예이산확률변수의 예

주사위 한 개를 던질 때 나오는 눈의 수
가지는 값은

1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6

이에요.
동전

3

개를 던질 때 앞면이 나오는 개수
가지는 값은

0,\ 1,\ 2,\ 3

이에요.
제품

10

개 중 불량품의 개수
가지는 값은

0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 10

이에요.
키, 몸무게, 걸린 시간처럼 어떤 범위의 모든 실수 값을 가지는 확률변수는 셀 수 없으므로 이산확률변수가 아니에요. 이런 확률변수는 연속확률변수예요.

2확률분포와 확률질량함수

동전 $2$ 개를 던질 때 앞면의 개수 $X$ 의 값마다 해당하는 결과를 세어 확률을 구하면 아래와 같아요.

X

의 확률분포

$X=0$ $TT$ : $\frac{1}{4}$
$X=1$ $HT,\ TH$ : $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
$X=2$ $HH$ : $\frac{1}{4}$

막대 높이가 확률이에요. 세 막대의 높이를 더하면

1

이에요.

정의확률분포

확률변수

X

가 가지는 값과

X

가 그 값을 가질 확률의 대응 관계를

X

의 확률분포 라 한다.
이산확률변수

X

가 가지는 값이

x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n

이고 각 값을 가질 확률이

p_1,\ p_2,\ \cdots,\ p_n

일 때

P(X=x_i)=p_i

(

i=1,\ 2,\ \cdots,\ n

)
를

X

의 확률질량함수 라 한다.

학생

확률분포를 직접 만들 때는 뭘 조심해요?

쌤

X

가 가질 수 있는 값을 빠짐없이 쓰고, 값마다 확률을 구해요. 다 쓰고 나면 확률을 모두 더해

1

이 되는지 꼭 확인해요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

동전

2

개를 던질 때 앞면의 개수를

X

라 하면

P(X=1)

의 값은?

자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

확률분포는 표로 나타내기도 하고 식으로 나타내기도 해요.
예를 들어 확률질량함수
$P(X=x)=\dfrac{x}{10}$ ( $x=1,\ 2,\ 3,\ 4$ )
는 $x$ 에 $1,\ 2,\ 3,\ 4$ 를 차례로 넣어 다음 표로 바꿀 수 있어요.

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	합계
$P(X=x)$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{2}{5}$	$1$

확률분포를 구하는 순서

1
확률변수 $X$ 가 가질 수 있는 값을 빠짐없이 써요.
가장 작은 값과 가장 큰 값을 먼저 정해요.
2
각 값에 대하여 $P(X=x)$ 를 구해요.
(그 사건의 경우의 수) $\div$ (전체 경우의 수)
3
표로 정리해요.
4
확률을 모두 더하여 $1$ 이 되는지 확인해요.
$1$ 이 아니면 빠진 값이나 계산 실수가 있어요.

예흰 공 3개, 검은 공 2개에서 2개를 동시에 꺼낼 때 흰 공의 개수 X

전체 경우의 수는

{}_{5}\mathrm{C}_{2}=10

X=0

은 검은 공

2

개를 꺼내는 경우예요.

P(X=0)=\dfrac{{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{10}=\dfrac{1}{10}

X=1

은 흰 공

1

개, 검은 공

1

개를 꺼내는 경우예요.

P(X=1)=\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{1}\times{}_{2}\mathrm{C}_{1}}{10}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}

X=2

는 흰 공

2

개를 꺼내는 경우예요.

P(X=2)=\dfrac{{}_{3}\mathrm{C}_{2}}{10}=\dfrac{3}{10}

검산:

\dfrac{1}{10}+\dfrac{6}{10}+\dfrac{3}{10}=1

흰 공의 개수

X

X=1

일 확률이 가장 커요. 세 확률의 합은

1

이에요.

3확률질량함수의 성질

각 $p_i$ 는 확률이므로 $0$ 이상 $1$ 이하예요.
또 사건 $X=x_1,\ X=x_2,\ \cdots,\ X=x_n$ 은 서로 배반이고, 이 사건들을 모두 합하면 표본공간 전체가 돼요.
그래서 확률을 모두 더하면 $1$ 이에요.

공식이산확률변수

X

의 확률질량함수

P(X=x_i)=p_i

(

i=1,\ 2,\ \cdots,\ n

) 의 성질

범위

\displaystyle 0\le p_i\le 1

합

\displaystyle p_1+p_2+\cdots+p_n=1

표의 확률을 모두 더하면

1

범위의 확률

\displaystyle P(x_i\le X\le x_j)=p_i+p_{i+1}+\cdots+p_j

i\le j

, 서로 배반인 사건의 확률을 더한다.

학생

확률질량함수에 모르는 상수가 있으면 어떻게 구해요?

쌤

확률을 모두 더하면

1

이라는 성질을 써요. 구한 값으로 각 확률이

0

이상

1

이하인지도 확인해요.

예

P(X=x)=kx

(

x=1,\ 2,\ 3,\ 4

) 일 때 상수

k

x=1,\ 2,\ 3,\ 4

일 때의 확률

k,\ 2k,\ 3k,\ 4k

를 모두 더하면

1

이에요.

k+2k+3k+4k=1

10k=1

따라서

k=\dfrac{1}{10}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

P(X=x)=kx

(

x=1,\ 2,\ 3

) 일 때 상수

k

의 값은?

모든 확률을 더한다

✗ 틀린 풀이

P(X=x)=kx

(

x=1,\ 2,\ 3,\ 4

) 에서

4k=1

왜 틀렸나 확률분포에서는

X

가 가질 수 있는 모든 값의 확률을 더한 것이

1

이다.

✓ 바른 풀이

k+2k+3k+4k=1

k=\dfrac{1}{10}

바른 계산은

k(1+2+3+4)=10k=1

이다.
확인 방법:

k=\dfrac{1}{10}

을 넣으면

\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10}+\dfrac{4}{10}=1

이다.

확률은 음수가 될 수 없다

✗ 틀린 풀이

a=\dfrac{1}{3}

또는

a=-\dfrac{4}{3}

왜 틀렸나 확률은

0

이상

1

이하이므로 방정식의 해 중 이 조건을 만족하는 것만 답이 된다.

✓ 바른 풀이

a=\dfrac{1}{3}

a=-\dfrac{4}{3}

이면

P(X=0)=-\dfrac{4}{3}<0

이 되어 확률이 될 수 없어요.

0\le p_i\le 1

을 꼭 확인해요.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2

확률질량함수에 모르는 상수가 있으면 「확률의 합은 $1$ 」 을 써서 구해요.

예표에 모르는 수가 있는 꼴

확률분포가 다음과 같을 때 상수

a

의 값을 구해요.

\begin{array}{c|cccc|c} X & 1 & 2 & 3 & 4 & \text{합계} \\ \hline P(X=x) & a & \frac{1}{4} & 2a & a & 1 \end{array}

확률의 합은

1

이므로

a+\dfrac{1}{4}+2a+a=1

4a=\dfrac{3}{4}

따라서

a=\dfrac{3}{16}

예응용

확률이 제곱식인 경우

확률분포가 다음과 같을 때 상수

a

의 값을 구해요.

\begin{array}{c|ccc|c} X & 0 & 1 & 2 & \text{합계} \\ \hline P(X=x) & a & \frac{5}{9} & a^2 & 1 \end{array}

확률의 합은

1

이므로

a+\dfrac{5}{9}+a^2=1

양변에

9

를 곱하여 정리하면

9a^2+9a-4=0

(3a-1)(3a+4)=0

a=\dfrac{1}{3}

또는

a=-\dfrac{4}{3}

확률은

0

이상이어야 하므로

a\ge 0

이에요.
따라서

a=\dfrac{1}{3}

검산:

\dfrac{1}{3}+\dfrac{5}{9}+\dfrac{1}{9}=1

4범위의 확률 구하기

사건 「 $a\le X\le b$ 」 는 $X$ 가 $a$ 이상 $b$ 이하인 값을 가지는 사건들의 합사건이에요.
이 사건들은 서로 배반이므로 확률을 더하면 돼요.

예

P(X=x)=\dfrac{x}{10}

(

x=1,\ 2,\ 3,\ 4

) 일 때

P(2\le X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)

=\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{2}

X<3

은

X=1,\ 2

이에요.

P(X<3)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}=\dfrac{3}{10}

여사건을 쓰면

P(X\ge 2)=1-P(X=1)

=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}

학생

여사건은 언제 쓰면 좋아요?

쌤

범위에 드는 값은 많고 빠지는 값은 적을 때예요.

P(X\ge 2)

는 세 값을 더하는 것보다

1-P(X=1)

이 빨라요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

P(X=x)=\frac{x}{10}

(

x=1,\ 2,\ 3,\ 4

) 일 때

P(X>2)

의 값은?

등호가 없으면 끝 값을 뺀다

✗ 틀린 풀이

P(1<X\le 3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)

왜 틀렸나

1<X

에는 등호가 없으므로

X=1

은 들어가지 않고

X=2,\ 3

의 확률만 더한다.

✓ 바른 풀이

P(1<X\le 3)=P(X=2)+P(X=3)

기억 요령: 이산확률변수에서는 범위의 양 끝 값마다 등호가 있는지 하나씩 확인한다.

X\le 3

에는

X=3

이 들어간다.

자세히 보기펼치기왜 그런지예제

P(a\le X\le b)

를 구하는 순서

1
$X$ 가 가지는 값 중 범위에 드는 값을 골라요.
$\le$ 이면 끝 값을 넣고, $<$ 이면 끝 값을 빼요.
2
고른 값의 확률을 모두 더해요.
3
더할 값이 많으면 여사건을 써요.
$P(X\ge 2)=1-P(X=1)$ 처럼 나머지를 $1$ 에서 빼요.

예응용

조건이 식으로 주어진 경우

같은 확률분포에서

P(|X-2|\le 1)

을 구해요.
먼저 조건을

X

의 범위로 바꿔요.

|X-2|\le 1

1\le X\le 3

따라서

P(|X-2|\le 1)=\dfrac{1}{10}+\dfrac{2}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}

5헷갈리는 기호 비교

공식확률변수와 값, 확률

확률변수

\displaystyle X

시행의 결과에 따라 값이 정해지는 변수(대문자)

가지는 값

\displaystyle x_1,\ x_2,\ \cdots,\ x_n

X

가 실제로 가지는 수(소문자)

확률

\displaystyle P(X=x_i)=p_i

그 값을 가질 확률,

0\le p_i\le 1

합이 1인 것

\displaystyle p_1+p_2+\cdots+p_n=1

x_1+x_2+\cdots+x_n

은

1

일 필요가 없다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

확률분포표에서 합이 반드시

1

이 되는 것은?

자세히 보기펼치기왜 그런지

확률분포표에서 합계가 $1$ 이 되어야 하는 것은 아래 줄의 확률이에요.
위 줄의 $X$ 의 값을 더한 것은 아무 뜻이 없어요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1확률변수: 시행의 결과에 따라 값이 정해지는 변수
가지는 값이 유한개이거나 셀 수 있으면 이산확률변수이다.
2확률질량함수
$P(X=x_i)=p_i$ ( $i=1,\ 2,\ \cdots,\ n$ )
3 $0\le p_i\le 1$
$p_1+p_2+\cdots+p_n=1$
4 $P(x_i\le X\le x_j)=p_i+p_{i+1}+\cdots+p_j$ ( $i\le j$ )
범위에 드는 값의 확률을 모두 더한다.

✗ 자주 하는 실수

$P(X=x)=kx$ ( $x=1,\ 2,\ 3,\ 4$ ) 에서 확률을 모두 더하지 않고 $4k=1$ 처럼 한 값의 확률만 $1$ 로 놓아요.
확률이 $a^2$ , $a$ 처럼 주어진 문제에서 방정식의 해를 모두 답으로 쓰고, 음수인 해를 버리지 않아요.
$P(1<X\le 3)$ 에 $P(X=1)$ 을 넣는 것처럼 등호가 없는 끝 값을 더하거나, $X$ 의 값을 더한 것을 $1$ 로 놓아요.

STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

예제 1
동전 $3$ 개를 동시에 던질 때 앞면이 나오는 개수를 $X$ 라 하자. $X$ 의 확률분포를 표로 나타내고, $P(X\ge 2)$ 를 구하시오.
예제 2
확률변수 $X$ 의 확률질량함수가 $P(X=x)=kx^2$ ( $x=1,\ 2,\ 3$ ) 일 때, 상수 $k$ 의 값과 $P(X\ge 2)$ 를 구하시오.
예제 3
확률변수 $X$ 의 확률분포가 다음 표와 같을 때, $P(X\le 2)$ 를 구하시오. $\begin{array}{c|ccc|c} X & 1 & 2 & 3 & \text{합계} \\ \hline P(X=x) & a & a^2 & \frac{1}{4} & 1 \end{array}$

다음 공부

다음 개념: 이산확률변수의 기댓값과 분산 →다음 개념: 연속확률변수와 확률밀도함수 →

이전 개념: 독립시행의 확률설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 함수의 뜻과 그래프, 공통수학1 조합, 공통수학1 절댓값을 포함한 일차부등식확률과 통계 목차

← 독립시행의 확률 이산확률변수의 기댓값과 분산 →

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