유리식과 유리함수

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것

두 다항식

A

B\ (B\ne0)

로

\dfrac{A}{B}

꼴로 나타내는 식을 유리식이라 하고, 유리식은 분수처럼 약분·통분하여 계산해요. 유리함수

y=\dfrac{k}{x-p}+q

의 그래프는

y=\dfrac{k}{x}

의 그래프를 평행이동한 것으로, 점근선은 두 직선

x=p

y=q

이에요.

1유리식과 그 계산
2번분수식과 부분분수
3유리함수
4유리함수 $y=\dfrac{k}{x}$ 의 그래프
5유리함수 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 의 그래프
6유리함수 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 와 역함수
✓한눈에 정리

정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

빈칸 연습 (6개 · 핵심 용어 가리기)

1유리식과 그 계산

정의유리식

두 다항식

A

B\ (B\ne0)

에 대하여

\dfrac{A}{B}

꼴로 나타낼 수 있는 식을 유리식이라 한다.

B

가

0

이 아닌 상수이면

\dfrac{A}{B}

는 다항식이므로, 다항식도 유리식이다.
다항식이 아닌 유리식을 분수식이라 한다.
예:

2x+1

\dfrac{x^2}{3}

은 다항식이고,

\dfrac{1}{x}

\dfrac{x+1}{x^2-1}

은 분수식이다.

공식유리식의 사칙연산 (

A,\ B,\ C,\ D

는 다항식, 분모는

0

이 아니다)

덧셈·뺄셈

\displaystyle \frac{A}{C}\pm\frac{B}{C}=\frac{A\pm B}{C}

분모가 다르면 먼저 통분한다.

곱셈

\displaystyle \frac{A}{B}\times\frac{C}{D}=\frac{AC}{BD}

곱하기 전에 인수분해하여 약분하면 편하다.

나눗셈

\displaystyle \frac{A}{B}\div\frac{C}{D}=\frac{A}{B}\times\frac{D}{C}=\frac{AD}{BC}

C\ne0

이어야 한다.

학생

분수 계산과 뭐가 달라요?

쌤

방법은 같아요. 다만 약분할 때는 분자와 분모를 인수분해해서 인수끼리 지워야 해요. 항 하나만 골라 지우면 안 돼요.

예통분

\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\frac{1}{x}+\frac{1}{x+2}

를 계산하면?

약분은 인수끼리

✗ 틀린 풀이

\dfrac{x+2}{x+3}=\dfrac{2}{3}

왜 틀렸나 약분은 분자와 분모에 곱으로 묶인 같은 인수끼리만 할 수 있고, 더해진 항은 지울 수 없다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{x+2}{x+3}

은 더 이상 약분할 수 없다.

확인 방법: 분자와 분모를 인수분해하여 공통인수가 있을 때만 약분한다.

x+2

와

x+3

은 공통인수가 없다.

분모끼리 더하지 않는다

✗ 틀린 풀이

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{2x+1}

왜 틀렸나 분모가 다른 분수를 더할 때는 통분하여 분모를 같게 만든 뒤 분자끼리 더해야 한다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{(x+1)+x}{x(x+1)}=\dfrac{2x+1}{x(x+1)}

검산:

x=1

을 넣으면 처음 식은

1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}

이고, 바른 식도

\dfrac{3}{1\times2}=\dfrac{3}{2}

이다.

자세히 보기펼치기성질 더 보기왜 그런지예제 2

성질유리식의 기본 성질

다항식

A

B

C\ (B\ne0,\ C\ne0)

에 대하여

\frac{A}{B}=\frac{A\times C}{B\times C}

\frac{A}{B}=\frac{A\div C}{B\div C}

분모와 분자를 공통인수로 나누는 것을 약분, 분모를 같게 만드는 것을 통분이라 한다.

유리식 계산 순서

1
분자와 분모를 각각 인수분해해요.
2
나눗셈은 뒤의 식을 뒤집어 곱셈으로 바꿔요.
3
덧셈·뺄셈은 분모의 최소공배수로 통분해요.
분자는 괄호로 묶어서 계산해요.
4
공통인수를 약분하여 더 이상 약분할 수 없는 꼴로 나타내요.
5
특정한 수를 넣어 처음 식과 값이 같은지 확인해요.
검산

예약분

\frac{x^2-1}{x^2+x}=\frac{(x+1)(x-1)}{x(x+1)}=\frac{x-1}{x}

예곱셈과 나눗셈

\frac{x+2}{x-1}\div\frac{x^2-4}{x^2-1}=\frac{x+2}{x-1}\times\frac{(x+1)(x-1)}{(x+2)(x-2)}=\frac{x+1}{x-2}

2번분수식과 부분분수

정의번분수식

분자 또는 분모에 분수식이 들어 있는 식을 번분수식이라 한다.
번분수식은 분자와 분모에 같은 식을 곱하거나,

\dfrac{A}{B}\div\dfrac{C}{D}

로 바꾸어 간단히 한다.

성질부분분수로 나누기

분모가 두 인수의 곱인 분수식을 두 분수식의 차로 나타내는 것을 부분분수로 나눈다고 한다.

\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)\quad(A\ne B)

이유: 오른쪽에서 괄호 안을 통분하면

\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}=\dfrac{B-A}{AB}

이므로 앞의

\dfrac{1}{B-A}

와 곱하면

\dfrac{1}{AB}

이다.
앞에 곱하는 수는 「(큰 인수)

-

(작은 인수)」 분의

1

이다.

예부분분수의 이용

B-A=(x+2)-x=2

이므로

\frac{1}{x(x+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}\right)

여러 개를 더할 때는 각각 부분분수로 나누면 가운데 항이 지워져요.

\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}

=\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)+\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}\right)+\left(\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}\right)

=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{3}{x(x+3)}

학생

\dfrac{1}{B-A}

를 곱하지 않으면 어떻게 돼요?

쌤

\frac{1}{x}-\frac{1}{x+2}

를 통분하면

\frac{2}{x(x+2)}

라서 원래 식의

2

배가 돼요. 그래서

\frac{1}{2}

을 곱해 맞춰요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

\frac{1}{x(x+3)}

을 부분분수로 나타내면?

앞의

\dfrac{1}{B-A}

를 빠뜨리지 않는다

✗ 틀린 풀이

\dfrac{1}{x(x+2)}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}

왜 틀렸나 부분분수로 나누면

\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}

를 분모 두 인수의 차

2

로 나누어야 한다.

✓ 바른 풀이

\dfrac{1}{x(x+2)}=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+2}\right)

검산:

x=1

을 넣으면 처음 식은

\dfrac{1}{3}

이고, 바른 식도

\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{1}{3}

이다.

자세히 보기펼치기예제외우기 카드

예번분수식 간단히 하기

분자와 분모에

x

를 곱하면

\frac{1+\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=\frac{x+1}{x-1}

여러 겹이면 안쪽부터 계산해요.

1-\dfrac{1}{1-x}=\dfrac{(1-x)-1}{1-x}=\dfrac{x}{x-1}

따라서

\frac{1}{1-\frac{1}{1-x}}=\frac{x-1}{x}

부분분수 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2두 인수의 차로 나눈다.

\frac{1}{AB}=\frac{1}{\square}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)

3유리함수

정의유리함수

함수

y=f(x)

에서

f(x)

가

x

에 대한 유리식일 때, 이 함수를 유리함수 라 한다.
특히

f(x)

가 다항식이면 다항함수라 한다.
예:

y=2x+1

y=x^2

은 다항함수이고,

y=\dfrac{1}{x}

y=\dfrac{x+1}{x-2}

는 다항함수가 아닌 유리함수이다.

유리함수에서 정의역이 주어지지 않으면 분모를 $0$ 으로 만들지 않는 실수 전체의 집합을 정의역으로 해요.
$y=\dfrac{x+1}{x-2}$ 의 정의역은 $\{x\mid x\ne2$ 인 실수 $\}$
$y=\dfrac{1}{x^2-1}$ 의 정의역은 $\{x\mid x\ne-1,\ x\ne1$ 인 실수 $\}$
$y=\dfrac{x}{x^2+1}$ 은 분모가 $0$ 이 되지 않으므로 정의역은 실수 전체의 집합이에요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=\frac{x}{x^2-4}

의 정의역은?

4유리함수 $y=\dfrac{k}{x}$ 의 그래프

정의점근선

곡선이 어떤 직선에 한없이 가까워질 때, 이 직선을 그 곡선의 점근선이라 한다.

y=\dfrac{k}{x}

의 그래프의 점근선은

x

축(

y=0

)과

y

축(

x=0

)이다.

공식

y=\dfrac{k}{x}\ (k\ne0)

의 그래프의 성질

정의역·치역

\displaystyle \{x\mid x\ne0\},\quad\{y\mid y\ne0\}

0 이 아닌 실수 전체이다.

사분면

\displaystyle k>0:\ \text{제1, 3사분면},\quad k<0:\ \text{제2, 4사분면}

대칭

\displaystyle \text{원점},\ \ y=x,\ \ y=-x

x

대신

-x

y

대신

-y

를 넣어도 같은 식이다.

점근선

\displaystyle x=0,\quad y=0

x

축과

y

축

|k|

의 크기

\displaystyle |k|\ \text{가 클수록 원점에서 멀어진다}

학생

그래프가 두 축과 정말 안 만나요?

쌤

네.

x=0

이면 분모가

0

이라 값이 없고,

\frac{k}{x}

는

0

이 될 수 없어서

y=0

도 안 돼요. 그래서 두 축과 만나지 않아요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=-\frac{3}{x}

의 그래프가 있는 사분면은?

자세히 보기펼치기왜 그런지

$y=\dfrac{2}{x}$ 에서 $x$ 가 $1,\ 2,\ 4,\ 10$ 으로 커지면 $y$ 는 $2,\ 1,\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{5}$ 로 $0$ 에 한없이 가까워져요.
$x$ 가 $0$ 에 가까워지면 $|y|$ 는 한없이 커져요.
그래서 그래프는 $x$ 축과 $y$ 축에 한없이 가까워지지만 만나지는 않아요.
「한없이 가까워진다」는 것은 함수의 극한으로 정확히 나타내요.

$y=\dfrac{k}{x}$ 를 $x$ 에 대하여 풀면 $x=\dfrac{k}{y}$ 이므로, 역함수는 자기 자신이에요.
그래서 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이에요.

5유리함수 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 의 그래프

$y=\dfrac{k}{x}$ 의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $p$ 만큼, $y$ 축의 방향으로 $q$ 만큼 평행이동하면 $x$ 대신 $x-p$ , $y$ 대신 $y-q$ 를 대입하여
$y-q=\dfrac{k}{x-p}$
즉 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 이에요.
점근선 $x=0$ , $y=0$ 도 함께 옮겨져 $x=p$ , $y=q$ 가 돼요.

공식

y=\dfrac{k}{x-p}+q\ (k\ne0)

정의역

\displaystyle \{x\mid x\ne p\ \text{인 실수}\}

치역

\displaystyle \{y\mid y\ne q\ \text{인 실수}\}

점근선

\displaystyle x=p,\quad y=q

두 직선

대칭

\displaystyle \text{점 }(p,\ q)

두 점근선의 교점에 대하여 대칭이다. 두 직선

y=(x-p)+q

y=-(x-p)+q

에 대하여도 대칭이다.

$y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 의 그래프는 점 (p, q)에 대하여 대칭이에요.
그래프를 그릴 때는 점근선 두 개를 먼저 긋고, $k$ 의 부호로 어느 쪽 사분면 모양인지 정한 뒤, $y$ 절편 같은 한 점을 찍어요.

예

y=\dfrac{2}{x-1}+3

의 그래프

점근선은 두 직선

x=1

y=3

정의역은

\{x\mid x\ne1\}

, 치역은

\{y\mid y\ne3\}

x=0

을 넣으면

y=-2+3=1

이므로

y

절편은

1

y=0

으로 놓으면

\dfrac{2}{x-1}=-3

에서

x=\dfrac{1}{3}

이므로

x

절편은

\dfrac{1}{3}

k=2>0

이므로 점근선을 기준으로 제1, 3사분면 쪽에 그래프가 있어요.

y=\dfrac{2}{x-1}+3

점근선

x=1

y=3

을 먼저 긋고, 그 교점

(1,\ 3)

을 중심으로 오른쪽 위·왼쪽 아래에 그래프가 있어요.

y

절편

1

x

절편

\frac{1}{3}

을 지나요.

학생

k

의 부호는 그래프에서 무엇을 정해요?

쌤

점근선이 만나는 점

(p,\ q)

를 원점처럼 보면,

k>0

이면 오른쪽 위와 왼쪽 아래,

k<0

이면 왼쪽 위와 오른쪽 아래에 그래프가 놓여요.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=\frac{1}{x+2}-5

의 점근선은?

점근선의 부호

✗ 틀린 풀이

y=\dfrac{2}{x+1}-3

의 점근선

x=1

y=-3

왜 틀렸나 세로 점근선은 분모를

0

으로 만드는

x

의 값이므로

x+1=0

에서 구해야 한다.

✓ 바른 풀이

y=\dfrac{2}{x+1}-3

의 점근선

x=-1

y=-3

x+1=x-(-1)

이므로

p=-1

이다.
검산:

x=-1

을 넣으면 분모가

0

이 되어 함숫값이 없다.

자세히 보기펼치기그림

6유리함수 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 와 역함수

$y=\dfrac{ax+b}{cx+d}\ (c\ne0,\ ad-bc\ne0)$ 는 분자를 분모로 나누어 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 꼴로 고친 뒤 그래프를 그려요.

예

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

2x+1=2(x-1)+3

↳◀분자를 분모로 나타내요

y=\frac{2(x-1)+3}{x-1}

y=\frac{3}{x-1}+2

↳◀분수를 나눠요

점근선은

x=1

y=2

이에요.

학생

분자를 분모로 나누면 왜

\dfrac{k}{x-p}+q

꼴이 돼요?

쌤

분자를 (분모)

\times

(몫)

+

(나머지)로 쓰면 몫이

q

, 나머지가

k

자리에 와요.

\frac{2x+1}{x-1}=2+\frac{3}{x-1}

처럼요.

성질

y=\dfrac{ax+b}{cx+d}

의 점근선

세로 점근선은 분모를

0

으로 만드는

x

의 값이다.

x=-\frac{d}{c}

가로 점근선은

x

의 계수의 비이다.

y=\frac{a}{c}

이유:

\dfrac{ax+b}{cx+d}=\dfrac{a}{c}+\dfrac{bc-ad}{c(cx+d)}

이고,

|x|

가 커지면 뒤의 항이

0

에 가까워진다.

ad-bc=0

이면 뒤의 항이 없어져 상수함수가 된다. 예를 들어

y=\dfrac{2x+4}{x+2}=2\ (x\ne-2)

의 그래프는 직선의 일부이다.

바로 확인방금 배운 것, 10초 문제

y=\frac{3x-1}{x+2}

의 점근선은?

가로 점근선

✗ 틀린 풀이

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

의 점근선

x=1

y=\dfrac{1}{-1}=-1

왜 틀렸나

y=\dfrac{ax+b}{cx+d}

의 가로 점근선은

x

의 계수의 비

y=\dfrac{a}{c}

이다.

✓ 바른 풀이

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

의 점근선

x=1

y=\dfrac{2}{1}=2

확인 방법: 표준형

y=\dfrac{3}{x-1}+2

로 고치면 가로 점근선

y=2

가 바로 보인다.

자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지

예분모의

x

의 계수가

1

이 아닌 꼴

4x+3=2(2x-1)+5

이므로

y=\frac{4x+3}{2x-1}=\frac{5}{2x-1}+2=\frac{\frac{5}{2}}{x-\frac{1}{2}}+2

점근선은

x=\dfrac{1}{2}

y=2

이에요.

y=\dfrac{ax+b}{cx+d}

의 역함수 구하기

1
양변에 $cx+d$ 를 곱해요.
$y(cx+d)=ax+b$
2
$x$ 가 있는 항을 한쪽으로 모아 $x$ 로 묶어요.
$x(cy-a)=-dy+b$
3
$x$ 에 대하여 풀어요.
$x=\dfrac{-dy+b}{cy-a}$
4
$x$ 와 $y$ 를 바꿔요.
$y=\dfrac{-dx+b}{cx-a}$

y=\dfrac{2x+1}{x-1}

의 역함수

xy-y=2x+1

↳◀양변에

x-1

을 곱해요

x(y-2)=y+1

↳◀

x

가 있는 항을 모아요

x=\frac{y+1}{y-2}

↳◀

x

에 대하여 풀어요

y=\frac{x+1}{x-2}

↳◀

x

와

y

를 바꿔요

처음 함수의 점근선은

x=1

y=2

, 역함수의 점근선은

x=2

y=1

로

x

와

y

가 바뀌었어요.

역함수의 그래프는 직선 $y=x$ 에 대하여 대칭이므로 점근선도 대칭으로 옮겨져요.
$y-q=\dfrac{k}{x-p}$ 에서 $x$ 와 $y$ 를 바꾸면 $x-q=\dfrac{k}{y-p}$ , 곧 $y-p=\dfrac{k}{x-q}$ 예요.
그래서 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 의 역함수는 $y=\dfrac{k}{x-q}+p$ 이고, 점근선은 $x=q$ , $y=p$ 이에요.

한눈에 정리

이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.

1유리식은 분수처럼 계산한다.
약분은 인수끼리, 덧셈·뺄셈은 통분하여 한다.
2부분분수
$\dfrac{1}{AB}=\dfrac{1}{B-A}\left(\dfrac{1}{A}-\dfrac{1}{B}\right)$
3 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 의 점근선은 $x=p$ , $y=q$ 이고, 정의역은 $x\ne p$ , 치역은 $y\ne q$ 이다.
4 $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 는 분자를 분모로 나누어 $y=\dfrac{k}{x-p}+q$ 꼴로 고친다.

✗ 자주 하는 실수

$\dfrac{x+2}{x+3}$ 처럼 인수가 아닌 항끼리 약분해요.
부분분수로 나눌 때 앞에 곱하는 $\dfrac{1}{B-A}$ 를 빠뜨려요.
$y=\dfrac{k}{x+p}+q$ 의 세로 점근선을 $x=p$ 로 쓰거나, $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ 의 가로 점근선을 $y=\dfrac{b}{d}$ 로 써요.