수학 개념 노트전체 과목

다항식의 나눗셈

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
내림차순으로 정리하여 나누고, A=BQ+RA=BQ+R 꼴로 나타내요. 나머지의 차수는 나누는 식보다 낮아요.
  1. 1다항식 ÷ 단항식
  2. 2다항식 ÷ 다항식 — 직접 나누기
  3. 3몫과 나머지의 관계 A=BQ+RA=BQ+R
  4. 4나머지의 꼴
  5. 5나누는 식이 ax+bax+b 일 때
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1다항식 ÷ 단항식

성질다항식 ÷ 단항식
다항식을 단항식으로 나눌 때는 다항식의 각 항을 단항식으로 나누어 더한다.(6x3y−4x2y2+2xy)÷2xy=6x3y2xy−4x2y22xy+2xy2xy=3x2−2xy+1(6x^3y-4x^2y^2+2xy)\div2xy=\frac{6x^3y}{2xy}-\frac{4x^2y^2}{2xy}+\frac{2xy}{2xy}=3x^2-2xy+1
학생
왜 각 항을 하나씩 나눠도 돼요?
쌤
나눗셈은 역수를 곱하는 것이라 분배법칙이 그대로 성립하거든요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(8x2−4x)÷4x(8x^2-4x)\div4x 를 계산하면?
자기 자신으로 나눈 항
✗ 틀린 풀이
(6x3−4x2+2x)÷2x=3x2−2x(6x^3-4x^2+2x)\div2x=3x^2-2x
왜 틀렸나 어떤 식을 자기 자신으로 나누면 11 이므로, 나눗셈 뒤에도 항의 개수는 줄지 않는다.
✓ 바른 풀이
(6x3−4x2+2x)÷2x=3x2−2x+1(6x^3-4x^2+2x)\div2x=3x^2-2x+1
확인: 몫 3x2−2x+13x^2-2x+1 에 2x2x 를 곱하면 처음 식 6x3−4x2+2x6x^3-4x^2+2x 가 다시 나와야 한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

검산하면
2xy(3x2−2xy+1)=6x3y−4x2y2+2xy2xy(3x^2-2xy+1)=6x^3y-4x^2y^2+2xy 예요.

2다항식 ÷ 다항식 — 직접 나누기

나눗셈은 두 식을 모두 내림차순으로 정리한 뒤, 최고차항끼리 나누어 몫의 항을 하나씩 정해요. 빠진 차수의 항이 있으면 계수 00 으로 자리를 비워 두면 동류항끼리 줄이 맞아 실수가 줄어들어요. 수의 나눗셈에서 큰 자리부터 몫을 정하는 것과 같은 원리예요.

직접 나눗셈
(x3−2x2+4)÷(x−3)(x^3-2x^2+4)\div(x-3)
x2x^{2}+x+x+3+3x−3x-3x3x^{3}−2x2-2x^{2}+4+4
1−(x3-(x^{3}−3x2)-3x^{2})x2x^{2}+4+4
2−(x2-(x^{2}−3x)-3x)3x3x+4+4
3−(3x-(3x−9)-9)1313
  1. 1x3÷x=x2x^3\div x=x^2 → x2(x−3)=x3−3x2x^2(x-3)=x^3-3x^2 을 빼면 x2+4x^2+4
  2. 2x2÷x=xx^2\div x=x → x(x−3)=x2−3xx(x-3)=x^2-3x 를 빼면 3x+43x+4
  3. 33x÷x=33x\div x=3 → 3(x−3)=3x−93(x-3)=3x-9 를 빼면 나머지 1313
  4. 몫 x2+x+3x^{2}+x+3나머지 1313
xx 항이 없으므로 0x0x 자리를 비워 두었어요.
자리를 두지 않으면 44 가 xx 의 자리로 밀려 동류항이 아닌 항끼리 빼게 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(x2+5x+7)÷(x+2)(x^2+5x+7)\div(x+2) 의 나머지는?
빼는 단계의 부호
✗ 틀린 풀이
(x3−2x2)−(x3−3x2)=−5x2(x^3-2x^2)-(x^3-3x^2)=-5x^2
왜 틀렸나 아랫줄 전체를 빼므로 −3x2-3x^2 도 부호가 바뀌어 +3x2+3x^2 이 된다.
✓ 바른 풀이
(x3−2x2)−(x3−3x2)=x3−2x2−x3+3x2=x2(x^3-2x^2)-(x^3-3x^2)=x^3-2x^2-x^3+3x^2=x^2
바르게 빼면 최고차항 x3x^3 이 지워진다. 빼고 남은 식의 차수가 낮아졌는지 확인한다.
언제 멈추는가
(2x2+5x+4)÷(x+1)(2x^2+5x+4)\div(x+1)
✗ 틀린 풀이
몫 2x2x
나머지 3x+43x+4
왜 틀렸나 나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아질 때까지 나눗셈을 계속해야 한다.
✓ 바른 풀이
몫 2x+32x+3
나머지 11
바른 계산은 몫에 2x2x 를 쓴 뒤 한 번 더 나누어 몫에 +3+3 을 더한다.
확인: (x+1)(2x+3)+1=2x2+5x+4(x+1)(2x+3)+1=2x^2+5x+4
자세히 보기펼치기왜 그런지
직접 나누는 순서
  1. 1
    두 식을 내림차순으로 정리하고, 빠진 차수 자리에 00 을 써요.
  2. 2
    최고차항끼리 나누어 몫의 항을 정하고, 그 항 × 나누는 식을 빼요. 이것을 되풀이해요.
    빼는 것이므로 아랫줄 모든 항의 부호가 바뀌어요.
  3. 3
    남은 식의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아지면 멈춰요. 남은 식이 나머지예요.
    검산: (나누는 식)×(몫)+(나머지)를 전개해 봐요.

3몫과 나머지의 관계 A=BQ+RA=BQ+R

정의몫과 나머지
다항식 AA를 다항식 BB (B≠0)(B\neq 0) 로 나누었을 때의 몫을 QQ, 나머지를 RR이라 하면A=BQ+RA=BQ+R이때 RR의 차수는 BB의 차수보다 낮다. 특히 R=0R=0 이면 「AA는 BB로 나누어떨어진다」고 한다.
공식수의 나눗셈과 나란히 보기
수
17=5×3+2(0≤2<5)\displaystyle 17=5\times3+2\qquad(0\le 2<5)
나머지의 크기가 나누는 수보다 작다.
다항식
A=B×Q+R(R의 차수<B의 차수)\displaystyle A=B\times Q+R\qquad(R\text{의 차수}<B\text{의 차수})
나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮다. 크기가 아니라 차수로 비교한다.
학생
A=BQ+RA=BQ+R 은 어디에 써요?
쌤
나눗셈이 맞았는지 검산할 때 써요.
BQ+RBQ+R 을 계산해 AA 가 나오면 맞아요.
공식몫과 나머지의 성질
틀
(나누어지는 식)=(나누는 식)×(몫)+(나머지)\displaystyle (\text{나누어지는 식})=(\text{나누는 식})\times(\text{몫})+(\text{나머지})
몫의 차수
(Q의 차수)=(A의 차수)−(B의 차수)\displaystyle (Q\text{의 차수})=(A\text{의 차수})-(B\text{의 차수})
몫의 첫 항이 최고차항끼리의 나눗셈이기 때문이다.
삼차식 ÷ 일차식의 몫은 이차식.
나누어떨어짐
R=0  ⟺  A=BQ\displaystyle R=0\iff A=BQ
이때 BB, QQ 는 AA 의 인수이다(인수분해·인수정리로 이어진다).
나머지를 뺀 식
A−R=BQ\displaystyle A-R=BQ
AA 에서 나머지를 빼면 BB 로 나누어떨어진다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AA 를 x2+1x^2+1 로 나눈 몫이 xx, 나머지가 22 일 때 AA 는?
자세히 보기펼치기예제성질 더 보기
검산
x3−2x2+4=(x−3)(x2+x+3)+13x^3-2x^2+4=(x-3)(x^2+x+3)+13
(x−3)(x2+x+3)+13(x-3)(x^2+x+3)+13
↳나누는 식×몫+나머지
=x3−2x2−9+13=x^3-2x^2-9+13
↳전개해요
=x3−2x2+4=x^3-2x^2+4
↳처음 식과 같아요 ✓
x=3x=3 을 넣으면 x−3=0x-3=0 이라 왼쪽 27−18+4=1327-18+4=13 이 바로 나머지예요. 이것이 나머지정리예요.
성질거꾸로 쓰기
나누는 식 BB 구하기
AA, QQ, RR 을 알고 BB 를 구할 때는 A−R=BQA-R=BQ 를 쓴다.
따라서 B=(A−R)÷QB=(A-R)\div Q 이다.
예) x3+2x2+2x+2x^3+2x^2+2x+2 를 BB 로 나눈 몫이 x+1x+1, 나머지가 2x+32x+3 이면
A−R=x3+2x2−1A-R=x^3+2x^2-1
(x3+2x2−1)÷(x+1)=x2+x−1(x^3+2x^2-1)\div(x+1)=x^2+x-1
이 나눗셈은 나누어떨어진다.
따라서 B=x2+x−1B=x^2+x-1
나머지 2x+32x+3 의 차수 11 이 BB 의 차수 22 보다 낮은지도 확인한다.

4나머지의 꼴

나머지의 차수는 나누는 식의 차수보다 낮아야 하므로, 나누는 식의 차수만 보고 나머지의 꼴을 미리 정할 수 있어요.

공식나누는 식의 차수와 나머지의 꼴
일차식으로
R=a\displaystyle R=a
상수(0차). 나머지에 xx 가 남으면 아직 덜 나눈 것이다.
이차식으로
R=ax+b\displaystyle R=ax+b
일차 이하. a=0a=0 이면 상수.
삼차식으로
R=ax2+bx+c\displaystyle R=ax^2+bx+c
이차 이하.
학생
표에서 왜 「이하」라고 해요?
쌤
최고차항의 계수가 00 일 수도 있어서요.
x3+x+1x^3+x+1 을 x2+1x^2+1 로 나눈 나머지는 상수 11 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
삼차식을 이차식으로 나눈 나머지를 미지수로 둘 때 알맞은 꼴은?
나머지를 미지수로 둘 때
✗ 틀린 풀이
이차식으로 나눈 나머지를 ax2+bx+cax^2+bx+c 로 둔다
왜 틀렸나 나머지는 나누는 식보다 차수가 낮아야 하므로, 이차식으로 나눈 나머지는 일차 이하이다.
✓ 바른 풀이
이차식으로 나눈 나머지는 ax+bax+b 로 둔다
바른 꼴 ax+bax+b 는 a=0a=0 일 때 상수인 나머지도 포함한다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

「이하」인 이유는 최고차항의 계수가 00 일 수도 있기 때문이에요.
예를 들어 x3+x+1x^3+x+1 을 이차식 x2+1x^2+1 로 나눈 나머지는 상수 11 이에요.

나머지를 모를 때 이 꼴로 미지수를 두고 A=BQ+RA=BQ+R 에 넣는 방법은 나머지정리를 쓸 때 그대로 쓰여요. 아래처럼 이차식으로 나누면 실제로 일차식이 남아요.

이차식으로 나누기
(x4+1)÷(x2+x+1)(x^4+1)\div(x^2+x+1)
x2x^{2}−x-xx2+x+1x^{2}+x+1x4x^{4}+1+1
1−(x4-(x^{4}+x3+x^{3}+x2)+x^{2})−x3-x^{3}−x2-x^{2}+1+1
2−(−x3-(-x^{3}−x2-x^{2}−x)-x)xx+1+1
3−(-())xx+1+1
  1. 1x4÷x2=x2x^4\div x^2=x^2 → x2(x2+x+1)x^2(x^2+x+1) 을 빼면 −x3−x2+1-x^3-x^2+1
  2. 2−x3÷x2=−x-x^3\div x^2=-x → −x(x2+x+1)-x(x^2+x+1) 을 빼면 나머지 x+1x+1
  3. 3÷x2=\div x^{2}=, ×(x2+x+1)\times(x^{2}+x+1) 를 빼요
  4. 몫 x2−xx^{2}-x나머지 x+1x+1
나머지 x+1x+1 은 일차식이라 이차식 x2+x+1x^2+x+1 로 더 나눌 수 없어요.

5나누는 식이 ax+bax+b 일 때

나누는 식의 최고차항의 계수가 11 이 아니면 몫에 분수가 생기기 쉽고, 조립제법은 x−□x-\square 꼴로 나눌 때만 쓸 수 있어요. 그래서 ax+bax+b 로 나눈 결과와 x+bax+\frac{b}{a} 로 나눈 결과 사이의 관계를 알아 둬요.

공식몫과 나머지의 관계
ax+bax+b 로 나누면
몫 Q,나머지 R\displaystyle \text{몫 } Q,\quad \text{나머지 } R
x+bax+\frac{b}{a} 로 나누면
몫 aQ,나머지 R\displaystyle \text{몫 } aQ,\quad \text{나머지 } R
나누는 식이 1a\frac{1}{a} 배로 작아졌으니 몫은 aa 배로 커진다.
x+bax+\frac{b}{a} 로 나눈 몫이 Q′Q'
ax+b 로 나눈 몫은 Q′a\displaystyle ax+b\text{ 로 나눈 몫은 } \frac{Q'}{a}
나머지는 어느 쪽이든 그대로이다.
학생
몫은 왜 1a\frac{1}{a} 배가 돼요?
쌤
ax+b=a(x+ba)ax+b=a\left(x+\frac{b}{a}\right) 이므로 f(x)=(x+ba)Q(x)+R=(ax+b)⋅1aQ(x)+Rf(x)=\left(x+\frac{b}{a}\right)Q(x)+R=(ax+b)\cdot\frac{1}{a}Q(x)+R 이거든요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
f(x)f(x) 를 x−12x-\frac{1}{2} 로 나눈 몫이 6x+26x+2, 나머지가 33 이다. f(x)f(x) 를 2x−12x-1 로 나눈 몫과 나머지는?
몫을 그대로 옮겨 쓰기
✗ 틀린 풀이
x−12x-\frac12 로 나눈 몫이 4x2+2x−24x^2+2x-2 이므로 2x−12x-1 로 나눈 몫도 4x2+2x−24x^2+2x-2
왜 틀렸나 2x−1=2(x−12)2x-1=2\left(x-\frac12\right) 이므로 몫은 12\frac12 배가 되고 나머지는 그대로이다.
✓ 바른 풀이
2x−12x-1 로 나눈 몫은 12(4x2+2x−2)=2x2+x−1\frac12(4x^2+2x-2)=2x^2+x-1
나머지는 둘 다 44
확인: (2x−1)(2x2+x−1)+4=4x3−3x+5(2x-1)(2x^2+x-1)+4=4x^3-3x+5 로 처음 식과 같다.
자세히 보기펼치기예제 2
왜 그런가
ax+b=a(x+ba)ax+b=a\left(x+\frac{b}{a}\right)
A=(ax+b)Q+RA=(ax+b)Q+R
↳ax+bax+b 로 나눈 결과
=a(x+ba)Q+R=a\left(x+\frac{b}{a}\right)Q+R
↳aa 로 묶어요
=(x+ba)⋅aQ+R=\left(x+\frac{b}{a}\right)\cdot aQ+R
↳aa 를 몫 쪽으로
그래서 x+bax+\frac{b}{a} 로 나눈 몫은 aQaQ, 나머지는 RR 이에요.
(4x3−3x+5)÷(2x−1)(4x^3-3x+5)\div(2x-1)
2x22x^{2}+x+x−1-12x−12x-14x34x^{3}−3x-3x+5+5
1−(4x3-(4x^{3}−2x2)-2x^{2})2x22x^{2}−3x-3x+5+5
2−(2x2-(2x^{2}−x)-x)−2x-2x+5+5
3−(−2x-(-2x+1)+1)44
  1. 14x3÷2x=2x24x^3\div2x=2x^2 → 2x2(2x−1)=4x3−2x22x^2(2x-1)=4x^3-2x^2 을 빼면 2x2−3x+52x^2-3x+5
  2. 22x2÷2x=x2x^2\div2x=x → x(2x−1)=2x2−xx(2x-1)=2x^2-x 를 빼면 −2x+5-2x+5
  3. 3−2x÷2x=−1-2x\div2x=-1 → −(2x−1)=−2x+1-(2x-1)=-2x+1 을 빼면 나머지 44
  4. 몫 2x2+x−12x^{2}+x-1나머지 44
x−12x-\frac12 로 나눈 몫은 2(2x2+x−1)=4x2+2x−22(2x^2+x-1)=4x^2+2x-2, 나머지는 그대로 44 예요.
검산: (x−12)(4x2+2x−2)+4=4x3−3x+5\left(x-\frac12\right)(4x^2+2x-2)+4=4x^3-3x+5
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1다항식 ÷ 단항식은 각 항을 단항식으로 나눈다.
  2. 2다항식 ÷ 다항식은 두 식을 내림차순으로 정리하고, 최고차항끼리 나누어 몫을 한 항씩 정한다. 빠진 차수는 자리를 비우거나 00 으로 채운다.
  3. 3나머지의 차수가 나누는 식의 차수보다 낮아지면 멈춘다. 결과는 A=BQ+RA=BQ+R 꼴로 나타내고 전개해서 검산한다.
  4. 4일차식으로 나누면 나머지는 상수, 이차식으로 나누면 일차 이하이다. ax+bax+b 로 나눈 몫은 x+bax+\frac{b}{a} 로 나눈 몫의 1a\frac{1}{a} 배이고 나머지는 같다.
✗ 자주 하는 실수
  • 빠진 차수 항의 자리를 비워 두지 않아 동류항이 아닌 항끼리 빼요.
  • 뺄셈 단계에서 아래 식 전체의 부호를 바꾸지 않아요.
  • 나머지의 차수가 나누는 식의 차수와 같은데도 나눗셈을 멈춰요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    2x3+3x2−x+42x^3+3x^2-x+4 를 2x+12x+1 로 나눈 몫과 나머지를 구하고, 이를 이용하여 x+12x+\frac12 로 나눈 몫과 나머지를 구하시오.
  2. 예제 2
    2x3+x2−3x+52x^3+x^2-3x+5 를 x2+x−1x^2+x-1 로 나눈 몫과 나머지를 구하시오.
  3. 예제 3
    다항식 AA를 x2−1x^2-1 로 나눈 몫이 x+2x+2, 나머지가 3x−13x-1 일 때 AA를 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 항등식과 미정계수법 →다음 개념: 나머지정리 →
이전 개념: 다항식의 곱셈과 곱셈공식설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 다항식의 계산, 중1 정수와 유리수의 곱셈과 나눗셈공통수학1 목차
← 다항식의 곱셈과 곱셈공식항등식과 미정계수법 →
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