정의 무리식
근호 안에 문자가 들어 있는 식 중에서 유리식으로 나타낼 수 없는 식을 무리식 이라 한다.x + 1 \sqrt{x+1} x + 1 1 x − 1 \dfrac{1}{\sqrt{x}-1} x − 1 1 2 x + x \sqrt{2x}+x 2 x + x x 2 \sqrt{x^2} x 2 ∣ x ∣ |x| ∣ x ∣ 성질 무리식의 값이 실수가 되는 조건
근호 안의 식의 값이 0 이상 이어야 한다.0 0 0 0 0 0 A \sqrt{A} A A ≥ 0 A\ge0 A ≥ 0 1 A \dfrac{1}{\sqrt{A}} A 1 A > 0 A>0 A > 0 예 x + 2 + 1 3 − x \sqrt{x+2}+\dfrac{1}{\sqrt{3-x}} x + 2 + 3 − x 1 x x x 근호 안이 0 0 0 x + 2 ≥ 0 x+2\ge0 x + 2 ≥ 0 0 0 0 3 − x > 0 3-x>0 3 − x > 0 두 조건을 동시에 만족 해야 하므로− 2 ≤ x < 3 -2\le x<3 − 2 ≤ x < 3 이전 개념 x + 2 ≥ 0 x+2\ge0 x + 2 ≥ 0 3 − x > 0 3-x>0 3 − x > 0 x + 2 \sqrt{x+2} x + 2 근호 안 x + 2 ≥ 0 x+2\ge0 x + 2 ≥ 0 − 2 -2 − 2 1 3 − x \frac{1}{\sqrt{3-x}} 3 − x 1 분모라 3 − x > 0 3-x>0 3 − x > 0 3 3 3 겹친 곳 − 2 ≤ x < 3 -2\le x<3 − 2 ≤ x < 3 두 조건을 동시에 만족해야 하므로 두 범위가 겹치는 곳이 답이에요.
학생 조건이 두 개면 어떻게 한꺼번에 처리해요?
쌤 근호마다 나온 범위를 수직선에 함께 그리고 겹치는 부분만 답으로 해요. 끝점이 들어가는지(●)와 빠지는지(○)를 따로 따져요.
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
x − 1 + 1 5 − x \sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{5-x}} x − 1 + 5 − x 1 x x x 1 ≤ x ≤ 5 1\le x\le5 1 ≤ x ≤ 5 1 < x < 5 1<x<5 1 < x < 5 1 ≤ x < 5 1\le x<5 1 ≤ x < 5 분모에 있는 근호
✗ 틀린 풀이
1 3 − x \dfrac{1}{\sqrt{3-x}} 3 − x 1 3 − x ≥ 0 3-x\ge0 3 − x ≥ 0 x ≤ 3 x\le3 x ≤ 3 왜 틀렸나 근호가 분모에 있으면 분모가 0 0 0 0 0 0 ↓ ✓ 바른 풀이
1 3 − x \dfrac{1}{\sqrt{3-x}} 3 − x 1 3 − x > 0 3-x>0 3 − x > 0 x < 3 x<3 x < 3 x = 3 x=3 x = 3 0 = 0 \sqrt{0}=0 0 = 0 a 2 = ∣ a ∣ \sqrt{a^2}=|a| a 2 = ∣ a ∣ ✗ 틀린 풀이
x < 3 x<3 x < 3 ( x − 3 ) 2 = x − 3 \sqrt{(x-3)^2}=x-3 ( x − 3 ) 2 = x − 3 왜 틀렸나 a 2 = ∣ a ∣ \sqrt{a^2}=|a| a 2 = ∣ a ∣ ↓ ✓ 바른 풀이
x < 3 x<3 x < 3 ( x − 3 ) 2 = ∣ x − 3 ∣ = 3 − x \sqrt{(x-3)^2}=|x-3|=3-x ( x − 3 ) 2 = ∣ x − 3∣ = 3 − x 검산: x = 1 x=1 x = 1 ( 1 − 3 ) 2 = 4 = 2 \sqrt{(1-3)^2}=\sqrt{4}=2 ( 1 − 3 ) 2 = 4 = 2 3 − x 3-x 3 − x 2 2 2 + 펼치기 접기 공식 더 보기 제곱
( a ) 2 = a \displaystyle (\sqrt{a})^2=a ( a ) 2 = a 제곱의 제곱근
a 2 = ∣ a ∣ \displaystyle \sqrt{a^2}=|a| a 2 = ∣ a ∣ 곱
a b = a b \displaystyle \sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab} a b = ab 몫
a b = a b \displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}} b a = b a 분모에 근호가 있는 식을 분모에 근호가 없는 식으로 고치는 것을 분모의 유리화 라 해요. 합차 공식 ( a + b ) ( a − b ) = a − b (\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b ( a + b ) ( a − b ) = a − b
이전 개념 공식 분모의 유리화 (a > 0 a>0 a > 0 b > 0 b>0 b > 0 근호 하나
1 a = a a \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt{a}}{a} a 1 = a a 분모와 분자에 a \sqrt{a} a 합
1 a + b = a − b a − b \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{a-b} a + b 1 = a − b a − b a ≠ b a\ne b a = b a − b \sqrt{a}-\sqrt{b} a − b 차
1 a − b = a + b a − b \displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{a-b} a − b 1 = a − b a + b a ≠ b a\ne b a = b a + b \sqrt{a}+\sqrt{b} a + b 학생 근호가 하나일 때와 두 개일 때 곱하는 식이 달라요?
쌤 근호 하나뿐이면 a \sqrt{a} a ( a ) 2 = a (\sqrt{a})^2=a ( a ) 2 = a a + b \sqrt{a}+\sqrt{b} a + b 예 문자가 들어 있는 분모의 유리화
분모와 분자에 x + 1 − x \sqrt{x+1}-\sqrt{x} x + 1 − x 1 x + 1 + x = x + 1 − x ( x + 1 ) − x = x + 1 − x \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{(x+1)-x}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} x + 1 + x 1 = ( x + 1 ) − x x + 1 − x = x + 1 − x 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
1 3 + 2 \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} 3 + 2 1 3 − 2 \sqrt{3}-\sqrt{2} 3 − 2 3 + 2 \sqrt{3}+\sqrt{2} 3 + 2 3 − 2 5 \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{5} 5 3 − 2 분모는 나누어 쓸 수 없다
✗ 틀린 풀이
1 x + 1 + x = 1 x + 1 + 1 x \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\dfrac{1}{\sqrt{x+1}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}} x + 1 + x 1 = x + 1 1 + x 1 왜 틀렸나 분모가 합이면 분수를 나누어 쓸 수 없으므로 켤레식을 분자와 분모에 곱하여 유리화한다.
↓ ✓ 바른 풀이
1 x + 1 + x = x + 1 − x \dfrac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\sqrt{x+1}-\sqrt{x} x + 1 + x 1 = x + 1 − x 검산: x = 3 x=3 x = 3 1 2 + 3 = 2 − 3 \dfrac{1}{2+\sqrt{3}}=2-\sqrt{3} 2 + 3 1 = 2 − 3 4 − 3 = 2 − 3 \sqrt{4}-\sqrt{3}=2-\sqrt{3} 4 − 3 = 2 − 3 + 펼치기 접기 예제 예 무리식의 덧셈
각각 유리화하면 분모가 모두 ( x + 1 ) − ( x − 1 ) = 2 (x+1)-(x-1)=2 ( x + 1 ) − ( x − 1 ) = 2 1 x + 1 − x − 1 + 1 x + 1 + x − 1 \frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}+\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} x + 1 − x − 1 1 + x + 1 + x − 1 1 = x + 1 + x − 1 2 + x + 1 − x − 1 2 = x + 1 =\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{2}+\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{2}=\sqrt{x+1} = 2 x + 1 + x − 1 + 2 x + 1 − x − 1 = x + 1 정의 무리함수
함수 y = f ( x ) y=f(x) y = f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) x x x 무리함수 라 한다.0 0 0 공식 y = a x y=\sqrt{ax} y = a x y = − a x y=-\sqrt{ax} y = − a x a ≠ 0 a\ne0 a = 0 y = a x , a > 0 y=\sqrt{ax},\ a>0 y = a x , a > 0 x ≥ 0 , y ≥ 0 \displaystyle x\ge0,\quad y\ge0 x ≥ 0 , y ≥ 0 제1사분면 쪽으로, 원점에서 시작하여 오른쪽 위로
왜? 이유 보기
y = a x , a < 0 y=\sqrt{ax},\ a<0 y = a x , a < 0 x ≤ 0 , y ≥ 0 \displaystyle x\le0,\quad y\ge0 x ≤ 0 , y ≥ 0 제2사분면 쪽으로, 원점에서 시작하여 왼쪽 위로
왜? 이유 보기
y = − a x , a > 0 y=-\sqrt{ax},\ a>0 y = − a x , a > 0 x ≥ 0 , y ≤ 0 \displaystyle x\ge0,\quad y\le0 x ≥ 0 , y ≤ 0 제4사분면 쪽으로, 원점에서 시작하여 오른쪽 아래로
왜? 이유 보기
y = − a x , a < 0 y=-\sqrt{ax},\ a<0 y = − a x , a < 0 x ≤ 0 , y ≤ 0 \displaystyle x\le0,\quad y\le0 x ≤ 0 , y ≤ 0 제3사분면 쪽으로, 원점에서 시작하여 왼쪽 아래로
왜? 이유 보기
학생 근호 앞의 − - − − - − 쌤 근호 안의 a a a a < 0 a<0 a < 0 x ≤ 0 x\le0 x ≤ 0 − - − x x x 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = − − 2 x y=-\sqrt{-2x} y = − − 2 x 오른쪽 아래 왼쪽 아래 왼쪽 위
+ 펼치기 접기 왜 그런지 y = x y=\sqrt{x} y = x y = x 2 ( x ≥ 0 ) y=x^2\ (x\ge0) y = x 2 ( x ≥ 0 ) 역함수 예요. 그래서 y = x y=\sqrt{x} y = x 포물선 y = x 2 y=x^2 y = x 2 y = x y=x y = x y = a x ( a ≠ 0 ) y=\sqrt{ax}\ (a\ne0) y = a x ( a = 0 ) y = x 2 a ( x ≥ 0 ) y=\dfrac{x^2}{a}\ (x\ge0) y = a x 2 ( x ≥ 0 )
이전 개념 근호 안의 a a a y = a x y=\sqrt{ax} y = a x y = − a x y=\sqrt{-ax} y = − a x y y y y = a x y=\sqrt{ax} y = a x y = − a x y=-\sqrt{ax} y = − a x x x x y = a x y=\sqrt{ax} y = a x y = − − a x y=-\sqrt{-ax} y = − − a x ∣ a ∣ |a| ∣ a ∣ x x x
y = a x y=\sqrt{ax} y = a x x x x p p p y y y q q q 평행이동 하면 x x x x − p x-p x − p y y y y − q y-q y − q y − q = a ( x − p ) y-q=\sqrt{a(x-p)} y − q = a ( x − p ) y = a ( x − p ) + q y=\sqrt{a(x-p)}+q y = a ( x − p ) + q ( 0 , 0 ) (0,\ 0) ( 0 , 0 ) ( p , q ) (p,\ q) ( p , q ) 유리함수 의 그래프를 옮길 때와 같은 방법이에요.
이전 개념 공식 y = a ( x − p ) + q y=\sqrt{a(x-p)}+q y = a ( x − p ) + q { x ∣ x ≥ p } , { y ∣ y ≥ q } \displaystyle \{x\mid x\ge p\},\quad\{y\mid y\ge q\} { x ∣ x ≥ p } , { y ∣ y ≥ q } 점 ( p , q ) (p,\ q) ( p , q ) 왜? 이유 보기
{ x ∣ x ≤ p } , { y ∣ y ≥ q } \displaystyle \{x\mid x\le p\},\quad\{y\mid y\ge q\} { x ∣ x ≤ p } , { y ∣ y ≥ q } 점 ( p , q ) (p,\ q) ( p , q ) 왜? 이유 보기
y = − a ( x − p ) + q y=-\sqrt{a(x-p)}+q y = − a ( x − p ) + q { y ∣ y ≤ q } \displaystyle \{y\mid y\le q\} { y ∣ y ≤ q } 치역만 아래쪽으로 바뀐다.
왜? 이유 보기
쌤 아니요. 평행이동은 그래프를 그대로 옮기기만 해서 모양과 뻗는 방향은 y = a x y=\sqrt{ax} y = a x ( p , q ) (p,\ q) ( p , q ) 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = 3 ( x + 1 ) − 2 y=\sqrt{3(x+1)}-2 y = 3 ( x + 1 ) − 2 x ≥ 1 , y ≥ − 2 x\ge1,\ y\ge-2 x ≥ 1 , y ≥ − 2 x ≥ − 1 , y ≥ 2 x\ge-1,\ y\ge2 x ≥ − 1 , y ≥ 2 x ≥ − 1 , y ≥ − 2 x\ge-1,\ y\ge-2 x ≥ − 1 , y ≥ − 2 근호 안을 x x x a x + b = a ( x + b a ) \sqrt{ax+b}=\sqrt{a\left(x+\dfrac{b}{a}\right)} a x + b = a ( x + a b ) y = a x + b + c y=\sqrt{ax+b}+c y = a x + b + c y = a x y=\sqrt{ax} y = a x x x x − b a -\dfrac{b}{a} − a b y y y c c c 0 0 0 ( − b a , c ) \left(-\dfrac{b}{a},\ c\right) ( − a b , c )
예 y = 2 x − 4 + 1 y=\sqrt{2x-4}+1 y = 2 x − 4 + 1 근호 안을 x x x 2 2 2 y = 2 ( x − 2 ) + 1 y=\sqrt{2(x-2)}+1 y = 2 ( x − 2 ) + 1 y = 2 x y=\sqrt{2x} y = 2 x x x x 2 2 2 y y y 1 1 1 ( 2 , 1 ) (2,\ 1) ( 2 , 1 ) { x ∣ x ≥ 2 } \{x\mid x\ge2\} { x ∣ x ≥ 2 } { y ∣ y ≥ 1 } \{y\mid y\ge1\} { y ∣ y ≥ 1 } 학생 근호 안을 묶지 않고 시작점만 바로 찾을 수 있어요?
쌤 네, 근호 안이 0 0 0 x x x 2 x − 4 = 0 2x-4=0 2 x − 4 = 0 x = 2 x=2 x = 2 y = 1 y=1 y = 1 ( 2 , 1 ) (2,\ 1) ( 2 , 1 ) -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2 3 4 5 x y O (2, 1) 시작점 ( 2 , 1 ) (2,\ 1) ( 2 , 1 ) 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = − 2 x + 6 + 1 y=\sqrt{-2x+6}+1 y = − 2 x + 6 + 1 ( 3 , 1 ) (3,\ 1) ( 3 , 1 ) ( − 3 , 1 ) (-3,\ 1) ( − 3 , 1 ) ( 6 , 1 ) (6,\ 1) ( 6 , 1 ) 음수로 묶을 때 부호
✗ 틀린 풀이
− 2 x + 4 = − 2 ( x + 2 ) \sqrt{-2x+4}=\sqrt{-2(x+2)} − 2 x + 4 = − 2 ( x + 2 ) x x x − 2 -2 − 2 왜 틀렸나 − 2 -2 − 2 − 2 -2 − 2 4 ÷ ( − 2 ) = − 2 4\div(-2)=-2 4 ÷ ( − 2 ) = − 2 x − 2 x-2 x − 2 ↓ ✓ 바른 풀이
− 2 x + 4 = − 2 ( x − 2 ) \sqrt{-2x+4}=\sqrt{-2(x-2)} − 2 x + 4 = − 2 ( x − 2 ) x x x 2 2 2 검산: 근호 안 − 2 x + 4 = 0 -2x+4=0 − 2 x + 4 = 0 x = 2 x=2 x = 2 x x x 2 2 2 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 그림 y = a x + b + c y=\sqrt{ax+b}+c y = a x + b + c 1 2 3 4 y = − − x + 3 + 2 y=-\sqrt{-x+3}+2 y = − − x + 3 + 2 y = − − ( x − 3 ) + 2 y=-\sqrt{-(x-3)}+2 y = − − ( x − 3 ) + 2 ( 3 , 2 ) (3,\ 2) ( 3 , 2 ) − - − { x ∣ x ≤ 3 } \{x\mid x\le3\} { x ∣ x ≤ 3 } { y ∣ y ≤ 2 } \{y\mid y\le2\} { y ∣ y ≤ 2 } -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 -2 -1 1 2 3 4 x y O (3, 2) 시작점 ( 3 , 2 ) (3,\ 2) ( 3 , 2 ) 무리함수 y = a ( x − p ) + q y=\sqrt{a(x-p)}+q y = a ( x − p ) + q x x x 이차함수 의 그래프의 일부가 돼요.
y = x − 1 + 2 y=\sqrt{x-1}+2 y = x − 1 + 2 y − 2 = x − 1 y-2=\sqrt{x-1} y − 2 = x − 1 ( y − 2 ) 2 = x − 1 (y-2)^2=x-1 ( y − 2 ) 2 = x − 1 ↳ ◀ 양변을 제곱해요
x = ( y − 2 ) 2 + 1 x=(y-2)^2+1 x = ( y − 2 ) 2 + 1 y = ( x − 2 ) 2 + 1 ( x ≥ 2 ) y=(x-2)^2+1\ (x\ge2) y = ( x − 2 ) 2 + 1 ( x ≥ 2 ) 처음 함수의 치역
y ≥ 2 y\ge2 y ≥ 2 가 역함수의 정의역
x ≥ 2 x\ge2 x ≥ 2 가 돼요.
쌤 정의역을 붙이지 않으면 포물선 전체가 되어 버려요. 처음 함수의 치역이 y ≥ 2 y\ge2 y ≥ 2 x ≥ 2 x\ge2 x ≥ 2 -1 1 2 3 4 5 6 7 -1 1 2 3 4 5 6 7 x y O y=x 파란 y = x − 1 + 2 y=\sqrt{x-1}+2 y = x − 1 + 2 y = ( x − 2 ) 2 + 1 ( x ≥ 2 ) y=(x-2)^2+1\ (x\ge2) y = ( x − 2 ) 2 + 1 ( x ≥ 2 ) y = x y=x y = x 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
y = x + 3 y=\sqrt{x}+3 y = x + 3 x ≥ 0 x\ge0 x ≥ 0 x ≥ 3 x\ge3 x ≥ 3 실수 전체 역함수의 정의역
✗ 틀린 풀이
y = x − 1 + 2 y=\sqrt{x-1}+2 y = x − 1 + 2 y = ( x − 2 ) 2 + 1 y=(x-2)^2+1 y = ( x − 2 ) 2 + 1 왜 틀렸나 역함수의 정의역은 처음 함수의 치역이므로 y ≥ 2 y\ge2 y ≥ 2 x ≥ 2 x\ge2 x ≥ 2 ↓ ✓ 바른 풀이
y = x − 1 + 2 y=\sqrt{x-1}+2 y = x − 1 + 2 y = ( x − 2 ) 2 + 1 ( x ≥ 2 ) y=(x-2)^2+1\ (x\ge2) y = ( x − 2 ) 2 + 1 ( x ≥ 2 ) 확인 방법: 처음 함수의 치역 { y ∣ y ≥ 2 } \{y\mid y\ge2\} { y ∣ y ≥ 2 }