수학 개념 노트전체 과목

정비례와 반비례

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
yy 가 xx 에 정비례하면 y=axy=ax, 반비례하면 y=axy=\frac{a}{x} (a≠0a\ne0) 이에요. y=axy=ax 의 그래프는 원점을 지나는 직선, y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프는 좌표축에 가까워지는 한 쌍의 곡선이며, 지나는 점으로 관계식을 구해요.
  1. 1정비례
  2. 2정비례 관계 y=axy=ax 의 그래프
  3. 3반비례
  4. 4반비례 관계 y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프
  5. 5관계식 구하기와 활용
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1정비례

한 개에 300300 원인 지우개 xx 개의 값 yy 원
xx (개)11223344
yy (원)30030060060090090012001200
xx 가 22 배, 33 배, 44 배가 되면 yy 도 22 배, 33 배, 44 배가 돼요.

yy 는 언제나 xx 의 300300 배이므로 이 관계는 y=300xy=300x 로 나타내요.

정의정비례
두 변수 xx, yy 에서 xx 의 값이 22 배, 33 배, 44 배, ⋯\cdots 로 변함에 따라 yy 의 값도 22 배, 33 배, 44 배, ⋯\cdots 로 변하는 관계가 있으면 yy 는 xx 에 정비례 한다고 한다.
yy 가 xx 에 정비례하면 관계식은
y=axy=ax (단, a≠0a\ne0)
학생
정비례 관계식은 왜 y=axy=ax 꼴이에요?
쌤
yy 가 xx 의 몇 배인지가 늘 같기 때문이에요. 지우개 값은 언제나 xx 의 300300 배라서 y=300xy=300x 이고, 그 일정한 배수를 aa 로 쓴 거예요.
성질정비례 관계의 성질
y=axy=ax 에서 x≠0x\ne0 일 때
yx=a\frac{y}{x}=a
즉 yx\frac{y}{x} 의 값이 항상 일정하다. 이것으로 정비례인지 확인할 수 있다.
aa 가 음수여도 정비례이다. 예: y=−2xy=-2x
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 yy 가 xx 에 정비례하는 것은?
「함께 커진다」와 정비례
✗ 틀린 풀이
y=x+2y=x+2 는 xx 가 커질 때 yy 도 커지므로 정비례이다
왜 틀렸나 정비례는 xx 가 22 배, 33 배가 될 때 yy 도 22 배, 33 배가 되는 y=axy=ax 꼴의 관계이다.
✓ 바른 풀이
y=x+2y=x+2 는 정비례가 아니다
x=1x=1 이면 y=3y=3
x=2x=2 이면 y=4y=4
xx 가 22 배가 될 때 yy 는 22 배가 아니에요.
y=−2xy=-2x 는?
✗ 틀린 풀이
xx 가 커질 때 yy 가 작아지므로 반비례이다
왜 틀렸나 y=axy=ax 꼴이면 aa 가 음수여도 정비례이며, 정비례·반비례는 몇 배가 되는지로 판단한다.
✓ 바른 풀이
y=axy=ax 꼴이므로 정비례이다
확인 방법: xx 가 11 에서 22 로 22 배가 되면 yy 는 −2-2 에서 −4-4 로 22 배가 된다.

2정비례 관계 y=axy=ax 의 그래프

성질y=axy=ax 의 그래프
xx 의 값의 범위가 수 전체일 때 y=axy=ax 의 그래프는 원점을 지나는 직선이다.
y=2xy=2x 위의 점
-3-2-1123-5-4-3-2-112345xyO
(−2, −4), (−1, −2), (0, 0), (1, 2), (2, 4)(-2,\ -4),\ (-1,\ -2),\ (0,\ 0),\ (1,\ 2),\ (2,\ 4) 사이를 점점 촘촘히 채우면 원점을 지나는 직선이 돼요.
학생
원점을 지나는 직선이면 점을 몇 개 찍어야 해요?
쌤
원점 말고 점 하나만 더 찍어 이으면 돼요. 두 점을 지나는 직선은 하나뿐이니까요. 보통 x=1x=1 을 넣은 (1, a)(1,\ a) 를 찍어요.
y=axy=ax 의 그래프 그리기
  1. 1
    원점 (0, 0)(0,\ 0) 을 찍어요.
    모든 정비례 그래프가 지나는 점
  2. 2
    원점이 아닌 점 하나를 찾아요.
    보통 x=1x=1 을 넣은 (1, a)(1,\ a), 분수 계수이면 분모를 넣어요. 예: y=23xy=\frac{2}{3}x 는 (3, 2)(3,\ 2)
  3. 3
    두 점을 지나는 직선을 그어요.
공식y=axy=ax 의 그래프의 성질
a>0a>0
제1⋅3사분면, 오른쪽 위로 향함\displaystyle \text{제1·3사분면, 오른쪽 위로 향함}
xx 의 값이 증가하면 yy 의 값도 증가한다.
a<0a<0
제2⋅4사분면, 오른쪽 아래로 향함\displaystyle \text{제2·4사분면, 오른쪽 아래로 향함}
xx 의 값이 증가하면 yy 의 값은 감소한다.
∣a∣|a| 가 클수록
y축에 가까워진다\displaystyle \text{y축에 가까워진다}
y=3xy=3x 는 y=xy=x 보다 가파르다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=−3xy=-3x 의 그래프가 지나는 사분면은?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

왜 그런가요? y=2xy=2x 에서 xx 의 값을 −2, −1, 0, 1, 2-2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2 로 하여 점을 찍어 봐요.
y=axy=ax 의 그래프를 위아래로 옮긴 것이 일차함수의 그래프예요.

예그래프 위의 점
점 (p, 6)(p,\ 6) 이 y=−2xy=-2x 의 그래프 위에 있으면 x=px=p, y=6y=6 을 대입하여 등식이 성립해요.
6=−2p6=-2p
따라서 p=−3p=-3

3반비례

넓이가 1212 cm2^2 인 직사각형
가로 xx cm, 세로 yy cm
xx (cm)11223344
yy (cm)1212664433
xx 가 22 배, 33 배, 44 배가 되면 yy 는 12\frac12 배, 13\frac13 배, 14\frac14 배가 돼요.

(가로)×\times(세로)==(넓이)이므로 언제나 xy=12xy=12 예요. 양변을 xx 로 나누면 y=12xy=\frac{12}{x} 예요.

정의반비례
두 변수 xx, yy 에서 xx 의 값이 22 배, 33 배, 44 배, ⋯\cdots 로 변함에 따라 yy 의 값은 12\frac{1}{2} 배, 13\frac{1}{3} 배, 14\frac{1}{4} 배, ⋯\cdots 로 변하는 관계가 있으면 yy 는 xx 에 반비례 한다고 한다.
yy 가 xx 에 반비례하면 관계식은
y=axy=\frac{a}{x} (단, a≠0a\ne0)
성질반비례 관계의 성질
y=axy=\frac{a}{x} 의 양변에 xx 를 곱하면
xy=axy=a
즉 xyxy 의 값이 항상 일정하다.
학생
xx 가 커질 때 yy 가 작아지면 모두 반비례예요?
쌤
아니요. y=−2xy=-2x 처럼 작아져도 정비례일 수 있어요. 반비례는 xx 가 22 배가 될 때 yy 가 12\frac12 배가 되는, 곧 곱 xyxy 가 일정한 관계예요.
공식정비례와 반비례 나란히 보기
정비례
y=ax\displaystyle y=ax
yx=a\frac{y}{x}=a (몫이 일정)
반비례
y=ax\displaystyle y=\frac{a}{x}
xy=axy=a (곱이 일정)
둘 다 아님
y=x+2,y=12−x\displaystyle y=x+2,\quad y=12-x
몫도 곱도 일정하지 않다.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
yy 가 xx 에 반비례하고 x=2x=2 일 때 y=6y=6 이에요. 관계식은?

4반비례 관계 y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프

y=6xy=\frac{6}{x} 위의 점
-7-6-5-4-3-2-11234567-7-6-5-4-3-2-11234567xyO
(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1)(1,\ 6),\ (2,\ 3),\ (3,\ 2),\ (6,\ 1) 과 부호를 바꾼 네 점을 촘촘히 이으면 한 쌍의 매끄러운 곡선이 돼요.
공식y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프의 성질
a>0a>0
제1⋅3사분면\displaystyle \text{제1·3사분면}
각 사분면에서 xx 의 값이 증가하면 yy 의 값은 감소한다.
a<0a<0
제2⋅4사분면\displaystyle \text{제2·4사분면}
각 사분면에서 xx 의 값이 증가하면 yy 의 값도 증가한다.
∣a∣|a| 가 클수록
원점에서 멀어진다\displaystyle \text{원점에서 멀어진다}
y=6xy=\frac{6}{x} 는 y=2xy=\frac{2}{x} 보다 원점에서 멀다.
⚠ 주의반비례 그래프에서 주의할 점
원점을 지나지 않아요.
좌표축에 한없이 가까워지지만 만나지 않아요.
직선이 아니라 곡선이에요. 점을 직선으로 이어 그리지 않아요.
학생
반비례 그래프는 왜 좌표축과 안 만나요?
쌤
x=0x=0 이면 a0\frac{a}{0} 이 정해지지 않고, yy 도 00 이 될 수 없어요. 그래서 좌표축에 한없이 가까워지기만 하는 한 쌍의 곡선이 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
y=−6xy=-\frac{6}{x} 의 그래프에 대한 설명으로 옳은 것은?
y=−6xy=-\frac{6}{x} 의 증가·감소
✗ 틀린 풀이
a<0a<0 이므로 xx 가 증가하면 yy 는 감소한다
왜 틀렸나 y=axy=\frac{a}{x} 에서 a<0a<0 이면 각 사분면에서 xx 가 증가할 때 yy 도 증가한다.
✓ 바른 풀이
각 사분면에서 xx 가 증가하면 yy 도 증가한다
x=1x=1 이면 y=−6y=-6
x=2x=2 이면 y=−3y=-3
값이 커졌어요. y=axy=ax 의 증가·감소와 반대예요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

x=0x=0 이면 60\frac{6}{0} 이 정해지지 않으므로 x≠0x\ne0 이고, yy 도 00 이 될 수 없어요. 따라서 곡선은 좌표축과 만나지 않아요.
이 곡선은 유리함수의 그래프예요.

5관계식 구하기와 활용

관계식 구하는 순서
  1. 1
    정비례이면 y=axy=ax, 반비례이면 y=axy=\frac{a}{x} 로 놓아요.
    그래프가 원점을 지나는 직선이면 정비례, 좌표축에 가까워지는 곡선이면 반비례
  2. 2
    지나는 점 하나의 xx, yy 값을 대입하여 aa 를 구해요.
    반비례이면 a=xya=xy 로 바로 구할 수 있어요.
  3. 3
    구한 aa 를 넣어 관계식을 완성해요.
    검산: 다른 점을 넣어 성립하는지 확인해요.
예점을 지나는 그래프의 식
정비례 그래프가 점 (2, −6)(2,\ -6) 을 지날 때
−6=2a-6=2a 에서 a=−3a=-3
따라서 y=−3xy=-3x
반비례 그래프가 점 (−3, 4)(-3,\ 4) 를 지날 때
a=xy=(−3)×4=−12a=xy=(-3)\times4=-12
따라서 y=−12xy=-\frac{12}{x}
학생
반비례일 때는 왜 a=xya=xy 로 바로 구해요?
쌤
y=axy=\frac ax 의 양변에 xx 를 곱하면 xy=axy=a 예요. 그래서 지나는 점의 xx 좌표와 yy 좌표를 곱하기만 하면 aa 가 나와요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
정비례 그래프가 점 (3, −12)(3,\ -12) 를 지날 때 관계식은?
활용 문제 풀기
  1. 1
    변하는 두 양을 xx, yy 로 놓아요.
  2. 2
    정비례인지 반비례인지 판단해요.
    몫 yx\frac{y}{x} 가 일정하면 정비례, 곱 xyxy 가 일정하면 반비례예요.
  3. 3
    관계식을 세우고 주어진 값을 대입해요.
예반비례 활용
맞물려 도는 톱니바퀴
톱니가 2424 개인 톱니바퀴 AA 가 11 분에 55 바퀴 돌아요. AA 와 맞물린 톱니바퀴 BB 의 톱니 수를 xx 개, 11 분 동안의 회전 수를 yy 바퀴라 해요.
11 분 동안 맞물리는 톱니의 수는 같으므로
xy=24×5=120xy=24\times5=120
따라서 y=120xy=\frac{120}{x}
톱니바퀴 관계
✗ 틀린 풀이
톱니가 많을수록 많이 돈다
y=120xy=120x
왜 틀렸나 (톱니 수)×\times(회전 수)가 일정하므로 톱니 수와 회전 수는 반비례한다.
✓ 바른 풀이
톱니가 많을수록 적게 돈다
y=120xy=\frac{120}{x}
확인 방법: 톱니 수가 22 배가 되면 회전 수가 12\frac{1}{2} 배가 되는지 표를 만들어 본다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제

반비례 관계에서는 xx 와 yy 의 곱 xyxy 가 항상 일정해요. 활용 문제에서 「곱이 일정한 두 양」을 찾으면 반비례 관계식을 세울 수 있어요.

예정비례 활용
11 분에 33 L 씩 물이 나오는 수도로 xx 분 동안 받은 물의 양을 yy L 라 하면
y=3xy=3x
55 분 동안 받으면 y=3×5=15y=3\times5=15 (L)
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1xx 의 값이 22 배, 33 배, 44 배, ⋯\cdots 가 될 때 yy 의 값도 22 배, 33 배, 44 배, ⋯\cdots 가 되면 yy 는 xx 에 정비례한다. 관계식은 y=axy=ax (a≠0a\ne0) 이고 yx\frac{y}{x} 의 값이 일정하다.
  2. 2xx 의 값이 22 배, 33 배, 44 배, ⋯\cdots 가 될 때 yy 의 값은 12\frac{1}{2} 배, 13\frac{1}{3} 배, 14\frac{1}{4} 배, ⋯\cdots 가 되면 yy 는 xx 에 반비례한다. 관계식은 y=axy=\frac{a}{x} (a≠0a\ne0) 이고 xyxy 의 값이 일정하다.
  3. 3y=axy=ax 의 그래프는 원점을 지나는 직선이다. y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프는 좌표축에 한없이 가까워지는 한 쌍의 매끄러운 곡선이다.
  4. 4두 그래프 모두 a>0a>0 이면 제1·3사분면, a<0a<0 이면 제2·4사분면을 지난다.
✗ 자주 하는 실수
  • xx 가 커질 때 yy 가 작아지면 무조건 반비례라고 생각해요(y=−2xy=-2x 는 정비례예요).
  • y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프가 원점을 지나거나 좌표축과 만난다고 생각해요.
  • y=axy=ax 의 그래프에서 aa 의 절댓값이 아니라 aa 의 크기로 yy 축에 가까운 정도를 판단해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    yy 가 xx 에 정비례하고, x=−2x=-2 일 때 y=8y=8 이다. x=3x=3 일 때 yy 의 값을 구하시오.
  2. 예제 2
    반비례 관계 y=axy=\frac{a}{x} 의 그래프가 점 (3, −4)(3,\ -4) 를 지난다. 이 그래프가 점 (−6, b)(-6,\ b) 를 지날 때 bb 의 값을 구하시오.
  3. 예제 3
    톱니가 2424 개인 톱니바퀴 AA 가 11 분에 55 바퀴 돈다. AA 와 맞물린 톱니바퀴 BB 의 톱니가 4040 개일 때, BB 는 11 분에 몇 바퀴 도는지 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 좌표평면과 그래프설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수와 그래프 (나중에), 공통수학2 유리식과 유리함수 (나중에)중학교 1학년 목차
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