수학 개념 노트전체 과목

원과 직선의 위치 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
원과 직선의 위치 관계는 두 식을 연립한 이차방정식의 판별식 DD 의 부호, 또는 원의 중심과 직선 사이의 거리 dd 와 반지름 rr 의 대소로 판정해요. 원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 위의 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 에서의 접선은 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2, 기울기가 mm 인 접선은 y=mx±rm2+1y=mx\pm r\sqrt{m^2+1} 이에요. 두 원의 방정식을 변끼리 빼면 공통현을 포함하는 직선이 나오고, 공통접선의 길이는 반지름과 중심 사이의 거리로 만든 직각삼각형으로 구해요.
  1. 1판별식으로 위치 관계 판정하기
  2. 2중심과 직선 사이의 거리로 판정하기
  3. 3현의 길이
  4. 4원 위의 점에서의 접선
  5. 5기울기가 주어진 접선
  6. 6원 밖의 점에서 그은 접선
  7. 7두 원의 교점을 지나는 직선과 원
  8. 8두 원의 공통접선
  9. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1판별식으로 위치 관계 판정하기

원과 직선의 교점은 두 방정식을 동시에 만족하는 점이에요. 직선의 방정식을 y=⋯y=\cdots 꼴로 고쳐 원의 방정식에 대입하면 xx 에 관한 이차방정식이 돼요.
이 이차방정식의 실근의 개수가 교점의 개수이므로 판별식 DD 의 부호로 위치 관계를 판정해요.

공식판별식 DD 와 위치 관계
D>0D>0
서로 다른 두 점에서 만난다\displaystyle \text{서로 다른 두 점에서 만난다}
D=0D=0
한 점에서 만난다(접한다)\displaystyle \text{한 점에서 만난다(접한다)}
이 직선을 접선, 만나는 점을 접점이라 한다.
D<0D<0
만나지 않는다\displaystyle \text{만나지 않는다}
학생
왜 실근의 개수가 교점의 개수예요?
쌤
실근 하나마다 교점의 xx 좌표가 하나 정해지고, 직선의 식에 넣으면 yy 좌표도 하나로 정해져요. 그래서 실근 하나가 교점 하나예요.
예x2+y2=5x^2+y^2=5 와 y=x+1y=x+1
두 식을 연립하면 {x2+y2=5y=x+1\begin{cases} x^2+y^2=5 \\ y=x+1 \end{cases}y=x+1y=x+1 을 대입하면
x2+(x+1)2=5x^2+(x+1)^2=5
x2+x−2=0x^2+x-2=0
D=1+8=9>0D=1+8=9>0 이므로 서로 다른 두 점에서 만나요.
(x+2)(x−1)=0(x+2)(x-1)=0 에서 x=−2x=-2 또는 x=1x=1
교점은 (−2, −1)(-2,\ -1), (1, 2)(1,\ 2)
x2+y2=5x^2+y^2=5 와 y=x+1y=x+1
-3-2-1123-3-2-1123xyO(-2, -1)(1, 2)
이차방정식의 두 실근 x=−2, 1x=-2,\ 1 이 두 교점의 xx 좌표예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 x2+y2=1x^2+y^2=1 과 직선 y=x+3y=x+3 의 위치 관계는?
자세히 보기펼치기예제
예접하는 경우와 만나지 않는 경우
x2+y2=2x^2+y^2=2 와 y=x+2y=x+2
x2+(x+2)2=2x^2+(x+2)^2=2
x2+2x+1=0x^2+2x+1=0
D4=1−1=0\frac{D}{4}=1-1=0 이므로 접해요.
중근 x=−1x=-1 이므로 접점은 (−1, 1)(-1,\ 1)

x2+y2=1x^2+y^2=1 과 y=x+2y=x+2
x2+(x+2)2=1x^2+(x+2)^2=1
2x2+4x+3=02x^2+4x+3=0
D4=4−6=−2<0\frac{D}{4}=4-6=-2<0 이므로 만나지 않아요.

2중심과 직선 사이의 거리로 판정하기

원의 반지름의 길이를 rr, 원의 중심과 직선 사이의 거리를 dd 라 하고 둘을 비교해요.

dd 와 rr 의 비교 (x2+y2=4x^2+y^2=4)
-4-3-2-11234-3-2-11234xyOd=1<rd=2=rd=3>rO
중심에서 직선까지의 거리 dd 가 반지름 22 보다 작으면 두 점에서 만나고(D>0D>0), 같으면 접하고(D=0D=0), 크면 만나지 않아요(D<0D<0).
학생
판별식이랑 거리 중 어느 것을 써야 해요?
쌤
위치 관계만 물으면 계산이 짧은 거리가 편하고, 교점의 좌표까지 구해야 하면 판별식을 써요. 두 방법의 결론은 언제나 같아요.
예(x−1)2+(y+2)2=9(x-1)^2+(y+2)^2=9 와 3x+4y+k=03x+4y+k=0
중심 (1, −2)(1,\ -2), 반지름 33
d=∣3⋅1+4⋅(−2)+k∣32+42=∣k−5∣5d=\frac{|3\cdot1+4\cdot(-2)+k|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|k-5|}{5}

접하려면 d=3d=3
∣k−5∣=15|k-5|=15
따라서 k=20k=20 또는 k=−10k=-10

서로 다른 두 점에서 만나려면 d<3d<3
∣k−5∣<15|k-5|<15
따라서 −10<k<20-10<k<20

만나지 않으려면 d>3d>3
따라서 k<−10k<-10 또는 k>20k>20
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 x2+y2=4x^2+y^2=4 와 직선 3x+4y−10=03x+4y-10=0 의 위치 관계는?
반지름과 비교하기
✗ 틀린 풀이
(x−1)2+(y+2)2=9(x-1)^2+(y+2)^2=9 에 접하려면
∣k−5∣5=9\frac{|k-5|}{5}=9
왜 틀렸나 접할 조건은 중심과 직선 사이의 거리가 반지름과 같은 것이고, 반지름은 우변의 양의 제곱근이다.
✓ 바른 풀이
(x−1)2+(y+2)2=9(x-1)^2+(y+2)^2=9 에 접하려면
∣k−5∣5=3\frac{|k-5|}{5}=3
검산: k=20k=20 일 때 직선의 식을 원의 방정식에 대입하여 판별식으로 풀어도 D=0D=0 이 된다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

직선이 원의 중심에 가까울수록 원을 많이 가로질러요. dd 가 rr 보다 작으면 직선이 원의 안쪽을 지나고, d=rd=r 이면 원에 한 점에서 닿고, d>rd>r 이면 원 밖을 지나요.

거리로 판정하는 순서
  1. 1
    원의 중심 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 과 반지름 rr 을 구해요.
    일반형이면 표준형으로 고쳐요.
  2. 2
    직선을 ax+by+c=0ax+by+c=0 꼴로 고쳐요.
  3. 3
    점과 직선 사이의 거리 공식으로 dd 를 구해요.
  4. 4
    dd 와 rr 의 대소를 비교해요.
    r2r^2 이 아니라 rr 과 비교해요.
성질두 방법 나란히
판별식: 대입하여 이차방정식을 만들고 DD 의 부호를 본다. 교점의 좌표까지 구할 때 쓴다.
거리: 중심과 직선 사이의 거리 dd 를 rr 과 비교한다. 계산이 짧아 위치 관계만 물을 때, 특히 중심이 원점이 아닐 때 편하다.
두 방법의 결론은 항상 같다.

3현의 길이

성질현의 길이
직선이 원과 두 점 AA, BB 에서 만날 때 선분 ABAB 를 현이라 한다.
원의 반지름의 길이가 rr, 원의 중심과 직선 사이의 거리가 dd 이면 현의 길이는 다음과 같다.AB‾=2r2−d2\overline{AB}=2\sqrt{r^2-d^2}
학생
왜 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} 에 22 를 곱해요?
쌤
중심에서 현에 수선을 내리면 현이 반으로 나뉘어요. 직각삼각형에서 구한 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} 은 그 반쪽 길이라서 두 배를 해요.
예x2+y2=25x^2+y^2=25 와 3x+4y−10=03x+4y-10=0
중심 (0, 0)(0,\ 0), 반지름 55
d=∣−10∣32+42=2d=\frac{|-10|}{\sqrt{3^2+4^2}}=2
AH‾=25−4=21\overline{AH}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}
따라서 현의 길이는 2212\sqrt{21}
x2+y2=25x^2+y^2=25 와 3x+4y−10=03x+4y-10=0
-6-5-4-3-2-1123456-6-5-4-3-2-1123456xyO25
21\sqrt{21}
OHAB
직각삼각형 OAH\mathrm{OAH} 에서 AH‾=52−22=21\overline{\mathrm{AH}}=\sqrt{5^2-2^2}=\sqrt{21} 이고, 현은 그 두 배 2212\sqrt{21} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름의 길이가 55 인 원의 중심과 직선 사이의 거리가 33 일 때 현의 길이는?
현의 길이 계산
✗ 틀린 풀이
r=5r=5, d=2d=2 일 때
현의 길이 =25−4=21=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}
왜 틀렸나 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 r2−d2\sqrt{r^2-d^2} 은 현의 절반이고 두 배를 해야 한다.
✓ 바른 풀이
r=5r=5, d=2d=2 일 때
현의 길이 =225−4=221=2\sqrt{25-4}=2\sqrt{21}
검산: 두 교점을 직접 구해 거리를 재도 2212\sqrt{21} 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

이유는 다음과 같아요. 원의 중심 OO 에서 현에 내린 수선의 발을 HH 라 하면, △OAB\triangle OAB 는 OA‾=OB‾=r\overline{OA}=\overline{OB}=r 인 이등변삼각형이므로 HH 는 ABAB 의 중점이에요.
직각삼각형 OAHOAH 에서 OH‾=d\overline{OH}=d 이므로 피타고라스 정리에 의하여 AH‾=r2−d2,AB‾=2r2−d2\overline{AH}=\sqrt{r^2-d^2},\qquad \overline{AB}=2\sqrt{r^2-d^2}

4원 위의 점에서의 접선

성질원 위의 점에서의 접선
원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이다.
원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 위의 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 에서의 접선의 방정식은 다음과 같다.x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2
공식원 위의 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 에서의 접선
x2+y2=r2x^2+y^2=r^2
x1x+y1y=r2\displaystyle x_1x+y_1y=r^2
x2x^2 의 xx 하나를 x1x_1 로, y2y^2 의 yy 하나를 y1y_1 로 바꾼다. x1=0x_1=0 또는 y1=0y_1=0 일 때도 성립한다.
참고: (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
(x1−a)(x−a)+(y1−b)(y−b)=r2\displaystyle (x_1-a)(x-a)+(y_1-b)(y-b)=r^2
중심이 원점이 아닐 때 같은 규칙으로 쓴다.
학생
공식을 쉽게 떠올리는 방법이 있어요?
쌤
x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 에서 x2x^2 의 xx 하나를 x1x_1 로, y2y^2 의 yy 하나를 y1y_1 로 바꾸면 돼요. 그러면 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 이에요.
x2+y2=25x^2+y^2=25 위의 점 (3, 4)(3,\ 4) 에서의 접선
-6-4-22468-6-4-22468xyO3x+4y=25OP
접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 x2+y2=10x^2+y^2=10 위의 점 (1, −3)(1,\ -3) 에서의 접선의 방정식은?
우변은 r2r^2
✗ 틀린 풀이
x2+y2=25x^2+y^2=25 위의 점 (3, 4)(3,\ 4) 에서의 접선
3x+4y=53x+4y=5
왜 틀렸나 원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 위의 점에서의 접선은 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 이므로 우변에 반지름의 제곱을 쓴다.
✓ 바른 풀이
x2+y2=25x^2+y^2=25 위의 점 (3, 4)(3,\ 4) 에서의 접선
3x+4y=253x+4y=25
검산: 3⋅3+4⋅4=253\cdot3+4\cdot4=25 이므로 접선이 접점 (3, 4)(3,\ 4) 를 지난다. 또 중심과 접선 사이의 거리 ∣−25∣5=5\frac{|-25|}{5}=5 가 반지름과 같다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2외우기 카드

이유는 다음과 같아요. 원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 위의 점 P(x1, y1)P(x_1,\ y_1) (x1≠0x_1\ne0, y1≠0y_1\ne0) 에서 반지름 OPOP 의 기울기는 y1x1\frac{y_1}{x_1} 이므로, 이에 수직인 접선의 기울기는 −x1y1-\frac{x_1}{y_1} 이에요.

y−y1=−x1y1(x−x1)y-y_1=-\frac{x_1}{y_1}(x-x_1)
↳점 PP 를 지나요
y1y−y12=−x1x+x12y_1y-y_1^2=-x_1x+x_1^2
↳양변에 y1y_1 을 곱해요
x1x+y1y=x12+y12x_1x+y_1y=x_1^2+y_1^2
↳이항해요
x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2
↳x12+y12=r2x_1^2+y_1^2=r^2
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2우변은 반지름의 제곱
x2+y2=r2 위의 점 (x1, y1) 에서의 접선=□x+□y=r2x^2+y^2=r^2 \text{ 위의 점 }(x_1,\ y_1)\text{ 에서의 접선}=\square x+\square y=r^2
단계 1 / 2± 두 개
x2+y2=r2 에 접하고 기울기가 m=y=mx±r□x^2+y^2=r^2 \text{ 에 접하고 기울기가 }m=y=mx\pm r\sqrt{\square}
예응용
x2+y2=25x^2+y^2=25 위의 점 (3, 4)(3,\ 4)
3x+4y=253x+4y=25

x2+y2=5x^2+y^2=5 위의 점 (−1, 2)(-1,\ 2)
−x+2y=5-x+2y=5
즉 x−2y+5=0x-2y+5=0

x2+y2=9x^2+y^2=9 위의 점 (0, −3)(0,\ -3)
0⋅x+(−3)y=90\cdot x+(-3)y=9
즉 y=−3y=-3

(x−1)2+(y−2)2=5(x-1)^2+(y-2)^2=5 위의 점 (2, 4)(2,\ 4)
(2−1)(x−1)+(4−2)(y−2)=5(2-1)(x-1)+(4-2)(y-2)=5
즉 x+2y=10x+2y=10

5기울기가 주어진 접선

성질기울기가 주어진 접선
원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 에 접하고 기울기가 mm 인 직선은 두 개이고, 그 방정식은 다음과 같다.y=mx±rm2+1y=mx\pm r\sqrt{m^2+1}이차곡선의 접선도 같은 방법으로 구한다.
학생
기울기가 주어진 접선은 왜 두 개예요?
쌤
기울기가 같은 평행한 직선을 원에 대 보면 원의 양쪽에서 한 번씩 닿아요. 그래서 ±\pm 가 붙어요.
예x2+y2=4x^2+y^2=4 에 접하고 기울기가 33 인 직선
r=2r=2, m=3m=3 이므로
y=3x±232+1y=3x\pm2\sqrt{3^2+1}
따라서 y=3x+210y=3x+2\sqrt{10} 또는 y=3x−210y=3x-2\sqrt{10}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 x2+y2=1x^2+y^2=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선은?
근호 안과 ±
✗ 틀린 풀이
x2+y2=4x^2+y^2=4, 기울기 33
y=3x+232−1y=3x+2\sqrt{3^2-1}
왜 틀렸나 기울기가 mm 인 접선은 y=mx±rm2+1y=mx\pm r\sqrt{m^2+1} 이며 원의 양쪽에 하나씩 두 개가 있다.
✓ 바른 풀이
x2+y2=4x^2+y^2=4, 기울기 33
y=3x±232+1y=3x\pm2\sqrt{3^2+1}
기억 요령: 근호 안 m2+1m^2+1 은 점과 직선 사이의 거리 공식의 분모에서 온다.
검산: 원점과 3x−y±210=03x-y\pm2\sqrt{10}=0 사이의 거리는 21010=2\frac{2\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=2 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지

이유는 다음과 같아요. 원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 에 접하고 기울기가 mm 인 직선을 y=mx+ny=mx+n 이라 하고, 일반형으로 고치면
mx−y+n=0mx-y+n=0
중심 (0, 0)(0,\ 0) 과 직선 사이의 거리가 rr 이므로 ∣n∣m2+1=r\frac{|n|}{\sqrt{m^2+1}}=r따라서 n=±rm2+1n=\pm r\sqrt{m^2+1} 이고 접선은 두 개예요.

판별식으로 확인하면 x2+(mx+n)2=r2x^2+(mx+n)^2=r^2 에서
(1+m2)x2+2mnx+n2−r2=0(1+m^2)x^2+2mnx+n^2-r^2=0
D4=r2(m2+1)−n2=0\frac{D}{4}=r^2(m^2+1)-n^2=0
같은 결과예요.

6원 밖의 점에서 그은 접선

원 밖의 한 점에서는 원에 접선을 두 개 그을 수 있어요. 다음 두 방법 중 하나로 구해요.

방법 1
접점을 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 로 놓기
  1. 1
    접선을 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 으로 놓아요.
  2. 2
    이 접선이 주어진 점을 지난다는 식과 x12+y12=r2x_1^2+y_1^2=r^2 을 연립해요.
    접점이 원 위에 있다는 조건이에요.
  3. 3
    구한 접점을 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 에 넣어요.
방법 2
기울기를 mm 으로 놓기
  1. 1
    점 (p, q)(p,\ q) 를 지나는 직선을 y−q=m(x−p)y-q=m(x-p) 로 놓아요.
  2. 2
    중심과 이 직선 사이의 거리 =r=r 로 mm 에 관한 방정식을 풀어요.
  3. 3
    yy 축에 평행한 직선 x=px=p 가 접선인지 따로 확인해요.
    기울기가 없는 직선은 y−q=m(x−p)y-q=m(x-p) 꼴로 나타낼 수 없어요.
학생
방법 1과 방법 2 중 어느 쪽이 편해요?
쌤
접점을 묻는 문제면 방법 1, 기울기를 묻는 문제면 방법 2가 바로 답으로 이어져요. 방법 2는 yy 축에 평행한 접선을 놓치기 쉬우니 따로 확인해요.
예점 (4, 2)(4,\ 2) 에서 원 x2+y2=10x^2+y^2=10 에 그은 접선
방법 1
접점을 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 이라 하면 접선은 x1x+y1y=10x_1x+y_1y=10
이 직선이 (4, 2)(4,\ 2) 를 지나고 접점은 원 위에 있으므로 연립하면 {4x1+2y1=10x12+y12=10\begin{cases} 4x_1+2y_1=10 \\ x_1^2+y_1^2=10 \end{cases}y1=5−2x1y_1=5-2x_1 을 대입하면
x12−4x1+3=0x_1^2-4x_1+3=0
x1=1x_1=1 또는 x1=3x_1=3
접점은 (1, 3)(1,\ 3), (3, −1)(3,\ -1)
따라서 x+3y=10x+3y=10 또는 3x−y=103x-y=10

방법 2
y−2=m(x−4)y-2=m(x-4)
일반형으로 고치면
mx−y−4m+2=0mx-y-4m+2=0
∣−4m+2∣m2+1=10\frac{|-4m+2|}{\sqrt{m^2+1}}=\sqrt{10}
양변을 제곱하면
(−4m+2)2=10(m2+1)(-4m+2)^2=10(m^2+1)
6m2−16m−6=06m^2-16m-6=0 의 양변을 22 로 나누면
3m2−8m−3=03m^2-8m-3=0
(3m+1)(m−3)=0(3m+1)(m-3)=0
m=3m=3 또는 m=−13m=-\frac13
같은 두 접선 y=3x−10y=3x-10, y=−13x+103y=-\frac13x+\frac{10}{3} 이 나와요.
점 (4, 2)(4,\ 2) 에서 원 x2+y2=10x^2+y^2=10 에 그은 두 접선
-4-3-2-1123456-4-3-2-112345xyOOPT₁T₂
두 접선 x+3y=10x+3y=10, 3x−y=103x-y=10 은 접점 (1, 3)(1,\ 3), (3, −1)(3,\ -1) 에서 원에 닿아요. 회색 점선 4x+2y=104x+2y=10 은 두 접점을 잇는 선이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (0, 2)(0,\ 2) 에서 원 x2+y2=1x^2+y^2=1 에 그은 접선의 기울기 mm 은?
원 밖의 점에 접선 공식 쓰기
✗ 틀린 풀이
점 (4, 2)(4,\ 2) 에서 x2+y2=10x^2+y^2=10 에 그은 접선
4x+2y=104x+2y=10
왜 틀렸나 접선 공식 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 의 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 은 원 위의 접점이므로 원 밖의 점은 넣을 수 없다.
✓ 바른 풀이
접점 (1, 3)(1,\ 3), (3, −1)(3,\ -1) 을 먼저 구하여
x+3y=10x+3y=10, 3x−y=103x-y=10
원 밖의 점에서 그은 접선은 접점을 먼저 구한다.
검산: (1, 3)(1,\ 3), (3, −1)(3,\ -1) 은 1+9=101+9=10, 9+1=109+1=10 으로 원 위에 있고, 두 접선 모두 (4, 2)(4,\ 2) 를 지난다.
⚠ 주의yy 축에 평행한 접선
점 (2, 3)(2,\ 3) 에서 원 x2+y2=4x^2+y^2=4 에 그은 접선을 방법 2로 구하면
∣3−2m∣m2+1=2\frac{|3-2m|}{\sqrt{m^2+1}}=2
양변을 제곱하면 9−12m+4m2=4m2+49-12m+4m^2=4m^2+4 에서 m2m^2 이 지워져요.
5−12m=05-12m=0
m=512m=\frac{5}{12} 하나만 나와요.
나머지 접선은 기울기가 없는 직선 x=2x=2 예요(중심과의 거리 2=r2=r).
따라서 접선은 5x−12y+26=05x-12y+26=0 과 x=2x=2

7두 원의 교점을 지나는 직선과 원

정의공통현
두 원이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 두 교점을 잇는 선분을 두 원의 공통현이라 한다.
성질두 원의 교점을 지나는 직선과 원
두 원 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0, x2+y2+A′x+B′y+C′=0x^2+y^2+A'x+B'y+C'=0 이 서로 다른 두 점에서 만날 때
두 교점을 지나는 직선(공통현을 포함하는 직선)의 방정식은 (A−A′)x+(B−B′)y+(C−C′)=0(A-A')x+(B-B')y+(C-C')=0두 교점을 지나는 원의 방정식은 x2+y2+Ax+By+C+k(x2+y2+A′x+B′y+C′)=0(k≠−1)x^2+y^2+Ax+By+C+k(x^2+y^2+A'x+B'y+C')=0\quad(k\ne-1)

두 교점은 두 원의 방정식을 모두 만족시켜요. 그래서 두 식을 변끼리 뺀 식도 만족시켜요.
뺀 식은 x2+y2x^2+y^2 이 없어진 일차방정식이므로 두 교점을 지나는 직선이에요.

예두 원 x2+y2=10x^2+y^2=10, x2+y2−8x−4y+10=0x^2+y^2-8x-4y+10=0
두 식을 변끼리 빼면 8x+4y−20=08x+4y-20=0
공통현을 포함하는 직선은 2x+y−5=02x+y-5=0
원 x2+y2=10x^2+y^2=10 의 중심 (0, 0)(0,\ 0) 과 이 직선 사이의 거리는 ∣−5∣5=5\dfrac{|-5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}
공통현의 길이는 210−5=252\sqrt{10-5}=2\sqrt{5}
두 원의 공통현
-4-3-2-112345678-4-3-2-1123456xyOPQ
두 교점 (1, 3)(1,\ 3), (3, −1)(3,\ -1) 은 직선 2x+y−5=02x+y-5=0 위에 있어요. 공통현의 길이는 252\sqrt{5} 예요.
학생
두 교점을 지나는 원은 왜 한 식에 kk 를 곱해 더한 꼴이에요?
쌤
두 교점에서는 두 원의 방정식의 좌변이 모두 00 이에요. 그래서 kk 가 어떤 수이든 더한 식도 00 이 되어, 그 식의 도형은 두 교점을 지나요.
쌤
k≠−1k\ne-1 이면 x2+y2x^2+y^2 이 남아 원이 되고, k=−1k=-1 이면 공통현을 포함하는 직선이 돼요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 원 x2+y2=4x^2+y^2=4, x2+y2−2x+2y−2=0x^2+y^2-2x+2y-2=0 의 공통현을 포함하는 직선의 방정식은?
자세히 보기펼치기예제
예두 교점과 원점을 지나는 원
두 원 x2+y2=10x^2+y^2=10, x2+y2−8x−4y+10=0x^2+y^2-8x-4y+10=0 의 교점과 원점을 지나는 원은 x2+y2−10+k(x2+y2−8x−4y+10)=0x^2+y^2-10+k(x^2+y^2-8x-4y+10)=0 꼴이에요.
원점을 넣으면 −10+10k=0-10+10k=0 이므로 k=1k=1
2x2+2y2−8x−4y=02x^2+2y^2-8x-4y=0
x2+y2−4x−2y=0x^2+y^2-4x-2y=0
검산: (1, 3)(1,\ 3) 을 넣으면 1+9−4−6=01+9-4-6=0 ✓

8두 원의 공통접선

정의공통접선
두 원에 동시에 접하는 직선을 두 원의 공통접선이라 한다.
두 원이 공통접선의 같은 쪽에 있으면 공통외접선, 양쪽에 나뉘어 있으면 공통내접선이라 한다.
성질공통접선의 길이
두 원의 반지름의 길이가 r, r′ (r≥r′)r,\ r'\ (r\ge r') 이고 중심 사이의 거리가 dd 일 때, 두 접점 사이의 거리는
공통외접선: d2−(r−r′)2\sqrt{d^2-(r-r')^2}공통내접선: d2−(r+r′)2\sqrt{d^2-(r+r')^2}
공통외접선의 길이
dOO′ABH
직각삼각형 OHO′\mathrm{OHO'} 에서 OH‾=r−r′\overline{\mathrm{OH}}=r-r', HO′‾=AB‾\overline{\mathrm{HO'}}=\overline{\mathrm{AB}} 예요.
학생
공통접선의 길이를 왜 직각삼각형으로 구해요?
쌤
접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이에요. 작은 원의 중심에서 접선과 평행하게 선을 그으면 빗변이 dd, 한 변이 r−r′r-r' 인 직각삼각형이 생기고, 나머지 한 변이 두 접점 사이의 거리와 같아요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름의 길이가 55, 22 이고 중심 사이의 거리가 55 인 두 원의 공통외접선에서 두 접점 사이의 거리는?
자세히 보기펼치기예제
예두 공통접선의 길이
반지름의 길이가 33, 11 이고 중심 사이의 거리가 55 인 두 원
공통외접선: 52−(3−1)2=21\sqrt{5^2-(3-1)^2}=\sqrt{21}
공통내접선: 52−(3+1)2=3\sqrt{5^2-(3+1)^2}=3
공통내접선은 두 원이 서로의 외부에 있을 때(d>r+r′d>r+r')만 그을 수 있어요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1직선의 식을 원의 방정식에 대입하여 얻은 이차방정식의 판별식 DD 로 판정한다: D>0D>0 두 점, D=0D=0 접함, D<0D<0 만나지 않음.
  2. 2원의 중심과 직선 사이의 거리 dd 와 반지름 rr 을 비교해도 된다: d<rd<r 두 점, d=rd=r 접함, d>rd>r 만나지 않음.
  3. 3현의 길이는 2r2−d22\sqrt{r^2-d^2} 이다.
  4. 4원 x2+y2=r2x^2+y^2=r^2 위의 점 (x1, y1)(x_1,\ y_1) 에서의 접선은 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2, 기울기가 mm 인 접선은 y=mx±rm2+1y=mx\pm r\sqrt{m^2+1} 이다.
  5. 5두 원의 방정식을 변끼리 빼면 두 교점을 지나는 직선(공통현을 포함하는 직선)의 방정식이 된다.
✗ 자주 하는 실수
  • 중심과 직선 사이의 거리 dd 를 반지름 rr 이 아닌 r2r^2 과 비교해요.
  • 원 밖의 점에 접선 공식 x1x+y1y=r2x_1x+y_1y=r^2 을 그대로 쓰거나, 우변에 r2r^2 대신 rr 을 써요.
  • 원 밖의 점에서 접선을 기울기 mm 으로만 구하여 yy 축에 평행한 접선 x=px=p 를 빠뜨려요.
  • 공통외접선의 길이를 d2−(r+r′)2\sqrt{d^2-(r+r')^2} 으로 구해요. 두 원이 접선의 같은 쪽에 있으면 반지름의 차 r−r′r-r' 을 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    원 x2+y2=8x^2+y^2=8 과 직선 y=x+ky=x+k 가 접할 때, 상수 kk 의 값을 모두 구하시오.
  2. 예제 2
    원 (x−1)2+(y−2)2=10(x-1)^2+(y-2)^2=10 과 직선 x−y+3=0x-y+3=0 이 만나서 생기는 현의 길이를 구하시오.
  3. 예제 3
    점 (3, 1)(3,\ 1) 에서 원 x2+y2=5x^2+y^2=5 에 그은 두 접선의 방정식을 구하시오.

다음 공부

이전 개념: 원의 방정식, 점과 직선 사이의 거리설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학1 이차방정식의 판별식, 중2 이등변삼각형과 직각삼각형, 중2 피타고라스 정리, 중3 원과 현, 원의 접선, 기하 이차곡선과 직선, 기울기가 주어진 접선 (나중에)공통수학2 목차
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