수학 개념 노트전체 과목

이차곡선과 직선, 기울기가 주어진 접선

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
이차곡선과 직선의 방정식을 연립한 이차방정식의 판별식 DD 의 부호로 위치 관계를 판단해요. D=0D=0 으로 기울기가 mm 인 접선을 구하면 포물선 y2=4pxy^2=4px 는 y=mx+pmy=mx+\frac{p}{m}, 타원은 y=mx±a2m2+b2y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}, 쌍곡선은 y=mx±a2m2−b2y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2} 이에요.
  1. 1이차곡선과 직선의 위치 관계
  2. 2기울기가 주어진 접선
  3. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1이차곡선과 직선의 위치 관계

이차곡선과 직선의 교점은 두 방정식을 동시에 만족하는 점이에요. 직선의 방정식 y=mx+ny=mx+n 을 이차곡선의 방정식에 대입하여 yy 를 없애면 xx 에 대한 이차방정식이 돼요.
이 이차방정식의 실근 하나가 교점 하나의 xx 좌표이므로, 실근의 개수가 곧 교점의 개수예요.

공식판별식과 위치 관계 (소거한 이차방정식의 판별식 DD)
D>0D>0
서로 다른 두 점에서 만난다\displaystyle \text{서로 다른 두 점에서 만난다}
D=0D=0
한 점에서 만난다 (접한다)\displaystyle \text{한 점에서 만난다 (접한다)}
이때의 직선을 접선, 만나는 점을 접점이라 한다.
D<0D<0
만나지 않는다\displaystyle \text{만나지 않는다}

이차방정식이 중근을 가질 때 직선이 곡선에 접한다 고 해요. 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 판별식으로 판단한 것과 같은 방법이에요.

포물선 y2=4xy^2=4x 와 직선 y=x+ky=x+k
(x+k)2=4x(x+k)^2=4x
↳대입해요
x2+(2k−4)x+k2=0x^2+(2k-4)x+k^2=0
D4=(k−2)2−k2=−4k+4\frac{D}{4}=(k-2)^2-k^2=-4k+4
↳판별식
학생
판별식 DD 대신 D4\frac{D}{4} 를 써도 돼요?
쌤
네. 위치 관계는 판별식의 부호만 보면 되니까 둘 다 괜찮아요. xx 의 계수가 짝수이면 D4\frac{D}{4} 가 계산이 더 간단해요.
kk 의 값에 따른 위치 관계
두 점 (D>0D>0)
없음 (D<0D<0)
-2-101234
k=1k=1 접함
k<1k<1 이면 두 점에서 만나고, k=1k=1 이면 접하고, k>1k>1 이면 만나지 않아요.
-3-2-1123456-5-4-3-2-112345xyOk=0k=1k=2
포물선 y2=4xy^2=4x 와 직선 y=x+ky=x+k: k=0k=0 이면 두 점, k=1k=1 이면 접하고, k=2k=2 이면 만나지 않아요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
포물선 y2=4xy^2=4x 와 직선 y=x+3y=x+3 의 위치 관계는?
⚠ 주의소거한 식이 이차방정식이 아닐 때
판별식은 이차방정식에서만 써요. 대입한 결과 이차항이 없어지면 판별식을 쓸 수 없어요.
포물선 y2=4xy^2=4x 와 축에 평행한 직선 y=2y=2 는 점 (1, 2)(1,\ 2) 한 점에서 만나지만 접하지 않아요.
쌍곡선 x2−y2=1x^2-y^2=1 과 점근선에 평행한 직선 y=x+1y=x+1 은 점 (−1, 0)(-1,\ 0) 한 점에서 만나지만 접하지 않아요.
「한 점에서 만난다」와 「접한다」는 같은 말이 아니에요.
자세히 보기펼치기예제그림
타원과 직선
타원 x24+y2=1\frac{x^2}{4}+y^2=1 과 직선 y=x+ky=x+k
x2+4(x+k)2=4x^2+4(x+k)^2=4
↳x2+4y2=4x^2+4y^2=4 에 대입
5x2+8kx+4k2−4=05x^2+8kx+4k^2-4=0
D4=(4k)2−5(4k2−4)=20−4k2\frac{D}{4}=(4k)^2-5(4k^2-4)=20-4k^2
↳판별식
kk 의 값에 따른 위치 관계
없음
두 점
없음
-4-3-2-101234
−5-\sqrt{5}
5\sqrt{5}
−5<k<5-\sqrt{5}<k<\sqrt{5} 이면 두 점, k=±5k=\pm\sqrt{5} 이면 접하고(●), 그 밖이면 만나지 않아요.

2기울기가 주어진 접선

공식기울기가 mm 인 접선의 방정식
포물선 y2=4pxy^2=4px
y=mx+pm\displaystyle y=mx+\frac{p}{m}
접선은 하나뿐이다.
타원 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1
y=mx±a2m2+b2\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}
어떤 mm 에 대해서도 접선이 두 개 있다.
쌍곡선 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1
y=mx±a2m2−b2\displaystyle y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}
∣m∣>ba|m|>\frac{b}{a} 일 때만 접선이 있다(두 개).
학생
기울기가 주어진 접선은 매번 판별식으로 구해야 해요?
쌤
판별식으로 구해도 되지만, 표준형이면 공식으로 바로 써요. 접선을 y=mx+ny=mx+n 으로 놓고 D=0D=0 에서 nn 을 구한 결과가 그 공식이에요.
-7-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456xyOy=x+5y=x-5
타원 x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선은 두 개
포물선
y2=8xy^2=8x 에 접하고 기울기가 22 인 직선
4p=8,p=24p=8,\quad p=2
y=2x+22=2x+1y=2x+\frac{2}{2}=2x+1
↳y=mx+pmy=mx+\frac{p}{m}
타원
x216+y29=1\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선
a2=16, b2=9, m=1a^2=16,\ b^2=9,\ m=1
16⋅12+9=5\sqrt{16\cdot1^2+9}=5
↳a2m2+b2\sqrt{a^2m^2+b^2}
y=x±5y=x\pm5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
타원 x24+y2=1\frac{x^2}{4}+y^2=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선의 yy 절편은?
성질쌍곡선에서 접선이 없는 기울기
쌍곡선 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 의 점근선의 기울기는 ±ba\pm\frac{b}{a} 이다.
∣m∣≤ba|m|\le\frac{b}{a} 이면 a2m2−b2≤0a^2m^2-b^2\le0 이므로 기울기가 mm 인 접선은 없다.
예) x24−y2=1\frac{x^2}{4}-y^2=1 은 ∣m∣>12|m|>\frac{1}{2} 일 때만 기울기가 mm 인 접선이 있다.
포물선 접선의 pp
✗ 틀린 풀이
y2=8xy^2=8x 에 접하고 기울기가 22 인 직선
y=2x+82=2x+4y=2x+\frac{8}{2}=2x+4
왜 틀렸나 접선 공식 y=mx+pmy=mx+\frac{p}{m} 의 pp 는 y2=4pxy^2=4px 의 pp 이므로 4p=84p=8 에서 p=2p=2 를 먼저 구한다.
✓ 바른 풀이
4p=84p=8 에서 p=2p=2
y=2x+22=2x+1y=2x+\frac{2}{2}=2x+1
공식의 pp 는 y2=4pxy^2=4px 의 pp 이에요. 일차항의 계수 88 은 4p4p 이에요.
타원과 쌍곡선의 부호
✗ 틀린 풀이
x28−y24=1\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선
y=x±8+4y=x\pm\sqrt{8+4}
왜 틀렸나 쌍곡선의 접선 공식은 y=mx±a2m2−b2y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2} 이므로 근호 안은 빼기이다.
✓ 바른 풀이
y=x±8−4=x±2y=x\pm\sqrt{8-4}=x\pm2
쌍곡선은 근호 안이 a2m2−b2a^2m^2-b^2 이에요.
공식을 헷갈릴 때는 판별식으로 다시 유도하면 돼요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 5성질 더 보기
기울기가 mm 인 접선을 구하는 순서 (판별식 이용)
  1. 1
    접선을 y=mx+ny=mx+n 으로 놓아요.
    기울기는 알고 있으므로 모르는 것은 yy 절편 nn 하나예요.
  2. 2
    이차곡선의 방정식에 대입하여 xx 에 대한 이차방정식을 만들어요.
  3. 3
    D=0D=0 에서 nn 을 구해요.
    접할 조건
포물선 y2=4pxy^2=4px 에 접하고 기울기가 mm 인 직선 (m≠0m\ne0)
(mx+n)2=4px(mx+n)^2=4px
↳y=mx+ny=mx+n 을 대입
m2x2+(2mn−4p)x+n2=0m^2x^2+(2mn-4p)x+n^2=0
↳m≠0m\ne0 이라 이차방정식
D4=(mn−2p)2−m2n2=4p(p−mn)\frac{D}{4}=(mn-2p)^2-m^2n^2=4p(p-mn)
n=pmn=\frac{p}{m}
↳D=0D=0, p≠0p\ne0 이므로 p=mnp=mn
타원 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 에 접하고 기울기가 mm 인 직선
b2x2+a2(mx+n)2=a2b2b^2x^2+a^2(mx+n)^2=a^2b^2
↳b2x2+a2y2=a2b2b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2 에 대입
(a2m2+b2)x2+2a2mnx+a2(n2−b2)=0(a^2m^2+b^2)x^2+2a^2mnx+a^2(n^2-b^2)=0
D4=(a2mn)2−(a2m2+b2)⋅a2(n2−b2)\frac{D}{4}=(a^2mn)^2-(a^2m^2+b^2)\cdot a^2(n^2-b^2)
↳판별식
=a2b2(a2m2+b2−n2)=a^2b^2(a^2m^2+b^2-n^2)
↳a4m2n2a^4m^2n^2 이 지워져요
n=±a2m2+b2n=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}
↳D=0D=0
쌍곡선 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 에 접하고 기울기가 mm 인 직선
b2x2−a2(mx+n)2=a2b2b^2x^2-a^2(mx+n)^2=a^2b^2
↳대입
(b2−a2m2)x2−2a2mnx−a2(n2+b2)=0(b^2-a^2m^2)x^2-2a^2mnx-a^2(n^2+b^2)=0
↳b2−a2m2≠0b^2-a^2m^2\ne0 일 때
D4=(a2mn)2+(b2−a2m2)⋅a2(n2+b2)\frac{D}{4}=(a^2mn)^2+(b^2-a^2m^2)\cdot a^2(n^2+b^2)
↳판별식
=a2b2(n2−a2m2+b2)=a^2b^2(n^2-a^2m^2+b^2)
↳a4m2n2a^4m^2n^2 이 지워져요
n=±a2m2−b2n=\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}
↳D=0D=0, 단 a2m2−b2>0a^2m^2-b^2>0
성질외우는 장치
타원은 「++」, 쌍곡선은 「−-」: 근호 안은 a2m2±b2a^2m^2\pm b^2
a2a^2 은 x2x^2 의 분모, b2b^2 은 y2y^2 의 분모이다. m2m^2 은 x2x^2 의 분모에 붙는다.
포물선은 「4p4p 가 아니라 pp 를 mm 으로 나눈다」: y=mx+pmy=mx+\frac{p}{m}
공식은 표준형에서만 쓴다. 우변이 11 이 아니면 먼저 표준형으로 고친다.
같은 문제를 판별식으로
9x2+16(x+n)2=1449x^2+16(x+n)^2=144
25x2+32nx+16n2−144=025x^2+32nx+16n^2-144=0
D4=(16n)2−25(16n2−144)=144(25−n2)\frac{D}{4}=(16n)^2-25(16n^2-144)=144(25-n^2)
n=±5n=\pm5
↳D=0D=0: 공식과 같아요
쌍곡선
x28−y24=1\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선
a2=8, b2=4, m=1a^2=8,\ b^2=4,\ m=1
8⋅12−4=2\sqrt{8\cdot1^2-4}=2
↳a2m2−b2\sqrt{a^2m^2-b^2}
y=x±2y=x\pm2
-7-6-5-4-3-2-11234567-6-5-4-3-2-1123456xyOy=x+2y=x-2
쌍곡선 x28−y24=1\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{4}=1 에 접하고 기울기가 11 인 직선 y=x±2y=x\pm2 (점선은 점근선)
성질검산
구한 직선을 곡선의 방정식에 다시 대입하여 중근이 나오는지 확인한다.
y=2x+1y=2x+1 을 y2=8xy^2=8x 에 넣으면
4x2−4x+1=04x^2-4x+1=0
(2x−1)2=0(2x-1)^2=0 ✓ (중근 x=12x=\frac{1}{2}, 접점 (12, 2)\left(\frac{1}{2},\ 2\right))
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1이차곡선과 직선의 방정식을 연립하여 얻은 이차방정식의 판별식을 DD 라 하면 D>0D>0 이면 두 점에서 만나고, D=0D=0 이면 접하고, D<0D<0 이면 만나지 않는다.
  2. 2포물선 y2=4pxy^2=4px 에 접하고 기울기가 mm 인 직선은 y=mx+pmy=mx+\frac{p}{m} 이다.
  3. 3타원 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 에 접하고 기울기가 mm 인 직선은 y=mx±a2m2+b2y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+b^2} 이다.
  4. 4쌍곡선 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 에 접하고 기울기가 mm 인 직선은 y=mx±a2m2−b2y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2} (a2m2>b2a^2m^2>b^2) 이다.
✗ 자주 하는 실수
  • 포물선 y2=8xy^2=8x 의 접선 공식에 p=8p=8 을 넣어요. 4p=84p=8 이므로 p=2p=2 이에요.
  • 쌍곡선의 접선 공식을 타원처럼 a2m2+b2\sqrt{a^2m^2+b^2} 으로 써요. 쌍곡선은 a2m2−b2\sqrt{a^2m^2-b^2} 이에요.
  • 대입한 결과 이차항이 없어지는 경우(축이나 점근선에 평행한 직선)에도 판별식을 쓰거나, 한 점에서 만나면 접한다고 단정해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    포물선 y2=8xy^2=8x 와 직선 y=2x+ky=2x+k 가 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 실수 kk 의 값의 범위를 구하시오.
  2. 예제 2
    타원 x2+2y2=8x^2+2y^2=8 에 접하고 기울기가 11 인 직선의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    쌍곡선 x2−4y2=4x^2-4y^2=4 에 접하고 직선 y=x+3y=x+3 에 평행한 직선의 방정식을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 이차곡선 위의 점에서의 접선 →
이전 개념: 쌍곡선설명에서 참고한 다른 과목 개념: 공통수학2 직선의 방정식, 공통수학1 연립이차방정식, 공통수학1 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계, 공통수학1 이차방정식의 판별식기하 목차
← 쌍곡선이차곡선 위의 점에서의 접선 →
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