수학 개념 노트전체 과목

원의 방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
중심이 (a, b)(a,\ b) 이고 반지름의 길이가 rr 인 원의 방정식은 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 이에요. 일반형 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 은 완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름을 읽고, A2+B2−4C>0A^2+B^2-4C>0 일 때 원이에요. 조건을 만족시키는 점 전체가 이루는 도형(자취)은 그 점을 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 로 놓고 조건을 식으로 나타내어 구해요.
  1. 1원의 방정식의 표준형
  2. 2일반형을 표준형으로 고치기
  3. 3원이 되는 조건
  4. 4주어진 조건으로 원의 방정식 구하기
  5. 5자취의 방정식
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1원의 방정식의 표준형

정의원
평면 위의 한 정점에서 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 원이라 한다.
이 정점을 원의 중심, 일정한 거리를 원의 반지름이라 한다.
중심이 (a, b)(a,\ b), 반지름의 길이가 rr 인 원의 방정식은 다음과 같다.(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
학생
왜 식이 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 꼴이 돼요?
쌤
원 위의 점은 중심에서 거리가 모두 rr 이에요. 두 점 사이의 거리가 rr 이라는 식을 제곱하면 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 이 돼요.
공식원의 방정식
표준형
(x−a)2+(y−b)2=r2\displaystyle (x-a)^2+(y-b)^2=r^2
중심 (a, b)(a,\ b), 반지름의 길이 rr
중심이 원점
x2+y2=r2\displaystyle x^2+y^2=r^2
a=0, b=0a=0,\ b=0 인 경우
일반형
x2+y2+Ax+By+C=0\displaystyle x^2+y^2+Ax+By+C=0
단, A2+B2−4C>0A^2+B^2-4C>0
예응용
(x+3)2+(y−1)2=5(x+3)^2+(y-1)^2=5
x+3=x−(−3)x+3=x-(-3) 이고 5=(5)25=(\sqrt5)^2 이므로
중심 (−3, 1)(-3,\ 1), 반지름의 길이 5\sqrt5

x2+(y+2)2=16x^2+(y+2)^2=16
x2=(x−0)2x^2=(x-0)^2 이고 y+2=y−(−2)y+2=y-(-2) 이므로
중심 (0, −2)(0,\ -2), 반지름의 길이 44
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 (x−2)2+(y+5)2=9(x-2)^2+(y+5)^2=9 의 중심과 반지름의 길이는?
중심의 부호와 반지름
✗ 틀린 풀이
(x+3)2+(y−1)2=5(x+3)^2+(y-1)^2=5 의
중심 (3, −1)(3,\ -1), 반지름 55
왜 틀렸나 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 이므로 중심은 괄호 안 수의 부호를 바꾼 점이고 반지름은 우변의 양의 제곱근이다.
✓ 바른 풀이
(x+3)2+(y−1)2=5(x+3)^2+(y-1)^2=5 의
중심 (−3, 1)(-3,\ 1), 반지름 5\sqrt5
검산: 중심 (−3, 1)(-3,\ 1) 에서 xx 축 방향으로 5\sqrt5 만큼 간 점 (−3+5, 1)(-3+\sqrt5,\ 1) 을 넣으면 5+0=55+0=5 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기외우기 카드

중심이 C(a, b)C(a,\ b), 반지름의 길이가 rr 인 원 위의 점을 P(x, y)P(x,\ y) 라 하면 CP‾=r\overline{CP}=r 이에요.
두 점 사이의 거리 공식으로 쓰면 (x−a)2+(y−b)2=r\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}=r양변을 제곱하면 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2거꾸로 이 식을 만족하는 점 (x, y)(x,\ y) 는 모두 중심에서 거리가 rr 이므로 원 위에 있어요. 이 식을 원의 방정식의 표준형이라 해요.
공간에서 같은 생각을 하면 구의 방정식이 돼요.

성질□△ 틀로 읽기
(x−□)2+(y−△)2=◯2(x-\square)^2+(y-\triangle)^2=\bigcirc^2중심은 (□, △)(\square,\ \triangle), 반지름의 길이는 ◯\bigcirc 이다.
괄호 안이 x−□x-\square 꼴이 되도록 맞춘 뒤 □\square 를 읽는다. 우변은 반지름의 제곱이다.
가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2괄호 안과 부호가 반대
(x−a)2+(y−b)2=r2=중심 (□, □), 반지름 r(x-a)^2+(y-b)^2=r^2=\text{중심 }(\square,\ \square),\ \text{반지름 }r
단계 1 / 2
x2+y2+Ax+By+C=0=중심 (□A2, □B2)x^2+y^2+Ax+By+C=0=\text{중심 }\left(\square\frac{A}{2},\ \square\frac{B}{2}\right)

2일반형을 표준형으로 고치기

일반형 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 은 xx 에 관한 항, yy 에 관한 항을 각각 완전제곱식으로 고쳐 표준형으로 바꿔요.

학생
일반형 식은 왜 원을 나타내요?
쌤
표준형을 전개하면 일반형 꼴이 되기 때문이에요. 거꾸로 일반형을 완전제곱식으로 묶으면 다시 표준형으로 돌아가서 중심과 반지름이 보여요.
x2+y2−4x+6y−3=0x^2+y^2-4x+6y-3=0
(x2−4x)+(y2+6y)=3(x^2-4x)+(y^2+6y)=3
↳xx 끼리, yy 끼리 묶어요
(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=16(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=16
↳양변에 44 와 99 를 더해요
(x−2)2+(y+3)2=42(x-2)^2+(y+3)^2=4^2
↳완전제곱식으로
따라서 중심 (2, −3)(2,\ -3), 반지름의 길이 44 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 x2+y2+2x−6y+6=0x^2+y^2+2x-6y+6=0 의 반지름의 길이는?
양변에 함께 더하기
✗ 틀린 풀이
(x2−4x)+(y2+6y)=3(x^2-4x)+(y^2+6y)=3 에서
(x−2)2+(y+3)2=3(x-2)^2+(y+3)^2=3
왜 틀렸나 완전제곱식을 만들려고 좌변에 더한 수는 등식이 유지되도록 우변에도 똑같이 더해야 한다.
✓ 바른 풀이
(x2−4x+4)+(y2+6y+9)=3+4+9(x^2-4x+4)+(y^2+6y+9)=3+4+9
(x−2)2+(y+3)2=16(x-2)^2+(y+3)^2=16
검산: 표준형을 다시 전개하여 처음 식과 같은지 본다. (x−2)2+(y+3)2−16=x2+y2−4x+6y−3(x-2)^2+(y+3)^2-16=x^2+y^2-4x+6y-3 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제성질 더 보기

표준형 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 을 전개하면 x2+y2−2ax−2by+a2+b2−r2=0x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0이것은 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 꼴이에요. 그래서 일반형도 원을 나타낼 수 있어요.

일반형 → 표준형
  1. 1
    xx 에 관한 항끼리, yy 에 관한 항끼리 묶고 상수항은 우변으로 옮겨요.
    x2, y2x^2,\ y^2 의 계수가 11 이 아니면 먼저 양변을 그 계수로 나눠요.
  2. 2
    xx 의 계수의 절반의 제곱, yy 의 계수의 절반의 제곱을 양변에 더해요.
    좌변에서만 더하면 등식이 깨져요.
  3. 3
    (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 꼴로 정리하여 중심과 반지름을 읽어요.
x2, y2x^2,\ y^2 의 계수가 22 일 때
2x2+2y2+4x−8y+2=02x^2+2y^2+4x-8y+2=0
x2+y2+2x−4y+1=0x^2+y^2+2x-4y+1=0
↳양변을 22 로 나눠요
(x2+2x+1)+(y2−4y+4)=4(x^2+2x+1)+(y^2-4y+4)=4
↳양변에 11 과 44 를 더해요
(x+1)2+(y−2)2=22(x+1)^2+(y-2)^2=2^2
↳완전제곱식으로
따라서 중심 (−1, 2)(-1,\ 2), 반지름의 길이 22 예요.
성질일반형의 중심과 반지름
x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 을 같은 방법으로 고치면 (x+A2)2+(y+B2)2=A2+B2−4C4\left(x+\frac{A}{2}\right)^2+\left(y+\frac{B}{2}\right)^2=\frac{A^2+B^2-4C}{4}따라서 중심은 (−A2, −B2)\left(-\frac{A}{2},\ -\frac{B}{2}\right) 이고, 반지름의 길이는 A2+B2−4C2\frac{\sqrt{A^2+B^2-4C}}{2} 이다.

예를 들어 x2+y2−4x+6y−3=0x^2+y^2-4x+6y-3=0 은 A=−4, B=6, C=−3A=-4,\ B=6,\ C=-3 이므로
중심 (2, −3)(2,\ -3)
반지름 16+36+122=4\frac{\sqrt{16+36+12}}{2}=4

3원이 되는 조건

성질일반형이 원을 나타낼 조건
x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 이 원을 나타내려면 표준형의 우변이 양수이어야 한다.A2+B2−4C>0A^2+B^2-4C>0우변이 00 이면 한 점 (−A2, −B2)\left(-\frac{A}{2},\ -\frac{B}{2}\right) 만 나타내고, 음수이면 만족하는 점 (x, y)(x,\ y) 가 없다.
또 원의 방정식은 x2x^2 과 y2y^2 의 계수가 같고 xyxy 항이 없다.
학생
x2x^2 과 y2y^2 의 계수가 다르면요?
쌤
그때는 원이 아니에요. 원의 방정식은 x2x^2, y2y^2 의 계수가 같고 xyxy 항이 없어요. 계수가 같지만 11 이 아니면 양변을 그 계수로 나눈 뒤 판단해요.
예x2+y2−2x+4y+k=0x^2+y^2-2x+4y+k=0 이 원을 나타낼 조건
완전제곱식으로 고치면
(x−1)2+(y+2)2=5−k(x-1)^2+(y+2)^2=5-k
원이 되는 조건은 우변이 양수인 것이므로
5−k>05-k>0
따라서 k<5k<5
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+y2−4x+k=0x^2+y^2-4x+k=0 이 원을 나타낼 때 kk 의 값의 범위는?
자세히 보기펼치기예제
예원이 아닌 경우
x2+y2−2x+4y+5=0x^2+y^2-2x+4y+5=0
(x−1)2+(y+2)2=0(x-1)^2+(y+2)^2=0
점 (1, −2)(1,\ -2) 하나만 나타내요.

x2+y2+2x+2=0x^2+y^2+2x+2=0
(x+1)2+y2=−1(x+1)^2+y^2=-1
제곱의 합은 음수가 될 수 없으므로 나타내는 점이 없어요.

4주어진 조건으로 원의 방정식 구하기

중심과 반지름을 알 수 있으면 표준형을, 지나는 세 점만 알면 일반형을 써요.

예중심과 지나는 한 점
중심이 (1, 2)(1,\ 2) 이고 점 (4, 6)(4,\ 6) 을 지나는 원
반지름은 중심과 그 점 사이의 거리예요.
r=(4−1)2+(6−2)2=5r=\sqrt{(4-1)^2+(6-2)^2}=5
따라서 (x−1)2+(y−2)2=25(x-1)^2+(y-2)^2=25
중심 (1, 2)(1,\ 2) 이고 점 (4, 6)(4,\ 6) 을 지나는 원
-5-4-3-2-11234567-4-3-2-112345678xyO5CP
중심에서 지나는 점까지의 거리 55 가 반지름이에요.
세 점 (−1, 0)(-1,\ 0), (3, 0)(3,\ 0), (0, 3)(0,\ 3) 을 지나는 원
1−A+C=01-A+C=0
↳(−1, 0)(-1,\ 0) 대입
9+3A+C=09+3A+C=0
↳(3, 0)(3,\ 0) 대입
9+3B+C=09+3B+C=0
↳(0, 3)(0,\ 3) 대입
8+4A=08+4A=0
↳둘째 식 −- 첫째 식
A=−2A=-2
↳8+4A=08+4A=0
C=−3C=-3
↳첫째 식 1+2+C=01+2+C=0
B=−2B=-2
↳셋째 식 9+3B−3=09+3B-3=0
x2+y2−2x−2y−3=0x^2+y^2-2x-2y-3=0
(x−1)2+(y−1)2=5(x-1)^2+(y-1)^2=5
↳표준형
검산: (0, 3)(0,\ 3) 을 넣으면 1+4=51+4=5 ✓
학생
세 점이 주어지면 왜 표준형 말고 일반형에 넣어요?
쌤
일반형에 넣으면 A, B, CA,\ B,\ C 에 관한 일차방정식 세 개가 나와 바로 풀려요. 표준형에 넣으면 a, b, ra,\ b,\ r 이 제곱 속에 묶여 있어 계산이 복잡해요.
성질좌표축에 접하는 원
원이 xx 축에 접하면 중심에서 xx 축까지의 거리가 반지름이므로 반지름의 길이는 중심의 yy 좌표의 절댓값이다.(x−a)2+(y−b)2=b2(x-a)^2+(y-b)^2=b^2yy 축에 접하면 반지름은 ∣a∣|a| 이다.(x−a)2+(y−b)2=a2(x-a)^2+(y-b)^2=a^2두 축에 모두 접하면 ∣a∣=∣b∣=r|a|=|b|=r 이다.
예축에 접하는 원
중심이 (3, −2)(3,\ -2) 이고 xx 축에 접하는 원
반지름은 ∣−2∣=2|-2|=2
(x−3)2+(y+2)2=4(x-3)^2+(y+2)^2=4

중심이 (−4, 1)(-4,\ 1) 이고 yy 축에 접하는 원
반지름은 ∣−4∣=4|-4|=4
(x+4)2+(y−1)2=16(x+4)^2+(y-1)^2=16
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
중심이 (−3, 4)(-3,\ 4) 이고 yy 축에 접하는 원의 반지름의 길이는?
xx 축에 접하는 원의 반지름
✗ 틀린 풀이
중심 (3, −2)(3,\ -2), xx 축에 접함
r=3r=3
왜 틀렸나 xx 축에 접하는 원의 반지름은 중심에서 xx 축까지의 거리, 즉 중심의 yy 좌표의 절댓값이다.
✓ 바른 풀이
중심 (3, −2)(3,\ -2), xx 축에 접함
r=∣−2∣=2r=|-2|=2
검산: (x−3)2+(y+2)2=4(x-3)^2+(y+2)^2=4 에 y=0y=0 을 넣으면 (x−3)2=0(x-3)^2=0 으로 xx 가 하나뿐이므로 xx 축에 접한다.
자세히 보기펼치기예제 2성질 더 보기왜 그런지
예지름의 양 끝점
A(−1, 2)A(-1,\ 2), B(5, −6)B(5,\ -6)
중심은 지름 ABAB 의 중점이에요.
(−1+52, 2+(−6)2)=(2, −2)\left(\frac{-1+5}{2},\ \frac{2+(-6)}{2}\right)=(2,\ -2)
반지름은 지름의 절반이에요.
AB‾=62+82=10\overline{AB}=\sqrt{6^2+8^2}=10 이므로 r=5r=5
따라서 (x−2)2+(y+2)2=25(x-2)^2+(y+2)^2=25
성질참고
지름의 양 끝점으로 바로 쓰기
지름의 양 끝점이 (x1, y1)(x_1,\ y_1), (x2, y2)(x_2,\ y_2) 이면 원의 방정식은 (x−x1)(x−x2)+(y−y1)(y−y2)=0(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0위의 예에서 (x+1)(x−5)+(y−2)(y+6)=0(x+1)(x-5)+(y-2)(y+6)=0 을 전개하면 x2+y2−4x+4y−17=0x^2+y^2-4x+4y-17=0 이고, 이것은 (x−2)2+(y+2)2=25(x-2)^2+(y+2)^2=25 를 전개한 식과 같다.
세 점을 지나는 원
  1. 1
    구하는 원을 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 으로 놓아요.
    미지수가 세 개이므로 조건 세 개가 필요해요.
  2. 2
    세 점의 좌표를 각각 대입하여 A, B, CA,\ B,\ C 에 관한 식 세 개를 만들어요.
  3. 3
    세 식을 연립하여 A, B, CA,\ B,\ C 를 구해요.
    두 식씩 빼서 CC 를 먼저 없애면 편해요.
  4. 4
    필요하면 표준형으로 고쳐 중심과 반지름을 확인해요.
-2-11234-2-11234xyO
중심 (1, 1)(1,\ 1)
세 점을 모두 지나는 원은 하나뿐이에요. 중심 (1, 1)(1,\ 1), 반지름 5\sqrt{5} 예요.
축에 접하는 두 원
-8-7-6-5-4-3-2-1123456-5-4-3-2-1123456xyO24
파란 원은 중심에서 xx 축까지의 거리 ∣−2∣=2|-2|=2 가, 주황 원은 yy 축까지의 거리 ∣−4∣=4|-4|=4 가 반지름이에요.
예두 축에 접하고 점 (2, 1)(2,\ 1) 을 지나는 원
점 (2, 1)(2,\ 1) 이 제11사분면에 있으므로 중심도 제11사분면에 있고, 중심은 (r, r)(r,\ r) 이에요.
(x−r)2+(y−r)2=r2(x-r)^2+(y-r)^2=r^2 에 (2, 1)(2,\ 1) 을 넣으면
(2−r)2+(1−r)2=r2(2-r)^2+(1-r)^2=r^2
전개하면 2r2−6r+5=r22r^2-6r+5=r^2 이므로
r2−6r+5=0r^2-6r+5=0
따라서 r=1r=1 또는 r=5r=5
(x−1)2+(y−1)2=1(x-1)^2+(y-1)^2=1
(x−5)2+(y−5)2=25(x-5)^2+(y-5)^2=25
두 축에 접하고 점 (2, 1)(2,\ 1) 을 지나는 두 원
-11357911-11357911xyO(2, 1)
중심이 직선 y=xy=x 위의 (r, r)(r,\ r) 이어서, 점 (2, 1)(2,\ 1) 을 지나는 원이 두 개 나와요.

5자취의 방정식

정의자취
주어진 조건을 만족시키는 점 전체가 이루는 도형을 그 조건을 만족시키는 점의 자취 라 한다.
자취를 나타내는 방정식은 움직이는 점을 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 로 놓고 조건을 x, yx,\ y 에 관한 식으로 나타내어 구한다.
자취의 방정식을 구하는 순서
  1. 1
    움직이는 점을 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 로 놓아요.
  2. 2
    주어진 조건을 x, yx,\ y 에 관한 식으로 나타내요.
    거리 조건은 {{see:common-math-2/pt-dist|두 점 사이의 거리}}를 제곱한 꼴로 써요.
  3. 3
    식을 정리하여 어떤 도형인지(직선 또는 원) 읽어요.
예PA‾:PB‾=2:1\overline{\mathrm{PA}}:\overline{\mathrm{PB}}=2:1 인 점 P\mathrm{P} 의 자취
두 점 A(0, 0)\mathrm{A}(0,\ 0), B(3, 0)\mathrm{B}(3,\ 0) 에 대하여 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 라 해요.
PA‾=2PB‾\overline{\mathrm{PA}}=2\overline{\mathrm{PB}} 이므로 PA‾2=4PB‾2\overline{\mathrm{PA}}^2=4\overline{\mathrm{PB}}^2
x2+y2=4{(x−3)2+y2}x^2+y^2=4\{(x-3)^2+y^2\}
3x2+3y2−24x+36=03x^2+3y^2-24x+36=0
x2+y2−8x+12=0x^2+y^2-8x+12=0
(x−4)2+y2=4(x-4)^2+y^2=4
따라서 중심이 (4, 0)(4,\ 0), 반지름의 길이가 22 인 원이에요.
PA‾:PB‾=2:1\overline{\mathrm{PA}}:\overline{\mathrm{PB}}=2:1 인 점의 자취
-11234567-3-2-1123xyOABP
원 위의 점 P(4, 2)\mathrm{P}(4,\ 2) 에서 PA‾=25\overline{\mathrm{PA}}=2\sqrt{5}, PB‾=5\overline{\mathrm{PB}}=\sqrt{5} 로 비가 2:12:1 이에요.
학생
왜 거리를 제곱해서 써요?
쌤
거리에는 근호가 들어 있어요. 거리는 00 이상이라 PA‾=2PB‾\overline{\mathrm{PA}}=2\overline{\mathrm{PB}} 와 PA‾2=4PB‾2\overline{\mathrm{PA}}^2=4\overline{\mathrm{PB}}^2 은 같은 조건이고, 제곱하면 근호가 없어져 정리하기 쉬워요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 점 A(1, 0)\mathrm{A}(1,\ 0), B(5, 0)\mathrm{B}(5,\ 0) 에서 같은 거리에 있는 점 P\mathrm{P} 의 자취는?
자세히 보기펼치기성질 더 보기예제
성질자취로 자주 나오는 도형
두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B} 에서 같은 거리에 있는 점의 자취는 선분 AB\mathrm{AB} 의 수직이등분선이다.
한 점에서 일정한 거리에 있는 점의 자취는 원이다.
PA‾:PB‾=m:n (m≠n)\overline{\mathrm{PA}}:\overline{\mathrm{PB}}=m:n\ (m\ne n) 인 점 P\mathrm{P} 의 자취는 원이다.
PA‾2+PB‾2\overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2 이 일정한 점 P\mathrm{P} 의 자취는 선분 AB\mathrm{AB} 의 중점을 중심으로 하는 원이다.
예다른 점을 따라 움직이는 점의 자취
점 Q\mathrm{Q} 가 원 x2+y2=4x^2+y^2=4 위를 움직일 때, 점 A(6, 0)\mathrm{A}(6,\ 0) 과 Q\mathrm{Q} 를 잇는 선분의 중점 M(x, y)\mathrm{M}(x,\ y) 의 자취
Q(a, b)\mathrm{Q}(a,\ b) 라 하면 x=a+62x=\dfrac{a+6}{2}, y=b2y=\dfrac{b}{2} 이므로 a=2x−6a=2x-6, b=2yb=2y
Q\mathrm{Q} 는 원 위의 점이므로 a2+b2=4a^2+b^2=4 에 넣으면
(2x−6)2+(2y)2=4(2x-6)^2+(2y)^2=4
(x−3)2+y2=1(x-3)^2+y^2=1
중심이 (3, 0)(3,\ 0), 반지름의 길이가 11 인 원이에요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1중심이 (a, b)(a,\ b), 반지름의 길이가 rr 인 원의 방정식은 (x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 이다.
  2. 2일반형 x2+y2+Ax+By+C=0x^2+y^2+Ax+By+C=0 은 xx 끼리, yy 끼리 완전제곱식으로 고쳐 중심과 반지름을 읽는다.
  3. 3A2+B2−4C>0A^2+B^2-4C>0 일 때만 원을 나타낸다.
  4. 4중심과 반지름을 알면 표준형, 세 점을 알면 일반형에 대입하여 원의 방정식을 구한다.
  5. 5조건을 만족시키는 점의 자취는 그 점을 P(x, y)\mathrm{P}(x,\ y) 로 놓고 조건을 x, yx,\ y 의 식으로 나타내어 구한다.
✗ 자주 하는 실수
  • (x+3)2+(y−1)2=5(x+3)^2+(y-1)^2=5 의 중심을 (3, −1)(3,\ -1) 로 부호를 반대로 읽거나, 반지름을 5\sqrt5 가 아닌 55 로 읽어요.
  • 일반형을 완전제곱식으로 고칠 때 좌변에 더한 수를 우변에 더하지 않아요.
  • xx 축에 접하는 원의 반지름을 중심의 xx 좌표로 잡아요(반지름은 ∣y|y 좌표∣|).
  • PA‾=2PB‾\overline{\mathrm{PA}}=2\overline{\mathrm{PB}} 를 제곱할 때 PA‾2=2PB‾2\overline{\mathrm{PA}}^2=2\overline{\mathrm{PB}}^2 처럼 비의 수를 제곱하지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    원 x2+y2+6x−2y+6=0x^2+y^2+6x-2y+6=0 의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하시오.
  2. 예제 2
    두 점 A(−3, 4)A(-3,\ 4), B(5, −2)B(5,\ -2) 를 지름의 양 끝점으로 하는 원의 방정식을 구하시오.
  3. 예제 3
    세 점 (5, 3)(5,\ 3), (−1, 3)(-1,\ 3), (6, −4)(6,\ -4) 를 지나는 원의 방정식을 구하시오.

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