수학 개념 노트전체 과목

두 직선의 위치 관계

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
두 직선은 기울기가 같으면 평행하거나 일치하고, 기울기가 다르면 한 점에서 만나요. 수직이면 기울기의 곱이 −1-1 이고, 일반형에서는 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 이에요. 두 직선의 교점을 지나는 직선은 (ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0(ax+by+c)+k(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime})=0 으로 나타내요.
  1. 1기울기로 본 위치 관계
  2. 2수직 조건
  3. 3일반형의 계수로 본 조건
  4. 4평행하거나 수직인 직선의 방정식
  5. 5두 직선의 교점을 지나는 직선
  6. 6나란히 비교하기
  7. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1기울기로 본 위치 관계

정의평행과 일치
기울기가 같고 yy 절편이 다른 두 직선은 서로 평행 하다고 한다.
기울기와 yy 절편이 모두 같으면 두 직선은 일치 한다고 한다.
공식y=mx+ny=mx+n 과 y=m′x+n′y=m^{\prime}x+n^{\prime}
평행
m=m′, n≠n′\displaystyle m=m^{\prime},\ n\ne n^{\prime}
만나지 않는다.
일치
m=m′, n=n′\displaystyle m=m^{\prime},\ n=n^{\prime}
무수히 많은 점에서 만난다.
한 점에서 만남
m≠m′\displaystyle m\ne m^{\prime}
수직
mm′=−1\displaystyle mm^{\prime}=-1
한 점에서 만나는 경우의 특별한 경우
예세 가지 경우
y=2x+1y=2x+1 과 y=2x−3y=2x-3
기울기가 같고 yy 절편이 다르므로 평행해요.

y=2x+1y=2x+1 과 4x−2y+2=04x-2y+2=0
두 번째 식을 yy 에 대하여 풀면 y=2x+1y=2x+1 이므로 일치해요.

y=2x+1y=2x+1 과 y=−x+4y=-x+4
기울기가 다르므로 한 점에서 만나요. 두 식을 연립하면 {y=2x+1y=−x+4\begin{cases} y=2x+1 \\ y=-x+4 \end{cases}2x+1=−x+42x+1=-x+4 에서 x=1x=1, y=3y=3
따라서 교점은 (1, 3)(1,\ 3)
세 직선
-3-2-11234-4-3-2-1123456xyO(1, 3)
기울기가 같은 y=2x+1y=2x+1(파랑)과 y=2x−3y=2x-3(회색)은 만나지 않고, 기울기가 다른 y=−x+4y=-x+4(주황)는 (1, 3)(1,\ 3) 에서 만나요.
학생
기울기를 비교하려면 식을 어떻게 해야 해요?
쌤
두 식을 모두 y=mx+ny=mx+n 꼴로 고친 뒤 비교해요. 4x−2y+2=04x-2y+2=0 처럼 일반형이면 yy 에 대하여 풀어야 y=2x+1y=2x+1 과 같은 직선인 걸 알 수 있어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 직선 y=3x+1y=3x+1 과 6x−2y+4=06x-2y+4=0 의 위치 관계는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

두 직선의 교점은 두 방정식을 동시에 만족하는 점이므로, 교점의 개수는 연립방정식의 해의 개수와 같아요.
y=mx+ny=mx+n, y=m′x+n′y=m^{\prime}x+n^{\prime} 을 연립하여 yy 를 소거하면 (m−m′)x=n′−n(m-m^{\prime})x=n^{\prime}-nm≠m′m\ne m^{\prime} 이면 해가 하나이므로 한 점에서 만나요.
m=m′m=m^{\prime}, n≠n′n\ne n^{\prime} 이면 해가 없으므로 만나지 않아요.
m=m′m=m^{\prime}, n=n′n=n^{\prime} 이면 해가 무수히 많으므로 두 직선은 같아요.

2수직 조건

두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 −1-1 이에요.

성질역수에 부호를 바꾼다
mm′=−1mm^{\prime}=-1 이므로 수직인 직선의 기울기는 m′=−1mm^{\prime}=-\dfrac{1}{m} 이다.
기울기 23\dfrac{2}{3} 에 수직인 기울기는 분자와 분모를 바꾸고 부호를 바꾼 −32-\dfrac{3}{2} 이다.
기울기 22 에 수직인 기울기는 −12-\dfrac{1}{2} 이다.
학생
수직인 기울기를 1m\dfrac{1}{m} 이라고 하면 안 돼요?
쌤
안 돼요. 곱이 −1-1 이 되어야 하니까 역수에 부호까지 바꿔야 해요. 23\dfrac{2}{3} 에 수직인 기울기는 32\dfrac{3}{2} 가 아니라 −32-\dfrac{3}{2} 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
기울기가 34\frac{3}{4} 인 직선에 수직인 직선의 기울기는?
수직인 직선의 기울기
✗ 틀린 풀이
y=2x−1y=2x-1 에 수직인 직선의 기울기는
−2-2
왜 틀렸나 수직인 두 직선은 기울기의 곱이 −1-1 이므로 수직인 기울기는 부호를 바꾼 역수이다.
✓ 바른 풀이
y=2x−1y=2x-1 에 수직인 직선의 기울기는
−12-\dfrac{1}{2}
검산: 2×(−12)=−12\times\left(-\frac{1}{2}\right)=-1 이므로 수직이다.
⚠ 주의좌표축에 평행한 두 직선
x=1x=1 과 y=2y=2 는 수직이지만 x=1x=1 의 기울기는 정할 수 없으므로 mm′=−1mm^{\prime}=-1 을 쓸 수 없어요.
이런 경우까지 한 번에 판정하려면 아래의 일반형 조건 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 을 써요.
이 조건은 벡터의 내적이 00 인 조건과 같아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림

이유는 다음과 같아요. 두 직선 y=mx+ny=mx+n, y=m′x+n′y=m^{\prime}x+n^{\prime} 을 평행이동하여 원점을 지나게 해도 두 직선이 이루는 각은 변하지 않아요. 그래서 y=mxy=mx, y=m′xy=m^{\prime}x 로 생각해요.
두 직선 위의 점 A(1, m)\mathrm{A}(1,\ m), B(1, m′)\mathrm{B}(1,\ m^{\prime}) 을 잡으면, 두 직선이 수직일 조건은 ∠AOB=90∘\angle\mathrm{AOB}=90^\circ 이고 피타고라스 정리에 의하여 OA‾2+OB‾2=AB‾2\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OB}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2(1+m2)+(1+m′2)=(m−m′)2(1+m^2)+(1+m^{\prime 2})=(m-m^{\prime})^2
우변을 전개하면 m2−2mm′+m′2m^2-2mm^{\prime}+m^{\prime 2} 이라 양변의 m2m^2, m′2m^{\prime 2} 이 지워져요.
2=−2mm′2=-2mm^{\prime}
따라서 mm′=−1mm^{\prime}=-1 이에요.

m=2m=2, m′=−12m'=-\frac{1}{2} 일 때
-2-1123-2-1123xyOOAB
∠AOB=90∘\angle\mathrm{AOB}=90^\circ 일 때 OA‾2+OB‾2=AB‾2\overline{\mathrm{OA}}^2+\overline{\mathrm{OB}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2 에서 mm′=−1mm'=-1 이 나와요.

3일반형의 계수로 본 조건

공식ax+by+c=0ax+by+c=0 과 a′x+b′y+c′=0a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0
평행
aa′=bb′≠cc′\displaystyle \frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}\ne\frac{c}{c^{\prime}}
일치
aa′=bb′=cc′\displaystyle \frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{c}{c^{\prime}}
한 점에서 만남
aa′≠bb′\displaystyle \frac{a}{a^{\prime}}\ne\frac{b}{b^{\prime}}
수직
aa′+bb′=0\displaystyle aa^{\prime}+bb^{\prime}=0
xx 계수끼리, yy 계수끼리 곱하여 더한다.
학생
수직 조건은 왜 계수끼리 곱해서 더해요?
쌤
기울기 −ab-\dfrac{a}{b} 와 −a′b′-\dfrac{a^{\prime}}{b^{\prime}} 의 곱이 −1-1 이라는 식을 정리하면 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 이 돼요. 이 꼴은 b=0b=0 인 세로선에도 그대로 쓸 수 있어요.
예두 직선 ax+2y+1=0ax+2y+1=0, 3x−y+5=03x-y+5=0
평행할 때
a3=2−1\dfrac{a}{3}=\dfrac{2}{-1} 에서 a=−6a=-6
이때 15≠2−1\dfrac{1}{5}\ne\dfrac{2}{-1} 이므로 일치하지 않아요.

수직일 때
a×3+2×(−1)=0a\times3+2\times(-1)=0
따라서 a=23a=\dfrac{2}{3}
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 직선 x+ay−2=0x+ay-2=0, 2x−4y+1=02x-4y+1=0 이 수직일 때 aa 의 값은?
수직 조건의 짝
✗ 틀린 풀이
2x+3y−1=02x+3y-1=0, 3x−2y+4=03x-2y+4=0 에서
2×(−2)+3×3=5≠02\times(-2)+3\times3=5\ne0
수직이 아니다
왜 틀렸나 수직 조건 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 은 xx 의 계수끼리, yy 의 계수끼리 곱하여 더한다.
✓ 바른 풀이
2x+3y−1=02x+3y-1=0, 3x−2y+4=03x-2y+4=0 에서
2×3+3×(−2)=02\times3+3\times(-2)=0
수직이다
검산: 기울기 −23-\frac{2}{3} 과 32\frac{3}{2} 의 곱이 −1-1 이다.
자세히 보기펼치기왜 그런지외우기 카드

이유는 다음과 같아요. 일반형의 두 직선 ax+by+c=0ax+by+c=0, a′x+b′y+c′=0a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0 (b≠0, b′≠0)(b\ne0,\ b^{\prime}\ne0) 의 기울기는 각각 −ab-\dfrac{a}{b}, −a′b′-\dfrac{a^{\prime}}{b^{\prime}} 이에요.
평행하면 기울기가 같으므로 ab′=a′bab^{\prime}=a^{\prime}b, 즉 aa′=bb′\dfrac{a}{a^{\prime}}=\dfrac{b}{b^{\prime}} 이고, 일치하지 않으려면 cc′\dfrac{c}{c^{\prime}} 는 이 값과 달라야 해요.
수직이면 (−ab)(−a′b′)=−1\left(-\dfrac{a}{b}\right)\left(-\dfrac{a^{\prime}}{b^{\prime}}\right)=-1 이므로 aa′=−bb′aa^{\prime}=-bb^{\prime}, 즉 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 이에요.
이 수직 조건은 x=1x=1 (a=1, b=0a=1,\ b=0) 과 y=2y=2 (a′=0, b′=1a^{\prime}=0,\ b^{\prime}=1) 처럼 좌표축에 평행한 경우에도 성립해요.

가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 2
수직 (기울기)=mm′=□\text{수직 (기울기)}=mm^{\prime}=\square
단계 1 / 2
수직 (일반형)=aa′+□=0\text{수직 (일반형)}=aa^{\prime}+\square=0
단계 1 / 2
평행 (일반형)=aa′=bb′ □ cc′\text{평행 (일반형)}=\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}\ \square\ \frac{c}{c^{\prime}}

4평행하거나 수직인 직선의 방정식

어떤 직선에 평행하거나 수직인 직선은 주어진 직선의 기울기 mm 부터 구해요. 평행이면 그대로 쓰고 수직이면 −1m-\dfrac{1}{m} 로 바꾼 뒤, 지나는 점을 넣어 y−y1=m(x−x1)y-y_1=m(x-x_1) 로 세워요.

예점 (1, 2)(1,\ 2) 를 지나고 직선 2x−y+3=02x-y+3=0 에 평행 · 수직인 직선
2x−y+3=02x-y+3=0 의 기울기는 22
평행: y−2=2(x−1)y-2=2(x-1)
따라서 y=2xy=2x
수직: y−2=−12(x−1)y-2=-\dfrac{1}{2}(x-1)
양변에 22 를 곱하여 정리하면
x+2y−5=0x+2y-5=0
점 (1, 2)(1,\ 2) 를 지나는 평행선·수직선
-2-112345-2-1123456xyO(1, 2)
회색이 처음 직선 2x−y+3=02x-y+3=0, 파랑이 평행한 y=2xy=2x, 주황이 수직인 x+2y−5=0x+2y-5=0 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
점 (0, 1)(0,\ 1) 을 지나고 직선 y=2x+5y=2x+5 에 수직인 직선은?
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기예제
평행·수직인 직선을 구하는 순서
  1. 1
    주어진 직선의 기울기 mm 을 구해요.
    일반형이면 −ab-\frac{a}{b}
  2. 2
    평행이면 기울기 mm, 수직이면 기울기 −1m-\dfrac{1}{m} 을 써요.
  3. 3
    지나는 점을 넣어 y−y1=m′(x−x1)y-y_1=m^{\prime}(x-x_1) 로 세워요.
  4. 4
    검산: 지나는 점을 넣어 보고, 기울기의 곱이 −1-1 인지(수직) 확인해요.
성질일반형 그대로 구하기
ax+by+c=0ax+by+c=0 에 평행한 직선은 ax+by+k=0ax+by+k=0, 수직인 직선은 bx−ay+k=0bx-ay+k=0 꼴이다.
위의 예에서 평행한 직선을 2x−y+k=02x-y+k=0 으로 놓고 (1, 2)(1,\ 2) 를 넣으면 k=0k=0
수직인 직선을 x+2y+k=0x+2y+k=0 으로 놓고 (1, 2)(1,\ 2) 를 넣으면 k=−5k=-5
두 방법의 결과가 같다.
예선분의 수직이등분선
A(1, 3)\mathrm{A}(1,\ 3), B(5, 1)\mathrm{B}(5,\ 1) 에 대하여 선분 AB\mathrm{AB} 의 수직이등분선은 중점을 지나고 AB\mathrm{AB} 에 수직이에요.
중점은 (3, 2)(3,\ 2)
AB\mathrm{AB} 의 기울기는 1−35−1=−12\dfrac{1-3}{5-1}=-\dfrac{1}{2} 이므로 수직인 기울기는 22
y−2=2(x−3)y-2=2(x-3)
따라서 y=2x−4y=2x-4
「두 점에서 같은 거리에 있는 점」으로 구한 2x−y−4=02x-y-4=0 과 같아요.

5두 직선의 교점을 지나는 직선

성질두 직선의 교점을 지나는 직선
두 직선 ax+by+c=0ax+by+c=0, a′x+b′y+c′=0a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0 의 교점을 지나는 직선은 실수 kk 에 대하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.(ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0(ax+by+c)+k(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime})=0
학생
교점을 지나는 직선은 교점부터 구해야 해요?
쌤
안 구해도 돼요. (ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0(ax+by+c)+k(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime})=0 으로 놓으면 교점에서 두 괄호가 모두 00 이라 항상 교점을 지나요. 나머지 조건으로 kk 만 정하면 돼요.
예x+y−3=0x+y-3=0, 2x−y=02x-y=0 의 교점과 점 (2, 3)(2,\ 3) 을 지나는 직선
구하는 직선을 (x+y−3)+k(2x−y)=0(x+y-3)+k(2x-y)=0 으로 놓아요.
(2, 3)(2,\ 3) 을 넣으면
2+k=02+k=0
따라서 k=−2k=-2
(x+y−3)−2(2x−y)=0(x+y-3)-2(2x-y)=0
−3x+3y−3=0-3x+3y-3=0
따라서 x−y+1=0x-y+1=0
교점 (1, 2)(1,\ 2) 를 지나는 직선
-2-11234-2-112345xyO(1, 2)(2, 3)
회색 두 직선 x+y−3=0x+y-3=0, 2x−y=02x-y=0 의 교점 (1, 2)(1,\ 2) 와 점 (2, 3)(2,\ 3) 을 지나는 파란 직선이 x−y+1=0x-y+1=0 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
두 직선 x−y=0x-y=0, x+y−2=0x+y-2=0 의 교점과 점 (3, 2)(3,\ 2) 를 지나는 직선은?
⚠ 주의이 꼴로 나타낼 수 없는 직선
kk 에 어떤 값을 넣어도 두 번째 직선 a′x+b′y+c′=0a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0 자체는 나오지 않아요.
구하는 직선이 두 번째 직선일 수 있으면 따로 확인해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지성질 더 보기

이유는 다음과 같아요. 두 직선 ax+by+c=0ax+by+c=0, a′x+b′y+c′=0a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0 이 한 점 (p, q)(p,\ q) 에서 만난다고 해요. 실수 kk 에 대하여 (ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0(ax+by+c)+k(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime})=0에 x=px=p, y=qy=q 를 넣으면 두 괄호가 모두 00 이 되어 0+k×0=00+k\times0=0 이 성립해요.
이 식은 xx, yy 의 일차방정식이므로 kk 의 값에 관계없이 두 직선의 교점을 지나는 직선이에요.

성질교점을 직접 구하여 검산
두 식을 연립하면 {x+y−3=02x−y=0\begin{cases} x+y-3=0 \\ 2x-y=0 \end{cases}따라서 교점은 (1, 2)(1,\ 2)
두 점 (1, 2)(1,\ 2), (2, 3)(2,\ 3) 을 지나는 직선은 기울기가 11 이므로 y=x+1y=x+1, 즉 x−y+1=0x-y+1=0 으로 같다.

6나란히 비교하기

공식기울기 꼴 · 일반형
평행
m=m′, n≠n′\displaystyle m=m^{\prime},\ n\ne n^{\prime}
일반형: aa′=bb′≠cc′\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}\ne\frac{c}{c^{\prime}}
일치
m=m′, n=n′\displaystyle m=m^{\prime},\ n=n^{\prime}
일반형: aa′=bb′=cc′\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}}=\frac{c}{c^{\prime}}
수직
mm′=−1\displaystyle mm^{\prime}=-1
일반형: aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0
교점을 지나는 직선
(ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0\displaystyle (ax+by+c)+k(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime})=0
학생
기울기 꼴과 일반형 조건을 둘 다 외워야 해요?
쌤
기울기 꼴이 기본이에요. 일반형 조건은 기울기를 계수로 바꾼 것이고, 수직 조건 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 은 세로선까지 판정할 수 있어서 편해요.
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1두 직선 y=mx+ny=mx+n, y=m′x+n′y=m^{\prime}x+n^{\prime} 에 대하여 평행하면 m=m′, n≠n′m=m^{\prime},\ n\ne n^{\prime}, 일치하면 m=m′, n=n′m=m^{\prime},\ n=n^{\prime}, 한 점에서 만나면 m≠m′m\ne m^{\prime} 이다.
  2. 2두 직선이 수직이면 기울기의 곱이 mm′=−1mm^{\prime}=-1 이다.
  3. 3일반형 ax+by+c=0ax+by+c=0, a′x+b′y+c′=0a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime}=0 에서는 평행 aa′=bb′≠cc′\dfrac{a}{a^{\prime}}=\dfrac{b}{b^{\prime}}\ne\dfrac{c}{c^{\prime}}, 수직 aa′+bb′=0aa^{\prime}+bb^{\prime}=0 이다.
  4. 4두 직선의 교점을 지나는 직선은 (ax+by+c)+k(a′x+b′y+c′)=0(ax+by+c)+k(a^{\prime}x+b^{\prime}y+c^{\prime})=0 꼴로 나타낸다.
✗ 자주 하는 실수
  • 수직인 직선의 기울기를 부호만 바꾸어 m′=−mm^{\prime}=-m 으로 구해요.
  • 평행 조건 aa′=bb′\frac{a}{a^{\prime}}=\frac{b}{b^{\prime}} 를 풀고, 두 직선이 일치하는 경우를 빼지 않아요.
  • 일반형의 수직 조건을 ab′+a′b=0ab^{\prime}+a^{\prime}b=0 처럼 계수를 엇갈려 곱하여 써요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    점 (−2, 1)(-2,\ 1) 을 지나고 직선 3x+y−2=03x+y-2=0 에 수직인 직선의 방정식을 구하시오.
  2. 예제 2
    두 직선 x+ay+1=0x+ay+1=0, ax+4y+2=0ax+4y+2=0 이 평행할 때와 수직일 때의 상수 aa 의 값을 각각 구하시오.
  3. 예제 3
    두 직선 x−y+1=0x-y+1=0, 2x+y−4=02x+y-4=0 의 교점과 원점을 지나는 직선의 방정식을 구하시오.

다음 공부

다음 개념: 점과 직선 사이의 거리 →
이전 개념: 직선의 방정식설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중2 일차함수의 식과 일차방정식, 기하 벡터의 내적 (나중에), 중2 피타고라스 정리공통수학2 목차
← 직선의 방정식점과 직선 사이의 거리 →
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