수학 개념 노트전체 과목

원과 현, 원의 접선

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 (현의 절반)2+^2+(중심까지의 거리)2=^2=(반지름)2^2 이에요. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같고, 이 성질로 삼각형의 내접원과 원에 외접하는 사각형의 변의 길이를 구해요.
  1. 1현의 수직이등분선
  2. 2현의 길이
  3. 3원의 접선
  4. 4삼각형의 내접원
  5. 5원에 외접하는 사각형
  6. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1현의 수직이등분선

원 위의 두 점을 이은 선분을 현이라 해요.

성질현의 수직이등분선
원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분 한다. 원 OO 의 현 ABAB 위의 점 MM 에 대하여OM‾⊥AB‾ 이면 AM‾=BM‾\overline{OM}\perp\overline{AB} \text{ 이면 } \overline{AM}=\overline{BM}거꾸로 현의 수직이등분선은 그 원의 중심을 지난다. 현의 양 끝에서 같은 거리에 있는 점은 모두 수직이등분선 위에 있고, 중심은 두 끝에서 반지름만큼 떨어져 있기 때문이다.
OABM
△OAM≡△OBM\triangle OAM\equiv\triangle OBM (RHS 합동)
학생
현을 반으로 나누는 게 문제에서 왜 중요해요?
쌤
반지름, 중심에서 현까지의 거리, 현의 절반으로 직각삼각형이 생기기 때문이에요. 그래서 피타고라스 정리로 현의 길이나 반지름을 구할 수 있어요.
공식틀로 기억하기 (반지름 rr, 중심에서 현까지의 거리 dd, 현의 길이 ll)
직각삼각형 OAMOAM
(l2)2+d2=r2\displaystyle \left(\frac{l}{2}\right)^2+d^2=r^2
빗변은 반지름 OA‾\overline{OA}
현의 길이
l=2r2−d2\displaystyle l=2\sqrt{r^2-d^2}
절반을 구한 뒤 두 배
lrdOABM
세 가지 방향
AM‾2=52−32=16 → AM‾=4\overline{AM}^2=5^2-3^2=16\ \to\ \overline{AM}=4
↳반지름 55, 거리 33
AB‾=2×4=8\overline{AB}=2\times4=8
↳현은 두 배
d2=102−62=64 → d=8d^2=10^2-6^2=64\ \to\ d=8
↳현 1212, 반지름 1010
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
반지름이 1313 인 원에서 중심으로부터 거리가 55 인 현의 길이는?
현의 길이 전체를 넣은 실수
✗ 틀린 풀이
반지름 55, 중심까지의 거리 33 일 때
AB‾2=52−32=16\overline{AB}^2=5^2-3^2=16
AB‾=4\overline{AB}=4
왜 틀렸나 원의 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분하므로 직각삼각형의 변은 현의 절반이다.
✓ 바른 풀이
직각삼각형의 변은 현의 절반이므로
AM‾2=52−32=16\overline{AM}^2=5^2-3^2=16
AM‾=4\overline{AM}=4
AB‾=2×4=8\overline{AB}=2\times4=8
수선의 발 MM 까지만 직각삼각형의 변이에요. 마지막에 두 배 하는 것을 잊지 않아요.
자세히 보기펼치기왜 그런지예제 2그림

왜 그런가요? 원 OO 의 현 ABAB 에 중심 OO 에서 수선을 그어 그 발을 MM 이라 하고, 두 직각삼각형 △OAM\triangle OAM 과 △OBM\triangle OBM 을 RHS 합동으로 비교해요.

△OAM\triangle OAM 과 △OBM\triangle OBM
OA‾=OB‾\overline{OA}=\overline{OB}
↳반지름
OM‾ 공통, ∠OMA=∠OMB=90∘\overline{OM}\ \text{공통},\ \angle OMA=\angle OMB=90^\circ
△OAM≡△OBM ⇒ AM‾=BM‾\triangle OAM\equiv\triangle OBM\ \Rightarrow\ \overline{AM}=\overline{BM}
↳RHS 합동
현과 반지름 문제를 푸는 순서
  1. 1
    중심 OO 에서 현에 수선을 긋고, 반지름 OA‾\overline{OA} 를 그어요.
  2. 2
    직각삼각형 OAMOAM 에서 현의 절반, 중심까지의 거리, 반지름을 찾아요.
    반지름이 빗변이에요.
  3. 3
    피타고라스 정리로 모르는 길이를 구하고, 현의 길이는 두 배 해요.

활꼴에서 현 ABAB 의 길이가 88 이고, 호의 중점 CC 에서 AB‾\overline{AB} 에 내린 수선의 발 MM 에 대하여 CM‾=2\overline{CM}=2 예요. CM‾\overline{CM} 의 연장선은 원의 중심 OO 를 지나요.

원의 일부분
반지름 rr 구하기
OM‾=r−2,AM‾=4\overline{OM}=r-2,\quad \overline{AM}=4
↳OC‾=r\overline{OC}=r 에서 CM‾=2\overline{CM}=2 를 빼요, AM‾\overline{AM} 은 현의 절반
(r−2)2+42=r2(r-2)^2+4^2=r^2
↳직각삼각형 OAMOAM
r2−4r+4+16=r2r^2-4r+4+16=r^2
↳(r−2)2(r-2)^2 을 전개해요
−4r+20=0 → r=5-4r+20=0\ \to\ r=5
↳양변의 r2r^2 이 지워져요
82r−2rABCMO
CM‾\overline{CM} 의 연장선은 중심 OO 를 지나요.

2현의 길이

성질중심에서 현까지의 거리와 현의 길이
한 원에서
중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같다.OM‾=ON‾ 이면 AB‾=CD‾\overline{OM}=\overline{ON} \text{ 이면 } \overline{AB}=\overline{CD}길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있다.AB‾=CD‾ 이면 OM‾=ON‾\overline{AB}=\overline{CD} \text{ 이면 } \overline{OM}=\overline{ON}
OABMCDN
OM‾=ON‾\overline{OM}=\overline{ON} 이면 AB‾=CD‾\overline{AB}=\overline{CD}
학생
왜 중심에서 거리가 같으면 현의 길이도 같아요?
쌤
반지름과 중심까지의 거리가 같으면 두 직각삼각형에서 현의 절반의 길이도 같아지기 때문이에요. 그래서 중심에 가까운 현일수록 길고, 가장 긴 현은 지름이에요.

△ABC\triangle ABC 의 세 꼭짓점이 원 OO 위에 있고, 중심 OO 에서 AB‾\overline{AB}, AC‾\overline{AC} 에 내린 수선의 발을 MM, NN 이라 해요.

이등변삼각형이 되는 경우
OM‾=ON‾\overline{OM}=\overline{ON}, ∠B=65∘\angle B=65^\circ
AB‾=AC‾\overline{AB}=\overline{AC}
↳중심에서 같은 거리의 현
∠C=∠B=65∘\angle C=\angle B=65^\circ
↳이등변삼각형의 밑각
∠A=180∘−2×65∘=50∘\angle A=180^\circ-2\times65^\circ=50^\circ
65°OABCMN
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
한 원에서 OM‾=ON‾=4\overline{OM}=\overline{ON}=4 이고 AB‾=10\overline{AB}=10 일 때 CD‾\overline{CD} 의 길이는?
자세히 보기펼치기왜 그런지

왜 그런가요? OM‾⊥AB‾\overline{OM}\perp\overline{AB}, ON‾⊥CD‾\overline{ON}\perp\overline{CD} 이고 OM‾=ON‾\overline{OM}=\overline{ON} 이면 △OAM\triangle OAM 과 △OCN\triangle OCN 은 빗변(반지름)과 다른 한 변이 같아 RHS 합동이에요.
따라서 AM‾=CN‾\overline{AM}=\overline{CN} 이고, 각각 두 배 하면 AB‾=CD‾\overline{AB}=\overline{CD} 이에요.
(l2)2=r2−d2\left(\frac{l}{2}\right)^2=r^2-d^2 에서 dd 가 작을수록, 즉 중심에 가까운 현일수록 길어요. 가장 긴 현은 중심을 지나는 지름이에요.

3원의 접선

정의접선과 접점
원과 한 점에서 만나는 직선을 원의 접선이라 하고, 그 점을 접점이라 한다.
성질접선과 반지름
원의 접선은 그 접점을 지나는 반지름에 수직이다.
접선 위에서 접점이 아닌 점은 모두 원 밖에 있으므로, 중심에서 접선까지 가장 가까운 점이 접점이다. 가장 가까운 점은 수선의 발이다.
lOT
접선 ll 은 반지름 OTOT 에 수직
학생
접선과 반지름이 수직이라는 건 문제에서 어떻게 써요?
쌤
중심, 접점, 원 밖의 점을 이으면 직각삼각형이 생겨요. 빗변은 중심과 원 밖의 점을 이은 선분이라서 피타고라스 정리로 길이를 구할 수 있어요.
성질접선의 길이
원 OO 밖의 점 PP 에서 원 OO 에 그은 두 접선의 접점을 AA, BB 라 할 때, PA‾\overline{PA} 의 길이를 점 PP 에서 원 OO 에 그은 접선의 길이 라 한다.PA‾=PB‾\overline{PA}=\overline{PB}
OPAB
△PAO≡△PBO\triangle PAO\equiv\triangle PBO (RHS 합동)
공식접선에서 나오는 식 (OA‾=r\overline{OA}=r)
접선의 길이
PA‾=PB‾\displaystyle \overline{PA}=\overline{PB}
직각삼각형 PAOPAO
PA‾2=PO‾2−r2\displaystyle \overline{PA}^2=\overline{PO}^2-r^2
빗변은 PO‾\overline{PO}
사각형 PAOBPAOB
∠APB+∠AOB=180∘\displaystyle \angle APB+\angle AOB=180^\circ
두 각이 90∘90^\circ 이므로 나머지 두 각의 합은 180∘180^\circ
접선의 길이와 각
PA‾2=52−32=16 → PA‾=4\overline{PA}^2=5^2-3^2=16\ \to\ \overline{PA}=4
↳OA‾=3\overline{OA}=3, OP‾=5\overline{OP}=5
∠AOB=180∘−50∘=130∘\angle AOB=180^\circ-50^\circ=130^\circ
↳∠APB=50∘\angle APB=50^\circ 일 때
35OPAB
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원 OO 의 반지름이 55, OP‾=13\overline{OP}=13 일 때 점 PP 에서 그은 접선의 길이 PA‾\overline{PA} 는?
중심까지의 거리를 접선의 길이로 본 실수
✗ 틀린 풀이
OA‾=3\overline{OA}=3, OP‾=5\overline{OP}=5 일 때
PA‾=5\overline{PA}=5
왜 틀렸나 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이므로 ∠OAP=90∘\angle OAP=90^\circ 인 직각삼각형에서 PA‾\overline{PA} 를 구한다.
✓ 바른 풀이
∠OAP=90∘\angle OAP=90^\circ 이므로
PA‾2=52−32=16\overline{PA}^2=5^2-3^2=16
PA‾=4\overline{PA}=4
접선의 길이는 점 PP 에서 접점까지의 길이예요. 빗변 PO‾\overline{PO} 보다 짧아야 해요.
자세히 보기펼치기왜 그런지그림예제

원과 직선의 위치 관계는 세 가지예요. 만나지 않거나, 한 점에서 만나거나(접하거나), 두 점에서 만나요.

만나지 않는다접한다두 점에서 만난다
접하는 직선이 접선, 만나는 점이 접점

왜 그런가요? △PAO\triangle PAO 와 △PBO\triangle PBO 에서 ∠PAO=∠PBO=90∘\angle PAO=\angle PBO=90^\circ, OA‾=OB‾\overline{OA}=\overline{OB} (반지름), OP‾\overline{OP} 는 공통이므로 RHS 합동이에요. 따라서 PA‾=PB‾\overline{PA}=\overline{PB} 예요.

이등변삼각형 PABPAB
∠APB=50∘\angle APB=50^\circ
∠PAB=180∘−50∘2=65∘\angle PAB=\frac{180^\circ-50^\circ}{2}=65^\circ
↳PA‾=PB‾\overline{PA}=\overline{PB}
∠OAB=90∘−65∘=25∘\angle OAB=90^\circ-65^\circ=25^\circ
↳∠OAP=90∘\angle OAP=90^\circ
50°OPAB

4삼각형의 내접원

△ABC\triangle ABC 의 내접원이 세 변 ABAB, BCBC, CACA 와 접하는 점을 각각 DD, EE, FF 라 해요. 세 꼭짓점은 모두 원 밖의 점이므로 각 꼭짓점에서 그은 두 접선의 길이가 같아요(그림 옆).

ABCDEF
  • AAAD‾=AF‾\overline{AD}=\overline{AF}
  • BBBD‾=BE‾\overline{BD}=\overline{BE}
  • CCCE‾=CF‾\overline{CE}=\overline{CF}
같은 개수의 표시는 같은 길이(접선의 길이)
학생
그럼 내접원 문제는 어떻게 시작해요?
쌤
한 꼭짓점의 접선의 길이를 xx 로 놓고, 나머지 접선의 길이를 변의 길이에서 빼서 나타내요. 그다음 남은 한 변의 길이로 식을 세워요.
내접원과 접선의 길이
8, 9, 78,\ 9,\ 7
BE‾=BD‾=8−x,CE‾=CF‾=7−x\overline{BE}=\overline{BD}=8-x,\quad \overline{CE}=\overline{CF}=7-x
↳AD‾=x\overline{AD}=x
(8−x)+(7−x)=9(8-x)+(7-x)=9
↳BE‾+CE‾=9\overline{BE}+\overline{CE}=9
x=3x=3
따라서 AD‾=3\overline{AD}=3, BE‾=5\overline{BE}=5, CF‾=4\overline{CF}=4 예요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
AB‾=7\overline{AB}=7, BC‾=8\overline{BC}=8, CA‾=5\overline{CA}=5 인 △ABC\triangle ABC 의 내접원이 AB‾\overline{AB} 와 만나는 점을 DD 라 할 때 AD‾\overline{AD} 는?
자세히 보기펼치기왜 그런지예제그림
접선의 길이로 변을 나누는 순서
  1. 1
    한 꼭짓점에서의 접선의 길이를 xx 로 놓아요.
    AD‾=AF‾=x\overline{AD}=\overline{AF}=x
  2. 2
    나머지 접선의 길이를 변에서 빼서 나타내요.
    BD‾=AB‾−x\overline{BD}=\overline{AB}-x, CF‾=CA‾−x\overline{CF}=\overline{CA}-x
  3. 3
    세 번째 변이 두 접선의 길이의 합임을 이용하여 방정식을 세워요.
    BE‾+CE‾=BC‾\overline{BE}+\overline{CE}=\overline{BC}

∠C=90∘\angle C=90^\circ, BC‾=3\overline{BC}=3, CA‾=4\overline{CA}=4, AB‾=5\overline{AB}=5 일 때 내접원의 중심을 OO, 반지름을 rr 라 하면 사각형 OECFOECF 는 네 각이 직각이고 OE‾=OF‾=r\overline{OE}=\overline{OF}=r 이므로 정사각형이에요.

직각삼각형의 내접원
CE‾=CF‾=r\overline{CE}=\overline{CF}=r
(3−r)+(4−r)=5(3-r)+(4-r)=5
↳나머지 접선의 길이의 합
r=1r=1
rr345ABCOEF

5원에 외접하는 사각형

성질원에 외접하는 사각형의 성질
사각형 ABCDABCD 의 네 변이 모두 원 OO 에 접할 때AB‾+CD‾=AD‾+BC‾\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}
ppqqrrssABCD
AB‾+CD‾=AD‾+BC‾=p+q+r+s\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{AD}+\overline{BC}=p+q+r+s
학생
왜 마주 보는 두 변의 길이의 합이 같아요?
쌤
네 꼭짓점에서 그은 두 접선의 길이가 각각 같아서, 어느 쪽 대변의 합도 네 접선의 길이를 한 번씩 더한 값이 되기 때문이에요.
대변의 합
AB‾=6\overline{AB}=6, BC‾=9\overline{BC}=9, CD‾=7\overline{CD}=7
6+7=9+DA‾ → DA‾=46+7=9+\overline{DA}\ \to\ \overline{DA}=4
↳대변끼리 더해요
2×(6+7)=262\times(6+7)=26
↳둘레의 길이
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
원에 외접하는 사각형 ABCDABCD 에서 AB‾=5\overline{AB}=5, BC‾=8\overline{BC}=8, CD‾=6\overline{CD}=6 일 때 DA‾\overline{DA} 는?
이웃한 변끼리 더한 실수
✗ 틀린 풀이
AB‾+BC‾=CD‾+DA‾\overline{AB}+\overline{BC}=\overline{CD}+\overline{DA}
6+9=7+DA‾6+9=7+\overline{DA}
DA‾=8\overline{DA}=8
왜 틀렸나 원에 외접하는 사각형에서 길이의 합이 같은 것은 마주 보는 두 변끼리이다.
✓ 바른 풀이
마주 보는 변끼리 더한다.
AB‾+CD‾=BC‾+DA‾\overline{AB}+\overline{CD}=\overline{BC}+\overline{DA}
DA‾=4\overline{DA}=4
확인: 6+7=9+DA‾6+7=9+\overline{DA} 에서 DA‾=4\overline{DA}=4 이다. 접선의 길이 pp, qq, rr, ss 로 나누어 보면 그 이유를 알 수 있다.
자세히 보기펼치기예제 2왜 그런지그림
네 꼭짓점의 접선의 길이 p, q, r, sp,\ q,\ r,\ s
AB‾+CD‾=(p+q)+(r+s)\overline{AB}+\overline{CD}=(p+q)+(r+s)
BC‾+DA‾=(q+r)+(s+p)\overline{BC}+\overline{DA}=(q+r)+(s+p)
두 쌍의 대변의 길이의 합은 모두 p+q+r+sp+q+r+s 예요.

AD‾∥BC‾\overline{AD}\parallel\overline{BC}, ∠A=∠B=90∘\angle A=\angle B=90^\circ 인 사다리꼴 ABCDABCD 가 원에 외접하고 AD‾=3\overline{AD}=3, BC‾=6\overline{BC}=6 이에요. AB‾=h\overline{AB}=h 라 해요.

직각사다리꼴
CD‾=3+6−h=9−h\overline{CD}=3+6-h=9-h
↳대변의 합이 같아요
(9−h)2=h2+(6−3)2(9-h)^2=h^2+(6-3)^2
↳DD 에서 BC‾\overline{BC} 에 수선: 높이 hh, 밑 6−36-3
81−18h+h2=h2+981-18h+h^2=h^2+9
↳전개해요
81−18h=9 → h=481-18h=9\ \to\ h=4
↳h2h^2 이 지워져요
따라서 AB‾=4\overline{AB}=4, CD‾=5\overline{CD}=5 이고, 원의 지름이 AB‾\overline{AB} 와 같으므로 반지름은 22 예요.
36hABCD
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 이등분한다. 거꾸로 현의 수직이등분선은 원의 중심을 지난다.
  2. 2한 원에서 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같고, 길이가 같은 두 현은 중심으로부터 같은 거리에 있다.
  3. 3원의 접선은 접점을 지나는 반지름에 수직이고, 원 밖의 한 점에서 그 원에 그은 두 접선의 길이는 같다.
  4. 4원에 외접하는 사각형에서 두 쌍의 대변의 길이의 합은 같다.
✗ 자주 하는 실수
  • 중심에서 현까지의 거리와 반지름으로 피타고라스 정리를 쓴 뒤 현의 절반을 현의 길이로 답해요.
  • 접선의 길이를 구할 때 중심까지의 거리 PO‾\overline{PO} 를 그대로 쓰거나, 접선과 반지름이 수직이라는 것을 쓰지 않아요.
  • 원에 외접하는 사각형에서 대변이 아니라 이웃한 두 변의 합이 같다고 생각해요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    반지름의 길이가 1313 인 원 OO 에서 길이가 2424 인 현 ABAB 와 중심 OO 사이의 거리를 구하시오.
    2413?OAB
  2. 예제 2
    원의 일부분인 활꼴에서 현 ABAB 의 길이가 1212 이고, 호 ABAB 의 중점 CC 에서 AB‾\overline{AB} 에 내린 수선의 길이가 22 일 때, 이 원의 반지름의 길이를 구하시오.
    122ABC
  3. 예제 3
    원 OO 밖의 점 PP 에서 원 OO 에 그은 두 접선의 접점을 AA, BB 라 하자. OA‾=6\overline{OA}=6, OP‾=10\overline{OP}=10 일 때, PB‾\overline{PB} 의 길이와 사각형 PAOBPAOB 의 넓이를 구하시오.
    610OPAB

다음 공부

다음 개념: 원주각 →
설명에서 참고한 다른 과목 개념: 중1 기본 도형, 중1 원과 부채꼴, 중2 이등변삼각형과 직각삼각형, 중2 피타고라스 정리, 공통수학2 원과 직선의 위치 관계 (나중에), 중2 삼각형의 외심과 내심중학교 3학년 목차
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