수학 개념 노트전체 과목

이차방정식

STEP 1

개념 읽기

번호 순서대로 읽어요. 색 상자는 꼭 외울 것, 점선 상자는 이해만 하면 되는 예시예요.

이 개념에서 배울 것
이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 은 인수분해(AB=0AB=0 이면 A=0A=0 또는 B=0B=0), 제곱근(x2=qx^2=q 이면 x=±qx=\pm\sqrt{q}), 완전제곱식, 근의 공식 x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} 으로 풀어요. b2−4acb^2-4ac 의 부호로 근의 개수를 알 수 있어요.
  1. 1이차방정식과 그 해
  2. 2인수분해를 이용한 풀이
  3. 3중근
  4. 4제곱근을 이용한 풀이
  5. 5완전제곱식을 이용한 풀이
  6. 6근의 공식
  7. 7근의 개수
  8. 8여러 가지 이차방정식과 활용
  9. ✓한눈에 정리
정의 — 뜻, 외우기성질·공식 — 외우기주의 — 틀리기 쉬운 곳예 — 이해만점선 밑줄 다른 개념과 이어진 말 — 오른쪽 카드(휴대폰은 오른쪽 ‹ 탭)에서 청록 앞 개념 · 주황 뒤 개념형광 핵심 용어

1이차방정식과 그 해

정의이차방정식
등식의 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때
(x(x 에 대한 이차식)=0)=0
꼴이 되는 방정식을 xx 에 대한 이차방정식이라 한다.
aa, bb, cc 가 상수이고 a≠0a\ne0 일 때 이차방정식은 다음 꼴로 나타낼 수 있다.
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0
이 방정식을 참이 되게 하는 xx 의 값을 이차방정식의 해 또는 근이라 하고, 해를 모두 구하는 것을 이차방정식을 푼다고 한다.
학생
x2x^2 이 보이면 무조건 이차방정식이에요?
쌤
아니에요. 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리한 뒤에도 x2x^2 의 계수가 00 이 아니어야 이차방정식이에요.
해인지 확인하기
x2−3x+2=0x^2-3x+2=0
x=1: 1−3+2=0x=1:\ 1-3+2=0
↳해예요
x=3: 9−9+2=2x=3:\ 9-9+2=2
↳해가 아니에요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
다음 중 이차방정식인 것은?
이차방정식인지 판단할 때
✗ 틀린 풀이
x(x−1)=x2+2x(x-1)=x^2+2 는 x2x^2 이 있으므로 이차방정식이다.
왜 틀렸나 이차방정식인지는 모든 항을 좌변으로 옮겨 정리한 뒤 x2x^2 의 계수가 00 이 아닌지로 판단한다.
✓ 바른 풀이
x(x−1)=x2+2x(x-1)=x^2+2 를 정리하면 −x−2=0-x-2=0 이므로 일차방정식이다.
예를 들어 (a−2)x2+3x+1=0(a-2)x^2+3x+1=0 이 이차방정식이 되기 위해서는 a≠2a\ne2 이어야 한다.

2인수분해를 이용한 풀이

성질곱이 00 일 때
두 수의 곱이 00 이면 두 수 중 적어도 하나는 00 이다.
AB=0AB=0 이면 A=0A=0 또는 B=0B=0
학생
인수분해하면 왜 이차방정식이 풀려요?
쌤
두 수의 곱이 00 이면 둘 중 적어도 하나는 00 이에요. 그래서 좌변을 인수분해하면 일차방정식 두 개로 나누어 풀 수 있어요.
인수분해로 풀기
x2−5x+6=0x^2-5x+6=0
(x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3)=0
↳좌변을 인수분해
x−2=0 또는 x−3=0x-2=0\ \text{또는}\ x-3=0
↳AB=0AB=0 이면 A=0A=0 또는 B=0B=0
x=2 또는 x=3x=2\ \text{또는}\ x=3
먼저 모든 항을 좌변으로 이항하여 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 꼴로 정리한 뒤 시작해요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−x−6=0x^2-x-6=0 의 해는?
양변을 xx 로 나누면 안 된다
✗ 틀린 풀이
x2=3xx^2=3x 의 양변을 xx 로 나누면 x=3x=3
왜 틀렸나 x=0x=0 일 수도 있으므로 양변을 xx 로 나눌 수 없고, 이항하여 인수분해해야 한다.
✓ 바른 풀이
x2−3x=0x^2-3x=0
x(x−3)=0x(x-3)=0
따라서 x=0x=0 또는 x=3x=3
확인: x=0x=0 을 처음 식에 넣으면 0=00=0 이므로 00 도 해이다.
우변이 00 이어야 한다
✗ 틀린 풀이
(x−2)(x−3)=2(x-2)(x-3)=2 에서 x−2=2x-2=2 또는 x−3=2x-3=2
왜 틀렸나 「AB=0AB=0 이면 A=0A=0 또는 B=0B=0」이라는 성질은 우변이 00 일 때만 쓸 수 있다.
✓ 바른 풀이
x2−5x+6=2x^2-5x+6=2
x2−5x+4=0x^2-5x+4=0
(x−1)(x−4)=0(x-1)(x-4)=0
따라서 x=1x=1 또는 x=4x=4
확인: x=1x=1 을 넣으면 (−1)×(−2)=2(-1)\times(-2)=2, x=4x=4 를 넣으면 2×1=22\times1=2 로 성립한다.
자세히 보기펼치기예제
x2x^2 의 계수가 11 이 아닐 때
2x2+x−3=02x^2+x-3=0
(2x+3)(x−1)=0(2x+3)(x-1)=0
↳좌변을 인수분해
x=−32 또는 x=1x=-\frac{3}{2}\ \text{또는}\ x=1

3중근

정의중근
이차방정식의 두 해가 중복될 때, 이 해를 중근이라 한다.
이차방정식이 (완전제곱식)=0=0 꼴로 나타내어지면 중근을 가진다.
학생
해가 하나인데 왜 「두 해가 중복」이라고 해요?
쌤
(x−3)2=0(x-3)^2=0 은 (x−3)(x−3)=0(x-3)(x-3)=0 이라서 x=3x=3 과 x=3x=3 의 두 해가 겹친 거예요. 그래서 하나로 보이지만 중근이라고 불러요.
중근
x2−6x+9=0x^2-6x+9=0
(x−3)2=0(x-3)^2=0
↳완전제곱식
x−3=0 또는 x−3=0x-3=0\ \text{또는}\ x-3=0
↳같은 식이 두 번
x=3 (중근)x=3\ (\text{중근})
성질중근을 가질 조건
x2+ax+b=0x^2+ax+b=0 이 중근을 가지려면 좌변이 완전제곱식이어야 하므로
b=(a2)2b=\left(\frac{a}{2}\right)^2
예를 들어 x2+6x+k=0x^2+6x+k=0 이 중근을 가지려면
k=(62)2=9k=\left(\frac{6}{2}\right)^2=9
이때 (x+3)2=0(x+3)^2=0 이므로 중근은 x=−3x=-3
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−10x+k=0x^2-10x+k=0 이 중근을 가질 때 kk 의 값은?

4제곱근을 이용한 풀이

x2=5x^2=5 를 만족하는 xx 는 제곱하여 55 가 되는 수, 곧 55 의 제곱근이에요.
따라서 x=±5x=\pm\sqrt{5}

공식제곱근을 이용한 풀이 (q≥0q\ge0)
x2=qx^2=q 의 해
x=±q\displaystyle x=\pm\sqrt{q}
ax2=bax^2=b 의 해
x=±ba\displaystyle x=\pm\sqrt{\frac{b}{a}}
ba≥0\frac{b}{a}\ge0 일 때
(x−p)2=q(x-p)^2=q 의 해
x=p±q\displaystyle x=p\pm\sqrt{q}
x−p=±qx-p=\pm\sqrt{q} 에서 pp 를 이항한다.
학생
2x2=102x^2=10 처럼 x2x^2 앞에 수가 있으면요?
쌤
양변을 22 로 나눠 x2=5x^2=5 꼴로 만든 뒤 제곱근을 구해요. 그래서 x=±5x=\pm\sqrt{5} 예요.
제곱근으로 풀기
2x2−10=0 → x2=52x^2-10=0\ \to\ x^2=5
x=±5x=\pm\sqrt{5}
(x+1)2=3 → x+1=±3(x+1)^2=3\ \to\ x+1=\pm\sqrt{3}
x=−1±3x=-1\pm\sqrt{3}
↳11 을 이항해요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
(x−2)2=7(x-2)^2=7 의 해는?
⚠ 주의qq 의 부호
q>0q>0 이면 서로 다른 두 해 x=p±qx=p\pm\sqrt{q}
q=0q=0 이면 (x−p)2=0(x-p)^2=0 이므로 중근 x=px=p
q<0q<0 이면 제곱해서 음수가 되는 수는 없으므로 해가 없어요.
예: (x−2)2=−3(x-2)^2=-3 은 해가 없어요.
음의 제곱근을 빠뜨리는 실수
✗ 틀린 풀이
(x+1)2=3(x+1)^2=3 에서 x=−1+3x=-1+\sqrt{3}
왜 틀렸나 제곱하여 33 이 되는 수는 3\sqrt{3} 과 −3-\sqrt{3} 두 개이므로 ±\pm 를 붙인다.
✓ 바른 풀이
(x+1)2=3(x+1)^2=3 에서 x=−1±3x=-1\pm\sqrt{3}
제곱근을 구할 때는 x+1=±3x+1=\pm\sqrt{3} 처럼 ±\pm 를 먼저 쓰는 습관을 들인다.

5완전제곱식을 이용한 풀이

인수분해가 되지 않는 이차방정식은 좌변을 (완전제곱식)==(수) 꼴로 고쳐 제곱근을 이용하여 풀어요.
x2+6xx^2+6x 에 (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2=9 를 더하면 완전제곱식 (x+3)2(x+3)^2 이 돼요.

학생
왜 하필 xx 의 계수의 절반을 제곱해서 더해요?
쌤
(x+3)2=x2+6x+9(x+3)^2=x^2+6x+9 처럼 완전제곱식은 xx 의 계수의 절반을 제곱한 수가 상수항이기 때문이에요. 그 수를 양변에 똑같이 더해야 등식이 그대로 성립해요.
완전제곱식으로 풀기
x2+6x+2=0x^2+6x+2=0
x2+6x=−2x^2+6x=-2
↳상수항을 이항
x2+6x+9=−2+9x^2+6x+9=-2+9
↳양변에 (62)2\left(\frac{6}{2}\right)^2
(x+3)2=7(x+3)^2=7
↳완전제곱식으로
x+3=±7x+3=\pm\sqrt{7}
x=−3±7x=-3\pm\sqrt{7}
x2x^2 의 계수가 11 이 아니면 먼저 양변을 x2x^2 의 계수로 나눠요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−8x+3=0x^2-8x+3=0 을 (x−p)2=q(x-p)^2=q 꼴로 고친 것은?
양변에 같은 수를 더한다
✗ 틀린 풀이
x2+6x=−2x^2+6x=-2
x2+6x+9=−2x^2+6x+9=-2
왜 틀렸나 등식은 양변에 같은 수를 더해야 성립하므로 좌변에 99 를 더하면 우변에도 99 를 더한다.
✓ 바른 풀이
x2+6x=−2x^2+6x=-2
x2+6x+9=−2+9x^2+6x+9=-2+9
바른 계산을 이어 가면 (x+3)2=7(x+3)^2=7 이므로 x=−3±7x=-3\pm\sqrt{7} 이다.
자세히 보기펼치기예제
x2x^2 의 계수가 11 이 아닐 때
2x2−4x−1=02x^2-4x-1=0
x2−2x−12=0x^2-2x-\frac{1}{2}=0
↳양변을 22 로 나눠요
x2−2x+1=12+1x^2-2x+1=\frac{1}{2}+1
↳이항하고 11 을 더해요
(x−1)2=32(x-1)^2=\frac{3}{2}
x=1±32=1±62x=1\pm\sqrt{\frac{3}{2}}=1\pm\frac{\sqrt{6}}{2}
↳32=32=62\sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt3}{\sqrt2}=\frac{\sqrt6}{2} (분모의 유리화)

6근의 공식

정의근의 공식
이차방정식 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (a≠0a\ne0) 에서 b2−4ac≥0b^2-4ac\ge0 일 때 해는x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}이 식을 이차방정식의 근의 공식이라 한다.
공식근의 공식
근의 공식
x=−b±b2−4ac2a\displaystyle x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0, b2−4ac≥0b^2-4ac\ge0
xx 의 계수가 짝수일 때
x=−b′±b′2−aca\displaystyle x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-ac}}{a}
ax2+2b′x+c=0ax^2+2b'x+c=0, b′2−ac≥0b'^2-ac\ge0
학생
근의 공식은 어디서 나온 거예요?
쌤
ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 을 완전제곱식을 이용한 풀이로 한 번 풀어 둔 결과예요. 그래서 인수분해가 안 되는 이차방정식도 aa, bb, cc 를 부호까지 넣으면 바로 해가 나와요.
근의 공식에 넣기
2x2+5x+1=02x^2+5x+1=0
a=2, b=5, c=1a=2,\ b=5,\ c=1
↳부호까지 읽어요
b2−4ac=52−4×2×1=17b^2-4ac=5^2-4\times2\times1=17
↳근호 안 먼저
x=−5±174x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}
↳공식에 넣어요
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2+3x+1=0x^2+3x+1=0 의 해는?
−b-b 의 부호
✗ 틀린 풀이
2x2−3x−1=02x^2-3x-1=0 의 해는 x=−3±174x=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}
왜 틀렸나 근의 공식의 −b-b 에는 bb 를 부호까지 넣으므로 b=−3b=-3 이면 −b=3-b=3 이다.
✓ 바른 풀이
2x2−3x−1=02x^2-3x-1=0 의 해는 x=3±174x=\frac{3\pm\sqrt{17}}{4}
근호 안은 (−3)2−4×2×(−1)=17(-3)^2-4\times2\times(-1)=17 이다. 음수는 괄호를 씌워 넣는다.
분모 2a2a 는 전체를 나눈다
✗ 틀린 풀이
x=−5±174x=-5\pm\frac{\sqrt{17}}{4}
왜 틀렸나 근의 공식에서 분모 2a2a 는 −b-b 와 b2−4ac\sqrt{b^2-4ac} 를 모두 나누는 분수의 분모이다.
✓ 바른 풀이
x=−5±174x=\frac{-5\pm\sqrt{17}}{4}
분수 막대를 분자 −5±17-5\pm\sqrt{17} 전체 아래에 길게 긋는다.
자세히 보기펼치기예제 2외우기 카드
근의 공식이 나오는 과정
x2+bax=−cax^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}
↳양변을 aa 로 나누고 이항
x2+bax+(b2a)2=−ca+b24a2x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}
↳양변에 (b2a)2\left(\frac{b}{2a}\right)^2 을 더해요
(x+b2a)2=b2−4ac4a2\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
↳좌변은 완전제곱식, 우변은 통분
x+b2a=±b2−4ac2ax+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
↳b2−4ac≥0b^2-4ac\ge0 일 때
x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
근의 공식 가리고 떠올리기

□ 에 들어갈 것을 종이에 써 보고 「정답 보기」로 확인하세요. 맞혔으면 「더 가리기」로 넘어가요. 마지막 단계는 오른쪽 전체를 가려요.

단계 1 / 3분모는 2a
ax2+bx+c=0=x=−b±b2−□2aax^2+bx+c=0=x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-\square}}{2a}
단계 1 / 2
ax2+2b′x+c=0=x=−b′±b′2−□aax^2+2b'x+c=0=x=\frac{-b'\pm\sqrt{b'^2-\square}}{a}
xx 의 계수가 짝수일 때
x2−4x−1=0x^2-4x-1=0
a=1, b′=−2, c=−1a=1,\ b'=-2,\ c=-1
↳−4x=2×(−2)x-4x=2\times(-2)x 이므로 b′=−2b'=-2
x=2±4+11=2±5x=\frac{2\pm\sqrt{4+1}}{1}=2\pm\sqrt{5}

7근의 개수

근의 공식에서 근호 안의 수 b2−4acb^2-4ac 의 부호를 보면, 방정식을 풀지 않아도 근의 개수를 알 수 있어요.

공식ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 의 근의 개수
b2−4ac>0b^2-4ac>0
서로 다른 두 근\displaystyle \text{서로 다른 두 근}
예: x2−3x+1=0x^2-3x+1=0 에서 9−4=5>09-4=5>0
b2−4ac=0b^2-4ac=0
한 근(중근)\displaystyle \text{한 근(중근)}
예: x2−4x+4=0x^2-4x+4=0 에서 16−16=016-16=0
b2−4ac<0b^2-4ac<0
근이 없다\displaystyle \text{근이 없다}
예: x2+x+1=0x^2+x+1=0 에서 1−4<01-4<0
학생
b2−4acb^2-4ac 가 음수이면 왜 근이 없어요?
쌤
근의 공식에서 근호 안이 음수가 되는데, 제곱해서 음수가 되는 수는 없어요. 그래서 근이 없어요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
x2−2x+3=0x^2-2x+3=0 의 근은?
자세히 보기펼치기왜 그런지

근의 공식에서 근호 안의 수 b2−4acb^2-4ac 의 부호에 따라 근의 개수가 정해져요.
양수이면 ±\pm 로 서로 다른 두 근이 생겨요.
00 이면 x=−b2ax=-\frac{b}{2a} 하나뿐이므로 중근이에요.
음수이면 음수의 제곱근은 없으므로 근이 없어요.
b2−4acb^2-4ac 를 판별식이라 부르고, 근은 이차함수의 그래프가 xx 축과 만나는 점으로도 볼 수 있어요.

8여러 가지 이차방정식과 활용

이차방정식의 활용 문제를 푸는 순서
  1. 1
    구하려는 것을 미지수 xx 로 놓아요.
  2. 2
    문제의 뜻에 맞게 이차방정식을 세워요.
  3. 3
    이차방정식을 풀어요.
  4. 4
    구한 해가 문제의 조건(자연수, 길이는 양수 등)에 맞는지 확인해요.
    조건에 맞지 않는 해는 버려요.
학생
해가 두 개 나왔는데 하나만 답이면 잘못 푼 거 아니에요?
쌤
아니에요. 이차방정식은 해가 두 개까지 나올 수 있지만, 활용 문제의 답은 문제의 조건에 맞는 해뿐이에요. 예를 들어 길이가 −8-8 이 될 수는 없어요.

연속하는 두 자연수의 곱이 5656 일 때 작은 수를 xx 라 하면 큰 수는 x+1x+1 이에요.

연속하는 두 자연수
x(x+1)=56x(x+1)=56
x2+x−56=0x^2+x-56=0
↳전개하고 이항
(x+8)(x−7)=0(x+8)(x-7)=0
x=−8 또는 x=7x=-8\ \text{또는}\ x=7
↳자연수이므로 x=7x=7
따라서 두 자연수는 77, 88 이에요.
바로 확인방금 배운 것, 10초 문제
연속하는 두 자연수의 곱이 3030 일 때 작은 수는?
자세히 보기펼치기성질 더 보기
성질계수가 분수·소수이거나 괄호가 있을 때
계수가 분수이면 분모의 최소공배수를, 소수이면 1010 의 거듭제곱을 양변에 곱하여 계수를 정수로 고친다.
12x2−13x−16=0\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{6}=0 의 양변에 66 을 곱하면
3x2−2x−1=03x^2-2x-1=0
(3x+1)(x−1)=0(3x+1)(x-1)=0
따라서 x=−13x=-\frac{1}{3} 또는 x=1x=1
괄호가 있으면 전개하여 ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 꼴로 정리한 뒤 푼다.
성질두 근이 주어질 때 이차방정식 만들기
풀이를 거꾸로 하면 된다. 두 근이 α\alpha, β\beta 이고 x2x^2 의 계수가 aa 인 이차방정식은
a(x−α)(x−β)=0a(x-\alpha)(x-\beta)=0
두 근이 22, −3-3 이고 x2x^2 의 계수가 11 이면
(x−2)(x+3)=0(x-2)(x+3)=0
전개하면 x2+x−6=0x^2+x-6=0
한눈에 정리
이것만은 꼭 기억하세요. 읽은 내용을 떠올리며 하나씩 확인해 보세요.
  1. 1ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 (a≠0a\ne0) 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 이차방정식이라 하고, 참이 되게 하는 xx 의 값을 해(근)라 한다.
  2. 2AB=0AB=0 이면 A=0A=0 또는 B=0B=0 이다. 인수분해하여 풀고, 두 해가 같으면 중근이라 한다.
  3. 3x2=qx^2=q (q≥0q\ge0) 이면 x=±qx=\pm\sqrt{q} 이다. 완전제곱식 (x−p)2=q(x-p)^2=q 꼴로 고치면 x=p±qx=p\pm\sqrt{q}
  4. 4근의 공식 x=−b±b2−4ac2ax=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} (단, b2−4ac≥0b^2-4ac\ge0). b2−4acb^2-4ac 의 부호로 근의 개수를 안다.
✗ 자주 하는 실수
  • x2=3xx^2=3x 의 양변을 xx 로 나누어 해 x=0x=0 을 잃어요.
  • (x+1)2=3(x+1)^2=3 에서 x=−1+3x=-1+\sqrt{3} 만 쓰고 −3-\sqrt{3} 인 경우를 빠뜨려요.
  • 근의 공식에 bb 를 넣을 때 부호를 빼고 넣거나, 2a2a 로 −b-b 까지 나누지 않아요.
STEP 2

예제로 익히기

풀이를 보기 전에 먼저 직접 풀어 보고, 한 단계씩 펼쳐 확인하세요.

  1. 예제 1
    다음 이차방정식을 푸시오.
    (1) x2+2x−15=0x^2+2x-15=0
    (2) 3x2−5x−2=03x^2-5x-2=0
    (3) 4x2−4x+1=04x^2-4x+1=0
  2. 예제 2
    다음 이차방정식을 푸시오.
    (1) 3(x−2)2=153(x-2)^2=15
    (2) x2+8x+11=0x^2+8x+11=0 (완전제곱식을 이용)
    (3) 3x2−7x+1=03x^2-7x+1=0 (근의 공식을 이용)
  3. 예제 3
    (1) 이차방정식 x2+6x+k=0x^2+6x+k=0 이 중근을 가질 때, 상수 kk 의 값과 중근을 구하시오.
    (2) 연속하는 두 자연수의 곱이 7272 일 때, 두 자연수를 구하시오.

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