정의 구
공간에서 한 점 C 로부터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 구 라 한다.
r C P 구 위의 점 P 는 중심 C 까지의 거리가 반지름 r r r 성질 구의 방정식
중심이 C ( a , b , c ) \mathrm{C}(a,\ b,\ c) C ( a , b , c ) r r r ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 r r r x 2 + y 2 + z 2 = r 2 x^2+y^2+z^2=r^2 x 2 + y 2 + z 2 = r 2 학생 구의 방정식은 원의 방정식과 뭐가 달라요?
쌤 원의 방정식에 ( z − c ) 2 (z-c)^2 ( z − c ) 2 r r r 중심이 ( 1 , − 2 , 3 ) (1,\ -2,\ 3) ( 1 , − 2 , 3 ) 4 4 4 ( x − 1 ) 2 + { y − ( − 2 ) } 2 + ( z − 3 ) 2 = 4 2 (x-1)^2+\{y-(-2)\}^2+(z-3)^2=4^2 ( x − 1 ) 2 + { y − ( − 2 ) } 2 + ( z − 3 ) 2 = 4 2 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 16 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 16 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
구 ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + z 2 = 9 (x+1)^2+(y-2)^2+z^2=9 ( x + 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + z 2 = 9 중심 ( 1 , − 2 , 0 ) (1,\ -2,\ 0) ( 1 , − 2 , 0 ) 3 3 3 중심 ( − 1 , 2 , 0 ) (-1,\ 2,\ 0) ( − 1 , 2 , 0 ) 9 9 9 중심 ( − 1 , 2 , 0 ) (-1,\ 2,\ 0) ( − 1 , 2 , 0 ) 3 3 3 중심과 반지름 읽기
✗ 틀린 풀이
( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 16 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=16 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 16 ( − 1 , 2 , − 3 ) (-1,\ 2,\ -3) ( − 1 , 2 , − 3 ) 16 16 16 왜 틀렸나 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 ( a , b , c ) (a,\ b,\ c) ( a , b , c ) ↓ ✓ 바른 풀이
중심은 ( 1 , − 2 , 3 ) (1,\ -2,\ 3) ( 1 , − 2 , 3 ) 4 4 4 괄호 안의 수와 부호가 반대인 것이 중심의 좌표예요.16 = 4 \sqrt{16}=4 16 = 4 + 펼치기 접기 예제 2 공식 더 보기 왜 그런지 왜 그런가
C P ‾ = r \overline{\mathrm{CP}}=r CP = r ↳ ◀ 구 위의 점 P ( x , y , z ) \mathrm{P}(x,\ y,\ z) P ( x , y , z ) ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2}=r ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r ↳ ◀ 두 점 사이의 거리
( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 ↳ ◀ 양변을 제곱해요
구의 방정식
( x − □ ) 2 + ( y − △ ) 2 + ( z − ◯ ) 2 = r 2 \displaystyle (x-\square)^2+(y-\triangle)^2+(z-\bigcirc)^2=r^2 ( x − □ ) 2 + ( y − △ ) 2 + ( z − ◯ ) 2 = r 2 중심은 ( □ , △ , ◯ ) (\square,\ \triangle,\ \bigcirc) ( □ , △ , ◯ ) 중심이 ( 2 , − 1 , 3 ) (2,\ -1,\ 3) ( 2 , − 1 , 3 ) ( 4 , 1 , 2 ) (4,\ 1,\ 2) ( 4 , 1 , 2 ) r 2 = ( 4 − 2 ) 2 + { 1 − ( − 1 ) } 2 + ( 2 − 3 ) 2 = 9 r^2=(4-2)^2+\{1-(-1)\}^2+(2-3)^2=9 r 2 = ( 4 − 2 ) 2 + { 1 − ( − 1 ) } 2 + ( 2 − 3 ) 2 = 9 ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 9 (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=9 ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 9 성질 구의 방정식의 일반형
구의 방정식은 전개하여 다음 꼴로 나타낼 수 있다.x 2 + y 2 + z 2 + A x + B y + C z + D = 0 x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0 x 2 + y 2 + z 2 + A x + B y + C z + D = 0 x 2 x^2 x 2 y 2 y^2 y 2 z 2 z^2 z 2 x y xy x y y z yz y z z x zx z x 학생 x 2 x^2 x 2 y 2 y^2 y 2 z 2 z^2 z 2 쌤 네, 구가 아니에요. 세 계수가 모두 같아야 그 수로 나누어 x 2 + y 2 + z 2 + ⋯ x^2+y^2+z^2+\cdots x 2 + y 2 + z 2 + ⋯ 일반형에서 중심과 반지름을 읽으려면 x x x y y y z z z 완전제곱식 을 만들어 표준형으로 고쳐요.
일반형을 표준형으로 고치기
1 2 x 2 + A x = ( x + A 2 ) 2 − A 2 4 x^2+Ax=\left(x+\dfrac{A}{2}\right)^2-\dfrac{A^2}{4} x 2 + A x = ( x + 2 A ) 2 − 4 A 2 3 이전 개념 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 5 = 0 x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 5 = 0 ( x 2 − 2 x + 1 ) + ( y 2 + 4 y + 4 ) + ( z 2 − 6 z + 9 ) = − 5 + 1 + 4 + 9 (x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)+(z^2-6z+9)=-5+1+4+9 ( x 2 − 2 x + 1 ) + ( y 2 + 4 y + 4 ) + ( z 2 − 6 z + 9 ) = − 5 + 1 + 4 + 9 ↳ ◀ 양변에 같은 수를 더해요
( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 9 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=9 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 9 ( 1 , − 2 , 3 ) , 3 (1,\ -2,\ 3),\quad 3 ( 1 , − 2 , 3 ) , 3 ↳ ◀ 중심, 반지름
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
구 x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 z − 4 = 0 x^2+y^2+z^2-4x+2z-4=0 x 2 + y 2 + z 2 − 4 x + 2 z − 4 = 0 양변에 같은 수를 더한다
✗ 틀린 풀이
x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 5 = 0 x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+5=0 x 2 + y 2 + z 2 − 2 x + 4 y − 6 z + 5 = 0 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = − 5 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=-5 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = − 5 왜 틀렸나 완전제곱식을 만들려고 좌변에 더한 수는 등식이 유지되도록 우변에도 더해야 한다.
↓ ✓ 바른 풀이
( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = − 5 + 1 + 4 + 9 = 9 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=-5+1+4+9=9 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = − 5 + 1 + 4 + 9 = 9 완전제곱식을 만들려고 좌변에 더한 1 1 1 4 4 4 9 9 9 성질 구가 될 조건
x 2 + y 2 + z 2 + A x + B y + C z + D = 0 x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0 x 2 + y 2 + z 2 + A x + B y + C z + D = 0 ( x + A 2 ) 2 + ( y + B 2 ) 2 + ( z + C 2 ) 2 = A 2 + B 2 + C 2 − 4 D 4 \left(x+\frac{A}{2}\right)^2+\left(y+\frac{B}{2}\right)^2+\left(z+\frac{C}{2}\right)^2=\frac{A^2+B^2+C^2-4D}{4} ( x + 2 A ) 2 + ( y + 2 B ) 2 + ( z + 2 C ) 2 = 4 A 2 + B 2 + C 2 − 4 D A 2 + B 2 + C 2 − 4 D > 0 A^2+B^2+C^2-4D>0 A 2 + B 2 + C 2 − 4 D > 0 ( − A 2 , − B 2 , − C 2 ) \left(-\dfrac{A}{2},\ -\dfrac{B}{2},\ -\dfrac{C}{2}\right) ( − 2 A , − 2 B , − 2 C ) A 2 + B 2 + C 2 − 4 D 2 \dfrac{\sqrt{A^2+B^2+C^2-4D}}{2} 2 A 2 + B 2 + C 2 − 4 D 0 0 0 + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 왜 그런가 전개 하면 위의 꼴이 돼요.
이전 개념 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 x 2 + y 2 + z 2 − 2 a x − 2 b y − 2 c z + a 2 + b 2 + c 2 − r 2 = 0 x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+a^2+b^2+c^2-r^2=0 x 2 + y 2 + z 2 − 2 a x − 2 b y − 2 cz + a 2 + b 2 + c 2 − r 2 = 0 ↳ ◀ 전개
성질 지름의 양 끝이 A, B 인 구
중심은 선분 AB 의 중점 , 반지름은 1 2 A B ‾ \dfrac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}} 2 1 AB A ( x 1 , y 1 , z 1 ) \mathrm{A}(x_1,\ y_1,\ z_1) A ( x 1 , y 1 , z 1 ) B ( x 2 , y 2 , z 2 ) \mathrm{B}(x_2,\ y_2,\ z_2) B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) + ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) = 0 (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) + ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) = 0 쌤 중심과 반지름을 물으면 첫 번째(중점과 1 2 A B ‾ \frac{1}{2}\overline{\mathrm{AB}} 2 1 AB 두 점 A ( 1 , 2 , − 3 ) \mathrm{A}(1,\ 2,\ -3) A ( 1 , 2 , − 3 ) B ( 3 , − 4 , 1 ) \mathrm{B}(3,\ -4,\ 1) B ( 3 , − 4 , 1 ) ( 1 + 3 2 , 2 − 4 2 , − 3 + 1 2 ) = ( 2 , − 1 , − 1 ) \left(\dfrac{1+3}{2},\ \dfrac{2-4}{2},\ \dfrac{-3+1}{2}\right)=(2,\ -1,\ -1) ( 2 1 + 3 , 2 2 − 4 , 2 − 3 + 1 ) = ( 2 , − 1 , − 1 ) ↳ ◀ 중심: AB 의 중점
A B ‾ = 2 2 + ( − 6 ) 2 + 4 2 = 56 \overline{\mathrm{AB}}=\sqrt{2^2+(-6)^2+4^2}=\sqrt{56} AB = 2 2 + ( − 6 ) 2 + 4 2 = 56 r 2 = 56 4 = 14 r^2=\dfrac{56}{4}=14 r 2 = 4 56 = 14 ↳ ◀ 반지름은 지름의 절반
( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 14 (x-2)^2+(y+1)^2+(z+1)^2=14 ( x − 2 ) 2 + ( y + 1 ) 2 + ( z + 1 ) 2 = 14 바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
두 점 ( 1 , 0 , 3 ) (1,\ 0,\ 3) ( 1 , 0 , 3 ) ( 3 , 4 , − 1 ) (3,\ 4,\ -1) ( 3 , 4 , − 1 ) ( 1 , 2 , − 2 ) (1,\ 2,\ -2) ( 1 , 2 , − 2 ) ( 2 , 2 , 1 ) (2,\ 2,\ 1) ( 2 , 2 , 1 ) ( 4 , 4 , 2 ) (4,\ 4,\ 2) ( 4 , 4 , 2 ) + 펼치기 접기 왜 그런지 예제 두 번째 꼴의 이유: 구 위의 점 P 가 A, B 가 아니면 지름 AB 에 대한 원주각 이므로 ∠ A P B = 90 ∘ \angle\mathrm{APB}=90^\circ ∠ APB = 9 0 ∘ P A ‾ 2 + P B ‾ 2 = A B ‾ 2 \overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2 PA 2 + PB 2 = AB 2
이전 개념 P A ‾ 2 + P B ‾ 2 = A B ‾ 2 \overline{\mathrm{PA}}^2+\overline{\mathrm{PB}}^2=\overline{\mathrm{AB}}^2 PA 2 + PB 2 = AB 2 ( x − x 1 ) 2 + ( x − x 2 ) 2 − ( x 1 − x 2 ) 2 (x-x_1)^2+(x-x_2)^2-(x_1-x_2)^2 ( x − x 1 ) 2 + ( x − x 2 ) 2 − ( x 1 − x 2 ) 2 = 2 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) =2(x-x_1)(x-x_2) = 2 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ↳ ◀ 전개하면
( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) + ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) = 0 (x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)+(z-z_1)(z-z_2)=0 ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) + ( y − y 1 ) ( y − y 2 ) + ( z − z 1 ) ( z − z 2 ) = 0 ↳ ◀ y y y z z z 2 2 2 성질 좌표평면에 접하는 구
중심이 C ( a , b , c ) \mathrm{C}(a,\ b,\ c) C ( a , b , c ) r r r x x x y y y r = ∣ c ∣ r=|c| r = ∣ c ∣ y y y z z z r = ∣ a ∣ r=|a| r = ∣ a ∣ z z z x x x r = ∣ b ∣ r=|b| r = ∣ b ∣ ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = r |a|=|b|=|c|=r ∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = r 학생 왜 x x x y y y z z z 쌤 그 평면은 z = 0 z=0 z = 0 ( a , b , c ) (a,\ b,\ c) ( a , b , c ) ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣ x y z O |c| (a, b, c) C x x x y y y z z z ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣ 성질 좌표평면으로 자른 단면
구 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 + ( z − c ) 2 = r 2 x x x y y y ∣ c ∣ < r |c|<r ∣ c ∣ < r z = 0 z=0 z = 0 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 − c 2 (x-a)^2+(y-b)^2=r^2-c^2 ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 − c 2 ( a , b , 0 ) (a,\ b,\ 0) ( a , b , 0 ) r 2 − c 2 \sqrt{r^2-c^2} r 2 − c 2 r |c| 좌표평면 C H Q 중심 C 와 좌표평면 사이의 거리를 ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣ H Q ‾ = r 2 − c 2 \overline{\mathrm{HQ}}=\sqrt{r^2-c^2} HQ = r 2 − c 2 구 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 25 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=25 ( x − 1 ) 2 + ( y + 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 25 x x x y y y ↳ ◀ 중심과 평면 사이의 거리 (∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ 5 2 − 3 2 = 4 \sqrt{5^2-3^2}=4 5 2 − 3 2 = 4 ↳ ◀ 단면인 원의 반지름
바로 확인 방금 배운 것, 10초 문제
중심이 ( 3 , − 2 , 1 ) (3,\ -2,\ 1) ( 3 , − 2 , 1 ) z z z x x x 어느 좌표가 반지름인가
✗ 틀린 풀이
중심이 ( 2 , − 3 , 4 ) (2,\ -3,\ 4) ( 2 , − 3 , 4 ) x x x y y y 2 2 2 왜 틀렸나 x x x y y y z z z ∣ z ∣ |z| ∣ z ∣ x x x y y y z z z + 펼치기 접기 왜 그런지 이유: 구가 평면에 접하면 중심과 평면 사이의 거리 가 반지름과 같아요.x x x y y y ( a , b , 0 ) (a,\ b,\ 0) ( a , b , 0 ) ∣ c ∣ |c| ∣ c ∣
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